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2015年湖州市第一学期高三(理)期末试题含答案


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湖州市2014学年第一学期期末考试样卷
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高三数学参考答案及评分标准(理科)
、、 选择题(本大题共有8小题,每小题5分,共40分) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 C 5 D 6 B 7 C 8 A

二、填空题(本大题共7小题,9——12每题6分,13——15题每题4分,共36分.) 9. ?2,3? ; ???, 0 ? ? ?1, ?? ? ; ?0, 2? 11. 10.2 ; 0

?
2

;2? 3

12.

3? 9? ? 3 ; 4 4
15. ?0,1?

?12 ? 13. ? , 4 ? ?5 ?

14.

3 ?1 2

三、解答题(本大题共5小题,共74.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分15分)
在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 b ? 3 . 已知向量 m ? ? cos 2 (Ⅰ) 若 A ? (Ⅱ)

??

? ?

B ? ? ,sin B ? , n ? 2 ?

?

?? ? 3, 2 ,且 m // n .

?

5? ,求边 c 的值; 12 求 AC 边上高 h 的最大值.

B ? 3 sin B ,--------------------------------2 分 2 ? 1 即 1 ? cos B ? 3 sin B ,得 sin( B ? ) ? ,-----------------------------------------------4 分 6 2 ? ? 5? ? ? ? 又 0 ? B ? ? ,所以 ? ? B ? ? ,故 B ? ? ,即 B ? .--------------6 分 6 6 6 6 6 3 5? ? 结合 A ? ,得 C ? 12 4 b c 由正弦定理 得, c ? 6 .----------------------------------------------------8 分 ? sin B sin C ?? ? B 方法二: 由 m // n ,得 2 cos 2 ? 3 sin B ,----------------------------------------------2 分 2 B B B B B B 则 2 cos 2 ? 3 ? 2 sin cos ,又 cos ? 0 ,故 cos ? 3 sin , 2 2 2 2 2 2
解析:(Ⅰ)方法一:由 m // n ,得 2 cos 2

?? ?

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即 tan

B 3 ,--------------------------------------------------------------------------------------4 分 ? 2 3 B ? B ? ? ? ,故 ? ,即 B ? .--------------------------------6 分 2 2 2 6 3

又 0 ? B ? ? ,所以 0 ? 结合 A ?

5? ? ,得 C ? . 12 4 b c 由正弦定理 得, c ? 6 .-------------------------------------------------------8 分 ? sin B sin C
(Ⅱ) 设 AC 边上的高为 h ,则 S ?ABC ?

1 3 1 3 bh ? h ? ac sin B ? ac ,----------10 分 2 2 2 4
-----------------14

即h ?

1 2 3

ac , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac ? ac ,

(等号成立当且仅当 a ? c ) 所以 ac ? 9 ,因此 h ?

1 2 3

ac ?

3 3 , 2

所以 AC 边上的高 h 的最大值为 h ?

3 3 . 2

-----------------------------------------------15 分

17.(本小题满分15分)
如图,在四棱锥 C ? A1 ABB1 中, A1 A // BB1 , A1 A ? 平面 ABC , ?ACB ?

?
2



AC ? AA1 ? 1 , BC ? BB1 ? 2 .
(Ⅰ)求证:平面 A1 AC ? 平面 B1 BC ; (Ⅱ)若点 C 在棱 AB 上的射影为点 P ,求二面角 A1 ? PC ? B1 的余弦值.
、 ?

B1

A1 C A B

P

第 17 题图

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(Ⅰ)证明:因为 A1 A ? 平面 ABC ,所以 A1 A ? BC , 又因为 AC ? BC ,所以 BC ? 平面 A1 AC , 所以平面 A1 AC ? 平面 B1 BC .

…………………………2 分 ………………………4 分 …………………………5 分

(Ⅱ)解法 1:先考查二面角 A ? PC ? A1 和二面角 B ? PC ? B1 , 因为 AA1 ? 面 ABC ,所以 AA1 ? CP ,又因为 CP ? AB , 所以 CP ? 面 A1 ABB1 ,所以 CP ? A1 P , CP ? B1 P , 所以 ?A1 PB1 即二面角的 A1 ? PC ? B1 一个平面角, 因为 tan ?A1 PA ? ……………………7 分

AA1 1 ? ? 5, 1 AP 5

……………………9 分

tan ?B1 PB ?

