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高三艺术特长生数学复习的策略及问题解疑


手把青秧插满田 六根清静方为道

低头便见水中天 退步原来是向前

作者:屠新民 电话:63854440 邮箱:txm0910@163.com.cn

华师大一位教授说高考:

古代

学习数学为了会算帐

近代 学习数学为了会推理 现代 学习数学为了能考试 未来 学习数学为了提高公民素养: 数学、人文、科学、艺术、体育

? 功利性目标: 应付考试(例如,曹清和 与仇吉龙) ? 素养性目标: 欣赏数学 ? 奉献性目标: 研究数学 数学水平是一个国家军事、经济、 文化水平的标尺之一. ? 世界数学格局: 美国领先,西欧随后,日本在迎头 赶上,中国是一个未知数.

本讲座的主题
? 复习阶段的几个策略 ? 师生们提出的八个问题

策略之一 意志坚强、坦然面对
? ? ? ? ? ? 战场上战胜敌人靠的是什么?(亮剑精神!) 除了实力之外,就是坚强的意志、顽强的斗志.(不放弃,不丢弃!) 你的敌人是什么?(怯懦!) 是你自己的意志!你的敌人是你自己! 焦虑:高考临近,上课复习时心情烦躁,对知识复习和做题失去耐性. 信心缺失:当一个题目做不出来,就对自己的解题能力产生怀疑,进而 失去信心. ? 患得患失:脑子里面老是想着我的高考会什么样?考上还是考不上?甚 至睡觉时要老是想着这个问题,带来失眠、休息质量下降,食欲不振等. ? 只有克服诸如此类的问题,战胜自己,才能提高效率. ? 作题的诀窍如下:

预备例题

文(11)理(8)(2006年)抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是( ) 4 7 8 (A) 3 (B) 5 (C) (D)3 5 巧妙解法:设直线方程为4x+3y+C=0则当l与 抛物线相切时l与4x+3y-8=0间的距离为所求 ?y ? ? 2 ? x 最小,由 ? ?4 x ? 3 y ? C ? 0 ? 4 得4x? -3x+C=0, ∴△=16+12C=0, ∴C =- 3 , 4 | ?8 ? ? ) ( | 3 ?4 此时 5 3 故选(A). (三国演义告诉我们注意数形结合)
2

意志坚强、坦然面对 、迎难而上、苦干加巧干

特征分析法:通过对题干和选择支的关系进行分析,挖掘出题目
中的各种特征,如结构特征、数字特征、取值范围特征、图形特征 、对称性特征、整体特征等,从而发现规律,快速辨别真伪.
例题 . (08年江西卷)四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选 择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示. 盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半. 设剩余酒的高度从左到右 依次为 h1 , h2 , h3 , h4 ,则它们的大小关系正确的是( )

A. h2 ? h1 ? h4

B. h1 ? h2 ? h3 C. h3 ? h2 ? h4 D. h2

? h4 ? h1

西游记告诉我们要注意特征分析法(孙悟空变的庙)。

解:根据酒杯特征进行定性分析. 前面三个 酒杯都是上大下小,故饮酒一半后所剩酒的 高度应该都在中点以上,且下方越小,所剩 酒的高度就越高,第四个酒杯饮酒一半后所 剩酒的高度正好在中间,故选A .

(08年广东卷)设a,b∈R,若a-∣b∣>0,则下列不

等式 中正确的是

(

)

(A) b-a>0 (B)a3+b3<0 (c)b+a>0 (D)a2-b2<0
解析:(特殊值法)取a=2,b=1,符合题意,可排除B,C,D,
故选A

金庸在《笑傲江湖》中告诫我们特殊角度的重要!

意志坚强、坦然面对 、迎难而上、苦干加巧干

例1.已知圆C和y轴相切,圆心在直线x- 2y=0上,且被直线y=x截得的弦长为 2 7 , 则圆C的方程是__.

解:因为圆心在直线x-2y=0上,
可设圆心的坐标为(2t,t), 圆与y轴相切,所以r=|2t|, 即圆的方程为(x-2t)2+(y-t)2=4t2,

A

圆心到直线x-y=0的距离 d ? 弦长为 2 7 解得
2

| 2t ? t | 2
2 2

?

