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高考主要数学思想


高考主要数学思想
对中学而言,主要的数学思想有数形结合的思想、函数与方程的思想、分类与整合的 思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、或然与必然的思想.

一、数形结合的思想
数学研究的对象是数量关系和空间形式, 即“数”与“形”两个方面. “数”与“形”两者之间并 非是孤立的,而是有着密切的联系. “数缺形少直观,形缺数难入微,数形结合,相得益彰”. 在一维空间,实数与数轴上的点建立了一一对应的关系. 在二维空间,实数对与坐标平面上 的点建立了一一对应的关系, 进而可以使函数解析式与函数图像, 方程与曲线建立起一一对 应的关系, 使数量关系的研究可以转化为图形性质的研究, 反之也可以使图形性质的研究转 化为数量关系的研究. 这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略,即是数形 结合的思想. 在高考中,充分利用选择题和填空题的题型特点(由于这两类题型只需写出结 果而无需写出解答过程) ,为考查数形结合的思想提供了方便,能突出考查考生将复杂的数 量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识. 而在解答题中,考虑到推理论证的严 密性,对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法. 解答题中对数形 结合思想的考查以由“形”到“数”的转化为主.

1、由形到数
由“形”到“数”的转化,往往比较明显 ,重在挖掘图形中隐藏的数量关系. 例 1.(1)若过定点 M (?1,0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 在第一象限内的部分有 交点,则 k 的取值范围是( A. 0 ? k ? 5 C. 0 ? k ? 13 )
y B -1 -2 O A 1 x

B. ? 5 ? k ? 0 D. 0 ? k ? 5

解析: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 9 ,作出该圆在第一象限内 的图象(如右) ,过点 M (?1,0) 的旋转直线系与劣弧 AB(不含端点) 有交点,知 k OA ? k ? k OB ,易知选 A.

2、由形到形
要善于以既有图形中的数量关系为纽带,发现新的几何关系

P 作垂直于平面 例 2.(1)如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的对角线 BD 1 上.过点

BB1D1D 的直线,与正方体表面相交于 M ,N .设 BP ?x ,MN ? y ,则函数 y ? f ( x) 的
图象大致是( D1 A1 D A M B1 P N B C1 ) y y y y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

(2)如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P, P 与到直线 BC 的距离相等, 则动点 P 所在曲线的形状大致为( )

到直线 A1 B1 的距离

解析:(1)方法一:显然,只有当 P 移动到正方体中心 O 时, MN ? AC 有唯一 的最大值,淘汰选项 A、C;P 点移动时,x 与 y 的关系应该是线性的,淘汰选 项 D,所以选 B。事实上,线段 MN 的轨迹为平行四边形(如右图). 方法二:设 MN 在底面射影为 M 1 N 1 ,正方体中心为 O, M 1 N 1 与 BD 交与点 Q, 则由正方体性质知,当 P ?OB 时:
y ? MN ? M 1 N 1 ? 2QM 1 ? 2QB ? 2 BP cos ?D1 BQ ? 2 3 x ,由对称性排除 A、C、 3

D,所以选 B。 (2)由已知点 P 的轨迹是以点 B 为焦点、 A1 B1 为准线的抛物线,故选 C.

3、由数到形
由“数”到“形”的转化需要转化的意识. 因此,数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到 “形”的转化.数形结合的优点是直观、快捷.解题时需关注数量结构自身蕴涵的几何性. (1)数量结构中蕴涵的距离、角度、面积、斜率等几何意义,比如: ①| a-b|→数轴上与实数 a 和 b 对应的点之间的距离; ② ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 →坐标平面上两点(x1,y1)与(x2,y2)之间的距离;
A2 ? B 2 y ? y2 ④ 1 →坐标平面上两点(x1,y1)与(x2,y2)所在直线的斜率. x1 ? x 2



( Ax0 ? By0 ? C |

→坐标平面上点到直线的距离.

