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数学卷·2015届江西省新余一中高一下学期第一次段考(2013.04)


审题人:刘凌 考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分 第 I 卷(选择题:共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共计 50 分。在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的。 ) 1. sin(-1290 0 ) 等于( ) A. ?

命题人:艾青梅

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2


D.

1 2

2.函数 y ? 2 cos 2 ( x ?

?
4

) ? 1 是(

A、最小正周期为 π 的奇函数 C、最小正周期为 3.下列命题: 的奇函数

B、最小正周期为 π 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数

(1)若向量 a ? b ,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反; (2)对于任意非零向量若 a ? b 且 a 与 b 的方向相同,则 a ? b ; (3)非零向量 a 与非零向量 b 满足 a ∥ b ,则向量 a 与 b 方向相同或相反; (4)向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A, B, C , D 四点共线; (5)若 a ∥ b ,且 b ∥ c ,则 a ∥ c 正确的个数: ) ( A.0 B.1 C.2 D.3 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为 ( A. 3 B.2 C.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??? ?

??? ?
?

?

?

?

?

?



?
3

D.

?
2 3 ) 且 f (?2) ? f (?1) ? ?1 , 2

5. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 f ( x) ? ? f ( x ?

f (0) ? 2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? ? ? ? ? ? f (2013) 等于( )
A. ?2 6.设 a ? B. ?1 C. 0 D. 1 )

2 tan 13? 1 ? cos 50 ? 1 3 ,c ? ,则有( cos 6 ? ? sin 6 ? , b ? 2 2 2 1 ? tan 2 13?
B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a

A.a>b>c

7. 为得到函数 y ? cos(2 x ? A.向左平移

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像(



5? π 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 12 6 π 5? C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 6 12 5 3 8.在△ABC 中, sin A ? , cos B ? ,则 cos C 的值为( ) 13 5 56 16 16 56 56 16 A. ? 或 B. ? 或 C. D .? 65 65 65 65 65 65
9.△ABC 为锐角三角形,若角 ? 终边上一点 P 的坐标为 (sin A ? cos B, cos A ? sin C ) ,则

y?

cos ? sin ? tan ? 的值是( ) ? ? sin ? cos ? tan ?
B. ?1 C.3 D. ?3

A .1

10.若函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x, (ab ? 0) 的图象向左平移 的函数是奇函数,则直线 ax ? by ? c ? 0 的斜率为( )

?
3

个单位后得到 的图象对应

A.

3 3

B. 3

C.一 3

D.一

3 3

第 II 卷(非选择题:共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每题 5 分,共计 25 分。请将正确答案直接填在答题卡的相 应位置。 ) 11. cos 36? cos 96? ? sin 36? sin 84? 的值是 。 12.若 f (cos x) ? cos 2 x ,则 f (sin15 ) ? ______________。
?

13.不等式 tan(2 x ?

?
4

) ? ?1 的解集是_______ _。

14.函数 f ( x) ? sin x ? 2 sin x , x ? ?0,2? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅 有两个不同的交点, 则 k 的取值范围是 。

15.关于函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ?

?
3

), x ? R 有下列命题:

(1) y ? f (x) 的表达式可改写为 y ? 4 cos(2 x ?

?
6

);

(2) y ? f (x) 是以 2? 为最小正周期的周期 函数; (3) y ? f (x) 的图象关于点 (?

?
6

,0) 对称;

(4) y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ?

?
6

对称。

其中正确的命题序号是 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤。 ) 16.(本小题满分 12 分) 求解下列函数的定义域 (1) y ? 1 ? 2 cos x (2) y ? lg sin x ?

1 16 ? x 2

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos 2 ?x ? 2 3 cos ?x ? sin ?x , (其中 0 ? ? ? 1 ) ,若直线 x ?

?
3

是函数

f (x) 图象的一条对称轴。
(1)试求 ? 的值; (2)先列表再作出函数 f ( x) 在区间 ? ?? , ? ? 上的图象.

18.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 cos A ? (1)求 tan 2A 的值 ;

1 13 ? , cos( A ? B) ? , 0 ? B ? A ? 7 14 2 (2)求角 B

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos x .
2 2

(1)已知 f

?? ? ? 3 ,且 ? ? ? 0, π ? ,求 ? 的值;
? ?

(2) 当x ? ?0, ? ? 求函数 f (x) 的单调递增区间; 时, (3)若对任意的 x∈ [

, ] ,不等式 f ( x) ? m ? 3 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

20.(本小题满分 13 分) 如图所示,在 Rt △ABC 内有一内接正方形,它的一条边在斜边 BC 上,设 AB= a ,∠ABC ? ? (1)求△ABC 的面积 f (? ) 与正方形面积 g (? ) ; (2)当 ? 变化时,求

f (? ) 的最小值,并求出对应 ? 的值。 g (? )

A
G

D

B

C

H

E

21. (本小题满分 14 分) 已知函数

f ( x) ? ? sin 2 x ? 2a sin x ? 5

(1)若 x ? R ,有 1 ? f ( x) ? 8 ,求 a 的取值范围; (2)当 f ( x) ? 0 有实数解时,求 a 的取值范围。

新余一中高一年级下学期第一次段考(数学)
一、选择题 DACAC BADBD 二、填空题 11.