2 |t | 2

所以 ( 7 ) ? r ? d

t?? 2
2 2

所以圆的方程是 ( x ? 2 2 ) ? ( y ? 2 ) ? 8 或 (x ? 2 2) ? ( y ? 2) ? 8
2 2

例1的变形
曲线y2-
x

考题剖析

例2.(2010·海南海口市一模)已知半径为1的圆的圆心在双 2 圆的方程为(
2

=1上,当圆心到直线x-2y=0的距离最小时,该 )

[解析]解法1:作直线x-2y=0的平行直线x-2y-m=0 使它与双曲线相切,由 ? ? 令Δ=0,得m =
?x ? 2 y ? m ? 0 2 2 ? 2y +4my+m +2=0, x2 y2 ? ?1 ? 2 ?

2 或m=-

2

选择题的解法
考题剖析 当m=
2 时,圆心坐标为(- 2

,- 2 )

当m=- 2 时,圆心坐标为( 2 , 2 )又圆半径为1, 所以圆的方程为 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1或 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 解法2:直线过双曲线的中心,由双曲线的对称性,知所求 圆应该有两个所以排除B、C,通过图形判断圆心在第一或三象限, 排除D.

[点评]本题主要考查圆的知识和点到直线的距离公式等
知识,直接运算较繁,但结合图形根据图形的对称性处理则 容易.

《孙子兵法》中告诫我们兵不血刃的重要!

?用函数图象判定单调性
例3: 函数 y ? 3 x ? 5 的减函数的区间是 .

?3 x ? 5 ( x ? 3 ) 分析:y ? 3 x ? 5 ? ? ? 3x ? 5 ( x ? 5 ) ?
3
它的图象如右图所示
y

5

故减区间是 (?? , )

5

3

0 5

x

金庸在《笑傲江湖》中告诫我们数形结合的重要!

3

特殊数列法 例4.已知等差数列{a n }

满足 a1 ? a2 ? ??? ? a101 ? 0则有( ( A) a1 ? a101 ? 0 (C ) a3 ? a99 ? 0 ( B ) a2 ? a102 ? 0 ( D ) a51 ? 51

)

解:取满足题意的特殊数列 a n ? 0, 则 a3 ? a99 ? 0,故选 (C )
西游记告诉我们要注意特殊点(孙悟空打洞逃出铜镲)。

策略之二 找准方向 直击高考
? 考纲:《考试大纲》,一般老师都会按照这个安排 教学. ? 考题:建议系统做如下考题 ? (1)五年山东和宁夏考题:最接近2010山东高考 题的难度.退一步2008、2009年山东考题高考题难 度. ? (2)三年全国一卷和二卷考题:中国最高级别的 考题.退一步2009年考题,可以找到命题老师的特点. ? (3)两年海南宁夏卷考题:教育部考试中心命制 的试题,是课标高考的全国卷.退一步2009年考题. 可以体会到命题老师的对新课标命题的特点.

1.山东,宁夏等省数学卷的主要特点
? 主干知识方法重点考查、反复考查:
? 如基本不等式、圆锥曲线、函数、数列错项求和、数归法. ? 新课标的新增内容和要求:

? 几何概型、程序框图、直方图 文科考复数 ? 加大理科应用题的分量. ? 函数,三角函数,不等式概率等应用题明显增多

? 文理科姊妹题的数量明显增加,不同题大大减少. ? 运算能力仍有较高要求.(女生占便宜!) ? 宁夏题为12+4+5+选修1(二选1)

新课程试题的分类解析对比
? ? ? ? ? ? ? 函数与导数: 重现应用题素材 统计与概率: 联系实际逐步深入 立体几何: 要求日趋明确(文理皆宜) 解析几何: 细化部分内容 推理与证明: 创新意识落脚点 三角函数: 凸现研究性学习 选修系列: 难度适中注意变化

2.考试内容的增删
增加: 函数零点,反函数,算法初步,线性回归方程,几 何概型,全称量词与存在量词,推理与证明,常用导数. (理)数学归纳法,复合函数求导,随机变量概率分布, 选修系列2. 删减:任意角的余切、正割、余割,反三角函数,三 垂线定理,空间角和距离. (文)空间向量,排列、组合与二项式定理,随机变量, 直线与圆锥曲线的关系,求一般曲线(轨迹)的方程.