y

⑤各类曲线方程结构. …… 例 3.求函数 f (? ) ?
sin? ? 1 的最大值和最小值. cos? ? 2

A P(2,1) x O B

解析:本题解法较多,我们从几何角度入手: ? x ? cos? y ?1 ? x 2 ? y 2 ? 1 , 则 k ? f (? ) ? 思路一:令 ? x?2 ? y ? sin? 原问题等价于直线 y ? 1 ? k ( x ? 1) (去掉点 P(2,1) ) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点时直线的斜率 k 的取值范围.
? y ? 1 ? k ( x ? 1)
2 2 ?x ? y ? 1

y

方法一:联立 ?

? (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? k 2 ? 2k ? 0

A'

x O

? ? 4k 2 (1 ? k ) 2 ? 4(1 ? k 2 )(k 2 ? 2k ) ? 0 ? 0 ? k ?

4 3

O' B'

方法二:设圆心 O(0,0)到直线 kx ? y ? k ? 1 ? 0 的距离为 d,则
d? | ?k ? 1 | 1? k
2

?1? 0 ? k ?

4 3

思路二:令 ? 且 k ? f (? ) ?

? x ? cos? ? 2 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 y ? sin ? ? 1 ?

y

y ,原问题等价于直线 y ? kx (去掉原点)与圆 x

A
A'

P(2,1) x O B

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 有公共点时直线的斜率 k 的取值范围 . 可按思
O'

B' 路一的两种方法得出结论. 点评: (1)思路一和思路二实际上是从不同的角度审视同一个问 题,在方法上既对立,又统一.如右图,我们可以视思路二的问题情景是由思路一的问题情

景按向量 a ? (?2,?1) 平移而得.解题时要注意识别 (2)从结论来看,本问题中设元后的线性分式 k 赋予了斜率这一几何意义,类似的结构还 有: k ?
y y ?b ,k ? , ?? 等,揭示了旋转直线系 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) 与二次曲线的位置关系的 x x?a
x? y ax ? by ? c , , ? 等的取值范围. 2 x ? y ? 1 dx ? ey ? f

判断的一般方法.在教学过程中可适当发散下列情形: 已知 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,求 显然这里设元: k ?

x? y 后 k 不具备明确的几何意义,但仍然可用思路二解决. 2x ? y ?1

( 3 )显然,将本问题结论中的旋转直线系变为平行直线系,上述方法仍适用,例如求 f (? ) ? cos? ? sin? 或 f ( x) ? 2 x ? y 等等的取值范围之类的问题. (2) f ( x) ? g ( x) 表示曲线 y ? f ( x)和y ? g ( x) 的上下位置关系:y ? f ( x)在y ? g ( x) 上方部分. 例 4.(1)已知 f(x)=(x–a)(x–b)–2(其中 a<b ) ,且 α、β 是方程 f(x)=0 的两根(α<β ) ,则 实数 a、b、α、β 的大小关系为( ) A.α<a<b<β B.α<a<β<b C.a<α<b<β D.a<α<β<b (2)使 log2 (? x) ? x ? 1 成立的 x 的取值范围是________. 解析: (1) a,b 是方程 g(x)=(x–a)(x–b)=0 的两根, 在同一坐标系中作出函数 f(x)、 g(x)的图象如图所示:故选 A. ( 2 ) 显 然 x ? 0 , 考 虑 两 条 曲 线 : C1 : y ? log2 (? x), C 2 : y ? x ? 1 , 不 等 式
log2 (? x) ? x ? 1 反映了曲线 C1 和 C 2 在位置上的上下关系:我们求解的是曲线
1

y

C 1 在 C2 下 方 部 分 对 应 的 x ? (?1,0) .

x 的 取 值 范 围 , 作 出 C1 和 C 2 的 图 象 , 观 察 知

-1

O

x

(3)注意数量关系蕴涵的位置关系,特别地, f ( x, y) ? 0(或 ? 0) 表示区域

比如:

① Ax ? By ? C ? 0 表示平面内以直线 Ax ? By ? C ? 0 为边界的区域,以 A ? 0 为例,

当 B ? 0 时表示直线 Ax ? By ? C ? 0 上方区域,当 B ? 0 时表示直线 Ax ? By ? C ? 0 下方区域. ② 就 圆 C : ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 而 言 , ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 表 示 圆 C 内 部 的 区 域 ,
( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 表示圆 C 外部的区域,这也是判断点与圆的位置关系的依据.