1 2

12. ?

3 2

13.

?kπ,kπ+3π?(k∈Z) ?2 2 8?

14. (1,3) 三、解答题

15.(1)(3)

16.(1)解析: ?2k? ?

? ?

?
3

,2k? ?

5? ? ,k ? Z 3 ? ?

? ?sin x>0, (2)解析: 为使函数有意义,需满足? 2 ?16-x >0, ? ? ?2kπ<x<2kπ+π? k∈Z? , 即? ? ?-4<x<4.

如图所示,由数轴可得函数的定义域为{x|-4<x<-π 或 0<x<π}. 17. 解: f ( x) ? 2 cos 2 ?x ? 2 3 cos ?x ? sin ?x

? 1 ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 1 ? 2sin(2? x ? ) 6 ? 2?? ? 2?? ? ? (1)? 直线 x ? 为对称轴,? sin( ? ) ? ?1 ,? ? ? k? ? ( k ? Z ) 3 3 6 3 6 2 3 1 ?? ? k ? , 2 2 1 1 1 ? 0 ? ? ? 1?? ? k ? ? k ? 0 ? ? ? ……(6 分) 3 3 2
(2)… f ( x) ? 1 ? 2sin( x ?

?

?

6

)

函数 f(x)在 [?? , ? ] 的图象如图所示。

x?

?
6

5 ? ? 6

?

?

x
y

??
0

2 2 ? ? 3

0

?

?
1

?
6

? 3
3

2

?
5 ? 6
1

7 ? 6

?
0

-1

18、解: (1)∵ cos A ?

4 3 1 ? 且 A ? (0, ) ∴ sin A ? 7 7 2

∴ tan A ? 4 3

又 tan 2 A ?

2 tan A 8 3 ?? 2 1 ? tan A 47

(2)∵ A ? (0, ∴ sin A ?

?
2

)

cos A ?
又B ? A?

1 7

4 3 7

?
2 13 , 14
∴ sin( A ? B ) ?

∴ 0 ? A? B ?

?
2

∵ cos( A ? B ) ?

3 3 14

∴ cos B ? cos[ A ? ( A ? B )] ? cos A cos( A ? B ) ? sin A sin( A ? B ) ? ∵ B ? (0,

?
2

)

∴B ?

?
3 π )?2. 6

1 2

19.【解】 (1) f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 = 2sin(2 x ? 由f

?? ? ? 3 ,得 2sin(2? ?

π )?2 ?3. 6

π 1 )? . 6 2 π π π 5π ∴ 2? ? ? ? 2k1π ,或 2? ? ? ? 2k2 π ? k1 , k2 ? Z ? , 6 6 6 6 π 即 ? ? k1π 或 ? ? ? k2 π ? k1 , k2 ? Z ? . 3 π ? ? ? 0, π ? , ∴ ? ? . 3 π π π π π (2)由 ? ? 2k π ≤ 2 x ? ≤ ? 2k π ,得 ? ? k π ≤ x ≤ ? k π . 2 6 2 3 6
∴ sin(2? ?

∴函数 f ? x ? 的单调增区间为 ?0, (3) m<4

? ? ? ? 2? ? ?和? 3 ,? ? . ? 6? ? ?

21.解: (1)设 t ? sin x ,则原函数变形为 y ? f (t ) ? ?t ? 2at ? 5
2

t ? ? ?1,1? 其对称

轴为 t ? a 。 ① a ? 1 时,函数在 t ? ? ?1,1? 上单调递增,所以函数值域为 ? 4 ? 2a, 4 ? 2a ? 。因此有

3 ? 3 ? 4 ? 2a ? 1 ? a ? 2 ?1? a ? ? 2 ? 4 ? 2a ? 8 ? a ? 2 ?
? ? f (a) ? 8 ? ? 3 ? a ? 3 ? 3 ? ② ?1 ? a ? 1 时,有 ? f (1) ? 1 ? a ? ? ,所以 ?1 ? a ? 1 . 2 ? 3 ? ? f (?1) ? 1 ? a ? 2 ?

3 ? 3 ? 4 ? 2a ? 1 ? a ? ? ③ a ? ?1 时,函数在 t ? ? ?1,1? 上单调递减,有 ? 2 ? ? ? a ? ?1 2 ?4 ? 2a ? 8 ? a ? ?2 ?
综上所述: ?

3 3 ?a? 2 2

(2)① a ? 1 时,函数在 t ? ? ?1,1? 上单调递增,因此有 ?

? 4 ? 2a ? 0 ? a ? 2 ?a?2 ?4 ? 2a ? 0 ? a ? ?2

② ?1 ? a ? 1 时,有 ?

? f (a) ? 0 ? a ? R ,所以此时无解。 ? f (1) ? 0或f (?1) ? 0 ? a ? 2或a ? ?2
?4 ? 2a ? 0 ? a ? ?2 ? a ? ?2 ? 4 ? 2a ? 0 ? a ? 2

③ a ? ?1 时,函数在 t ? ? ?1,1? 上单调递减,有 ? 综上所述: a ? 2或a ? ?2


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