热点搜索
1.传统的主干内容: 函数、不等式、数列、立几、圆锥曲线 2.教材新增内容: 平面向量、空间向量、概率统计、导 数、随机变量 3.创新热点: 函数问题、图表问题、空间轨迹问题、 探索性问题、开放题

冷点搜索
关注:近5年未考过的内容 理解、掌握、运用的知识点 举例 ? 圆锥曲线的光学性质 ? 斜二测画法 ? 三角函数图象作为应用题

3.命题交汇点搜索
不等式、数列、函数的交汇; 数列、数学归纳法、解几交汇; 向量、三角函数、解析几何交汇; 空间几何体与线线、线面、面面 位置关系及解三角形交汇; 期望、方差、正态分布的交汇. (文科:统计和概率的交汇)

4、命题指导思想

①突出数学基础知识、基本技能、基本思想方 法的考查;
②重视数学基本能力和综合能力的考查; ③注重数学的应用意识和创新意识的考查. 其他省份的考试大纲明确解释了5个主要考 查的数学基本能力: 空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、 运算求解能力、数据处理能力.

集合的概念及其应用

Ex1: 设 P , Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= ?a +b|a ? p,b ? Q? , 若 P= ?0 ,,? Q= ?1 ,,? ,则 P+Q 中元素的个数是( A ) 25 26 A.8 B.9 C.7 D.6
解 : P+Q= ?1,2,3,4,6,7,8,11? .

Ex 2.已知集合 A ? ? a ? 2, 2 a 2 ? 5 a ,12? 且-3 ? A ,
3 2

则 a=

分析 由-3 ? A得 -3=a ? 2或 2 a 2 ? 5a ? ?3 ,求 得 a ? ?(舍),或 a ? ? . 1 2 3

关键:验证求出的集合是否满足“互异性”

策略之三 注意梳理题型模式
? 我们解题就是把这个题归结我们以前解过的类似 题,按照我们已经解过的题的方法、思路解决现 在的题目,这个以前解过的题就是一个题型模式. ? 数学题目千变万化、无穷无尽,但高中数学题的 题型模式是不多的,也就是几十个、最多一百多 个,这些题型模式是我们解决高考试题的参照系. ? 怎样梳理题型模式? ? 树立起解一个题就看看这个题和你以前解过的什 么题是一个模式的意识,梳理题型模式也就自然 而成,不要强求和刻意追求,顺其自然,才能水 到渠成.

策略之三 注意梳理题型模式
? ? ? ? ? 1.函数解析式与恒成立问题 2.定点、定值问题 3.最值问题 4.范围问题 5.应用问题(数列应用、函数应用、不等式 应用) ? 6.探索性和补形问题(特别是立体几何)

1.在40根纤维中,有12根的长度超过30 mm,从中任取
一根,取到长度超过30 mm的纤维的概率是 A. C. B. D.以上都不对 ( )

解析:在40根纤维中,有12根的长度超过30 mm,即基本
事件总数为40,且它们是等可能发生的,所求事件包含12

个基本事件,因此所求事件的概率为 答案:B

.

2.一枚硬币连掷3次,只有一次出现正面的概率是( A. C. B. D.

)

解析:一枚硬币连掷3次,共有:(正,正,正),(正, 正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反), (反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)8种情况,

而只有一次出现正面的情况有:(正,反,反),(反,正,
反),(反,反,正)3种情况,故P= 答案:A .

3.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率
是 A. C. B. D. ( )

解析:甲站在中间的情况有两种,而基本事件为6种,所 以P= 答案:C .

4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐
标,则点P落在圆x2+y2=16内的概率是________.

解析:基本事件的总数为6×6=36个,记事件A={(m,n)
落在圆x2+y2=16内},则A所包含的基本事件有(1,1), (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个. ∴P(A)= 答案: .

数学归纳法的应用(不懈的努力)
5. 已知 f(n+1)=2+ 1 f(n)(n∈N+), 且 f(1)=a, 求 f(n). 2 解: f(1)=a =4-22+20a, f(2)=2+ 1 a =4-21+2-1a, 2 f(3)=2+ 1 f(2)=3+ 1 a =4-20+2-2a, 4 2 f(4)=2+ 1 f(3)= 7 + 1 a =4-2-1+2-3a, 2 8 2 f(5)=2+ 1 f(4) =4-2-2+2-4a, 2 故猜想: f(n)=4-23-n+21-na, 用数学归纳法证明如下: 证明从略. 故 f(n)=4-23-n+21-na. 评注: 先用不完全归纳法摸索出规律, 再用数学归纳法证 明, 适用于自然数集上的函数.
许三多说:认真探索,不放弃,不抛弃很重要。

补形法
例6. 三个12×12 cm的正方形,如图,都被连结相邻两边中 点的直线分成A、B两片〔如图(1)〕,把6片粘在一个正 六边形的外面〔如图(2)〕,然后折成多面体〔如图 (3)〕,求此多面体的体积. B 解法一: 补成一个正方体, A 如图甲,V= 1 V正方体 2 1 = ×12? =864 cm? . 2 (1) (2)

(3)

甲 乙 解法二:补成一个三棱锥,如图乙,V=V大三棱锥-3V小三棱锥=864 cm? .

