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北京市东城区2013届高三数学一模文科试题及答案


北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习 (一) 数学 (文科)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)已知全集 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1, 2},那么集合 ? A 为 U (A) {3} (B) {3, 4} (C) {1, 2} (D) {2,3}

(2) “ a ? 1 ”是“直线 x ? 2 y ? 0 与直线 x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的 (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

(3)已知 ABCD 为平行四边形,若向量 AB ? a , AC ? b ,则向量 BC 为 (A) a ? b (C) b ? a (B) a + b (D) ?a ? b

??? ?

??? ?

??? ?

(4)执行如图所示的程序框图,输出的结果是 则判断框内应填入的条件是 (A) n ? 5? (B) n ? 5? (C) n ? 5? (D) n ? 5?

5 , 6

(5)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm), 那么这个几何体的侧面积是 . (A) (1+ 2)cm2 (C) (4 + 2)cm2 (B) (3+ 2)cm2 (D) (5 + 2)cm2
2

(6)已知点 A(2,1) ,抛物线 y ? 4 x 的焦点是 F ,若抛物线上存 在一点 P ,使得 PA ? PF 最小,则 P 点的坐标为

(A) (2,1)

(B) (1,1)

(C) ( ,1)

1 2

(D) ( ,1)

1 4

1

(7)对于函数 y ? f (x) ,部分 x 与 y 的对应关系如下表:

x
y

1 7

2 4

3 5

4 8

5 1

6 3

7 5

8 2

9 6

数列 {xn } 满足 x1 ? 2 ,且对任意 n ? N* ,点 ( xn , xn?1 ) 都在函数 y ? f (x) 的图象上,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? ? x2012 ? x2013 的值为
(A)9394 (B)9380 (C)9396 (D)9400

(8)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? ?3 ,且当 x ? ?3 时, f ( x) ? 2x ? 3 .若 函数 f ( x ) 在区间 (k ? 1, k ) ( k ? Z )上有零点,则 k 的值为 (A) 2 或 ?7 (B) 2 或 ?8 (C) 1 或 ?7 (D)1 或 ?8

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知 i 是虚数单位,那么 i(1 ? i) 等于 .

(10)如图是甲、乙两名同学进入高中以来 5 次体育测试成绩 的茎叶图, 则甲 5 次测试成绩的平均数是 绩的平均数与中位数之差是 . , 5 次测试成 乙

? x ? 2 ? 0, ? (11)不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域为 D ,则区域 D 的面积为 ?x ? y ? 0 ?
大值为 .

, z ? x ? y 的最

(12)从 1,3,5,7 这四个数中随机地取两个数组成一个两位数,则组成的两位数是 5 的 倍数的概率为 .

(13)函数 f ( x ) ? sin( x ? ②图象 C 关于点 ( 结论序号是

?
3

) 的图象为 C ,有如下结论:①图象 C 关于直线 x ?

4? ? 5? , 0) 对称;③函数 f (x) 在区间 [ , ] 内是增函数,其中正确的 3 3 6

5? 对称; 6

.(写出所有正确结论的序号)

(14)数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状,其中每一行比上一 行增加两项,若 an ? a n (a ? 0) , 则位于第 10 行的第 8 列的项 等于 , a2013 在图中位于 . (填第几行的第几列)

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 在△ ABC 中,三个内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,且 b sin A ? 3 acos B . (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,求 ac 的最大值.

(16) (本小题共 14 分) 如图,已知 AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , F 为 BC 的中点,若 E

1 AB ? AC ? AD ? CE . 2
(Ⅰ)求证: AF // 平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCE . A C

D

F

B

3

(17) (本小题共 13 分) 为了解高三学生综合素质测评情况,对 2000 名高三学生的测评结果进行了统计,其中 优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表: 优秀 男生人数 女生人数 良好 380 370 合格 373 377

x
y

(Ⅰ)若按优秀、良好、合格三个等级分层,在这 2000 份综合素质测评结果中随机抽取 80 份进行比较分析,应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份? (Ⅱ)若 x ? 245 , y ? 245 ,求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率.

4

(18) (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? m ln x ? (m ? 1) x (m? R) . (Ⅰ)当 m ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性; (III)若 f ( x ) 存在最大值 M ,且 M ? 0 ,求 m 的取值范围.