③点 P( x, y) 在椭圆 C: 则满足

x2 y2 x2 y2 P ( x , y ) 上则满足椭圆方程,点 在椭圆 C : ? ? 1 ? ? 1内 a2 b2 a2 b2

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 ;点 P( x, y) 在椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 外则满足 2 ? 2 ? 1 2 a b a b a b ……

这一观点在线性规划中得到了特别的体现:

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 例 5.已知 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 在 x, y 取何值时取得最大值和最小值?最大值、最小值 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
各是多少? 分析:思路一:在平面坐标系中,

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示一个平面区域, x 2 ? y 2 表示点(x,y)到原点的距离平方. ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
4 2 4 易得:当 x ? , y ? 时 t min ? ;当 x ? 2, y ? 3 时 t max ? 13 . 5 5 5

思路二:设 x 2 ? y 2 ? t ? 0 方.



t 的几何意义是该圆的半径的平
y
A

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 根据 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 作出可行域如右,知: ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
当圆①与直线 BC 相切时 t 最小;当圆①经过角点 A 时 t 最大. 联立 ?
?2 x ? y ? 2 ? 0
2 2 ?x ? y ? t

B

C O

x

? 5x 2 ? 8x ? 4 ? t ? 0



? ? 8 2 ? 20(4 ? t ) ? 0 ? t ?

4 5

4 2 代入②得: x ? , y ? ; 5 5

联立 ?

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?x ? 2 ?? ? A(2,3) ?3x ? y ? 3 ? 0 ?y ? 3

代入①得: t ? 13

?当 x ?

4 2 4 , y ? 时 t min ? ; x ? 2, y ? 3 时 t max ? 13 5 5 5

点评: 以上两种思路都强调数形结合.思路一将代数式 x 2 ? y 2 理解为可行域内的点 (x,y) 到原点的距离平方, 从而直接定位出最大值点和最小值点; 思路二将问题化归为点与圆、

直线与圆的位置关系. 例 6. (1) (08 上海理 10)某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面 (视为平面) 上有一浅水区 (含 边界) ,其边界是长轴长为 2 a 、短轴长为 2b 的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分 别为 h1、

h2 ,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经

过该海域(船只的大小忽略不计) ,在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 ?1、? 2 ,那么 船 只已进入该浅水区的判别条件是 .

(2)已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点.满足 MF1 · MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆 离心率的取值范围是 A.(0,1) B.(0,

1 ] 2

C.(0,

2 ) 2

D.[

2 ,1) 2

解析: (1) 本题考查椭圆的定义和基本性质,若点 P 在椭圆内(含 边界) ,那么 | PF1 | ? | PF2 |? 2a .由已知船到甲投影所在焦点的 距离为 h1 cot?1 ,船到乙投影所在焦点的距离为 h2 cot? 2 ,若船 只已进入椭圆形的浅水区,则 h1 cot?1 ? h2 cot? 2 ? 2a 。 (2)由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则 c ? b ? c ? b ? a ? c ? e ?
2 2 2 2 2

1 2

又 e ? (0,1) ,所以 e ? (0, ) (3)数量关系隐藏的图形截取 例 7 . 设 函 数 f ( x) ? 1 ? 1 ? x 2 (-1≤x≤0) , 则 函 数 y=f--1(x) 的 图 象 是 ( )

