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2016高考数学大一轮复习 9.3圆的方程教师用书 理 苏教版


§9.3

圆的方程

1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 3.圆的标准方程 (x-a) +(y-b) =r (r>0),其中(a,b)为圆心,r 为半径. 4.圆的一般方程
2 2 2

E? ? D x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0,其中圆心为?- ,- ?,半径 r=

? 2

2?

D2+E2-4F
2

.

5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r ,点 M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0-a) +(y0-b) =r ; (2)点在圆外:(x0-a) +(y0-b) >r ; (3)点在圆内:(x0-a) +(y0-b) <r . 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ ) (2)已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),则以 AB 为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2)=0.( √ )
(3) 方程 Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 表示圆的充要条件是 A = C≠0, B = 0 , D + E - 4AF>0.( √ )
2 2 2 2

1

(4)方程 x +2ax+y =0 一定表示圆.( ?

2

2

)

? 1? 2 2 (5)圆 x +2x+y +y=0 的圆心是?1, ?.( ? ) ? 2?

1. x +y -4x+6y=0 的圆心坐标是________. 答案 (2,-3)

2

2

? ? 2 2 2 2 解析 圆 x +y +Dx+Ey+F=0 的圆心为?- ,- ?,∴圆 x +y -4x+6y=0 的圆心为(2, 2? ? 2
D E
-3). 2.若点(1,1)在圆(x-a) +(y+a) =4 的内部,则实数 a 的取值范围是________. 答案 -1<a<1 解析 ∵点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a) +(1+a) <4,∴-1<a<1. 3.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程为______________. 答案 (x-2) +y =10 解析 设圆心坐标为(a,0), 易知 ?a-5? +?-1? = ?a-1? +?-3? , 解得 a=2,∴圆心为(2,0),半径为 10, ∴圆 C 的方程为(x-2) +y =10. 4.若圆(x+1) +(y-3) =9 上相异两点 P,Q 关于直线 kx+2y-4=0 对称,则 k 的值为 ________. 答案 2 解析 圆是轴对称图形, 过圆心的直线都是它的对称轴. 已知圆的圆心为(-1,3), 由题设知, 直线 kx+2y-4=0 过圆心,则 k?(-1)+2?3-4=0,解得 k=2.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

题型一 求圆的方程 例 1 根据下列条件,求圆的方程. (1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; (2)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2). 思维点拨 (1)设圆的一般方程,利用待定系数法求解. (2)求圆心和半径,确定圆的标准方程.

2

解 (1)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, 将 P、Q 两点的坐标分别代入得
? ?2D-4E-F=20, ? ?3D-E+F=-10. ?
2

2

2

① ②

又令 y=0,得 x +Dx+F=0.③ 设 x1,x2 是方程③的两根, 由|x1-x2|=6 有 D -4F=36,④ 由①、②、④解得 D=-2,E=-4,F=-8,或 D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为
2

x2+y2-2x-4y-8=0,或 x2+y2-6x-8y=0.
4x0-2 (2)方法一 如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得 =1, 3-x0 ∴x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径 r=2 2, 故圆的方程为(x-1) +(y+4) =8. 方法二 设所求方程为(x-x0) +(y-y0) =r ,
2 2 2 2 2

y =-4x , ? ??3-x ? +?-2-y ? =r , 根据已知条件得? |x +y -1| =r, ? ? 2
0 0 2 2 2 0 0 0 0

=1, ?x 解得?y =-4, ?r=2 2.
0 0

因此所求圆的方程为(x-1) +(y+4) =8. 思维升华 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径 r 有关,则设圆的标准方程依据已知条件列出关于 a,b,

2

2

r 的方程组,从而求出 a,b,r 的值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径, 则选择圆的一般方程, 依据已知条件列出关于 D、 E、

F 的方程组,进而求出 D、E、F 的值.
(2014?陕西)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标准方程为____________. 答案 x +(y-1) =1 解析 由题意知圆 C 的圆心为(0,1),半径为 1,所以圆 C 的标准方程为 x +(y-1) =1. 题型二 与圆有关的最值问题
3
2 2 2 2

例 2 已知实数 x、y 满足方程 x +y -4x+1=0.求: (1) 的最大值和最小值; (2)y-x 的最小值; (3)x +y 的最大值和最小值. 思维点拨 显然实数 x,y 所确定的点在圆 x +y -4x+1=0 上运动, 而 则可看成是圆上的点与原点连线的斜率,
2 2 2 2

