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江苏2013-2014高三数学期中模拟试卷


江苏省中学 2013—2014 学年度第一学期
高三数学期中模拟试卷
班级 姓名 学号 成绩

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填在相应的横线上.) 1.

1? i ? _________ 1? i

(i 是虚数单位)

2.命题: “若|x|>1,则 x>1 或者 x<-1”的否命题是_____________
2 3.已知集合 M ? ?a,0? , N ? x 2 x ? 3x ? 0, x ? Z ,如果 M ? N ? ? ,则 a ?

?

?



4.已知 ? ? ( ?

?
2

,0) , cos ? ?

3 ? ,则 tan( ? ? ) ? 5 4



5.若 x ? 2 ,则 x ?

1 的最小值为 x?2



x2 y2 6.已知椭圆的标准方程为 + 2=1(m>0),并且焦距为 6,求实数 m 的值为________. 25 m

7.已知: l1 : mx ? y ? 1 ? 0 , l 2 x ? my ? m ? 0 ,若 l1 // l 2 ,则 m 的值为___________
2

8.已知正方形 ABCD 的边长为 1,若点 E 是 AB 边上的动 点,则 DE ? DC 的最大值



.

? x ≥ 0, ? 9.已知实数 x,y 满足不等式组 ? y ≥ 0, ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? x ? 2 y≤6, ? ? 3x ? y≤12 ?
10.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?



?
2

)的

部分图像如图所示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 单位后,得到的图像解析式为____ ____.

? 个 6

11.已知复数 z 满足等式 | z ? 3i | ? | z ? 3i |? 10 ,则复数 z 在复平面上的轨迹方程是 ____________(i 为虚数单位)

12.已知 P 是直线 l: kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,PA,PB 是圆 C: x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线,切点分别为 A,B.若四边形 PACB 的最小面积为 2,则 k= .

13.已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ?

?
6

)(? ? 0) 和 g ( x) ? 2cos(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 的图象的


对称轴完全相同,则 g ( ) 的值是

? 3

14.简化“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示,内外两圈的钢骨架 是离心率相同的椭圆,外层椭圆顶点向内层椭圆引切线 AC, x2 y2 BD.设内层椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),则外层椭圆方程可 a b x2 y2 设为 + =1(a>b>0,m>1).若 AC 与 BD 的斜率之 ?ma?2 ?mb?2 9 积为- ,则椭圆的离心率为________. 16

江苏省中学 2013—2014 学年度第一学期
高三数学期中模拟试卷

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请将答案填在相应的横线上) 1、 4、 7、 10、 13、 ; ; ; ; ; 2、 5、 8、 11、 14、 ; 3、 ; 6、 ; 9、 ; . 12、 ; ; ; ;

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分。第 15、16、17 题各 14 分,第 18、19、20 题各 16 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知 A(0,6),B(8,0),O(0,0),求 ?ABO 外接圆方程和内切圆方程。

16.如图,在△ABC中,∠ABC=90° ,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90° C 1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA 2 P A B

17.知 a ? R ,函数

f ( x) ? 2 x3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 6ax

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y (Ⅱ)若 | a |? 1 ,求

? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程.

f ( x ) 在闭区间 [0,2 | a |] 上的最小值.

18.如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线 l1 排, 在路南侧沿直线 l2 排,现要在矩形区域 ABCD 内沿直线将 l1 与 l2 接通.已知 AB=60m, BC=80m, 公路两侧排管费用为每米 1 万元, 穿过公路的 EF 部分的排管费用为每米 2 万元, 设 EF 与 AB 所成的小于 90? 的角为 ? . (Ⅰ) 求矩形区域 ABCD 内的排管费用 W 关于 ? 的函数关系式; (Ⅱ)求排管的最小费用及相应的角 ? .
B F C l2 l1 A E D

公路

公路

19.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(0,3) ,直线

l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1, 圆心在 l 上.
(1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,

求切线方程; (2)若动点 M 使得 MA ? 2MO ,求动点 M 的 轨迹方程 (3)圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求 圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

20. 椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,a ?b ? 3. 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)如图, A, B, D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点,直线 DP 交 x 轴 于点 N,直线 AD 交 BP 于点 M。设 BP 的斜率为 k ,MN 的斜率为 m .证明: 2m ? k 为定值。

江苏省中学 2013—2014 学年度第一学期
高三数学期中模拟试卷

附加题部分
班级 姓名 学号 评价

21.选修 4—2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) ?2 0? ?1 ?1? ?1 已知矩阵 A = ? ? ,B = ? 2 5 ? ,求矩阵 A B . ? ? ?0 1 ?

