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2.3.4平面向量共线的坐标表示1


2.3 平面向量共线的坐标表示

2.3.3平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算

a + b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a - b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差

2.3.3平面向量的坐标运算
?a ? (?x , ?y )

实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标.

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标.

2.3.4平面向量共线的坐标表示 ? ? 1. 向量 a 与非零向量 b 平行(共线)的充要条件是有且 ? ?
只有一个实数 ? , 使得a

? ?b

2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件? 会得到什么样的重要结论? 设 即

? ? ? ? a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , b ? 0 ?

? x2 , y2 中,至少有一个不为0 ,则由 a ? ?b 得 x1 y2 ? x2 y1 ? 0

这就是说:

x1 y2 ? x2 y1 ? 0

? ? ? ? a // b (b ? 0) 的充要条件是

2.3.4 平面向量共线的坐标表示
3. 向量平行(共线)充要条件的两种形式:

? ? ? ? ? ? (1)a // b (b ? 0) ? a ? ?b ; ? ? ? ? ? ? (2)a // b (a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

2.3.4 平面向量共线的坐标表示
例 题
1. 已知

? a ? (4,2),

? ? ? b ? (6, y ), 且a // b , 求y

2. 已知 A(?1 ?1), B(1 3), C (2,5), , ,
求证: A、B、C 三点共线。

3.

? ? 若向量 a ? (?1, x), 与 b ? ( ? x,2)
方向相同, 求 x.

共线且

直线l上两点 P1 、P2 ,在l上取不同于 P1 、 2 的任一点P,则 P
P点与 P1 P2 的位置有哪几种情形? P在 P1 P2 的延长线上, P2 P1的延长线上. P在 P在 P1 P2 之间,
P1

P

P2

P1

P2

P

P

P1

P2

? ?0

? ? ?1

?1 ? ? ? 0

存在一个实数λ,使 P1 P ? ? PP2 ,λ叫做点P分有向线 段 P1 P2 所成的比. 能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量 方向确定λ 的取值范围吗?

设 P1 ( x1 , y1 ), 2 ( x2 , y2 ) ,P分 P1 P2 所成的比为 ? ,如何 P

求P点的坐标呢?

?   P ? ( x ? x1 , y ? y1 ) P1
PP2 ? ( x2 ? x , y2 ? y ) P1 P ? ? PP2

?    ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y ) (x
? x ? x1 ? ? ( x 2 ? x ) ?    ? ? y ? y1 ? ? ( y2 ? y )

? ?x ? ? ?? ?y ? ? ?

x1 ? ?x2 1? ? y1 ? ?y2 1? ?

有向线段 P1 P2 的定比分点坐标公式
x1 ? ?x 2 ? ?x ? 1? ? ? ? ? y ? y1 ? ?y 2 ? ? 1? ?

有向线段 P1 P2 的中点坐标公式
x ? x2 ? x? 1 ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2

课时小结:
1, 任一向量a 的坐标表示: a ? ( x, y ) a ? xi ? y j 2, 特殊向量 OA 的坐标表示:
OA ? xi ? y j
a ? b =(x1+x2 , y1+y2)
y Y y

a
A(x,y) x

j
O

A(x,y)

i

x

X

3, 平面向量的坐标运算:
a ? b =(x1-x2 , y1-y2) λ a= (λx1 , λy1)

若:A(x1,y1) , B(x2,y2) 则:AB= (x2-x1 , y2-y1)

2.3.4 平面向量共线的坐标表示
4. 向量平行(共线)充要条件的两种形式:

? ? ? ? ? ? (1)a // b (b ? 0) ? a ? ?b ; ? ? ? ? ? ? (2)a // b (a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

有向线段 P1 P2 的定比分点坐标公式
x1 ? ?x 2 ? ?x ? 1? ? ? ? ? y ? y1 ? ?y 2 ? ? 1? ?

有向线段 P1 P2 的中点坐标公式
x ? x2 ? x? 1 ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2

A 如图,?ABC 的三个顶点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , C B( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ),D是边AB的中点,G是CD上的一点, CG y ? 2,求点G的坐标. 且 D A GD
B G C

O

x

解:∵D是AB的中点

∴点D的坐标为 (

x1 ? x 2 y1 ? y 2 , ) 2 2

y D G C O

A

CG B ?   ? 2 ?  ? 2GD CG GD 由定比分点坐标公式可得G点坐标为: x1 ? x2 x3 ? 2 ? 2 ? x1 ? x 2 ? x 3 x? 1? 2 3 y1 ? y2 y3 ? 2 ? 2 ? y1 ? y2 ? y3 y? 1? 2 3
x1 ? x 2 ? x 3 y1 ? y 2 ? y 3 , ) 即点G的坐标为 ( 3 3

x

作业
?

P101,

A组 B组

5 1


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