2

2

y x

y x

y-x 可以转化为截距,x2+y2 可以看成是圆上点与原点距离的平方.
解 (1)如图,方程 x +y -4x+1=0 表示以点(2,0)为圆心,以 3为 半径的圆. 设 =k,即 y=kx, 则圆心(2,0)到直线 y=kx 的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最 大、最小值. 由 |2k-0| 2 = 3,解得 k =3, 2 k +1
2 2

y x

∴kmax= 3,kmin=- 3. (也可由平面几何知识,得 OC=2,CP= 3,∠POC=60°,直线 OP 的倾斜角为 60°,直线

OP′的倾斜角为 120°)
(2)设 y-x=b,则 y=x+b,仅当直线 y=x+b 与圆切于第四象限时,截距 b 取最小值,由 点到直线的距离公式, 得 |2-0+b| = 3,即 b=-2± 6, 2

故(y-x)min=-2- 6. (3)x +y 是圆上点与原点的距离的平方,故连结 OC, 与圆交于 B 点,并延长交圆于 C′,则 (x +y )max=OC′ =(2+ 3) =7+4 3, (x +y )min=OB =(2- 3) =7-4 3. 思维升华 (1)与圆相关的最值,若几何意义明显时,可充分利用几何性质,借助几何直观求 解.否则可转化为函数求最值. (2)①形如 u=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y-b 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如 t=ax+by 形 x-a
2 2

式的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如(x-a) +(y-b) 形式的最值问 题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
4

已知两点 A(-1,0),B(0,2),点 P 是圆(x-1) +y =1 上任意一点,则△PAB 面 积 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 是

2

2

_______________________________________________________. 答案 2+ 5 5 ,2- 2 2

解析 如图,圆心(1,0)到直线 AB: 2x-y+2=0 的距离为 d= 4 5 , 4 5 +1,最小值是 4 5 -1,

故圆上的点 P 到直线 AB 的距离的最大值是 又 AB= 5, 故△PAB 面积的最大值和最小值分别是 2+ 题型三 与圆有关的轨迹问题

5 5 ,2- . 2 2

例 3 设定点 M(-3,4), 动点 N 在圆 x +y =4 上运动, 以 OM、 ON 为两边作平行四边形 MONP, 求点 P 的轨迹. 思维点拨 结合图形寻求点 P 和点 M 坐标的关系,用相关点法(代入法)解决.

2

2

? ? 解 如图所示,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为? , ?, ?2 2?
x y
线段 MN 的中点坐标为? 分,
? ?x0=x+3, x x0-3 y y0+4 故 = , = .从而? 2 2 2 2 ?y0=y-4. ?

?x0-3,y0+4?.由于平行四边形的对角线互相平 2 ? ? 2 ?

N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求轨迹为圆:(x+3) +(y-4) =4,
2 2

? 9 12? ? 21 28? 但应除去两点?- , ?和?- , ?(点 P 在直线 OM 上的情况). ? 5 5? ? 5 5?
思维升华 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: ①直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法:根据圆、直线等定义列方程. ③几何法:利用圆的几何性质列方程. ④代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. (2014?课标全国Ⅰ)已知点 P(2,2),圆 C:x +y -8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点.
5
2 2

(1)求 M 的轨迹方程; (2)当 OP=OM 时,求 l 的方程及△POM 的面积. 解 (1)圆 C 的方程可化为 x +(y-4) =16, 所以圆心为 C(0,4),半径为 4. → → 设 M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y). → → 由题设知CM?MP=0, 故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1) +(y-3) =2. 由于点 P 在圆 C 的内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1) +(y-3) =2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于 OP=OM,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上. 又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM. 1 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为- , 3 1 8 故 l 的方程为 y=- x+ . 3 3 又 OM=OP=2 2,
2 2 2 2 2 2

O 到 l 的距离为 PM=
4 10 , 5

4 10 , 5

16 所以△POM 的面积为 . 5

利用几何性质巧设方程求半径 典例:在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x -6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上,求圆 C 的 方程. 思维点拨 本题可采用两种方法解答,即代数法和几何法. 规范解答 解 一般解法 (代数法)曲线 y=x -6x+1 与 y 轴的交点为(0,1), 与 x 轴的交点为(3+2 2, 0),(3-2 2,0),设圆的方程是 x +y +Dx+Ey+F=0 (D +E -4F>0),
2 2 2 2 2 2

