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三角函数在实际生活中的应用


第三章 三角函数在实际生活中的应用
三角学的发展,由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久,在古代,由于古 代天文学的需要,为了计算某些天体的运行行程问题,需要解一些球面三角形, 在解球面三角形时, 往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形,这些问题 的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学; 虽然古代球面三角学的 发展早于古代平面三角学,但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。 三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。 它们本质上是任意角 的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性,所以并 不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用,在物理学中 也是常用的工具。 由于三角函数的周期性, 它并不具有单值函数意义上的反函数。 三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。 在实际生活中, 有许多周期现象可以用三角函数来模拟, 如物理中简谐振动、 交流电中的电流、 潮汐等, 都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决 有关问题; 很多最值问题都可以转化为三角函数来解决, 如天气预报、 建筑设计、 航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问 题应用极广、渗透能力很强。

停车场设计问题

1

如图 ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮,其中 ATPN 是一半径为 90m 的扇形小山,P 是弧 TN 上一点,其 余部分都是平地,现一开发商想在平地上建造一个有边 落在 BC与CD 上的长方形停车场 PQCR ,求长方形停车 场 PQCR 面积的最大值和最小值。 分析:矩形 PQCR 的面积显然跟 P 的位置有关,连 延长 RP交AB于M . 若直接设 RP的长度为x , PM ? 100-x ,在 Rt? APM 中, 则 AP ,
AM ? 902 ? (100 ? x) 2 PQ ? MB ? 100- 902 ? (100 ? x) 2

, 从 而 得



S ? 100- 902 ? (100 ? x) 2 ) ( ·x,虽然可以得出函数关系,但是求解面积的最值

比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。 解 : 如 上 添 加 辅 助 线 , 设 ?PAB ? ? 00 ? ? ? 900) , 则 ( , AM ? 9 0 ? o s, c PM ? 90sin ?, RP ? RM-PM ? 100 ? 90sin ? PQ ? MB ? 100-90cos ?, ? S ? PQ· ? 100-90cos?) PR ( ( -90sin ?) 100
? 10000-9000 sin ? ? cos?)?8100 sin ? cos? . 设 sin ? ? cos ? ? t (1 ? t ? 2) ,则 (
sin? cos ? ? t 2 ?1 10 2 10 。 代入化简得 S ? t- ) ? 950. 故当 t ? 时,S min ? 950 ? m 2 ? ; ( 2 9 9

当 t ? 2 时, Smax ? 14050-9000 2 (m2)

通讯电缆铺设问题

如图,一条河宽 km,两岸各有一座城市
A和B,A与B 的直线距离是 4km, 今需铺设一条电
A θ
2

缆连 A 与 B ,已知地下电缆的修建费是 2 万元

C

D

B

/km,水下电缆的修建费是 4 万元/km,假定河岸是平行的直线(没有弯曲) ,问 应如何铺设方可使总施工费用达到最少? 分析:设电缆为 AD ? DB 时费用最少,因为河宽 AC 为定值,为了表示

AD和BD 的长,不妨设 ?CAD ? ? .
解:设 ?CAD ? ? 0 ? ? ? 900) ,则 AD ? sec? , CB ?, BD ?-tan ? , ( ∴总费用为
y ? 4 sec ?-2 tan ? ? 2 15 =

4 ? 2 sin ? ?2 15 cos?

4 ? 2sin ? 的最小值及相应的θ 值, cos ? sin ? ? 2 而 u ? -2 ? 表示点 P 0, 与点 Q cos ? ,sin ?) ( ( 2) cos ? 1 斜率的-2 倍 0 ? ? ? 900) ,有图可得 Q 在 单位圆周上运动,当直线 PQ 与圆弧 ( 4 ? 切于点 Q 时,u 取到最小值。此时 K PQ ? ? 3 ,∴ umin ? 2 3 , ? ? 。 即水下 6

问题转化为求 u ?

电缆应从距 B 城( 15 - 2 3 +2 15 (万元) 。

3 )km 处向 A 城铺设,图三因此此时总费用达最小值 3

注:本题在求 u 的最小值时,除了利用数结合的方法外,还可以利用三角函 数的有界性等方法。 探索与思考: 1. 你能用其他方法解决上述两个实际问题吗? 2. 通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大,从而体会学习数学的意义了吗?

