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必修一第三章指数函数与对数函数复习教案


第三章
教学目标:

指数函数与对数函数总复习

1、 知识与技能 (1) 理解有理数指数幂的含义,掌握幂的运算性质 (2) 理解指数函数的概念和性质,能画出指数函数的图像 (3) 通过实例,了解指数函数模型背景 (4) 理解对数的概念及运算性质,会灵活运用换底公式 (5) 理解对数函数的概念和性质,能画出对数函数的图像 (6) 通过实例,了解对数函数模型背景 (7) 知道指数函数与对数函数互为反函数,理解互为反函数的两个函数的定义域与值域的关系, 以及会求一个函数的反函数。 (8) 体会三种函数的增长率。 2、 过程与方法 让学生结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程与方法。 3、 情感、态度与价值 (1) 通过本章的学习,充分认识到数学的应用价值 (2) 培养学生的观察问题、分析问题的能力 (3) 体会函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法。

教学重点:1.指数函数与对数函数的概念
2.指数函数与对数函数的图像、性质和运算性质 3.函数增长快慢的比较

教学难点:指数函数与对数函数的图像及性质的应用

m n a , n为根指数,a为被开方数 ? ? ? ?根式: ?n m ? ? ? ? a ?an ? ? ? ?分数指数幂 ? ? ? ? r s r ? s ?a a ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) ? ?指数的运算 ? ? ? ? ?指数函数 r s rs ? ?性质 ?( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) ? ? ?( ab) r ? a r b s ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ? ? ? ? ? ? ? x ? ?指数函数 ?定义:一般地把函数y ? a ( a ? 0且a ? 1)叫做指数函数。 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ?对数:x ? log a N , a为底数,N 为真数 ? ? ? ? ?log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ; ? ? ? 基本初等函数 ? ? ? ? ? ?log a M ? log a M ? log a N ; ? ? ? . N ?对数的运算 ?性质 ? ? ? n ? ? ?log a M ? n log a M ; ( a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0) ?对数函数 ? ? ? ? ? log c b ? log a b ? (a, c ? 0且a, c ? 1, b ? 0) ? ?换底公式: ? ? log a ? c ? ? ? ? ? 定义:一般地把函数 y ? log a x ( a ? 0且a ? 1)叫做对数函数 ?对数函数 ? ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ? 定义:一般地,函数y ? x? 叫做幂函数,x是自变量,? 是常数。 ?幂函数 ? ? ? ?性质:见表2 ?

表1 定义域 值域

指数函数

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?
x?R

对数数函数

y ? loga x ? a ? 0, a ? 1?
x ? ? 0, ???
y?R

y ? ? 0, ???

图象

过定点 (0,1) 减函数 增函数
x ? (??,0)时,y ? (0,1) x ? (0, ??)时,y ? (1, ??)

过定点 (1, 0) 减函数 增函数

x ? (??,0)时,y ? (1, ??) x ? (0, ??)时,y ? (0,1)
性质

x ? (0,1)时,y ? (0, ??) x ? (1, ??)时,y ? (??,0)

x ? (0,1)时,y ? (??,0) x ? (1, ??)时,y ? (0, ??)

a?b
表2

a?b

a?b
幂函数 y ? x? (? ? R)

a?b

??

p q

? ?0

0 ?? ?1

? ?1

? ?1

p为奇数 q为奇数

奇函数

p为奇数 q为偶数

p为偶数 q为奇数
第一象限性质 减函数 增函数

偶函数

(0, 1) 过定点

题型一:指数式、对数式的运算(换底公式) 1、计算
? 1 ?1 1 0 ?3 2 (1) ( ) ? 4 ? (?2) ? ( ) ? 9 2 4 1

(2) ( 9) ( 10 ) ? 1002
3 2

?

2 3

9 2

5

(3) lg 500 ? lg

8 1 2 ? lg 64 ? 50 ? lg 2 ? lg 5 ? 5 2
1 ? 4 lg 3 ? 4 ? lg 6 ? lg 0.02 3
1 6 5 6

(4) 1 ? lg 0.001 ? lg 2 2、化简

(1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b ) (2) (3)

2 3

1 2

1 2

1 3

?

a ?1 ?

?

2

?1 ? a ?

2

? 3 ?1 ? a ?

3

2 lg 8 ? 3 lg 3 ; 2 2 ? lg 0.36 ? lg 8 3
loga 27 ? loga 8 ? loga 1000 (0 ? a ? 1) 1 loga 0.3 ? loga 2 2
1? 2 x 1? x ? y

(4)

3、求值 (1)已知 12x=3,12y=2,求 8 的值

(2)若 a ? 1, b ? 0 ,且 ab ? a?b ? 2 2 ,则 ab ? a ?b 的值等于 (3)已知 a x ? 6 ? 5(a ? 0), 求
a 3 x ? a ?3 x 的值。 a x ? a ?x

题型二:定义域、值域及最值(反函数) 1.函数 y ? 8
1 2 x ?1

的定义域是______;值域是______.

?1? 2.函数 y ? ? ? ?3?

