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数学归纳法


数学归纳法

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1 1 1 1 1.已知 f(n)=n+ + +?+ 2,则( n n+ 1 n+ 2 1 1 A.f(n)中有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 C.f(n)中有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 D.f(n)中有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 1 127 2.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> (n∈N*)成立,其初始 2 4 64 2 值至少应取( A.7 ) B.8 C.9 D.10 )

3.如果命题 p(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+2 也成立.若 p(n)对 n=2 成 立,则下列结论正确的是( ) B.p(n)对所有正偶数 n 都成立 D.p(n)对所有自然数 n 都成立

A.p(n)对所有正整数 n 都成立 C.p(n)对所有正奇数 n 都成立

4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被 9 整除”,要利用 归纳假设证 n=k+1 时的情况,只需展开( A.(k+3)3 B.(k+2)3 ) D.(k+1)3+(k+2)3

C.(k+1)3

5.数列{an}中,已知 a1=1,当 n≥2 时,an=an-1+2n-1,依次计算 a2, a3,a4 后,猜想 an 的表达式是( A.3n-2 B.n2 ) C.3n-1 D.4n-3

6.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f(x)≥k2 成立时, 总可推出 f(k+1)≥(k+1)2 成立”.那么,下列命题总成立的是( A.若 f(1)<1 成立,则 f(10)<100 成立 )

B.若 f(2)<4 成立,则 f(1)≥1 成立

C.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k2 成立

D.若 f(4)≥25 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k2 成立 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+?+(n+n)= n?3n+1? (n∈N*)的第 2

二步中,当 n=k+1 时等式左边与 n=k 时的等式左边的差等于__________. 8 .若 f(n) = 12 + 22 + 32 +?+ (2n)2 ,则 f(k + 1) 与 f(k) 的递推关系式是 __________. 1 9.在数列{an}中,a1= 且 Sn=n(2n-1)an,通过计算 a2,a3,a4 猜想 an 的 3 表达式是__________. 三、解答题(共 55 分) 1 10. (15 分)已知数列{an}满足 a1=2, an+1=an+a (n∈N*), 求证: an> 2n+1
n

(n∈N*).

11.(20 分)设数列{an}满足 an+1=a2 n-nan+1,n=1,2,3,? (1)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2)当 a1≥3 时,证明对所有的 n≥1,有 an≥n+2.

——探究提升—— 12.(20 分)(2012· 潍坊市高考适应性训练)已知数列{an}是各项均不为 0 的等 1 2 差数列,Sn 为其前 n 项和,且满足 S2n- 1 = an , n ∈ N* ,数列 {bn}满足 bn= 2 2n-1, ? ? ?1 a , ? ?2 n-1 n为奇数 n为偶数, .Tn 为数列{bn}的前 n 项和.

(1)求 an,bn; n (2)试比较 T2n 与 2n2+ 的大小. 3

数学归纳法

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1 1 1 1 1.已知 f(n)= + + +?+ 2,则( n n+ 1 n+ 2 n 1 1 A.f(n)中有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 )

1 1 1 B.f(n)中有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 1 D.f(n)中有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 答案:D

1 1 C.f(n)中有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 解析:项数为 n2-(n-1)=n2-n+1.

1 1 1 f(2)= + + . 2 3 4

1 1 1 127 2.(2012· 山东威海模拟)用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> (n∈N*)成立,其初始值至少 2 4 64 2 应取( A.7 ) B.8 1- C.9 D.10

1 1 1 解析:1+ + +?+ n-1= 2 4 2

1 2n 127 > ,整理得 2n>128,解得 n>7,故原不等式的初始值至少应为 8. 1 64 1- 2 )

3. 如果命题 p(n)对 n=k 成立, 则它对 n=k+2 也成立. 若 p(n)对 n=2 成立, 则下列结论正确的是( A.p(n)对所有正整数 n 都成立 C.p(n)对所有正奇数 n 都成立 解析:归纳奠基是:n=2 成立. ∴p(n)对所有正偶数 n 都成立.
3 3

B.p(n)对所有正偶数 n 都成立 D.p(n)对所有自然数 n 都成立 归纳递推是:n=k 成立,则对 n=k+2 成立. 答案:B

4.用数学归纳法证明“n +(n+1) +(n+2)3(n∈N*)能被 9 整除”,要利用归纳假设证 n=k+1 时的 情况,只需展开( A.(k+3)
3

) B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3

解析:假设当 n=k 时,原式能被 9 整除,即 k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除. 当 n=k+1 时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3 展开,让其出现 k3 即可. 答案:A

5.数列{an}中,已知 a1=1,当 n≥2 时,an=an-1+2n-1,依次计算 a2,a3,a4 后,猜想 an 的表达 式是( ) B.n2 C.3n
-1

A.3n-2

D.4n-3 答案:B

解析:求得 a2=4,a3=9,a4=16,猜想 an=n2.