6

?1+E+F=0, 则有??3+2 2? +D?3+2 ??3-2 2? +D?3-2
2 2 2 2 2

2?+F=0, 2?+F=0,

D=-6, ? ? 解得?E=-2, ? ?F=1,

故圆的方程是 x +y -6x-2y+1=0. 巧妙解法 (几何法)曲线 y=x -6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2, 0),(3-2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 3 +(t-1) =(2 2) +t , 解得 t=1.则圆 C 的半径为 3 +?t-1? =3, 所以圆 C 的方程为(x-3) +(y-1) =9. 温馨提醒 (1)一般解法(代数法):可以求出曲线 y=x -6x+1 与坐标轴的三个交点,设圆 的方程为一般式,代入点的坐标求解析式. 巧妙解法(几何法):利用圆的性质,知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上,从而设 圆的方程为标准式,简化计算.显然几何法比代数法的计算量小,因此平时训练多采用几何 法解题.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

方法与技巧 1.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法,是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形 式,进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算. 失误与防范 1. 求圆的方程需要三个独立条件, 所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方 程. 2.过圆外一定点,求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率不 存在的情况.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1 .设圆的方程是 x + y + 2ax + 2y + (a - 1) = 0 ,若 0<a<1 ,则原点与圆的位置关系是 __________________. 答案 原点在圆外
7
2 2 2

解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x+a) +(y+1) =2a, 因为 0<a<1,所以(0+a) +(0+1) -2a=(a-1) >0, 即 ?0+a? +?0+1? > 2a,所以原点在圆外. 2.点 P(2,-1)为圆(x-1) +y =25 内弦 AB 的中点,则 AB 的方程为________. 答案 x-y-3=0 解析 由题意可知圆心 Q(1,0),故 kPQ=-1. ∴kAB=1,∴AB 的方程为 y+1=1?(x-2). 即 x-y-3=0. 3.已知点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x +y -2x=0 上任意一点,则△ABC 面积的最小值 是________. 答案 3- 2 解析 圆的标准方程为(x-1) +y =1. 直线 AB 的方程为 x-y+2=0, |1-0+2| 3 2 圆心(1,0)到直线 AB 的距离 d= = . 2 2 3 2 则点 C 到直线 AB 的最短距离为 -1. 2 又 AB=2 2. 1 ?3 2 ? ∴S△ABC 的最小值为 ?2 2?? -1?=3- 2. 2 ? 2 ? 4.点 P(4,-2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点的轨迹方程是________________. 答案 (x-2) +(y+1) =1 解析 设圆上任一点坐标为(x0,y0),
2 x2 0+y0=4,连线中点坐标为(x,y), 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

? ?2x=x0+4 则? ?2y=y0-2 ?
2 2

??

? ?x0=2x-4, ?y0=2y+2, ?
2 2

代入 x0+y0=4 中得(x-2) +(y+1) =1. 1 2 2 2 5.若直线 ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆 x +y -4x-2y-8=0 的周长,则 + 的最

a b

小值为________________________________________________________________________. 答案 3+2 2 解析 由题意知圆心 C(2,1)在直线 ax+2by-2=0 上, ∴2a+2b-2=0,整理得 a+b=1, 1 2 1 2 b 2a ∴ + =( + )(a+b)=3+ +

a b

a b

a

b

8

≥3+2

b 2a ? =3+2 2, a b b 2a ,即 b=2- 2,a= 2-1 时,等号成立. a b

当且仅当 =

1 2 ∴ + 的最小值为 3+2 2.

a b

6.(2013?江西)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是 __________________.

? 3?2 25 2 答案 (x-2) +?y+ ? = ? 2? 4
解析 如图,设圆心坐标为(2,y0),则
? ?y0+4=r , ? ?|1-y0|=r, ?
2 2

3 5 解得 y0=- ,r= , 2 2

? 3?2 25 2 ∴圆 C 的方程为(x-2) +?y+ ? = . ? 2? 4
7.若方程 x +y -2x+2my+2m -6m+9=0 表示圆,则 m 的取值范围是________;当半径最 大时,圆的方程为______________________. 答案 2<m<4 (x-1) +(y+3) =1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解析 ∵原方程可化为(x-1) +(y+m) =-m +6m-8,∴r =-m +6m-8=-(m-2)(m- 4)>0, ∴2<m<4. 当 m=3 时,r 最大为 1, 圆的方程为(x-1) +(y+3) =1. 8.已知圆 x +y +2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称,则 a-b 的取值范围是 ________. 答案 (-∞,1) 解析 ∵圆的方程可化为(x+1) +(y-2) =5-a, ∴其圆心为(-1,2),且 5-a>0,即 a<5. 又圆关于直线 y=2x+b 成轴对称, ∴2=-2+b,∴b=4.∴a-b=a-4<1. 9.一圆经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为 2,求此圆的方程. 解 设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0. 令 y=0,得 x +Dx+F=0,所以 x1+x2=-D.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

