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无山东省2014届高三文科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编5:数列


2014 届高三文科数学一轮复习之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 5:数列
一、选择题 1 .已知数列{ an }满足 log 3 an ? 1 ? log 3 an ?1 ( n ? N ) ,且 a2
*

? a4 ? a6 ? 9 ,则
1 D. 5

log 1 (a5 ? a7 ? a9 )
3

的值是 )



1 A. ? 5

B. ?5

C.5

2 . 若 正 项 数 列 {an } 满 足 1gan ?1

? 1 ? 1gan , 且 a2001+a2002+a2003+a2010=2013, 则 a2011+a2012+a2013+a2020 的 值 为
( )
11

A.2013·10

10

B.2013·10

C 2014·10



10

D 2014·10



11

3 .在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a3

2 ? 2 ? 1, as ? 2 ? 1, 则 a3 ? 2a2 a6 ? a3a7 ?





A.4
4 .已知函数

B.6

C.8

D. 8 ? 4 2 ( )

f ? n ? ? n 2 cos ? n? ? ,且 an ? f ? n ? ? f ? n ? 1? , 则 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? a100 ?
B.0 C.100 D.10200

A. ?100
5 .等差数列 {an } 中, a2

? a8 ? 4 ,则它的前 9 项和 S9 ?
B.18 C.36 D.72





A.9

6 .已知各项为正的等比数列 ?an ? 中, a4 与 a14 的等比数列中项为 2

2 ,则 2a7 ? a11 的最小值





A.16

B.8

C. 2 2
*

D.4

7 . 在 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {an} 中 , 对 任 意 m 、 n ? N 都 有 am+ n

= am · an 若 a6 = 36, 则 a9 等 于
( )

A.216

B.510

C.512

D.l024 ( )

8 .如果等差数列 ?an ?中, a5

? a6 ? a7 ? 15 ,那么 a3 ? a4 ? ... ? a9 等于
C.35 D.40

A.21

B.30

9 .已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 a13

? S13 ? 13,则a1 ?
D. ?11





A. ?14

B. ?13

C. ?12

10.两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且仅有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如表格所示,则

下列座位号码符合要求的是

( A.48,49 B.62,63 C.84,85
1



D.75,76

11. {an } 为等差数列, S n 为其前 n 项和,已知 a7

? 5,S7 ? 21 , 则 S10 ?
D. 28





A. 40

B. 35

C. 30

12. )已知在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ?

5 ,则该等比数列的公比为 4
D.8





A.

1 4

B.

1 2

C.2

13.已知等差数列 ?an ? 的公差为 d 不为 0,等比数列 ?bn ? 的公比 q 是小于 1 的正有理数,若 a1 ? d , b1 ? d ,
2



a1 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 的值可以是 b1 ? b2 ? b3
1 7
B.-

2

2

2





A.

1 7

C.

1 2

D. ?

1 2
( )

14.已知数列 ?an ? 为等差数例,其前 n 项的和为 Sn ,若 a3

? 6, S3 ? 12 ,则公差 d ?
D.

A.1

B.2

C.3
2

5 3
( )

15.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2n ? 1 , 则 a 3

?
D.14

A.-10

B.6

C.10

16.已知等差数列{ an }中, a7

?

?
4

,则 tan( a6 ? a7 ? a8 )等于





A. ?

3 3

B. ? 2

C.-1

D.1

17.已知等比数列{an}的公比 q=2,前 n 硕和为 Sn.若 S3=

7 ,则 S6 等于 2
D.





A.

31 2

B.

63 2

C.63

127 2
;.

二、填空题 18.设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, a1

? 2, a5 ? 3a3 ,则 S9 ? _____________
S4 ? ____________. a2

19.等比数列 {an } , q ? 2 ,前 n 项和为 S n,则

20.数列 {an } 满足 a1

? 3, an ? an an ?1 ? 1, An 表示 {an } 前 n 项之积,则 A2013 =_____________.

21.在如图所示的数阵中,第 9 行的第 2 个数为___________.

2

22.正项数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a2 ? 2, 2an ? an ?1 ? an ?1 n ? N , n ? 2 , 则a7 ? ______.
2 2 2 *

?

?