BB1 2 5 ? ? , 4 BP 2 5

……………………11 分

所以 tan ?A1 PB1 ? tan ?? ? ?A1 PA ? ?B1 PB ? , 所以 tan ?A1 PB1 ? ? tan ??A1 PA ? ?B1 PB ? ……………………12 分 ……………………13 分

??

tan ?A1 PA ? tan ?B1 PB 1 ? tan ?A1 PA? tan ?B1 PB 5?

5 3 5 2 ? 2 ? 5 , ?? 3 5 1? 5? 2 2
所以 cos ?A1 PB1 ?

……………………14 分

6 6 ,
6 . 6
……………………15 分

所以二面角 A1 ? PC ? B1 的余弦值为

解法 2:因为 AA1 ? 面 ABC ,所以 AA1 ? CP ,又因为 CP ? AB ,

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所以 CP ? 面 A1 ABB1 ,所以 CP ? A1 P , CP ? B1 P , 所以 ?A1 PB1 即为二面角的 A1 ? PC ? B1 一个平面角. 因为 CP ? AB ,所以 AP ? …………………8 分

5 4 5 , BP ? , 5 5

…………………………10 分

所以 A1 P ? 1 ?

1 6 16 36 6 ? , B1 P ? 22 ? , ? ? 5 5 5 5 5 6 ,

…………………12 分

又因为直角梯形 A1 ABB1 可得 A1 B1 ? 5 ? 1 ? 所以 cos ?A1 PB1 ?

…………………………13 分

A1 P 2 ? B1 P 2 ? A1 B12 2 A1 P ? B1 P



…………………………………14 分

6 36 ? ?6 6 所以 cos ?A1 PB1 ? 5 5 ? , 6 6 6 2 5
所以二面角 A1 ? PC ? B1 的余弦值为

6 . 6

……………………………15 分

解法 3:如图所示,以 CA 为 x 轴,以 CB 为 y 轴,过 C 作 z 轴,建立空间直角坐标系 ,则 可知 A ?1, 0, 0 ?, A1 ?1, 0,1? , B ?0, 2, 0 ? , B1 ?0, 2, 2 ? , P ?

?4 2 ? , , 0 ? ,……8 分 ?5 5 ?

?

z B1

A1 C A P B y

x ???? ??? ? ?4 2 ? 则 CA1 ? ?1, 0,1?, CP ? ? , , 0 ? . ?5 5 ?

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设平面 A1 PC 的一个法向量是 n1 ? ? x, y,1? ,可得:

??

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ?? ? ?? 即 n1 ? ??1, 2,1? .……………………………………………10 分 ?4x 2 y ? ?0 ?y ? 2 ? 5 ?5 ?1 ? , ?1,1 ? , ……………………………………12 分 ?2 ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 6 所以二面角 A1 ? PC ? B1 的余弦值为 ?? ?? ? . ………………………15 分 ? ? 6 6 n1 ? n2
同理可得 B1 PC 的一个法向量是 n2 ? ?

?? ?

18.(本小题满分15分)
已知二次函数 f ?x ? ? x 2 ? bx ? c ( b, c ? R ) . (Ⅰ) 若 f ??1? ? f ?2 ? ,且不等式 x ? f ?x ? ? 2 x ? 1 ? 1 对 x ? ?0, 2?恒成立, 求函数 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ) 若 c ? 0 ,且函数 f ? x ? 在 ??1,1?上有两个零点,求 2b ? c 的取值范围.

