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2015-2016学年高中数学 1.2余弦定理课件 苏教版必修5


1. 2

余弦定理

情景导入

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前节学习正弦定理,可以解决三角形中的两类问 题:已知两角及一边,求其余边角;已知两边和 其中一边的对角,求其余边角.那么在三角形中 其他情况下和由三边能否求其余边角?由两边和 夹角呢?

课 标 点 击

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1.掌握余弦定理,了解余弦定理的证明方法. 2.能利用余弦定理解三角形及测量等有关几何问 题.

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要 点 导 航

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知识点1 余弦定理证明 教材中利用几何法通过构造直角三角形,利用勾股 定理证明了余弦定理.对定理的证明还可通过向量 法、解析法等
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→ ·BC → =(AC → -AB → )· → -AB →) 证法一(向量法) 如图 1,a2=BC (AC → 2-2AC → ·AB → +AB →2=AC → 2-2|AC → |·|AB → |cos A+AB →2,即 a2=b2 =AC +c2-2bccos A, 同理可证:b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. 证法二(解析法) 如图 2,以 A 点为原点,以△ABC 的边 AB 所 在直线为 x 轴,以过点 A 与 AB 垂直的直线为 y 轴,建立平面直角 坐标系,则 A(0,0),C(bcos A,bsin A),B(c,0),由两点间的距离 公式得
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BC2=(bcos A-c)2+(bsin A-0)2, a2=b2cos2A-2bccos A+c2+b2sin2A, 即 a2=b2+c2-2bccos A. 同理可证:b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.

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证法三(用正弦定理证明) 因为 b=2Rsin B,c=2Rsin C,所以 b2+c2-2bccos A =4R2(sin2B+sin2C-2sin Bsin Ccos A) =4R2[sin2B+sin2C+2sin Bsin Ccos(B+C)] =4R2(sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sin Bsin C·cos Bcos C) =4R2[sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sin Bsin C·cos Bcos C] =4R2(sin2 Bcos2C+2sin Bsin Ccos Bcos C+sin2C·cos2B) =4R2sin2 (B+C)=4R2sin2A=a2. 同理可证:b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
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知识点2 余弦定理及其应用

内容

三角形任何一边的平方等于其 他两边平方的和,减去这两边 与它们夹角的余弦的积的两倍 第一种形式: a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2 +c2-2accos B,c2=a2+b2- 2abcos C; 第二种形式(变式): cos A=,cos B=,cos C= 1.解决两类解三角形问题:(1) 已知三边,求三角(2)已知两边 及其夹角,求第三边和其他两 角. 2.判断三角形的形状

数学表达式

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用途

知识点3 在解三角形问题时,需掌握的三角关 系式

在△ABC 中,以下的三角关系式,在解答有关的三角形问题时 经常用到,要记准、记熟、灵活地加以运用. A B π C A+B+C=π ; + = - ; 2 2 2 2 sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C; A+B A+B C C sin =cos ,cos =sin ; 2 2 2 2 1 1 1 S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B. 2 2 2
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典 例 解 析

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题型1 利用余弦定理解三角形

例1 在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4, 求A,B,C.

分析:已知三边,可用余弦定理直接求角,先求 出两个角后,再用内角和求第三个角.
使用余弦定理求角时,一般在判断三条边的大小 后,可先求最大角,也可先求最小角,如果最大 角小于60°,最小角大于60°,可知三角形无 解.

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解析:由已知,a<c<b,则∠B 最大. 由余弦定理,得 a2+c2-b2 24+48-(48+24 3) cos B= = 2ac 2×2 6×4 3 1- 3 2- 6 = = <0,∴B=105°. 4 2 2 由正弦定理,得 6+ 2 4 3× c·sin B 4 3·sin 105° 4 sin C= = = = b 6+2 3 6+2 3 3( 6+ 2) 2 = . 6( 6+ 2) 2
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∵b>c,∴C为锐角,C=45°. 于是A=180°-(B+C)=30°. ∴A=30°,B=105°,C=45°. 名师点评:(1)已知三角形三边求角时,可先利用余弦 定理求角,再用正弦定理求解,在用正弦定理求解时, 要根据边的大小确定角的大小,防止产生增解或漏 解.
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(2)若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质 引入k,从而转化为已知三边解三角形.

?变式迁移 1.在△ABC 中,a∶b∶c=3∶5∶7,求最大角.
栏 目 9k2+25k2-49k2 1 链 边,则角 C 为最大角.由余弦定理得 cos C= =- ,接 2 2×3k×5k

解析:令 a=3k,b=5k,c=7k(k>0),根据三角形中大角对大

∴最大角 C=120°.