22. 求 ( x ?
2

1 6 ) 展开式中的常数项. x

23 . 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , ?BAC ? 90o ,

A1 B1

C1 F

1 AB=AC=a,AA1 ? b , E, 分别在棱 BB1 , 1 上, BE ? BB1 , 点 F 且 CC 3 1 b C1F ? CC1 .设 ? ? . 3 a
(1)当 ? =3 时,求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小; (2)当平面 AEF ⊥平面 A1 EF 时,求 ? 的值. A B E

C

(第 23 题图)

24.一个袋中装有黑球,白球和红球共 n( n ? N* )个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋 中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是

2 .现从袋中任意摸出 2 个球. 5 4 ,设 ? 表示摸出的 2 个球 7

(1)若 n=15,且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 中红球的个数,求随机变量 ? 的概率分布及数学期望 E? ;

(2)当 n 取何值时,摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大,最大概率为多少?

周练 7 答案
1. 1 5. 4 2.若|x|≤1,则 x≤1 且 x≥-1 6.4 或 34 10. y ? sin( 2 x ? 14.
2 2 2 2

3.1 7.-1

4. ?

1 7

8. 1

42 5 13. ?2
9.

?
6

)

11.

y x ? ?1 25 16

2

2

12.2

15.(1) ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25 (2) ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4

16. ( 1 ) 因 为 PB ?

1 0 0 , 所 以 ?CBP ? 60 , 所 以 ?PBA ? 30 , 由 余 弦 定 理 得 : 2

PA ? PB 2 ? BA2 ? 2PB?BA? ?PBA ? cos

7 ; 2

(2)设 ?PBA ? ? ,由已知得 PB ? sin ? ,由正弦定理得

3 sin ? ,化 ? 0 sin150 sin(300 ? ? )

简得 3 cos ? ? 4sin ? ,故 tan ? ?

3 . 4

17.(Ⅰ)当 a

? 1时, f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? 6 x ? f (2) ? 16 ? 24 ? 12 ? 4 ,所以

f ?( x) ? 6 x 2 ? 12 x ? 6 ? f ?(2) ? 24 ? 24 ? 6 ? 6 ,所以 y ? f ( x) 在 (2, f (2))
处的切线方程是: y ? 4 ? 6( x ? 2) ? 6 x ? (Ⅱ) 因为

y ?8 ? 0.

f ?( x) ? 6 x 2 ? 6(a ? 1) x ? 6a ? 6[ x 2 ? (a ? 1) x ? a ] ? 6( x ? 1)( x ? a )

①当 a<-1 时最小值是 3a-1 ② 当 1 ? a ? 3 时最小值是 0 ③当 a>3 时最小值为 3a ? a
2 3

18. (本小题满分 16 分)

解: (Ⅰ)如图,过 E 作 EM ? BC ,垂足为 M,由题意得 ?MEF ? ? (0≤tan ? ≤ ) , 故有 MF ? 60 tan ? , EF ? 分

4 3

60 , AE ? FC ? 80 ? 60 tan ? .??????? 4 cos ?