欧洲寓言:二分之一,三分之一,七分之一分牛很有启发!

策略之四 加强薄弱、强化主干
? 不同的同学知识结构是不同的,薄弱的部分同学们自己最 清楚,一轮、二轮复习要注意加强. ? 高考数学试卷不可以追求知识点的覆盖面,注重考查高中 数学的主干知识,在二轮复习中要强化这些主干知识的复 习力度. ? 高中数学的主干知识是什么? ? (1)三角函数(包括平面向量、解三角形) ? (2)概率统计 ? (3)数列 ? (4)立体几何 ? (5)解析几何 ? (6)函数与导数 ? 作题时要灵活,更要规范和准确.

例1.在坐标平面内,与点A(1,2)的距离 等于1,且与点B(3,1)的距离等于2的直 线共有( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
y

解:与点A(1,2)的距 离等于1的点在圆(x- 1)2+(y-2)2=1上,

A(1,2) 2 1 B(3,1)

x O
1 2

与点B(3,1)的距离等于2的点在圆(x- 3)2+(y-1)2=4上, 同时满足两个条件的直线应是两个圆的 公切线.
y

这两个圆的位置关系 是相交,只有两条外 公切线,所以选B.

A(1,2) 2 1 B(3,1)

x O
推理思想很重要,侦探小说常用!

1

2

例2. 设x、y∈R且3x? +2y? =6x,则 x? 的范围是__. +y?
分析: 设k=x? ,再代入消去y,转化为关于x +y? 的方程有实数解时求参数k范围的问题.其中要注 意隐含条件,即x的范围. 解:由6x-3x? =2y? ≥0,得0≤x≤2. 设k=x? ,则y? +y? =k-x? ,代入已知等式得:x? - 6x+2k=0 , 1 即k=- x? +3x,其对称轴为x=3. 2 由0≤x≤2得k∈[0,4].所以x? 的范围是:0≤x? +y? +y? ≤4.
隐含条件就像暗器,需要认真提防!

1.甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别 标有点数1,2,3,4,5,6),设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的 点数分别为x,y,则满足复数x+yi的实部大于虚部的 概率是 A. C. B. D. ( )

解析:由题意知x=y的概率是

,故x≠y的概率为
.

.

又x>y与y>x的概率相等,故x>y的概率为 答案:B

2. 在集合A={m|关于x的方程x2+mx+

m+1=0

无实根}中随机的取一元素x,恰使式子lgx有意义的概率为 ________. [思路点拨]

[课堂笔记] 由于Δ=m2-4( 若使lgx有意义,必须使x>0. 在数轴上表示为 . [答案]

m+1)<0,得-1<m<4,

,故所求概率为

3.已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y). (1)求当x,y∈R时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率; (2)求当x,y∈Z时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率. [思路点拨]

[课堂笔记] (1)如图,点P所在的区域为 正方形ABCD的内部(含边界),满足(x- 2)2+(y-2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆 心,2为半径的圆面(含边界). ∴所求的概率P1=



.

(2)满足x,y∈Z,且|x|≤2,|y|≤2的点(x,y)有25个, 满足x,y∈Z,且(x-2)2+(y-2)2≤4的点(x,y)有6个, ∴所求的概率P2= .

策略之五 通过模拟、学会考试
? 考试是一门艺术,同等水平的考生在同样条件下的考试成绩可能有一 定的差异、甚至较大的差异. ? 原因是什么?(“稳”, “准”是核心!) ? 考试最终结果是用分数来衡量的,因此考试的第一要务不是“快”而 是“准确”,失去了准确,就丧失了考试成绩. ? 高考是选拔性考试,一张高考数学试卷并不是所有的考生都能达到 140分以上的,高考数学试卷对绝大多数考生来说,都会出现没有把 握的试题、解决不完全的试题、甚至一点思路都没有的试题. ? 上面提到的“准”在那里准? ? 在你能够解决的问题中“准”,这些能够解决的问题对绝大多数考生 来说应该有100到120分左右,只要这些试题解答的“准”,一分不失, 考试就成功了. ? 一个最要命的考试策略错误:一味图快,省下时间,攻克高难度试题, 忽视了在“能够解决的试题”上的“准”,这样是难题得几分,容易 题失几十分.