例 2 已知三角形 ABC 中,b=3,c=3 3,B=30°,则 a= ________. 解析:方法一(利用正弦定理) csin B 3 根据正弦定理和已知条件,有 sin C= = , b 2 ∵c>b,∴C>B.∴C 有两解(锐角或钝角),为 60°或 120°. (1)当 C=60°时,有 A=90°,于是 a=6. (2)当 C=120°时,有 A=30°,于是 a=3,∴a=6 或 3.
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方法二(利用余弦定理) 将 b=3,c=3 3,B=30°代入 b2=a2+c2-2accos B, 有 32=a2+(3 3)2-2a· 3 3·cos 30°, 整理得 a2-9a+18=0,解得 a=6 或 3. 答案:6 或 3
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名师点评:已知两边及一角解三角形有以下两种情况: (1)若已知角是其中一边的对角,有两种解法:一种方 法是利用正弦定理先求角,再求边;另一种方法是用 余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出 另外一边,然后根据边角关系利用正弦定理求解或者 直接利用余弦定理求角.

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?变式迁移 2.(2013· 福建卷)如图,△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, 2 2 AD⊥AC,sin∠BAC= ,AB=3 2,AD=3, 3 求 BD 的长.
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π 解析:∵∠BAC= +∠BAD, 2
2 2 2 2 ∴由 sin∠BAC= 得 cos∠BAD= . 3 3 由余弦定理得 2 2 BD =(3 2) +3 -2×3 2×3× =3, 3
2 2 2

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∴BD= 3.

题型2 利用余弦定理判断三角形形状
例 3 在△ABC 中, 已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 且 2cos Asin B=sin C,试判断△ABC 的形状. 分析:可从问题已知条件出发,寻找三角形的边与边或角与角之 间的关系,然后判断之. 解析:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,可得 (a+b)2-c2=3ab,即 a2+b2-c2=ab, a2+b2-c2 1 ∴cos C= = .故 C=60°. 2ab 2
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又因为 2cos Asin B=sin C,而 sin C=sin(A+B), ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 即 sin Acos B-cos Asin B=0. ∴sin(A-B)=0. 又∵A 与 B 为三角形内角,故 A=B. 由此可知△ABC 为等边三角形.
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名师点评:已知三角形中的边角关系式, 判断三角形的形状,有两种思路:其一 化边为角,再进行三角恒等变换,求出 三个角之间的关系式;其二化角为边, 再进行代数恒等变换,求出三条边之间 的关系式.两种转化主要应用正弦定理 和余弦定理.

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?变式迁移 3.(2013· 陕西卷)设△ABC的内角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则 △ABC的形状为(B) A.锐角三角形 B.直角三角形

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C.钝角三角形

D.不确定

解析:由 bcos C+ccos B=asin A 及正弦定理可得 sin Bcos C+ sin Ccos B=sin2A, 即 sin(B+C)=sin2A,而 sin(B+C)=sin A≠0, ∴sin A=1,即 A=90°. ∴△ABC 是直角三角形.
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题型3 方程思想的应 用

例4

如图所示,在△ABC 中,已知 BC=15,AB∶AC=

4 7∶8,sin B= 3,求 BC 边上的高. 7
分析:由已知设AB=7x,AC=8x,故要求AD的长只 要求出x,△ABC中已知三边只需再有一个角,根据 余弦定理便可求x,而用正弦定理正好可求角C.

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解析:在△ABC 中,设 AB=7x,AC=8x, 7x 8x 由正弦定理得 = , sin C sin B ∴C=60°(C=120°舍去,否则由 8x>7x 知 B 也为钝角, 不合要求). 再由余弦定理得 (7x)2=(8x)2+152-2×8x×15cos 60°,
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∴x2-8x+15=0,∴x=3 或 5.∴AB=21 或 AB=35. 4 在△ABD 中,AD=ABsin B= 3AB, 7 ∴AD=12 3或 AD=20 3. 名师点评:比例式的设法是一种解题技巧,如 a∶b∶c= 3∶4∶5,可设 a=3x,b=4x,c=5x,这种设法可使运算 方便,必须学会.
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?变式迁移 4.在△ABC 中,若 AB=4,AC=7,BC 边上的中线 7 AD 之长为 ,求边长 BC. 2
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解析:AD 是边上的中线,可设 CD=DB=x, 7 ∵c=4,b=7,AD= , 2
?7?2 7 +x -?2? ? ?
2 2

∴在△ADC 中,有 cos C=

2×7x



72+(2x)2-42 在△ABC 中,有 cos C= . 2×7×2x
?7?2 7 +x -?2? 72+(2x)2-42 ? ?
2 2

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2×7x



2×7×2x

.

9 ∴x= ,a=2x=9. 2


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