60 ?2 ? 5 分 cos ? l sin ? 1 ? 80 ? 60 ? 120 公路 cos ? cos ? sin ? ? 2 ? 80 ? 60 . ???? 8 分 cos ? sin ? ? 2 ? 4 (Ⅱ)设 f (? ) ? (其中 0≤? ≤? 0 ? , tan ? 0 ? ) , cos ? 2 3 cos ? cos ? ? (? sin ? )(sin ? ? 2) 1 ? 2sin ? ? 则 f ?(? ) ? . cos 2 ? cos 2 ?
所以 W ? (80 ? 60 tan ? ) ?1 ?
1

A

E

D

公路

B

M

F

C

l2

??????? 10

分 令 f ?(? ) ? 0 得 1 ? 2sin ? ? 0 ,即 sin ? ? 分 列表

1 ? ,得 ? ? . 2 6

??????? 11

?
f ?(? ) f (? )
所以当 ? ? 分

(0, ) 6
+ 单调递增

?

? 6
0 极大值

( ,?0 ) 6
单调递减

?

?
6

时有 f (? )max ? ? 3 ,此时有 Wmin ? 80 ? 60 3 .??????? 15

答:排管的最小费用为 80 ? 60 3 万元,相应的角 ? ? 分

?
6



??????? 16

19.(1)由题意,圆心 C 是直线 y ? 2 x ? 4 和 y ? x ? 1 的交点,解得点 C (3, 2) ,于是切 线的斜率必存在,设过 A(0,3) 的圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,由题意, 解得 k ? 0 或 ?

| 3k ? 1| k 2 ?1

?1,

3 , 4

故所求切线方程为 y ? 3 或 3x ? 4 y ? 12 ? 0 . (2)∵圆心在直线 y ? 2 x ? 4 上,∴圆 C 的方程为 ( x ? a) ? [ y ? 2(a ? 2)] ? 1 ,
2 2

设 M ( x, y ) , ∵ M A? 2 M O ∴ ,

2 x 2 ? ( y ? 3 ) ? 2 x 2 ? y 2, 化 简 整 理 得

x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 ,
(3)M 的轨迹是以 D(0, ?1) 为圆心,2 为半径的圆,由题意, M ( x, y ) 在圆 C 上, ∴圆 C 与圆 D 有公共点,则 | 2 ? 1|? CD ? 2 ? 1 ,即 1 ?

a 2 ? (2a ? 3) 2 ? 3 ,

由 5a 2 ? 12a ? 8 ? 0 得 a ? R ,由 5a 2 ? 12a ? 0 ,得 0 ? a ? 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围是 [0,

12 , 5

12 ]. 5

20. (1) e ? ?

x 3 b2 2 ? ? = 1 ? 2 ,? a 2 ? 4b2 , a ? 2b, , a ? b ? 3, b ? 1, a ? 2,? ? y ? 1. 4 2 a

2

(2)由(1)知 A(-2,0),B(2,0),D(0,1),则直线 AD 方程为: x ? 2 y ? 2 ? 0 ;
4k ? 2 ? x? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 4k ? 2 4k ? 2k ? 1 直线 BP 方程: y ? k ( x ? 2) ,联立得 ? ,? ? ,? M ( , ). 直线 2k ? 1 2k ? 1 ? y ? k ( x ? 2) ? y ? 4k ? 2k ? 1 ?

BP y ? k ( x ? 2) 和椭圆联立方程组解得 P 点坐标为 P( (x,0),P 三点共线,所以有:

8k 2 ? 2 4k , ? 2 ) ,因为 D,N 2 4k ? 1 4k ? 1

4k 4k ?1 ?0 2 4k (2k ? 1) 2k ? 1 4k ? 1 ? 0 ? 1 ,? MN的斜率m ? 2k ? 1 ? ? . 2 4k ? 2 4k ? 2 2(2k ? 1)2 ? 2(2k ? 1) 2 8k ? 2 x?0 4 ? 2k ? 1 2 k ? 1 4k 2 ? 1 2k ? 1 1 ? 2m ? k ? ? k ? (定值). 2 2 ?
21

?a 解 : 设 矩 阵 A 的 逆 矩 阵 为 ? ?c ? 2a 2b ? ?1 0 ? ? c d ? = ?0 1 ? , ? ? ? ?

b? ?2 0? ?a b ? ?1 0 ? ? , 则 ?0 1 ? ? c d ? = ?0 1 ? , d? ? ? ? ? ? ?