1. 某班共有学生60人,语、数、外 三科毕业会考90分以上(含90分)的人 数统计如下:
语 35 数 40 外 32 语数 22 语外 22 数外 20 语数外 12

则该班三科成绩都在90分以下的人数是-----.
U 10 10 语 12 8 3 10 外2 数

5

填空题的解法
考题剖析
2.(2010·湖北天恩)已知等差数列{an}的公差d≠0,a1、a3、a9 a1 ? a 3 ? a 9 成等比数列,则 的值为 . a 2 ? a 4 ? a10 [解析]解法1:由于a1、a3、a9成等比数列,则a 即(a1+2d)2=a1(a1+8d)又d≠0所以a1=d, 则
a1 ? a 3 ? a 9 a 2 ? a 4 ? a10 ? a1 ? ( a1 ? 2d ) ? ( a1 ? 8d ) ( a1 ? d ) ? ( a1 ? 3d ) ? ( a1 ? 9d ) ? 13d 16 d ? 13 16
2 3

=a1a9 ,

解法2:取数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 则
a1 ? a 3 ? a 9 a 2 ? a 4 ? a10 ? 1? 3 ? 9 2 ? 4 ? 10 ? 13 16

[点评]本题主要考查等比数列、等差数列的基础知识, 可用特例也可直接解法,但特例显得轻松些.

3、已知:正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a. (1) 求证:平面A1BD∥平面B1D1C; (2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离. 证明:(1) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ∵ BB1平行且等于DD1, ∴ 四边形BB1D1D是平行四边形, ∴ BD∥B1D1,∴ BD∥平面B1D1C. 同理 A1B∥平面B1D1C, 又A1B∩BD=B,∴ 平面A1BD∥平面B1D1C.

解:(2) 连AC1交平面A1BD于M,交平面B1D1C于N. AC是AC1在平面AC上的射影,又AC⊥BD, ∴ AC1⊥BD,同理可证,AC1⊥A1B, ∴ AC1⊥平面A1BD,即MN⊥平面A1BD, 同理可证MN⊥平面B1D1C. ∴ MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离, 设AC、BD交于E,则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E. ∵ M∈平面A1BD,M∈AC1? 平面A1C,∴ M∈A1E.同理 N∈CF. 在矩形AA1C1C中,见上图,由平面几何知识得 , 3 ∴ .? 1 AC1 MN ? a MN
3 点评:2006年湖南省高考命题出了这样一道题:半径为1的球的球心为 π O,球面上有A、B、C三点且每两点之间的球面距离是 ,求球心O到 2 平面ABC的距离.是此题的变形.
包装十分重要,赵本山常用!比如穿马甲问题!

3

策略之五 通过模拟、学会考试
? 高考数学试题三类题型:选择题、填空题、解答题. ? 这三类题各有其答题技巧,一轮、二轮复习要在解题中时时刻刻加以 运用(具体可参看有关的文章). ? 在上面“能够解决的问题准”的前提下,不能解决的问题是不是就完 全置之不理? ? 同学们也当然不会! ? 怎么处理这些问题,又是考试的一大技巧. ? (1)“猜” ? (2)跳步解答 ? (3)特殊化 ? (4)写几个式子等 ? 这方面也有不少的文章,同学们可以参看.

估算法:有些问题不易(有时也没有必要)进行精确的运算和 判断,则可以进行粗略估算. 估算是一种数学意识,它以正 确的算理为基础,通过合理的观察比较、猜想推理或验证, 从而作出正确的选择.

例1 .如图所示,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD 3 是边长为3的正方形,EF∥AB,EF= ,EF与平面ABCD 2 的距离为2,则该多面体的体积为( ) 15 9 A. B.5 C.6 D. 2 2 VE ? BCF . V ABCDEF = V 解:连BE、CE,则 E ? ABCD + 1 又VE ? ABCD = ? 9 ? 2=6,所以V ABCDEF>6. 15 3 而在选择支中,只有 2 >6,故 选D.
E F C D A B

估算法十分重要,诸葛亮常用!比如看炉灶估计士兵问题!

某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅 提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种. 现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证 每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅 至少还需准备不同的素菜_____种. 7
例2.

提示:设至少准备n 种素菜,则由题意,得

C ? C ? 200, 即 n(n - 1) ? 40 ? 6 ? 5 ? 40
2 5 2 n

而 7 ? 6 ? 40 ?n ? 7 即至少还需准备 7 种素菜.
【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2-n-40≥0求解较繁,考虑到n为正整数, 故解有关排列、组合的不等式时,常用估算法.

