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2014届高考数学一轮专题复习 高效测试32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 新人教A版


高效测试 32:二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题 x+2y-5≤0, ? ? 1.设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ? ?x≥0, ( ) A.11 B.10 C.9 D.8.5

则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为

2 z-1 解析:画出不等式组表示的平面区域如图,由目标函数得 y=- x+ ,根据目标函数的 3 3 2 z-1 几何意义,显然当直线 y=- x+ 在 y 轴上的截距最大时 z 最大,故在图中的点 A 处目 3 3 标函数取得最大值,点 A(3,1),所以 zmax=2×3+3×1+1=10. 答案:B

?0≤x≤ 2 2.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2 ?x≤ 2y
→ → 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z=OM·OA的最大值为( A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 )

给定.若 M(x,y)为 D

→ → 解析:画出区域 D 如图所示,而 z=OM·OA= 2x+y,∴y=-2 x+z,令 l0:y=- 2x, 平移直线 l0,相应直线过点( 2,2)时,截距 z 有最大值,故 zmax= 2× 2+2=4. 答案:B 3.已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b,若 x,y 满足不等式|x|+|y|≤1,则 z 的取值范围为( ) A.[-2,2] B.[-2,3] C.[-3,2] D.[-3,3] 解析:因为 a⊥b,所以 a·b=0,所以 2x+3y=z,不等式|x|+|y|≤1

1

x+y≤1 ? ? ?x-y≤1 ? 可转化为? -x+y≤1 ? ?-x-y≤1 ?

x≥0,y≥0? x≥0,y<0? ? x<0,y≥0? x<0,y<0? ,

由图可得其对应的可行域为边长为 2,以点(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)为顶点的正 方形,结合图象可知当直线 2x+3y=z 过点(0,- 1)时 z 有最小值-3,当过点(0,1)时 z 有最大值 3.所以 z 的取值范围为[-3,3]. 答案:D x≥0 ? ? 4.若不等式组?x+3y≥4 ? ?3x+y≤4 则 k 的值是( 7 3 A. B. 3 7 4 C. 3 ) 3 D. 4 4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分, 3

4 解析:由题目所给的不等式组可知,其表示的平面区域如图所示,这里直线 y=kx+ 只需 3 1 5 7 要经过线段 AB 的中点 D 即可,此时 D 点的坐标为( , ),代入即可解得 k 的值为 . 2 2 3 答案:A 5.已知圆面 C:(x-a)2+y2≤a2-1 的面积为 S,平面区域 D:2x+y≤4 与圆面 C 的公共 1 区域的面积大于 S,则实数 a 的取值范围是( 2 )

A.(-∞, 2) B.(-∞ ,2] C.(-∞,-1)∪(1,2) D.(-∞,-1)∪(1,2] 解析:依题意并结合图形分析可知,圆面 C:(x-a)2+y2≤a2-1 的圆心(a,0)应在不等式
?a2-1>0, ? 2x+y≤4 表示的平面区域内,即有? ? ?2a+0<4

,由此解得 a<-1,或 1<a<2.因此,

实数 a 的取值范围是(-∞,-1)∪(1,2),选 C. 答案:C 6. 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人, 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量 为 6 吨的乙型卡车. 某天需送往 A 地至少 72 吨的货物, 派用的每辆车需满载且只运送一次, 派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可 得利润 350 元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最 大利润 z=( ) A.4650 元 B.4700 元 C.4900 元 D.5000 元

2

解析:设派用甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,则

? ?x+y≤12 +y≤19 ?2x 0≤x≤8,x∈N ? ?0≤y≤7,x∈N
10x+6y≥72

,目标函数 z=450x+350y,

画出可行域如图,当目标函数经过 A(7,5)时,利润 z 最大,为 4900 元. 答案:C 二、填空题
? ?3≤2x+y≤9, 7.若变量 x,y 满足约束条件? ?6≤x-y≤9, ?

则 z=x+2y 的最小值为__________.

? ?3≤2x+y≤9 解析:根据? ?6≤x-y≤9 ?

得可行域如图中阴影部分所示:

x z x 根据 z=x+2y 得 y=- + ,平移直线 y=- 得在 M 点取得最小值. 2 2 2
?x-y=9 ? 根据? ? ?2x+y=3 ?x=4 ? 得? ? ?y=-5

,则 z=4+2×(-5)=-6.[zzstep.com]

答案:-6 y≥x ? ? 8.设 m>1 ,在约束条件?y≤mx ? ?x+y≤1 __________.