23.现有一根 n 节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为 10cm,最下面的三节长

度之和为 114cm,第 6 节的长度是首节与末节长度的等比中项,则 n=_____.
【答案】 16

设对应的数列为 {an } , 公差为 d , (d ? 0) . 由题意知 a1 ? 10 , an ? an ?1 ? an ? 2 ? 114 ,

a6 2 ? a1an . 由 an ? an ?1 ? an ? 2 ? 114 得 3an ?1 ? 114 , 解得 an ?1 ? 38 , 即 (a1 ? 5d ) 2 ? a1 (an ?1 ? d ) , 即

(10 ? 5d ) 2 ? 10(38 ? d ) , 解 得 d ? 2 , 所 以 an ?1 ? a1 ? (n ? 2)d ? 38 , 即 10 ? 2(n ? 2) ? 38 , 解 得

n ? 16 .
24.已知等差数列{ an }中, a3 ? a5 =32, a7

? a3 =8,则此数列的前 10 项和 S10 =____.

25.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 2,4, a3 成等比数列,则 S5 =_________. 26.已知等比数列{an}中, a6 ga7

? 1, a10 ga11 ? 16 ,则 a8 ga9 等于_______

27. 下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此规律,写出第 n 个图形中小正方形的个数是

___________.

【答案】

n(n ? 1) 【解析】 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 10 ,所以 a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 4 , ? 2 n(n ? 1) , 所以第 an ? an ?1 ? n , 等式两边同时累加得 an ? a1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , 即 an ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 n(n ? 1) n 个图形中小正方形的个数是 2

三、解答题 28.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S n

? 2an ? 2 .

(1)求数列{an}的通项公式; (2)记 S n ? 1ga1 ? 3ga2 ? L ? (2n ? 1)gan ,求 Sn
3

29.设数列 ?an ?为等差数列,且 a3

? 5, a5 ? 9 ;数列 ?bn ?的前 n 项和为 S n ,且 S n ? bn ? 2 .

(I)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (II)若 cn ?

an ?n ? N ? ? , Tn 为数列 ?cn ?的前 n 项和,求 Tn . bn
1 an ? 1( n ? N? ) 2

30.已知数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ,且 Sn ?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 1 (1 ? Sn ?1 )( n ? N? ) ,令 Tn ?
3

1 1 1 ,求 Tn . ? ?? b1b2 b2b3 bn bn ?1

31.已知点(1,2)是函数

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

f ( x) ? a x (a>0且a ? 1) 的图象上一点,数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? f (n) ? 1 .

(Ⅱ)将数列 ?an ? 前 2013 项中的第 3 项,第 6 项,,第 3k 项删去,求数列 ?an ? 前 2013 项中剩余项的和.
32.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且

4 S n ? an ? 1(n ? N ? ) .

(Ⅰ)求 a1 , a2 ;

(Ⅱ)设 bn ? log 3 | an | ,求数列 ?bn ? 的通项公式.
33 . 在等差数列 ?an ? 中 , a1

? 3 , 其前 n 项和为 S n , 等比数列 ?bn ? 的各项均为正数 , b1 ? 1 , 公比为 q , 且

b2 ? S 2 ? 12, q ?

S2 , 求an与bn ; b2

34.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若对于任意的正整数 n 都有 S n

? 2an ? 3n .

(I)设 bn ? an ? 3 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求出 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn.
35.

数列 {an } 是公差不小 0 的等差数列 a1、 a3,是函数 f ( x) ? 1n( x ? 6 x ? 6) 的零点,数列 {bn } 的前 n 项和
2

为 Tn ,且 Tn ? 1 ? 2bn (n ? N * ) (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)记 cn ? an bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn.
36.已知数列{an}的公差为 2 的等差数列,它的前 n 项和为 S n ,且 a1 + 1, a3 + 1, a2 +
4

1 成等比数列.

(I)求{an}的通项公式; (2) 记数列{

1 3 }的前n项Tn , 求证:Tn < . Sn 4

37.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a2

? 4 , a3 ? a4 ? 17 .

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2
an ? 2

,证明数列 ?bn ? 是等比数列并求其前 n 项和 Tn .

38.设{an}是正数组成的数列,a1=3.若点 an , an ?1 ? 2an ?1 (n ? N ) 在函数 f ( x) ?
2 *

?

?

1 3 x ? x 2 ? 2 的导函数 3

y ? f ?( x) 图像上.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn ?

2 ,是否存在最小的正数 M,使得对任意 n ? N * 都有 b1+b2++bn<M 成立?请说明理由. an ?1 ? an

39. (本小题满分 l2 分)

设数列{ an }满足:a1=5,an+1+4an=5,(n ? N*) (I)是否存在实数 t,使{an+t}是等比数列? (Ⅱ)设数列 bn=|an|,求{bn}的前 2013 项和 S2013.
40.已知等比数列 {an }的公比q

? 1, a1 a3 ? 6a2 , 且a1 , a2 ? 8 成等差数列.
n(n ? 1) , 求证 : bn ? 1. an

(1)求数列{an}的通项公式;(2)设 bn ?
?