解析:(Ⅰ)因为 f ( ?1) ? f (2) ,所以 b ? ?1 ,---------------------------------------3 分 因为当 x ? [0, 2] , 都有 x ? f ( x) ? 2 | x ? 1| ?1 ,所以有 f (1) ? 1 , 即 c ? 1 ,所以 f ( x ) ? x 2 ? x ? 1 ; --------------------------6 分

--------------------------------------------7 分

(Ⅱ)解法 1:因为 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上有两个零点,且 c ? 0 ,

? f (?1) ? 0, ??b ? c ? 1 ? 0, ? ? 所以有 ? f (1) ? 0, ? ?b ? c ? 1 ? 0, ?c ? 0, ?c ? 0, ? ?

-------------------------11 分

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5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

y

O
–1 –2 –3 –4 –5

1

2

3

4

5

6

x

(图正确,答案错误,扣2分)
通过线性规划可得 ?2 ? 2b ? c ? 2 . (若答案为 ?2 ? 2b ? c ? 2 ,则扣 1 分) ---------------------------------------------15 分

解法 2:设 f ( x ) 的两个零点分别 x1 , x2 ,所以 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ,--------9 分 不妨设 x1 ? [ ?1, 0) , x2 ? (0,1] ,--------------------------------------------------------------11 分 因为 f (2) ? (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ,且 2 ? x1 ? (2,3] , 2 ? x2 ? [1, 2) ,----------------13 分 所以 f (2) ? (2, 6) ,所以 ?2 ? 2b ? c ? 2 .-------------------------------------------------15 分 (若答案为 ?2 ? 2b ? c ? 2 ,则扣 1 分)

19.(本小题满分15分)
已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的右焦点为 F ?1,0 ? ,上顶点为 B ?0,1? . a 2 b2
??? ? ??? ?

(Ⅰ) 过点 B 作直线与椭圆 C 交于另一点 A ,若 AB ? BF ? 0 ,求 ?ABF 外接圆的方程; (Ⅱ) 若过点 M ?2, 0 ? 作直线与椭圆 C 相交于两点 G , H ,设 P 为椭圆 C 上动点,且满足

???? ???? ??? ? OG ? OH ? tOP ( O 为坐标原点) .当 t ? 1 时,求 ?OGH 面积 S 的取值范围.
解析:(Ⅰ) 由右焦点为 F ?1, 0 ?,上顶点为 B ?0,1?得 b ? 1, c ? 1 , 所以 a 2 ? 2 .-------------------------------------------------------------------------3 分 ( a, b, c 每个 1 分)

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所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1, 2 1

4 1 , ? ) ,--------------------------------4 分 3 3 1 1 5 因为 ?ABF 为直角三角形, AF 中点坐标 ( ? , ? ) ,且 AF ? 2, 6 6 3 1 1 25 所以 ?ABF 外接圆方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? .--------------------6 分 6 6 18
因为 AB ? BF ? 0 ,可求得点 A( ? (Ⅱ)设过点 M 的直线方程为 x ? my ? 2 , --------------------------------------------7 分

??? ? ??? ?

G , H 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ? x2 ? ? y 2 ? 1, 联立方程 ? 2 得 ( m 2 ? 2) y 2 ?4my ?2 ? 0 , ? ? 8m 2 ? 16 ? 0 ? m2 ? 2 , ? x ? my ? 2, ?
因为 y1 ? y2 ? ? 所以 | y1 ? y2 | ?

4m 2 , y1 y2 ? 2 ,-------------------------------------------------9 分 2 m ?2 m ?2 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2

?4 m 2 8 2 2 m2 ? 2 ? ,------------11 分 ? ( ) ? 2 ? m2 2 ? m2 2 ? m2 ???? ???? ??? ? x ? x2 y1 ? y2 因为 OG ? OH ? tOP ,所以点 P ( 1 , ), t t 因为点 P 在椭圆 C 上, x ? x2 2 y ? y2 2 所以有 ( 1 ) ? 2( 1 ) ? 2, t t
化简得 [ m( y1 ? y2 ) ? 4]2 ? 2( y1 ? y2 ) 2 ? 2t 2 , 因为 y1 ? y2 ? ?

4m ,所以得 m2 ? 2 4m 2 2 4m 16 (? 2 ) (m ? 2) ? 8m(? 2 ) ? 16 ? 2t 2 ? 0 ,化简 m 2 ? 2 ? 2 ,-------13 分 m ?2 m ?2 t

因为 t ? 1 ,所以 2 ? m 2 ? 14 , 因为 S ?OGH ?