策略之六

知道考试变化特点

? 新课标的变化和特点要心中有数.

1. 新课标高考考试内容与要求的变化 增加知识点: 1.幂函数; 2.函数与方程; 3.算法初步; 4.推理与证明; 5.空间直角坐标系; 6.几何概型; 7.茎叶图; 8.全称量词与存在量词; 9.定积分与微积分基本定理.

2.提高要求部分:
?Venn图的应用; ?分段函数要求能简单应用; ?函数的单调性; ?函数与方程、函数模型及其应用; ?一元二次不等式背景和应用,加强了与函数、方程的 联系; ?从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题; ?等差数列与一次函数的关系,等比数列与指数函数 的关系;

提高要求部分:
?离散型随机变量及其分布列的概念、离散型随机变 量的期望值、方差; ?知道最小二乘法的思想; ?要求通过使利润最大、用料省、效率最高等优化问 题,体会导数在解决实际问题中的作用; ?(理)对原说明末作要求的直线、椭圆提出了同样的 写出参数方程的要求.

3.减低要求部分:
?文科对抛物线、双曲线的定义和标准方程的 要求由掌握降为了解. ?理科对双曲线的定义、几何图形和标准方程 的要求由掌握降为了解,对其有关性质由掌握 降为知道. ?对组合数的两个性质不作要求. ?原说明理解圆与椭圆的参数方程降为选择适 当的参数写出它们的参数方程.

4.删减知识点:
①两条直线的交角 ②已知三角函数值求角. ③线段的定比分点、平移公式. ④分式不等式.

5.把握度: “反函数”: 新课标:了解指数函数y=ax与对数函数y=log a x互 为反函数(a>0,a?1); 新课程:了解反函数的概念及互为反函数的函数图 像间的关系,会求一些简单函数的反函数.

“复合函数的导数”:
新课标:能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b) ) 的导数. 新课程:了解复合函数的求导法则,会求某些简单 函数的导数.

1.在区间[1,3]上任取一数,则这个数不大于1.5的概率为 ( )

A.0.25
C.0.6

B.0.5
D.0.75

解析:在[1,3]内任取一数,这个数不大于1.5的概率P=

=0.25.
答案:A

2.如图,向圆内投镖,如果每次都投入 圆内,那么投中正方形区域的概率为 ( A. C. B. D. )

解析:投中正方形区域的概率为正方形的面积与圆的面积之 比,设正方形的边长为1,则其面积为1,圆的半径为 积为π( 答案:A )2= ,故投中正方形区域的概率为 ,面 .

3.一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时

间为5秒,绿灯亮的时间为40秒,当你到达路口时,看
见下列三种情况的概率各是(1)红灯_______、 (2)黄灯 _______、(3)不是红灯________.

解析:在75秒内,每一时刻到达路口的时候是等可能
的,属于与长度有关的几何概型. (1)P= (2)P= (3)P= ; ;

答案:

4.如图所示,在一个边长为a、b

(a>b>0)的矩形内画一个梯形,
梯形上、下底分别为 a与 a,高 为b.向该矩形内随机投一点,则 所投的点落在梯形内部的概率是 ________. 解析: 答案:

策略之七

考前抢分

? 掌握一些基本小结论和新课标新题型的新 解法.

1 ? ? 典例(07山东)设 ? ? ?? 1,1, 2 ,3? ? ?

,则使函数 y ? x 的定义域为R且为奇函数的所有? 的值为( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
解:当 ? ? 1, 3时,y ? x 为奇函数. 而 ? ? ? 1和 时, y ? x 的定义域不是R. 2 故选A
西游记告诉我们分类讨论很重要(人的心态)。
?

?

1

?

? ? 1 典例(07山东)已知集合 M ? ?? 1,1? , ? ? x ? Z ? 2 x ?1 ? 4 ? N 2 ? ? ,则 M ? N ? ) (

A. ?? 1,1?

B. ?? 1? C.
x ?1

?0?

D.
2

?? 1,0?

2 ? ? 2 ? x ? 1, x ? Z .? N ? ? ? 1, 0? .

解?

1

?2 ?2

?1

? 4 ? 2 ,? ? 1 ? x ? 1 ? 2,

又 ? M ? ? ? 1,1? ,? M ? N ? ? ? 1? .

