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高三复习三角函数的图象与性质考点精讲


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专题

三角函数的图象与性质
考点精要

1.熟练作出正、余弦函数、正切函数的图象,掌握图象一些相关特征; 2.能画出 y ? A sin ?? x ? ? ? 的图象,了解函数 y ? A sin ?? x ? ? ? 的物理意义并且了解 参数 A, ?,? 对函数图象变化的影响; 3. 能灵活应用函数 y ? Af ?? x ? ? ? ? B 的图象及其简单性质解决与之相关的一些实 际问题.

热点分析
近几年高考主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及函数的解 析式与图象的关系以及函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与函数 y ? sin x 的图象的关系; 题型以选择题、解答题为主,难度以容易、中档题为主;能力上仍然是以基础知 识和基本方法为主.

知识梳理
1.正弦、余弦、正切函数的图象及性质
函数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

值域

周期性

奇偶性

单调性

对称性

2.图象变换:

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1

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( 1 )相位 变换:函 数 y ? sin( x ? ? ) 的图象 可以看作 是 把函数 y ? sin x 的图象 __________而得到的; ( 2 ) 周 期 变 换 : 函 数 y ? sin ? x 的 图 象 可 以 看 作 是 把 函 数 y ? sin x 的 图 象 __________而得到的; ( 3 ) 振 幅 变 换 : 函 数 y ? As i n x 的 图 象 可 以 看 作 是 把 函 数 y ? s i nx 的 图 象 ___________而得到的; ( 4 ) 平 移 变 换 : 函 数 y ? sin x ? k 的 图 象 可 以 看 作 是 把 函 数 y ? sin x 的 图 象 __________而得到的; ( 5 )将函数 y ? sin x 的图象经过相位变换、周期变换、振幅变换得到函数
y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的图象.

即:将函数 y ? sin x 的图象 __________ 得到函数 y ? sin(x ? ? )的图象;再将函数
y ? sin(x ? ? ) 的图象 __________ 得到函数 y ? sin( ? x ? ? )的图象;然后再将函数 y ? sin(? x ? ? ) 的图象__________得到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象.

或:将函数 y ? sin x 的图象__________得到函数 y ? sin ? x 的图象;再将函数
y ? sin ? x 的图象__________得到函数 y ? sin(? x ? ? ) 的图象;然后再将函数 y ? sin(? x ? ? ) 的图象__________得到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象.

例题精讲: 例 1 函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为( A.1 B. ) D.2

2

C. 3

例 2 把函数 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

? 个单位长度, 再把 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象 2

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2

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所表示的函数是(



?? ? A. y ? sin ? 2 x ? ?,x ? R 3? ?
?? ? C. y ? sin ? 2 x ? ?,x ? R 3? ?

? x ?? B. y ? sin ? ? ?,x ? R ?2 6?
?? ? ? D. y ? sin ? 2 x ? ?,x ? R 3 ? ?

例 3 已知函数 f ( x) ? cos4 x ? 2sin x cos x ? sin 4 x . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)若 x ?[0, ] ,求 f ( x) 的值域.
π 2

例4

将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 ).

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得 4

图象的函数解析式是( A. y ? cos 2 x

B. y ? 2cos2 x

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? 2sin 2 x

例 5 例 12、如图为函数 f ( x) ? Asin(?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0), ? ? ? 的图象, ,由图中 条件可知该函数解析式为 。

例 6.

? 1 (1)设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x sin( ? x) ? . 2 2
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;

? (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 2
答案:

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3

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? ? 2 ? ,1? 2 ?

例题精讲:例 1 B

例2 C

例3

(1) T ? π

针对训练
1. y ? (sin x ? cos x)2 ?1 是( A.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 ) B.最小正周期为 2 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

? 2. 函数 y ? sin(2 x ? ) 图像的对称轴方程可能是( ) 3 ? ? ? ? A. x ? ? B. x ? ? C. x ? D. x ? 6 12 6 12 ? 3.函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 2

g(x)的解析式为(
A.-sinx

) B.sinx C.-cosx D.cosx )

4. 已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x) 是( A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数 B、最小正周期为

? 的奇函数 2 ? D、最小正周期为 的偶函数 2
) D. -2, )
3 2

5. 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( A. -3,1 B. -2,2 C. -3,
3 2

π? 4 7π ? ? ? 6. 已知 cos ? ? ? ? ? sin ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? 的值是( 6? 5 6 ? ? ?
A. ?
2 3 5

B.

2 3 5

C. ?

4 5

D.

4 5

7. 设 a ? sin

5? 2? 2? , b ? cos , c ? tan ,则( 7 7 7

) D. b ? a ? c

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. b ? c ? a

8. 在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos(

x 3? ? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和直线 2 2

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y?