下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的值为

3

1 z 解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,把目标函数化为 y=- x+ ,显然只有 y 5 5 1 z =- x+ 在 y 轴上的截距最大 时 z 值最大,根据图形,目标函数在点 A 处取得最大值,由 5 5
?y=mx ? ? ?x+y=1 ?

1 m 1 5m ,得 A( , ),代入目标函数,即 + =4,解得 m=3. 1+m 1+m 1+m 1+m

答案:3 x-y+2≥0, ? ? 9.已知实数 x,y 满足不等式组?x+y-4≥0, ? ?2x-y-5≤0,

目标函数 z=y-ax(a∈R).若 z 取最

大值时的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围是__________. 解析:画出不等式组表示的可行域,如图:

经 计 算 , 三 条 直 线 的 交 点 坐 标 分 别 为 A(1,3) , B(3,1) , C(7,9) , 由 题 意 , 可 知
?3-a>1-3a, ? ? ?3-a>9-7a, ?

解得 a>1.

答案:(1,+∞) 三、解答题 7x-5y-23≤0, ? ? 10.已知 x、y 满足条件:?x+7y-11≤0, ? ?4x+y+10≥0. (1)4x-3y 的最大值和最小值; (2)x2+y2 的最大值和最小值. 7x-5y-23≤0 ? ? 解析:(1)不等式组?x+7y-11≤0 ? ?4x+y+10≥0

求:

表示的公共区域如图所示:

4

其中 A(4,1)、B(-1,-6)、C(-3,2), 设 z=4x-3y,直线 4x-3 y=0 经过原点(0,0)作一组与 4x-3y=0 平行的直线 l:4x-3y =z,则当 l 过 C 点时,t 值最小;当 l 过点 B 时,t 值最大. ∴zmax=4×(-1)-3×(- 6)=14, zmin=4×(-3)-3×2=-18 (2)设 u=x2+y2,则 u为点(x,y)到原点(0,0)的距离,结合不等式组所表示的区域,不难 知道点 B 到原点的距离最大;而当(x,y)在原点时,距离为 0. ∴umax=(-1)2+(-6)2=37,umin=0. 11.某公司计划 2013 年在甲、乙两家电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用 不超过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分和 200 元/分.规定甲、乙两 家电视台为该公司所做的每分钟广告, 能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元. 问 该公司如何分配在甲、乙两家电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少 万元? 解析:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元.

x+y≤300, ? ? 由题意得?500x+200y≤90000, ? ?x≥0,y≥0. 目标函数为 z=3000x+2000y. x+y≤300, ? ? 二元一次不等式组等价于?5x+2y≤900, ? ?x≥0,y≥0. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图. 作直线 l:3000x+2000y=0,即 3x+2y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.
?x+y=300, ? 联立? ? ?5x+2y=900. ?x=100, ? 解之,得? ? ?y=200.

5

∴点 M 的坐标为:(100,200). ∴zmax=3000×100+2000×200=700000(元). 答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最 大收益是 70 万元. 12.设函数 f(θ )= 3sinθ +cosθ ,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非 负半轴重合,终边经过点 P(x,y),且 0≤θ ≤π . 1 3 (1)若点 P 的坐标为( , ),求 f(θ )的值; 2 2 x+y≥1 ? ? (2)若点 P(x,y)为平面区域 Ω :?x≤1 ? ?y≤1 并求函数 f(θ )的最小值和最大值. 3 ? ?sinθ = 2 , 解析:(1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得? 1 cosθ = . ? ? 2 于是 f(θ )= 3sinθ +cosθ = 3× 3 1 + =2 2 2

,上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,

(2)作出平面区域 Ω (即三角区域 ABC)如图所示,其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1). π 于是 0 ≤θ ≤ . 2 π π π 2π 又 f(θ )= 3sinθ +cosθ =2sin(θ + ),且 ≤θ + ≤ , 6 6 6 3 π π π 故当 θ + = ,即 θ = 时,f(θ )取得最大值,且最大值等于 2; 6 2 3 π π 当 θ + = ,即 θ =0 时,f(θ )取得最小值,且最小值等于 1. 6 6

6


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