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第二章:随机变量及其分布列复习


本章知识结构
离散型随机变量 随 机 变 量 两点分布 超几何分布 二项分布

分布列
均值 方差

条件概率 两事件独立

正态分布

正态分布密度曲线

3? 原则

1.离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1 ,x 2 ,?, xi,?,ξ取每一个值xi的概率为P(ξ=xi)=p i,则称下表: ξ P x1 p1 x2 p2 x3 p3 … … xi pi … …

为离散型随机变量ξ的分布列. (2)离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质: ①pi≥0;②p1+p2+…+pi+…=1(i=1,2,3,…).

2.常见的离散型随机变量的分布

?1? 两点分布
分布列为(其中0 ? p ? 1):

ξ P

0 1-p

1 p

? 2 ? 二项分布在n次独立重复试验中,事件A发生的
次数? 是一个随机变量,其所有可能取的值为0,1, 2,
k 3, ,n,并且P(? ? k ) ? Cn p k q n ? k (其中k ? 0,1, 2, , ? ?

n,q ? 1 ? p). 显然P(? ? k ) ? 0(k ? 0,1, 2, ,n), C p q ? ?
k ?0 k n k n n?k

? 1.

称这样的随机变量? 服从参数为n和p的二项分布, 记为? ~B(n,p).

(3)超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,
任取n件,其中恰有ξ件次品,则事件{ξ=k}发

生的概率为P(ξ=k)= 布列

,k=0,1,2,…,m,其中

k n CM CN?kM ? m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.称分 n CN

ξ P

0
0 n CM CN?0M ? n CN

1
1 n CM CN?1M ? n CN

… …

M
m n CM CN?m ?M n CN



超几何分布列 .如果随机变量ξ的分布列为超几

何分布列,则称随机变量ξ服从超几何分布.

3.离散型随机变量的均值与方差、标准差

?1? 若?的分布列为:
ξ P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … …

则均值E? ? x1 p1 ? x2 p2 ??? xn pn ??, 方差D? ? ( x1 ? E? ) 2 ? p1 ? ( x2 ? E? ) 2 ? p2 ??? ( xn ? E? ) 2 ? pn ??.

标准差? ? D?

离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平. 离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于均值的平 均波动大小(即ξ取值的稳定性).

4.性质 (1)E(c)=c,E(aξ+b)= 数);

11

a· Eξ+b (a、b、c为常
a2· (a、b Dξ

(2)设a、b为常数,则D(aξ+b)= 为常数); (3) 若 ξ 服 从 二 项 分 布 , 即 ξ ~ B(n,p), 则 np ,Dξ= np(1-p) Eξ= ; (4) 若 ξ 服 从 两 点 分 布 , 则 p(1-p) Eξ= p ,Dξ= .

5、条件概率与相互独立事件

n( AB) P( AB) ? (1)、条件概率 P( B A) ? 注:( P( A) ? 0) n( A) P( A)
A (2)、相互独立事件: 、B相互独立 6.正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义
? 1 e 2 π? ( x ? ? )2 2? 2

? P( AB) ? P( A) P( B)

函数 ?? ,? ( x) ?

,

x∈(-∞,+∞),其中实数μ 和σ (σ >0)为参数,我 们称 ? ? ,? ( x)的图象(如图)为正态分布密度曲线,

简称正态曲线.

(2)正态曲线的性质:

①曲线位于x轴______,与x轴不相交; 上方
②曲线是单峰的,它关于直线_______对称; x=μ 1 ③曲线在______处达到峰值 ; x=μ ? 2π ④曲线与x轴之间的面积为__; 1 ⑤当σ 一定时,曲线随着___的变化而沿x轴平移, μ

如图甲所示;

⑥当μ 一定时,曲线的形状由σ 确定,σ ____,曲线 越小 越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ _____,曲线 越大 越“矮胖”,表示总体的分布越分散, 如图乙所示.

2.正态分布
(1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b (a<b),随机变量X满足P(a< X≤b)=

?

b

a

? ? ,? ( x ) d x,则称X的分布为正态分布,记作

__________. N(μ ,σ 2) (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ -σ <X≤μ +σ )=_________; 0.682 6

②P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=________; 0.954 4
③P(μ -3σ <X≤μ +3σ )=_________. 0.997 4

应用举例
摸球中的分布
一盒子中有大小相同的球10个,其中标号为1的球3个,标号为 2的球4个,标号为3的球3个。现从中任意抽取3个球, 1、求恰好抽出两个2号球的概率
2 1 C4 C6 P( X ? 2) ? 3 ? 0.3 C10

2、求至少抽出两个2号球的概率
2 1 3 C4 C6 C4 1 P( X ? 2) P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? 3 ? 3 ? ? C10 C10 3

超 几 何 分 布

变式一: 一盒子中有大小相同的球 10 个,其中标号为1的球3个,标号 为 2 的球 4个,标号为 3 的球3个。现从中不放回地依次取出 两个球. 1、求第一次抽到3号球,第二次抽到1号球的概率. 0.1 2、求在第一次抽出3号球的条件下,第二次抽到1号球的 1 概率. 3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差. X