2 2 m2 ? 2 1 ? 2? | y1 ? y2 | ? , 2 2 ? m2

第 11 页 共 26 页

令 m 2 ? 2 ? t (t ? (0, 2 3]) ,所以 S ?OGH ?

2 2 ?t 2 2 , ? t2 ? 4 t ? 4 t

令 g (t ) ? t ?

4 ,因为 g (t ) 在 t ? (0, 2] 上单调递减,在 t ? [2, 2 3] 上单调递增, t 2 .--------------------------------------------------------------------------------15 分 2

所以 0 ? S?OGH ?

20.(本小题满分14分)
已知数列 ?an ?的前 n 项和记为 S n ,且满足 2an ? 1 ? S n . (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? an ? ??1? ,记 Tn ?
n

1 1 1 ? ? ? ? .求证: Tn ? 2 . b1 b2 bn

解析: (Ⅰ)当 n ? 1 时, 2a1 ? 1 ? S1 ,解得 a1 ? 1 ,---------------------------------------------1 当 n ? 2 时, 2an ? 1 ? S n ,

2an ?1 ? 1 ? S n ?1 ,-----------------------------------------------------------------------2 分
两式相减得: 2an ? 2an ?1 ? an , 即 an ? 2an ?1 , ------------------------------------------------------------------------------------------5 分

所以 ? an ?是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,所以 an ? 2n ?1 ,------------------6 分 (Ⅱ)证法 1:当 n 为偶数时,

1 1 1 1 2n ?2 ? 2n ?1 ----------------------------7 分 ? ? n? 2 ? n ?1 ? 2 n ?3 bn ?1 bn 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? 1
2 n ? 2 ? 2 n ?1 ? 1 ? ? ?? ? 2 2 n ?3 ?2?
0 1 2 3 n? 2

?1? ?? ? ?2?
n? 2

n ?1


n ?1

--------------------------------10



?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?2? ?2? ?2? ? 2?

?1? ?? ? ? 2?

= 2 ?1 ?

? ?

1 ? ? ? 2 ;-----------11 分 2n ?

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当 n 是奇数时, Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? 2. ? ?? ? ? ? ?? ? ? b1 b2 bn b1 b2 bn bn ?1

综上可知 Tn ? 2 .---------------------------------------------------------------------------------14 分 证法 2:当 n ? 1, 2,3, 4 时, T1 ? 当 n ? 5 时,要证明 Tn ? 2 , 只要证明

1 3 17 129 , T2 ? , T3 ? , T4 ? 不等式显然成立-------8 分 2 2 10 70

1 1 1 1 ? 1 ? ? ? n? 2 ? n?1 ? 2, n ?1 2 ?1 2 ?1 2 ? (?1) 2 ? (?1)n
0

只要证明

1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 4 ? ? ? n? 2 ? n? 2 ? . n ?1 n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ? (?1) 2 ? (?1) 2
2

--------9 分

又因为当 n ? 5 时, 2n ?1 ? 16( ?1) n ? 0 , 即 (16 ? 15)2n ?1 ? 16( ?1) n ? 0, 故 16 2

?

n ?1

? (?1)n ?? 15 ? 2n?1 , ?2n?1 ? (?1)n ??

15 n ?2 ?2 , 8



1 1 1 1 1 ? 3 ? 4 ? ? ? n? 2 ? n?1 n ?1 2 ? 1 2 ?1 2 ? 1 2 ? (?1) 2 ? (?1) n
2

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? 15 n ? 2 5 7 15 ? 23 15 ? 24 ?2 8 8 8 1 1 1 8 23 ? ? ? ? 5 7 15
?

-----------------------------------------------12 分

1 ? ? 1 ? ( )n? 4 ? ? 2 ? ? ----------------- -----------------------------------------------------13 分 1 1? ( ) 2

1 1 2 250 1 ? ? ? ? .-------------------------------------------------------------------------------14 分 5 7 15 525 2

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