1 的交点个数是( 2

) (C)2 (D)4
? 对称的是( 3

(A)0

(B)1

9.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?
? 3 ? C. y ? sin(2 x ? ) 6

)

A. y ? sin(2 x ? )

? 6 x ? D. y ? sin( ? ) 2 3

B. y ? sin(2 x ? )

10.函数 y ? sin x ? cos x 的最小值和最小正周期分别是( A. ? 2,2? B. ?2, 2? C. ? 2, ? C. 2

) D. ?2, ? D.2

11.函数 y ? 2sin x(sin x ? cos x) 的最大值为 A. 1 ? 2 B. 2 ? 1
π π 2 2 1 2

12.当 x ? [? , ] 时,函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的值域是 A.[?1, 1] B. [? ,1]
π 4

C.[?2, 2]

D.[?1, 2]

13.在下列各区间中,函数 y ? sin( x ? ) 的单调递增区间是
? ? A. ? , π ? ?2 ? π

B. ? 0, ? ? 4?

?

π?

C



??π,0?

D. [ , ] 14

π π 4 2

? ?? ? f ? x ? ? cos ? ? x ? ? 的最小正周期为 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 5 6? ?


2sin 2 x ? 1 ? ?? 15. 设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ? 的最小值为 sin 2 x ? 2?

16. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;
? ? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. 6 2 ? ? ? ?

17

已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? )的周期为 ? ,且 5

? 2

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图象上一个最低点为 M (

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0,

? ] ,求 f ( x) 的最值. 12

18. 设函数 f ( x) ? (sin ?x ? cos ?x)2 ? 2cos2 ?x(? ? 0) 的最小正周期为 (Ⅰ)求 ? 的最小正周期.
? 2

2? . 3

(Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 个单位长度得到,求
y ? g ( x) 的单调增区间.

针对训练 1 D 2 D 3 A 4 D 5 C 6 C 7 D 8 C 9.B 10.A 14 10 15

11.A

12.D

13.B

3
? ?
3

16. (Ⅰ)函数 f ( x) 的最小正周期为 π .
? ? (Ⅱ) f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

17. (Ⅰ) f ( x) ? 2sin(2 x ? )
? 6 ? ? ? 当2x+ ? ,即x ? 时,f ( x)取得最大值 3 6 3 12 3 18. (Ⅰ) ? 的最小正周期为 . 2 2 ? 2 7? (Ⅱ) y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k ? ? , k ? ? ] (k ? Z) 3 4 3 12

? 6

(Ⅱ)当 2x+ ? 时,即 x=0 时, f ( x) 取得最小值 1;

? 6

21 世纪 教育网

高考链接
1(06 北京文)函数 y=1+cosx 的图象 (A)关于 x 轴对称 (B)关于 y 轴对称
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(C)关于原点对称

(D)关于直线 x=

? 对称 2


2(07 北京文)函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是(
π B. π C. 2 π D. 4 π 2 3(08 北京文)若角α 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2α 的值为 4(11 北京文) (本小题共 13 分)

A.

.

? 已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 . 6
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期:
? ? ?? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 4?

5(10 北京文) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x

? (Ⅰ)求 f ( ) 的值; 3
(Ⅱ)求 f ( x) 的最大值和最小值 6(06 北京文) (本小题共 12 分) 1 ? sin 2 x 已知函数 f(x)= cos x (Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)设α 是第四象限的角,且 tan ? = ?
4 ,求 f( ? )的值. 3

答案 1B

2B

3

4 3

4

解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?
3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

?
6

) ?1

? 4 cos x(

? 3 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 1

? 3 sin 2x ? cos2x

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? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

所以 f ( x) 的最小正周期为 ? (Ⅱ)因为 ?

?
6

?x? ?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? . 3

于是,当 2 x ? 当 2x ? 5

?
6

?
2

, 即x ?

?
6

时, f ( x) 取得最大值 2;

?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 取得最小值—1. 6 6

?

? 2? ? 3 1 ? sin 2 = ?1 ? ? ? 解: (Ⅰ) f ( ) ? 2 cos 3 3 3 4 4
(Ⅱ) f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1 ? cos2 x)

? 3cos2 x ?1, x ? R
s c 因为 cos x ???1,1? ,所以, 当 cos x ? ?1 时 f ( x) 取最大值 2; 当o x 0 ? 时,

f ( x) 去最小值-1。

6

解:(Ⅰ)由 cosx≠0 得 x≠kπ +

? (k∈Z), 2 ? 故 f(x)的定义域为{|x|x≠kπ + ,k∈Z}. 2 4 (Ⅱ)因为 tanα = ? ,且α 是第四象限的角, 3 4 3 所以 sinα = ? ,cosα = , 5 5 1 ? sin 2? 故 f(α )= cos ? 1 ? 2sin ? cos ? = cos ? ? 4? 3 1? 2? ? ? ? ? ? 5? 5 = 3 5 49 = . 15

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