3 ? (?1) n 41. 已知 n ? N ,数列 ?d n ?满足 d n ? ,数列 ?a n ? 满足 an ? d1 ? d 2 ? d3 ? ??? ? d 2 n ;数列 ?bn ? 为公 2
比大于 1 的等比数列,且 b2 , b4 为方程 x 2 ? 20 x ? 64 ? 0 的两个不相等的实根. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 和数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)将数列 ?bn ?中的第 .a1 项,第 .a2 项,第 .a3 项,,第 .an 项,删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数 列 ?c n ?,求数列 ?c n ? 的前 2013 项和.
42.

已知数列 ?an ? 的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数 a1 , a2 , a4 , a7 , ??? 构成等差 数列 ?bn ? , S n 是 ?bn ? 的前 n 项和,且 b1 ? a1 ? 1, S5 ? 15 ( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公比相等, 已知 a9 ? 16 ,求 a50 的值;
5

(Ⅱ)设 Tn ?

1 1 1 ,求 Tn . ? ? ??? ? S n ?1 S n ? 2 S2 n

43.等差数列 {an } 中, a2

? a3 ? a4 ? 15, a5 ? 9 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 3
a n ?1 2

,求数列 {

an ? 1 , bn } 的前 n 项和 S n 2

44.某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会

逐年增加,第一年的维护费用是 4 万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加 2 万元,从第 八年开始,每年的维护费用比上年增加 25% (I)设第 n 年该生产线的维护费用为 an ,求 an 的表达式; (Ⅱ)设该生产线前 n 年维护费为 S n ,求 S n .
45.已知数列 ?an ? , a1

? ?5 , a2 ? ?2 ,记 A(n) ? a1 ? a2 ? ? ? an , B(n) ? a2 ? a3

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

? ? ? an ?1 , C (n) ? a3 ? a4 ? ? +an ? 2 ( n ? N * ),若对于任意 n ? N * , A(n) , B(n) , C (n) 成等差数列.

(Ⅱ) 求数列 ?| an |? 的前 n 项和.
46.已知 {an } 是公比大于 1 的等经数列, a1 , a3 是函数 f ( x) ? x ?

9 ? 10 的两个零点 x

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {an } 满足 bn ? 1og3 ? n ? 2, 且b1 ? b2 ? b3 ?? ? bn ? 80 ,求 n 的最小值.
47正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a4

? 16 ,且 a2 , a3 的等差中项为 S 2 .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

n a2 n ?1

,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
n ?1

48.等比数列 ?cn ? 满足 cn?1 ? cn ? 10 ? 4 ....

? n ? N ? , 数列?a ? 的前 n 项和为 S
* n

n

,且 an ? log 2 cn .

(I)求 an , S n ;
6

(II) 数 列 ?bn ? 满足bn ?

1 4Sn ? 1

, Tn为数列?bn ? 的 前 n 项 和 , 是 否 存 在 正 整 数 m, ? m ? 1? , 使得

T1 , Tm , T6 m 成等比数列?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由.
49. 已知等比数列{ an }的首项为 l,公比 q≠1, S n 为其前 n 项和,al,a2,a3 分别为某等差数列的第一、 第二、

第四项. (I)求 an 和 S n ; (Ⅱ)设 bn ? log 2 an ?1 ,数列{

3 1 }的前 n 项和为 Tn,求证: Tn ? . 4 bnbn ? 2

50. 在等差数列 {an } 中,a1 =3,其前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1 =1,公比为 q,且 b2 +S2 =12,

q=

S2 . b2

(1)求 an 与 bn; (2)设数列{Cn}满足 cn=
【 51. 已知等差数列 ?a n ? 的首项 a1 =1,公差 d>0,且第 2 项、 第 5 项、 第 14 项分别为等比数列 ?bn ? 的第 2 项、

1 ,求{ cn }的前 n 项和 Tn. Sn

第 3 项、第 4 项. (1)求数列 ?a n ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列{ cn }对 n ? N ? 均有

c1 b1

+

c2 cn ++ = an ?1 成立,求 c1 + c2 c3 ++ c2012 . b2 bn

52.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a4 ? a1 ? 9, a5 , a3 , a4 成等差数列.

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)证明:对任意 R ? N ? , S k ? 2 , S k , S k ?1 成等差数列.

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