5

(19) (本小题共 13 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F , F2 ,离心率为 , 1 a b 2
且过点 (2, 2) . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)M , N , P ,Q 是椭圆 C 上的四个不同的点,两条都不和 x 轴垂直的直线 MN

和 PQ 分别过点 F , F2 ,且这两条直线互相垂直,求证: 1

1 1 为定值. ? | MN | | PQ |

6

(20) (本小题共 13 分) 设 A 是 由 n 个 有 序 实 数 构 成 的 一 个 数 组 , 记 作 : A ? (a1, a2 ,?, ai ,?, an ) . 其 中 ai

(i ? 1, 2,?, n) 称为数组 A 的“元”, i 称为 ai 的下标. 如果数组 S 中的每个“元”都是来自 数
组 A 中 不 同 下 标 的 “ 元 ” , 则 称 S 为 A 的 子 数 组 . 定 义 两 个 数 组 A ? (a1 , a2 ,?, an ) ,

B ? (b1 , b2 ,?, bn ) 的关系数为 C( A, B) ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn .
(Ⅰ) A ? ( ? 若 的最大值; (Ⅱ)若 A ? (

1 1 , ) , ? (?1,1, 2,3) , S 是 B 的含有两个“元”的子数组, C ( A, S ) 设 求 B 2 2

3 3 3 , , ) , B ? (0, a, b, c) ,且 a 2 ? b2 ? c2 ? 1 , S 为 B 的含有三个 3 3 3

“元”的子数组,求 C ( A, S ) 的最大值.

7

北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学参考答案(文科) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)C (2)C (6)D (3)C (7)A (4)A (8)A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ? 1 ? i (12) (10) 84

2

(11) 2 , 2 (14) a
89

1 4

(13)①②③

第 45 行的第 77 列

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 b sin A ? 3a cos B , 由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 因为在△ ABC 中, sin A ? 0 , 所以 tan B ? 3 . 又0 ? B ? ? , 所以 B ?

? . 3
2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 因为 B ?

? ,b ? 2 3 , 3
2 2

所以 12 ? a ? c ? ac . 因为 a ? c ? 2ac ,
2 2

所以 ac ? 12 . 当且仅当 a ? c ? 2 3 时, ac 取得最大值 12 . (16) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)取 BE 的中点 G ,连结 GF , GD . 因为 F 是 BC 的中点, 则 GF 为△ BCE 的中位线.

8

所以 GF // EC , GF ?

1 CE . 2
E

因为 AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , 所以 GF // EC // AD . 又因为 AD ?

1 CE , 2
A C

D

所以 GF ? AD . 所以四边形 GFAD 为平行四边形. 所以 AF // DG . 因为 DG ? 平面 BDE , AF ? 平面 BDE , 所以 AF // 平面 BDE . (Ⅱ)因为 AB ? AC , F 为 BC 的中点, 所以 AF ? BC . 因为 EC // GF , EC ? 平面 ABC , 所以 GF ? 平面 ABC . 又 AF ? 平面 ABC , 所以 GF ? AF . 因为 GF ? BC ? F , 所以 AF ? 平面 BCE . 因为 AF // DG , 所以 DG ? 平面 BCE . 又 DG ? 平面 BDE , 所以平面 BDE ? 平面 BCE . (17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由表可知,优秀等级的学生人数为:

G

F

B

x? y ?2000 ?
因为 500 ?

( 3 ? 0 ? 7 3 ? 3 7 0 ? 3 7 .) 8 3 7

500

80 ? 20 , 2000

故在优秀等级的学生中应抽取 20 份. (Ⅱ)设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件 A . 因为 x ? y ? 500 , x ? 245 , y ? 245 ,且 x , y 为正整数,

9

所以数组 ( x, y ) 的可能取值为:

( 2 4 5 , 2 5 5(246, 254) , (247, 253) ,…, (255, 245) ,共11 个. ,)
其中满足 x ? y 的数组 ( x, y ) 的所有可能取值为:

(255, 245) ,(254, 246) ,(253, 247) ,(252, 248) ,(251, 249) 共 5 个,即事件 A
包含的基本事件数为 5 . 所以 P ( A) ?

5 . 11
5 . 11

故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为 (18) (共 14 分) 解: (Ⅰ)当 m ? 2 时, f ( x) ? 2ln x ? x .

f ?( x) ?