?2 x 2 ?8 x ?1

(?3 ≤ x ≤ 1) 的值域是



1 1 3.求函数 y ? ( ) x ? ( ) x ? 1 在 x ?? ?3, 2? 上的值域。 4 2

4.已知 y ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 3, 当其值域为 [1, 7] 时,求 x 的取值范围。 5.求函数 f ( x) ? log 的定义域。 2 x?1 3x ? 2

6.已知函数 f ( x) ? loga (a ? a x ) (a ? 1) ,求 f ( x) 的定义域和值域; 7.若函数 y=log2(kx2+4kx+3)的定义域为 R,则实数 k 的取值范围是_____。 8.若函数 y=lg(ax2+2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围为_ 9.设函数 y ? 4 ? log2 ( x ?1)( x ≥ 3) ,则其反函数的定义域为_ 10.函数 f ( x) ? 3x (0 ? x ≤ 2) 的反函数的定义域为 题型三:比较大小
1.比较同真数不同底数的对数大小(图像法,换底公式推论 1,中间值) 2.比较同底数不同真数的对数大小(对数函数单调性,作差法) 3.比较真数底数都不同的对数大小(中间值) 4.比较同底数不同指数的幂大小(指数函数单调性,作商法) 5.比较同指数不同底数的幂大小(幂函数单调性,作商法) 6.比较指数底数都不同的幂大小(中间值,作商法,对数法) 7.幂与对数比较大小(中间值)

_。





方法:作差法、作商法、利用函数单调性、中间值、函数图像、对数法 1.比较下列各组数的大小
3 4 ? 1.7 2.5 与 1.7 3.1 (2)( ) 6 与 ( ) 5 (3)a 3 与 a 2 (a ? 0且a ? 1) (1) 4 3
1

1

1

1

1.7 0.3 与 1.8?0.2 (4)

5 ?1 1 3 2 2 ( ) 2 (5) 3 与 ( ) (6) 0.2 0.5 与 0.4 0.3 (7) 2 与 3 5 2 ? ( ) 8 (10) 3 与 log9 41
7

2

(8) 1816 与 1618

(9) log1.2 2.3 与 log1.1 2.3

(11)

ln 2 ln 3 与 2 3

题型四:图像及性质、单调性、奇偶性 2 1. 设 a 为实数,f(x)=a- x (x∈R).(1)证明 f(x)在 R 上为增函数; 2 +1 (2)试确定 a 的值,使 f(x)为奇函数. 2.函数 y=loga(-x2-4x+12)(0<a<1))的单调递减区间是 3.函数 y=log 1 (x 2 -ax+3a)在[2,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围是
2

4.若 log a

1 ? 1 ,则实数 a 的取值范围是 2

5.已知 y ? loga x 在[2,4]上的最大值比最小值大 1,求实数 a 的值. 6.函数 y=log2(1-x)的图象是
y y y y

O

1

x

-1 O

x

O

1

x

O 1

x

7. 已知函数 y ? f ( x) 是奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? 3x ? 1, 设 f ( x ) 的反函数是 y ? g ( x ) , 则 g ( ?8) ? 8. 设 0 ? a ? 1, f (loga x) ?
a(x2 ? 1) (2)求证: f (x) 在 R 上为增函数. . (1)求 f (x) ; x(a2 ? 1)

题型五:指数函数、对数函数与不等式 设 a ? 1 ,则 a f ? x? ? a g ? x? ? f ? x ? ? g ? x ? ; loga f ? x ? ? loga g ? x ? ? 0 ? f ? x ? ? g ? x ? . 设 0 ? a ? 1 ,则 a f ? x? ? a g ? x? ? f ? x ? ? g ? x ? ;loga f ? x ? ? loga g ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? 0 .
1 2 1.已知对一切 ? 1 ? x ? 2 ,不等式 ( ) x ?2 x ? a ? 0 成立,求实数 a 的取值范围。 2

2.解不等式 a 2 x ?x ? a 2 x?1 (a ? 0且a ? 1) 3.求不等式 loga (2 x ? 7) ? loga (4 x ? 1) (a ? 0, 且a ? 1) 中 x 的取值范围 4.若 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,求 a 的取值范围。 题型六:指数函数、对数函数与方程

2

?1? ?1? 1.若方程 ? ? ? ? ? ? 4? ? 2?

x

x ?1

? a ? 0 有正数解,则实数 a 的取值范围是

2.关于 x 方程 a x ? ? x 2 ? 2x ? a(a ? 0, 且a ? 1) 的解的个数是 3.设 a 是实数,试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根的个数. 解
? x ? 1? 0 ? 原方程可化为 ?3 ? x? 0 ?( x ? 1)(3 ? x) ? a ? x ?

?1? x?3 即? 2 ?? x ? 5 x ? 3 ? a
作出 y=-x2+5x-3(1<x<3)及 y=a 的图像如右. 5 13 当 x=1 时 y=1,当 x=3 时 y=3,当 x= 时 ymax= 2 4 由图像知 13 ①当 a> 或 a≤1 时,两曲线无公共点,故原方程无实根。 4 13 ②当 1<a≤3 或 a= 时,两曲线有一个公共点,故原方程有一个实根。 4 13 ③当 3<a< 时,两曲线有两个公共点,故原方程有两个实根。 4


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