解题的方法技巧
? 解题的方法技巧

1.在区间(10,20]内的所有实数中,随机取一个实数a, 则这个实数a<13的概率是 A. C. B. D. ( )

解析:∵a∈(10,13),∴P(a<13)=
答案:C

.

2.如图所示,四边形ABCD是一 个边长为1的正方形,△MPN

是正方形的一个内接正三角
形,且MN∥AB,若向正方形 内部随机投入一个质点,则 质点恰好落在△MPN的概率为 ( )

A.
C.

B.
D.

解析:易知质点落在三角形MNP内的概率

P=
答案:D

问题1 如何做了题不忘?
? 做题的目的是什么? ? 答案:巩固知识、熟练方法、提高能力 ? 做过的题忘了没有关系,只要通过这个题目掌握 了解决问题的思想方法就达到了目的,做题是为 了解决我们没有见过的题。 ? 太极张三丰在武当山大敌当前时教张无忌太极拳。 ? 题目是海【题海一词出现的频率很高】无穷无尽, 而解决问题的方法是航线,数目并不多,我们解 题就是要去掌握这些方法。

举一反三
典例.一个画家有14个边长为1m的正方体,他在地面上 把它们摆成如图所示的形式,然后他把露出的表面都涂上颜 色,那么被涂上颜色的总面积为( )

A.19m? B . 21m? C. 33m? D. 34m?
分析:分别画出该组合体的三视图如下:

根据三视图可知其 露出的表面积为 6×2+6×2+9=33(m? ), 故选C.

问题2 如何做题又“快”又“对”?
? 是天方夜谭吗? ? 不是!如何做到? ? 要想快就要先慢下来,慢下来审题。解题 是从审题开始的,审题的第一步就是题目 的条件(明显的、隐含的)和结论是什么? 条件和结论是如何沟通的?解题能不能成 功的第一步就看你能不能说出这个问题的 条件和结论!

典例.(2008陕西11) 定义在R上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 2 xy (x,y ? R ), (1) ? 2,则 f f ( ?2) 等于( A ) A.2 B.3 C.6 D.9 解: 当x ? y ? 0时, f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0,∴ f (0) ? 0.
当x ? 1, y ? ?1时, f (1 ? 1) ? f (1) ? f (?1) ? 2,∴ f (?1) ? 0.

当x ? y ? ?1时, f ( ?2) ? f ( ?1) ? f ( ?1) ? 2 ? 2.

故选A

问题3 如何提高运算的准确率?
? 运算的准确对考试成绩具有最大的影响, 因运算错误导致的失分是高考中失分的第 一因素,有不少考生在此项失分达10到30 分。 ? 原因仅仅是粗心吗? ? 答案当然不是,是什么?两大主要原因 ? 第一:基础不牢、公式用错; ? 第二:自以为是,运算过程搞“三级跳”。 ? 建议:运算过程要按部就班、一步一个脚 印

分类讨论思想 典例.从平面外一点P引与平面 ? 相交的直线,使得P与 交点A的距离等于1,则满足条件的直线条数一定不可 能是 A.0条 B.1条 C.2条 ( C) D.无数条

解析

设点P到平面 ? 的距离为d,则d=1时,恰有一

条;d>1时,不存在;0<d<1时,有无数条.

特殊与一般的思想方法
考题剖析
典例.数列{an}中,若a1=
1 2

,

an=

1 1 ? a n ?1

(n≥2,n∈N),则a2011的值为(
B.
1 2 1 2
1 1 ? a1 1 1 ? a3



A.-1

C.1 ,an= =
1 1 ? a n ?1
1 1? 1 2

D.2 (n≥2,n∈N)
1 1? a2

[解析] ∵a1= 则当n=2时,a2= 当n=4时,a4=

=2,当n=3时,a3= =
1 2

=

1 1? 2

=-1,

=

1 1 ? ( ?1)

,同理a5=2,a6=-1,…
1

所以数列{an}是一个周期数列且T=3,故a2011=a1= 2 .

问题4 如何在短时间内提高计算能力
? 运算求解能力是最重要的数学能力,运算能力的形成是长期积累的结 果. ? 有没有短期速效的方法? ? 答案当然是没有! ? 但确有一些建议可以给你帮助! ? 建议1.矫正不良习惯,克服惰性,做的题目一定要做的运算结果正确, 一遍不行,两遍,两遍不行三遍,直至结果正确. ? 建议2.找准弱点,你在哪里薄弱就在那里下功夫. ? 建议3.突出重点,高考中运算的重点集中在如下几个方面. ? (1)利用规律和性质及三角函数式的变换; ? (2)二面角的计算,平面法向量的计算,空间向量角的计算; ? (3)数列中的通项变换、求和(错位相减、裂项)、放缩; ? (4)直线与圆锥曲线中消元后根据韦达定理所做的变换; ? (5)导数的运算和求导后到得的方程或不等式的变换求解. ? 建议4.男生向女生学习计算方法.