9

令 x=0,得 y +Ey+F=0,所以 y1+y2=-E. 由题意知-D-E=2,即 D+E+2=0.① 又因为圆过点 A、B,所以 16+4+4D+2E+F=0.② 1+9-D+3E+F=0.③ 解①②③组成的方程组得 D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为 x +y -2x-12=0. 10.已知圆 C 和直线 x-6y-10=0 相切于点(4,-1),且经过点(9,6),求圆 C 的方程. 解 因为圆 C 和直线 x-6y-10=0 相切于点(4,-1), 1 所以过点(4,-1)的直径所在直线的斜率为- =-6, 1 6 其方程为 y+1=-6(x-4),即 y=-6x+23. 5 5 13 又因为圆心在以(4,-1),(9,6)两点为端点的线段的中垂线 y- =- (x- ), 2 7 2 即 5x+7y-50=0 上, 由?
?y=-6x+23, ? ? ?5x+7y-50=0
2 2

2

解得圆心坐标为(3,5),
2 2

所以半径为 ?9-3? +?6-5? = 37, 故所求圆的方程为(x-3) +(y-5) =37. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 1.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之 差最大,则该直线的方程为________________. 答案 x+y-2=0 解析 当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时,符合条件. 圆心 O 与 P 点连线的斜率 k=1, ∴过点 P 垂直于 OP 的直线方程为 x+y-2=0. 2.(2014?山东)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的 长为 2 3,则圆 C 的标准方程为______________________. 答案 (x-2) +(y-1) =4 解析 设圆 C 的圆心为(a,b)(b>0), 由题意得 a=2b>0,且 a =( 3) +b , 解得 a=2,b=1. ∴所求圆的标准方程为(x-2) +(y-1) =4. 3.设 P 为直线 3x+4y+3=0 上的动点,过点 P 作圆 C:x +y -2x-2y+1=0 的两条切线,
10
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

切点分别为 A,B,则四边形 PACB 的面积的最小值为________. 答案 3
2 2

解析 依题意,圆 C:(x-1) +(y-1) =1 的圆心是点 C(1,1),半径是 1, 10 易知 PC 的最小值等于圆心 C(1,1)到直线 3x+4y+3=0 的距离,即 =2, 5 而四边形 PACB 的面积等于 1 2S△PAC=2? PA?AC 2 =PA?AC=PA= PC -1, 因此四边形 PACB 的面积的最小值是 2 -1= 3. 4.已知 D 是由不等式组? 长为________. 答案 π 2
2 2 2 2

? ?x-2y≥0, ?x+3y≥0 ?

所确定的平面区域,则圆 x +y =4 在区域 D 内的弧

2

2

解析 作出可行域 D 及圆 x +y =4,如图所示, 图中阴影部分所在圆心角 θ =α -β 所对的弧长即为所求. 1 1 1 易知图中两直线的斜率分别为 、- ,得 tan α = ,tan β 2 3 2 1 1 + 2 3 tan θ =tan(α -β )= =1, 1 1 1- ? 2 3 π π π 得 θ = ,得弧长 l=θ ?R= ?2= (R 为圆的半径). 4 4 2 5.(2013?课标全国Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2, 在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. 2 1 =- , 3

解 (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 则 y +2=r ,x +3=r . ∴y +2=x +3,即 y -x =1. ∴P 点的轨迹方程为 y -x =1. (2)设 P 的坐标为(x0,y0),
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

11



|x0-y0| 2 = ,即|x0-y0|=1. 2 2

∴y0-x0=±1,即 y0=x0±1. ①当 y0=x0+1 时,由 y0-x0=1 得(x0+1) -x0=1. ∴?
? ?x0=0, ?y0=1, ?
2 2 2 2

∴r =3.
2 2

2

∴圆 P 的方程为 x +(y-1) =3. ②当 y0=x0-1 时,由 y0-x0=1 得(x0-1) -x0=1. ∴?
? ?x0=0, ?y0=-1, ?
2 2 2 2

∴r =3.
2 2

2

∴圆 P 的方程为 x +(y+1) =3. 综上所述,圆 P 的方程为 x +(y±1) =3.
2 2

12


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