食品包装问题

3

某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场, 决定对一种半径为 1 的糖果的外层包 装进行设计。设计时要求同时满足如下条件: (1)外包装要呈一封闭的圆锥形状; (2)为减少包装成本,要求所用材料最省; (3) 为了方便携带, 包装后每个糖果的体积最小。 问: 这些条件能同时满足吗? 如果能, 如何设计这个圆锥的底面半径和高?此时所用的外包装用料是多少?体 积是多少?若不能,请说明理由。 分析:要求该圆锥的全面积和体积,需要知道它的下底面 半径 AC、母线 PA 及高 PC,这些变量之间的关系可以通过一个 “角”把它们联系起来。 解 : 如 图 , 设 ?OAC ? ? , 则 OC ? 1 , 下 底 面 半 径 A B R ? C ,高 h ? R tan 2 ,? ? 0 ) AC ? R ? cot ? ,母线长 l ? ? (, . cos 2? 4 R 1 ?1) ? ? cot 2 ? 则 S全 ? ? Rl ? ? R 2 ? ? R( ? R) ? ? R 2 ( cos 2? cos 2? 1 2? ( +1)= ; 2 2 1 ? tan ? tan ? ? (1 ? tan 2 ? ) 1 ? tan 2 ? 1 1 2tg? 1 1 1 ? R3tg 2? ? = ? ctg 3? V? ? R2h ? ? R 2 · 2? ? Rtg 2 3 3 1 ? tg ? 3 3 3
O P

?

2 tg ? (1 ? tg 2? )
2

∴当且仅当 tg 2? ? 1-tg 2? ,即 tg? ?

2 时,能使 S全 和 v 同时取到最小值,此时 2

即当圆锥的下底面半径和高分别为 2 、2 时能同时满足条件, R ? 2 , h ? 2,

4

8 外包装用料是 8? ,体积是 ? 。 3

营救区域规划问题
如图,在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口 A,一机艇以 60km/h 的速度 从 A 出发,30 分钟后因故障而停在湖里,已知机艇出发后先按直线前进,以后 又改成正东,但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救,用图示表示营救 的区域。 分析:1.要表示出一个区域,一般可在直角坐标系中表示,所以应首先建立 直角坐标系;2.题中涉及到方向问题,所以不妨用方向角θ 作为变量来求解。 解:以 A 为原点,过 A 的南北方向直线为 y 轴建立直角坐标系,如图:设机 艇的最初航向的方位角为θ ,设 OP 方向前进 m 到达点 P,然后向东前进 n 到达 点 Q 发生故障而抛锚。 m ? n ? 30 ,令点 Q 的坐标为 x, y) 则 , (
? x ? m sin ? ? n 则? ? y ? m cos?

? ? ? [0, ].
2


2 AQ ? x 2 ? y 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn sin ? ? m 2 ? n 2 ? 2mn ? m ? n) ? 900 ( 2

∵机艇中途东拐,∴ x 2 ? y 2 ? 900. ????① 又
m sin(? ?


) ? n ? m ? n ? 30, 4 ? x ? y ? 30????②

x? ? (

?? y

? s? ?

m i

n

n

c

?

满足不等式组①和②的点 Q x, y) 所在的区域,按对称性知上图阴影区域所示。 ( 探索与思考: 1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗? 2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大,从而体会学习数学的意 义了吗?

5

足球射门问题

在训练课上,教练问左前锋,若你得球后,沿平行于边线 GC 的直线 EF 助 攻到前场(如图,设球门宽 AB ? a 米,球门柱 B 到 FE 的距离 BF ? b 米) ,那么 你推进到距底线 CD 多少米时,为射门的最佳位置?(即射门角 ?APB 最大时为 射门的最佳位置)?请你帮助左前锋回答上述问题。 D 分析: 本题中要求射门的最佳位置, 题目中已对 A 题意进行了明确,即只要当射门角最大时为最佳位 B 置。所以设角后“求解角”的过程是本题的关键。 若直接在非特殊 ? APB 中利用边来求 ?APB 的 可应用直角三角形的性质求解。
( 解 : 如 图 , 设 FP ? x,?APB ? ?,?BPF ? ? ?、? 为锐角) , 则?APF ? ? ? ?,tg (? ? ? ) ?
tg? ? tg[(? ? ? )-? ] ?
F C

P

E G

最值,显得比较繁琐,注意到 ?APB ? ?APF-?BPF ,而后两者都在 Rt? 中,故

a?b x

,

tg ? ?

b x

,

tg (? ? ? ) ? tg ? = 1 ? tg (? ? ? ) ? tg ?

a ( a ? b) ? b 。若令 y ? x ? , ( a ? b) ? b x x? x

则 y ? 2 x?