例题.等差数列{an}的前m项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m项和为( C ) (A)130 (B)170 (C)210(D)260
? 解:(特例法)取m=1,依题意a1=30,a1+ a2=100,则a2=70,又{an}是等差数列,进而 a3=110,故S3=210,选(C).

2 2 ? 2 ? α 例题 求值 cos α ? cos ( ? 120 ) ? cos (α ? 240 ) ?

.

分析:题目中“求值”二字提供了这样信息: 答案为一定值,于是不妨令 α ? 0? ,得结果为
3 2

.

问题5 如何做题严谨和规范
? 对解答题而言,严谨和规范是保证会做的 题目不失一分的重要保证.对选择题、填空 题而言是保证正确的重要保证. ? 关注细节,关注特殊性,决定严谨. ? 对照高考试题答案,练习答题规范.

例4 在△ABC中,角A、B、C所对的边分
别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,则
cos A ? cos C 1 ? cos A cos C ?
—————— 。

解:特殊化:令 a ? 3, b ? 4, c ? 5 , 则△ABC为直角三角形,cos A ? , cos C ? 0 ,
5 4

从而所求值为

4 5

.

选择题的解法
考题剖析
(2010·湖北黄冈地区考试3)如图,虚线部分是四个象限的角平

分线,实线部分是函数y=f(x)的部分图象,则f(x)可能是(
A.xsinx B.xcosx C.x2cosx D.x2sinx
[解析]图形关于y轴对称,则函数是 一



个偶函数,排除B、D答案,图形恒在直线
y=±x之间,即有|f(x)|≤x恒成立,则只有 答案A. [点评]由于函数图象是一个非常规图形, 难以直接求出函数表达式,于是根据图形的特征, 主要是对称性、单调性、定义域、值域和特殊点等来进行排除筛选.

[考题印证] (2009· 福建高考)(12分)袋中有大小、形状相同的红、黑球 各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.

(1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的
结果; (2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所 得总分为5的概率.

袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个, 现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.

【解】

(1)一共有8种不同的结果,列举如下:

(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、
黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、 (黑、黑、黑). ┄┄┄(5分)

(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A. 事件A包含的基本事件为:(红、红、黑)、(红、黑、红)、 (黑、红、红),事件A包含的基本事件数为3. 由(1)可知,基本事件总数为8,

所以事件A的概率为P(A)=

.┄┄┄┄┄┄(12分)

问题6 如何分配考试的时间
? 一场数学考试就如同一场马拉松赛跑,但 时间分配又不同于马拉松赛跑. ? 考场上各类题型的时间分配因人而异,有 多少考生就有多少套方案,就是同一考生 在两场不同的数学考试中也是不同的. ? 建议:3:1:5的方案,基本上就是40分钟 的选择题、13分钟的填空题、67分钟的解 答题.

问题7 如何看课本
? 高考命题以课本为本,课本题是高考试题的真正 “母题”,但理科8本书、文科7本书,上千页的 课本,时间有限,如何用好这个高考之本? ? 突出重点: ? 1.概念、公式、定理、符号、图形; ? 2.例题和复习题,特别是B组复习题! ? 建议:看着课本目录,回忆内容,回忆不起来的, 再看课本,这是最有效的记忆方法之一.一篇文章 你就是读上1000遍,如果不脱离文章,尝试背诵, 也是记不住这个文章的.
默写很重要!

问题8 如何安排复习时间
? 第一阶段:现在到5月15号,专题复习和练习、每周一次 模拟练习. ? 建议:不要图快,慢下来,要一步一个脚印,只要能在5 月15号前完成专题就行,可以把做模拟题和专题有机穿插. ? 第二阶段:5月16号到5月30号(考前20天) ? 建议:查漏补缺、强化知识系统、回扣练习、五套左右的 模拟,搞题题过关. ? 6月5号到6月6号:考前细节问题的准备,调整生物钟,每 两天下午3点到5点作一套数学题找到条件反射的感觉,调 整进入战场前的心态,一句话,坦然面对,勇往直前. ? 祝大家发挥潜质,考上如愿的大学!


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