3

2

3

P 1/15 4 /15

5 4 1 / 3 4 /15

6

1/15

EX ? 4

16 DX ? 15

变式二: 二项分布 一盒子中有大小相同的球10个,其中标号为1的球3个,标号为 2的球4个,标号为3的球3个,现从中依次有放回地抽取3个球 1、求恰好抽出两个2号球的概率

P( A) ? C(0.4) (0.6) ? 36/125
2 3 2

2、求至少抽出两个2号球的概率
2 3 P(B) ? C(0.4)2 (0.6) ? C3 (0.4)3 (0.6)0 ? 44/125 3

变式三: 一盒子中有大小相同的球6个,其中标号为1的球4个,标号 为2的球2个,现从中任取一个球,若取到标号2的球就不再 放回,然后再取一个球,直到取到标号为1的球为止,求在 取到标号为1的球之前已取出的2号标号球数 X 的均值. X
P 0

1

2

2/3

4 /15

1/15

EX ? 0.4

求概率
1、已知在6个电子元件中,有2个次品,4个合格品,每次任 取一个测试,测试完后不再放回,直到两个次品都找到为止, A 则经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率( ) A.1/5 B.4/15 C. 2/5 D.14/15

2、已知10件产品,其中3件次品,不放回抽取3次,已知第 一次抽到是次品,则第三次抽次品的概率是 / 9 。 2

3.设M件产品中有m件是不合格品,从中任取两件。

?1? 在所取产品中有一件是不合格品的条件下,
求另一件也是不合格品的概率。

? 2 ? 在所取产品中有一件是合格品的条件下,
求另一件是不合格品的概率。

练、一个家庭中有两个 小孩,假定生男生女是 等可能的, 已知这个家庭有一个女 孩,则这时另一个小孩 是男孩的 概率是 __________ _____

4.?2009? 全国卷? 甲、乙二人进行一次围 棋比赛,约定 先胜3局者获得这次比赛的胜 利,比赛结束。假设在 一 局中,甲获胜的概率为 .6,乙获胜的概率为 .4,各局 0 0 比赛结果相互独立。已 知前2局中,甲、乙各胜局 1

?1?求甲获得这次比赛胜利 的概率。 ?2?设?表示从第3局开始到比赛结束所进 行的局数,
求?的均值。

5、甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个独立的 随机变量X与Y

X P Y P

10 0.5 10 0.1

9 0.2 9 0.1

8 0.1 8 0.1

7 0.1 7 0.1

6 5 0 0.05 0.05 0 6 0.2 5 0.2 0 0.2

试通过 X,Y 的期望与方差,分析甲、乙的技术优劣.

EX ? 8.85 EY ? 5.6
由于 EX>EY 故从平均水平看甲的平均水平比乙的平均水平高

DX ? 2.2275

DY ? 3.968

又DX<DY,则从稳定性来看,甲的稳定性比乙的稳定性好

正态分布
1.(2008·湖南)设随机变量X服从正态分布N(2,9), 若P(X>c+1)=P(X<c-1),则c等于 A.1 解析 B.2 C.3 D.4 ( B)

∵μ =2,由正态分布的定义知其函数图象

关于x=2对称,于是

c ?1? c ?1 ? 2, ∴c=2. 2

2.已知ξ ~N(0,σ 2)且P(-2≤ξ ≤0)=0.4,则P(ξ >2)
的值为 A.0.1 解析 B.0.2 C.0.3 ( A ) D.0.4

根据正态曲线的对称性,

P(-2≤ξ ≤2)=2P(-2≤ξ ≤0)=0.8.

1 ? 0.8 ? P(? ? 2) ? ? 0.1. 2

3.(12分)设在一次数学考试中,某班学生的分 数服从X~N(110,202),且知满分150分,这个班的学

生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不小于
90分)的人数和130分以上的人数. 思维启迪 要求及格的人数,即求出P(90≤X≤

150),而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值 的概率形式,然后利用对称性求解.



因为X~N(110,202),

所以μ =110,σ =20.

2分

P(110-20<X≤110+20)=0.682 6. 6分 1 所以,X>130的概率为 (1 ? 0.682 6) ? 0.158 7. 8分 2 所以,X≥90的概率为0.682 6+0.158 7=0.841 3. 10分 ∴及格的人数为54×0.841 3≈45(人), 130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人). 12分

4.工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布 1 N ( 4, ), 问在一次正常的试验中,取1 000个零件时, 9 不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个?

1 1 ? X ~ N (4, ),? ? ? 4, ? ? . 9 3 ∴不属于区间(3,5)的概率为
解 P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(3<X<5) =1-P(4-1<X<4+1)=1-P(μ -3σ <X<μ +3σ ) =1-0.997 4=0.002 6≈0.003, ∴1 000×0.003=3(个), 即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个.


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