( a ? b) ? b ( a ? b) ? b = 2 ( a ? b) ? b , x ? 当 ,即 x ? (a ? b) ? b 时, y 取到 x x

最 小 值 2 (a ? b) ? b , 从 而 可 知 x ? (a ? b) ? b 时 , tg? 取 得 最 大 值 , 即
tg? ? a 时, ? 有最大值。故当 P 点距底线 CD 为 (a ? b) ? b 米时,为 2 ( ? b ?b a )

6

射门的最佳位置。 依图像知, 在白天的 9—15 时这个时间段可供冲浪爱好者进行 冲浪运动。 点评:本例一开始也可直接建立余弦函数模型 y ? A cos?t ? k 。另外,模拟 汉书中的少数点有误差是允许的。

最值问题
三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数 中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。因此, 三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、 图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算 等众多知识。这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。? 如图, ABCD是一块边长为 m的正方形地皮 , 其中 100

AST 是一半径为 AT ? 90m 的扇形小山,其余部分都是平
地。一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一 个顶点 P 在弧 ST 上,相邻两边 CQ,CR 落在正方形的边
BC,CD 上,求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小

值。 解:设 ?PAB ? ? , (0 0 ? ? ? 90 0 ) ,延长 RP交AB于M , 易得 PQ ? MB ? AB ? AM ? 100 ? 90cos? , RP ? RM — PM ? 100 ? 90sin ? , 从而 S 矩形PQCR ? (100 ? 90 cos? )(100 ? 90 sin? ) ? 10000 ? 9000 (sin ? ? cos? ) ? 8100 sin? cos? 令 t ? sin? ? cos? , (1 ? t ? 2 ) ,
2 10 10 则 S 矩形PQCR ? 10000 ? 9000 t ? 8100 ? t ? 1 ? 4050 (t ? ) 2 ? 950 , 故当 t ? 时,S 矩形 PQCR 9 9 2

有最小值 950m 2 ;当 t ? 2 时, S 矩形 PQCR 有最大值 (14050 ? 9000 2 )m 2 [思维点拔]引进变量 ? 建立面积函数后,问题转化为求解三角函数的最值问题. 一条河宽 1km,两岸各有一座城镇 A 和 B,A与B 的直线距离是 4km,仅需在 已知地下电缆的修建费是 2 万元/km,水下电缆的修建费 A、B 间铺设一条电缆。 是 2 万元/km。假设河的两岸呈平行线状,那么如何铺设电缆方可使总是费用达 到最少?

7

A

C

D

B

图九

解:如图所示,设过 A 点作对岸的垂线,垂足为 C ,若从 A 到 C再到B 的线路铺设 电缆,虽然 AC 最短,但陆上线路 BC 太长并不合算。 设在 BC 之间取一点 D, CD ? x ? km? , ?CAD ? ? , 则 x ? tan ? ,依题意知总施 工费用 y(万元)的函数关系式为

y ? 4 1 ? x 2 ? 2( 15 ? x) ? 4 1 ? tan 2 ? ? 2( 15 ? tan ? ), (0 ? tan ? ? 15 )
?y?4 cos2 ? ? sin 2 ? sin ? ? 2( 15 ? ) 2 cos? cos ? 4 ? 2 sin ? 2 ? sin ? ? ? 2 15 ? 2( ? 15 ), cos? cos?

令u ?

2 ? sin ? ,则 sin? ? u cos? ? 2 cos?

有 sin( ? ? ? ) ?
| sin(? ? ? ) |? 1即 2

2 u2 ?1
? 1,解得u ? 3

(1)

u2 ?1

当u ? 3时,则 tan ? ? 3 , ? ? 由1 ( )知 sin(? ? ? ) ? 1即? ? ? ?

?
3

,

?
2

?? ?

?
6

时,y min ? 2( 3 ? 15 ) ? 11.2(万元)
3 ) km,处的 D 点,再从 3

即先从 B 镇沿河岸铺设地下电缆至距离 B 镇 ( 15 ?

D 点向 A 镇铺设水下电缆,可使得总施工费用最少,约为 11.2 万元。 把一段半径为 R 的圆木,锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法,才能使横截
8

面积最大? 分析:如图所示: 设 ?CAB ? ? ,则 AB ? 2R cos? , CB ? 2R sin?
S矩形ABCD ? AB?BC ? 2 R sin 2? ? 2 R
2 2

D O A

C

当且仅当 sin 2? ? 1 时,即 生活中的实际问题:

??

?

2 4 时, S max ? 2 R

θ

B

所以在圆木的横截面上截取内接正方形时,才能使横截面积最大。 在这里提供这样一个生活中的问题,看看它们与三角函数的联系。 (让学生 探究解决) 在一住宅小区里,有一块空地,这块空地可能有这样三种情况: (1)是半径为 10 米的半圆; (2)是半径为 10 米,圆心角为 60 的扇形; (3)是半径为 10 米,圆心角为 120 的扇形; 现要在这块空地里种植一块矩形的草皮, 使得其一边在半径上, 应如何设计, 使得此草皮面积最大?并求出面积的最大值。 分析 1:第一种情况,如图所示:连结 OC , 设 ?BOC ? ? ,则 BC ? 10sin ? , OB ? 10co s? ,
? ?