故a ?

0 1 , b ? 0, c ? 0, d ? 1 ,从而 A 的逆矩阵为 A ?1 = ? 2 ? . ? ? 2 0 1 ? ?

?1

?

1? ? ?1 0 ? ?1 ?1? ? ? ? = 2 2 . ? ?2 5 ? ? ? ? 2 5 ? 1? ? ? 12﹣2r ﹣r 22.展开式的通项公式为 Tr+1= ?x ?x =
?1 A B =?2 ? ?0
?1

?x =

12﹣3r



令 12﹣3r=0,r=4,故该展开式中的常数项为

=15.

23.解:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz .

z C 1 B1 F

(1)设 a=1,则 AB=AC=1, AA1 ? 3,各点的坐标为 A1 A(0,0,0) , E (1,0,1) , A1 (0,0,3) , F (0,1, 2) . ??? ? ???? ? AE ? (1,0,1) , A1F ? (0,1, ?1) .????2 分 ??? ???? ? ? ??? ? ???? ? ∵ AE ? A1 F ? 2 , AE ? A1 F ? ?1 , ??? ???? ? ? ?? ??? ? AE ? A1 F ?1 1 ∴ cos AE , A1F ? ??? ???? ? ?? . ? ? 2 2? 2 AE A1 F A ??? ? ???? ? ∴向量 AE 和 A1 F 所成的角为 120o ,

E C y

B ∴异面直线 AE 与 A1 F 所成角为 600 .?4 分 x b 2b (2)∵ E (a,0, ) , F (0, a, ) , 3 3 ??? ? ? b ??? 2b ∴ AE ? (a,0, ), AF ? (0, a, ) . 3 3 设平面 AEF 的法向量为 n1 ( x, y, z ) , (第 22 题图) ??? ? ??? ? 则 n1 ? AE ? 0 ,且 n1 ? AF ? 0 . bz 2bz 即 ax ? ? 0 ,且 ay ? ?0. 3 3 b 2b 令 z ? 1 ,则 x ? ? , y ? ? . 3a 3a b 2b ? 2? ∴ n1 ? (? , ? ,1) = (? , ? ,1) 是平面 AEF 的一个法向量. ???6 分 3a 3a 3 3 2b b 2? ? 同理, n2 ? ( , ,1) = ( , ,1) 是平面 A1 EF 的一个法向量. ???8 分 3a 3a 3 3 ∵平面 AEF ⊥平面 A1 EF , ∴ n1 ? n2 ? 0 .∴ ? 解得, ? ?

2? 2 2? 2 ? ?1 ? 0 . 9 9

3 . 2

∴当平面 AEF ⊥平面 A1 EF 时, ? ?

3 . 2

?????????10 分

24.解: (1)设袋中黑球的个数为 x (个),记“从袋中任意摸出一个球,得到黑球”为 事件 A,则 P( A) ? ∴x?6.

x 2 ? . 15 5
???????????????????1 分

设袋中白球的个数为 y (个),记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球” 为事件 B,则 P( B) ? 1 ? ∴ y 2 ? 29 y ? 120 ? 0 ,
2 C15? y

C

2 15

?

4 , 7

∴ y ? 5 或 y ? 24 (舍).

∴红球的个数为 15 ? 6 ? 5 ? 4 (个). ?????????????3 分 ∴随机变量 ? 的取值为 0,1,2,分布列是

?

0

1

2

P

11 21

44 105

2 35
????6 分

? 的数学期望 E? ?

11 44 2 56 . ?0? ?1 ? ? 2 ? 21 105 35 105

2 (2)设袋中有黑球 z 个,则 z ? n(n ? 5,10,15, ?) . 5
设“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个黑球”为事件 C, 2 C3 n 16 6 1 ? ? 则 P(C ) ? 1 ? 52 ? , ?????????????8 分 Cn 25 25 n ? 1 当 n ? 5 时, P (C ) 最大,最大值为

7 .?????????????10 分 10


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