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2010年山东高考文科数学试题及答案


绝密★启用前

试卷类型:B

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
第 I 卷(共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 (1) 已知全集 U ? R ,集合 M ? x x ? 4 ? 0 ,则 C U M =
2

?

?

A.

?x

? 2 ? x ? 2?

B.

?x

? 2 ? x ? 2? x ? ? 2 或 x ? 2?

C. ? x x ? ? 2 或 x ? 2 ? D. (2)已知 A. ? 1
a ? 2i i

?x

? b ? i ? a , b ? R ? ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ?

B. 1
x

C. 2

D.

3

(3)函数 f ? x ? ? log 2 ? 3 ? 1 ? 的值域为 A.

? 0, ? ? ?

B.

? 0, ? ? ? ?

C.

? 1, ? ? ?

D. ?1, ? ? ? ?

(4)在空间,下列命题正确的是 A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 (5) f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时,f ( x ) ? 2 ? 2 x ? b( b 为常数)则 f ( ? 1) ? 设 当 ,
x

(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 (6)在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下: 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 (A)92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8 (7)设 ? a n ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a 2 ”是“数列 ? a n ? 是递增数列”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件)的幻术关系式为
y ? ? 1 3 x ? 8 1 x ? 2 3 4 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
3

(A)13 万件 (C) 9 万件
2

(B)11 万件 (D)7 万件

(9)已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A 、 B 两点,若

线段 A B 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 (A) x ? 1 (B) x ? ? 1 (C) x ? 2 (D) x ? ? 2 (10)观察 ( x ) ? 2 x , ( x ) ? 4 x , (cos x ) ? ? sin x ,由归纳推理可得:若定义在 R 上的
2 ' 4 ' 3 '

函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ) ,记 g ( x ) 为 f ( x ) 的导函数,则 g ( ? x ) = (A) f ( x )
x

(B) ? f ( x )
2

(C) g ( x )

(D) ? g ( x )

(11)函数 y ? 2 ? x 的图像大致是

(12)定义平面向量之间的一种运算“ ? ”如下:对任意的 a ? ( m , n ) , b ? ( p , q ) ,令
a ? b ? m q ? n p ,下面说法错误的是

(A)若 a 与 b 共线,则 a ? b ? 0 (B) a ? b ? b ? a (C)对任意的 ? ? R ,有 ( ? a ) ? b ? ? ( a ? b ) (D) ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? | a | | b |
2 2 2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
(13)执行右图所示的程序框图,若输入 n ? m ? 2 x ? 4 ,则输出 y 的值为 .

(14)已知 x , y ? R ? ,且满足

x 3

?

y 4

? 1 ,则 xy 的最大值为

.
2 ,b ? 2 , sin B ? cos B ? 2,

(15) 在 ? A B C 中, A, C 所对的边分别为 a, c, a ? 角 B, b, 若

则角 A 的大小为 . (16) 已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l: y ? x ? 1 被该圆所截得的弦 长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.
(17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin(? ? ? x ) cos ? x ? cos 2 ? x ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? , (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x ) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的
? ?

1 2

,纵坐标不变,得到函

数 y ? g ( x ) 的图像,求函数 y ? g ( x ) 在区间 ? 0,

上的最小值. 16 ? ?

? ?

(18) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ? a n ? 满足: a 3 ? 7 , a 5 ? a 7 ? 2 6 . ? a n ? 的前 n 项和为 S n .

(Ⅰ)求 a n 及 S n ; (Ⅱ)令 b n ?
1 an ? 1
2

( n ? N ? ),求数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n .

(19) (本小题满分 12 分) 一个袋中装有四个现状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机 取一个球,该球的编号为 n,求 n ? m ? 2 的概率. (20) (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 A B C D 是正方形, M A ? 平面 A B C D , P D // M A , E 、 G 、 F 分别为 M B 、 P B 、 P C 的中点,且 A D ? P D ? 2 M A . (I)求证:平面 E F G ? 平面 P D C ; (II)求三棱锥 P ? M A B 与四棱锥 P ? A B C D 的体积 之比.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? a x ?
1? a x ? 1( a ? R )

(I)当 a ? ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2 )) 处的切线方程; (II)当 a ?
1 2

时,讨论 f ( x ) 的单调性.

(22) (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆
x a
2 2
2 2

?

y b
2 2

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 过点.

(1,

) ,离心率为

,左、右焦点分别为 F1 、

F2 .点 P 为直线 l : x ? y ? 2 上且不在 x 轴上的任意

一点,直线 P F1 和 P F 2 与椭圆的交点分别为 A 、 B 和 C 、 D , O 为坐标原点. (I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 P F1 、 P F 2 的斜线分别为 k 1 、 k 2 .

(i)证明:

1 k1

?

3 k2

? 2;

(ii)问直线 l 上是否存在点 P ,使得直线 O A 、 O B 、 O C 、 O D 的斜线 k O A 、 k O B 、
k O C 、 k O D 满足 k O A ? k O B ? k O C ? k O D ? 0 ?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;若不

存在,说明理由.


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