AB ? 2OB ? 20cos?

S矩形 ? AB ? BC ? 200sin ? cos? ? 100sin 2?

? sin 2? ? 1

?S矩形 ? 100
D E A O θ B

即 2? ? 90?,? ? 45?
? 这时 BO ? AO ? 10cos 45 ? 5 2, BC ? 5 2

C F

此时,点 A、D 分别位于点 O 的左右方 5 2 处时 S 取得最大值 100。 分析 2:第二种情况,连结 OC, 设 ?BOC ? ? ,则 BC ? 10sin ? , OB ? 10co s? ,
OA ? BC cot 60? ? 10 3 sin ? 3

E D

C

S矩形 ? AB ? BC ? (OB ? OA) ? BC 10 3 ? (10 cos ? ? sin ? ) ?10sin ? 3
? 100sin ? cos ? ? ? 50sin 2? ? 100 3 2 sin ? 3

O

θ A

B F

50 3 (1 ? cos 2? ) 3
9

?

100 3 ? 50 3 sin(2? ? ) ? 3 6 3

S max ? ?? sin(2? ? ) ? 1 6 时, 6 当且仅当 时,即

?

?

50 3 2 m 3

分析 3:如图所示:连结 OB, 设 ?AOB ? ? ,则 AB ? 10sin ? , OA ? 10co s? , E C O θ B

S矩形 ? OA ? AB ? 100sin ? cos? ? 50sin 2?
当且仅当 sin 2? ? 1 时,即 例中的题的联系。 试试身手:(看谁做得快又准确)

??

?

4 时, Smax ? 50

AD

学生发言完毕,老师总结,将每个同学的发言简单整理;引导学生分析此题与引

下表是某地一年中 10 天测量的白昼时间统计表(时间近似到 0.1 小时) 1 日期 月 1 日 日 期 位 置 1 序号 x 白 昼 时间 y ( 小 时) (I)以日期在 365 天中的位置序号 x 为横坐标,白昼时间 y 为纵坐标,在给 定坐标系中画出这些数据的散点图; (Ⅱ) 试选用一个形如 y ? A sin(?x ? ? ) ? t 的函数来近似描述一年中白昼时间 y 与日期位置序号 x 之间的函数关系.[注:①求出所选用的函数关系式;②一年 按 365 天计算] (Ⅲ) (Ⅱ) 用 中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于 15.9 小时. 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 59 80 117 126 172 225 263 298 355 2 月 28 日 3 月 21 日 4 月 27 日 5 月 6 日 6 月 21 日 8 月 13 日 9 月 20 日 10 月 25 日 12 月 21 日

10

解: (I)画散点图见下面.

(Ⅱ)由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为 y ? A sin(?x ? ? ) ? t , 由图形知函数的最大值为 19.4,最小值为 5.4, 即
y max ? 19.4, y min ? 5.4



由 19.4-5.4=14,得 A=7; 由 19.4+5.4=24.8,得 t=12.4;
2? ?? ? . 365 又 T=365,

2?x ? ?? ? , 365 2 323? 32? 323? 161? 65? ?? ? ? ? (?等于 ? ,? ,? ,? 均可) 730 73 730 365 146 2? 323? ? y ? 7 sin( x? ) ? 12.4.(1 ? x ? 365, x ? N ? ) 365 730 2?x 323? 1 ? 2?x 323? 5? 由y ? 15.9得 sin( ? )? . ? ? ? ? , 365 730 2 6 365 730 6 (Ⅲ) 当x ? 172时,

365 323 365 ? 5 323 ? ?x? ? ,?112 ? x ? 232 . 12 4 2?6 4 ∴该地大约有 121 天(或 122 天)白昼时间大于 15.9 小时.
11

小结: 通过我们的研究,我们深深地体会到,身边就有数学,数学就在身边,在以 后的学习过程中,只要我们勇于探索,有些同学可能会成为真正的发明家、创造 者,我们现在的研究让它作为一个奠基,通过我们的研究开拓思路,为将来成为 一名数学家、发明家创造良好的条件。 总之,设“角”求解的应用题一般涉及到角与边之间的相互关系,对这类问 题, 有的虽然可以用边为变量建立函数关系, 但往往求解比较困难。 “角变量” 用 建立函数关系后的求解过程是这类问题的另一难点, 一般可以利用三角函数的相 关知识,如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数 单调性等。 探索与思考: 1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗? 2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大,从而体会学习数学的意 义了吗?

12


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