2 x?2 ?1 ? . x x

所以 f ?(1) ? 3 . 又 f (1) ? 1 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? 1 ? 3( x ? 1) , 即 3x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

m (m ? 1) x ? m ? m ?1 ? . x x m 当 m ≤ 0 时,由 x ? 0 知 f ?( x) ? ? m ? 1 ? 0 恒成立, x f ?( x) ?
此时 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递减. 当 m ≥1 时,由 x ? 0 知 f ?( x) ?

m ? m ? 1 ? 0 恒成立, x

此时 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递增.

m m ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? , 1? m 1? m m m ) 内单调递增,在区间 ( , ??) 内单调递减. 此时 f ( x ) 在区间 (0, 1? m 1? m
当 0 ? m ? 1 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

10

(III)由(Ⅱ)知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 当 m ≤ 0 或 m ≥1 时, f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调,此时函数 f ( x ) 无最大值. 当 0 ? m ? 1 时, f ( x ) 在区间 (0,

m m ) 内单调递增,在区间 ( , ??) 内单调递减, 1? m 1? m

所以当 0 ? m ? 1 时函数 f ( x ) 有最大值.

m m ) ? m ln ? m. 1? m 1? m m e ? m ? 0 ,解之得 m ? 因为 M ? 0 ,所以有 m ln . 1? m 1? e e ,1) . 所以 m 的取值范围是 ( 1? e
最大值 M ? f ( (19) (共 13 分) (Ⅰ)解:由已知 e ?

c 2 , ? a 2

所以

b2 a 2 ? c 2 1 ? ? 1 ? e2 ? . 2 2 a a 2
2 2

所以 a ? 2b .

所以 C :

x2 y2 ? 2 ? 1 ,即 x2 ? 2 y 2 ? 2b2 . 2b 2 b

因为椭圆 C 过点 (2, 2) , 得b ? 4 , a ? 8.
2

2

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 8 4
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知椭圆 C 的焦点坐标为 F1 (?2,0) , F2 (2,0) . 根据题意, 可设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 由于直线 MN 与直线 PQ 互相垂直,则直线 PQ 的方程为 y ? ? 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

1 ( x ? 2) . k

11

? y ? k ( x ? 2), ? 由方程组 ? x 2 y 2 消y得 ?1 ? ? 4 ?8

(2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 .
则 x1 ? x2 ?

?8k 2 8k 2 ? 8 , x1 x2 ? 2 . 2k 2 ? 1 2k ? 1
2 2

4 2(1 ? k 2 ) 所以 MN ? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 = . 2k 2 ? 1
同理可得 PQ ?

4 2(1 ? k 2 ) . k2 ? 2

所以

1 1 2k 2 ? 1 k2 ? 2 3k 2 ? 3 3 2 ? . ? ? ? ? 2 2 2 | MN | | PQ | 4 2(1 ? k ) 4 2(1 ? k ) 4 2(1 ? k ) 8

(20) (共 13 分) 解: (Ⅰ)依据题意,当 S ? (?1,3) 时, C ( A, S ) 取得最大值为 2. (Ⅱ)①当 0 是 S 中的“元”时,由于 A 的三个“元”都相等,及 B 中 a, b, c 三个“元”的对称 性,可以只计算 C ( A, S ) ?

3 (a ? b) 的最大值,其中 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 . 3

由 (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 2(a2 ? b2 ) ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 2 , 得 ? 2 ? a?b ?

2.
2 时, a ? b 达到最大值 2 , 2

当且仅当 c ? 0 ,且 a ? b ? 于是 C ( A, S ) ?

3 6 . ( a ? b) ? 3 3 3 (a ? b ? c) 的最大值, 3

②当 0 不是 S 中的“元”时,计算 C ( A, S ) ?
2 2 2 由于 a ? b ? c ? 1 ,

所以 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc .
2 2 2 2

? 3(a 2 ? b2 ? c2 ) ? 3 ,

12

当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立. 即当 a ? b ? c ?

3 3 时, a ? b ? c 取得最大值 3 ,此时 C ( A, S ) ? ( a ? b ? c) ? 1 . 3 3

综上所述, C ( A, S ) 的最大值为 1.

13


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