6.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f(x)≥k2 成立时,总可推出 f(k+1)≥(k+1)2 成立”.那么,下列命题总成立的是( A.若 f(1)<1 成立,则 f(10)<100 成立
2

) B.若 f(2)<4 成立,则 f(1)≥1 成立
2

C.若 f(3)≥9 成立,

则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k 成立 D.若 f(4)≥25 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k 成立 解析:选项 A、B 的答案与条件中不等号方向不同,故 A、B 错;选项 C 中,应该是 k≥3 时,均有 f(k)≥k2 成立;选项 D 符合题意. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 答案:D

7.(2012· 辽宁沈阳模拟)用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+?+(n+n)= 中,当 n=k+1 时等式左边与 n=k 时的等式左边的差等于__________.

n?3n+1? (n∈N*)的第二步 2

解析:当 n=k 时,等式左边为(k+1)+(k+2)+?+(k+k),当 n=k+1 时,等式左边为(k+2)+(k+ 3)+?+(k+1+k+1),所以其差为 3k+2.
2 2 2 2

答案:3k+2

8.若 f(n)=1 +2 +3 +?+(2n) ,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是__________. 解析:∵f(k)=12+22+?+(2k)2, ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. f(k+1)=12+22+?+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2, 答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2

1 9.在数列{an}中,a1= 且 Sn=n(2n-1)an,通过计算 a2,a3,a4 猜想 an 的表达式是__________. 3 1 解析:∵a1= 且 Sn=n(2n-1)· an, 3 1 ∴a1+a2=2×(2×2-1)×a2,∴a2= . 3×5 1 又∵a1+a2+a3=3×(2×3-1)×a3,∴a3= . 5×7 又 a1+a2+a3+a4=4×(2×4-1)×a4,∴a4= 猜想:an= 答案:an= 1 . ?2n-1?×?2n+1? 1 ?2n-1?×?2n+1? 1 . 7×9

三、解答题(共 55 分) 1 10.(15 分)已知数列{an}满足 a1=2,an+1=an+ (n∈N*),求证:an> 2n+1(n∈N*). an 证明:(1)当 n=1 时,a1=2, 2n+1= 3. ∵2> 3,∴不等式成立. (2)假设 n=k 时,不等式成立,即有 ak> 2k+1. 则当 n=k+1 时, 1 2 2 1 1 a2 k+1=(ak+ a ) =ak+ 2+2>2k+1+ 2+2 ak ak k 1 =2(k+1)+1+ 2>2(k+1)+1, ak ∴ak+1> 2?k+1?+1,不等式成立. 从而,对任意的 n∈N*总有 an> 2n+1. 11.(20 分)设数列{an}满足 an+1=a2 n-nan+1,n=1,2,3,? (1)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2)当 a1≥3 时,证明对所有的 n≥1,有 an≥n+2. 解:(1)由 a1=2,得 a2=a2 1-a1+1=3, 由 a2=3,得 a3=a2 2-2a2+1=4, 由 a3=4,得 a4=a2 3-3a3+1=5, 由此猜想 an 的一个通项公式:an=n+1(n≥1). (2)证明:①当 n=1 时,a1≥3=1+2,不等式成立.

②假设当 n=k(k≥1,且 k∈N*)时不等式成立,即 ak≥k+2, 那么,ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3, 也就是说,当 n=k+1 时,ak+1≥(k+1)+2. 根据①和②,对于所有 n≥1,都有 an≥n+2. ——探究提升—— 12.(20 分)(2012· 潍坊市高考适应性训练)已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,Sn 为其前 n 项和, 2n 1, ? 1 2 且满足 S2n-1= an,n∈N*,数列{bn}满足 bn=?1 2 ?2an-1,


n为奇数 n为偶数, .Tn 为数列{bn}的前 n 项和.

(1)求 an,bn; n (2)试比较 T2n 与 2n2+ 的大小. 3 1 解:(1)设{an}首项为 a1,公差为 d,在 S2n-1= a2 中,令 n=1,2,得 2 n
2 2 ?a1=2S1, ?a1=2a1 ? 2 ,即? 2 ?a2=2S3 ??a1+d? =2?3a1+3d?,

解得 a1=2,d=4, ∴an=4n-2.
n 1 ?2 , n为奇数 ∴bn=? ?2n-3,n为偶数


(2)T2n=1+2×2-3+22+2×4-3+24+?+22n 2+2×2n-3


=1+22+24+?+22n 2+4(1+2+?+n)-3n




1-4n n?n+1? 4n 1 +4· -3n= - +2n2-n. 2 3 3 1-4

n 1 ∴T2n-(2n2+ )= (4n-4n-1) 3 3 1 1 当 n=1 时, (4n-4n-1)=- <0, 3 3 1 7 当 n=2 时, (4n-4n-1)= >0, 3 3 1 51 当 n=3 时, (4n-4n-1)= >0,? 3 3 n 猜想当 n≥2 时,T2n>2n2+ ,即 n≥2 时,4n>4n+1. 3 下面用数学归纳法证明: ①当 n=2 时,42=16,4×2+1=9,16>9,成立; ②假设当 n=k(k≥2)时成立,即 4k>4k+1. 则当 n=k+1 时,4k 1=4· 4k>4· (4k+1)=16k+4>4k+5=4(k+1)+1,


∴n=k+1 时成立. 由①②得,当 n≥2 时,4n>4n+1 成立. n 综上,当 n=1 时,T2n<2n2+ , 3 n 当 n≥2 时,T2n>2n2+ . 3


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