1 2

分析: 根据给定的方程确定曲线的性质及图形是学生必备的能力, 也是数形结合的基础.可以估计到,这里 f ?1 ( x) 的解析式定是无理 式,所以应该放弃先求 f ?1 ( x) ,再画其图象的思路. 为了画出 f ( x) 的图象,先把 y ? 1 ? 1 ? x 2 (?1 ? x ? 0) 作等价变换,得:

?? 1 ? x ? 0, ?? 1 ? x ? 0, ?? 1 ? x ? 0, ? ? ? ? f ( x) ? ?0 ? y ? 1, ? ?0 ? y ? 1, ? ?0 ? y ? 1, ? ? ? 2 2 2 2 ? 1? x2 ? 1? y ?1 ? x ? ( y ? 1) ? x ? ( y ? 1) ? 1 ?

由此可知,函数 f ( x ) 的图象是以点(0,1)为圆心,1 为半径的圆的一部分(如图所示) 再由 y ? f ?1 ( x) 的图象与 y ? f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,可以作出 y ? f ?1 ( x) 的图 象.如图所示.因此,本题应选 B. 点评:上面画图象,不仅应用了图象变换的知识,还体现了函数与图象同方程与曲线之间的 内在联系:把解析曲线截取为函数图象.类似问题比比皆是,如 ① 曲线 y ? 1 ? 4 ? 4 | x | ? x 2 与直线 y ? kx ? 2k 有两个公共点,则 k 的范围是_____. ② 方程 4 ? x 2 ? x ? b 有两个不等实根,则实数 b 的取值范围是__________________. 注意:②中方程结构加以调整就改变了曲线属性: ①方程 4 ? x ? x ? b 有两个不等实根,则实数 b 的取值范围是_______.(直线与抛物线)
x 3
2

②方程 4 ?

? x ? b 有两个不等实根,则实数 b 的取值范围是_______.(直线与椭圆)

③方程 4 ? 2 x 2 ? x ? b 有两个不等实根,则实数 b 的取值范围是_____.(直线与双曲线) (4)曲线性质蕴含的几何关系 例 8.如图所示, “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 轨进入 以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进 入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭 轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距, 用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的 长,给出下列式子: ① a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; ④ ② a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; ③ c1a2 ? a1c2 ;

c1 c2 < .其中正确式子的序号是 a1 a2

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 解析: 本题以 “嫦娥一号” 探月卫星为背景考查分析问题和解决问题的能力和以及创新意识。 但从知识层面看是考查的低阶知识,直接利用教材知识解决实际问题。

? P 点既在椭圆 I 上, 从图中可以看出,a1 ? a2 , c1 ? c2 , 可知①错误; 又在椭圆Ⅱ上, 且F
是椭圆Ⅰ、Ⅱ的同一侧的焦点,由焦点到顶点的距离 | PF |? a ? c = a1 ? c1 ? a2 ? c2 知②正

确可知②正确; 由椭圆的离心率越大椭圆越扁知

c1 c2 故③正确④错误, ? ? c1a2 ? a1c2 , a1 a2

故应选B. 综上,数形结合是一种重要的数学思想,在解决数学问题时起着至关重要的作用.就解析 方法而言,笛卡儿曾经设想过所谓的“万能方法”,认为按照以下的模式就可以有效地解决一 切问题:第一,把任何问题转化为数学问题;第二,把任何数学问题转化为代数问题; 第三, 把任何代数问题归结为解方程.尽管笛卡儿的设想太过理想化,但我们仍然应该看到数形结 合的魅力所在.

二、函数与方程的思想
函数是高中代数内容的主干, 它主要包括函数的概念、 图像和性质以及几类典型的函数, 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、 概括与提炼, 是从函数各部分内容的内在联系 和整体角度来考虑问题、研究问题和解决问题,函数思想贯穿于高中代数的全部内容,它是 在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成,并为研究这些函数服务的,在 研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时,函数思想也起着十分重要的作用. 1、函数思想 所谓函数思想,还不仅仅是使用函数的方法来研究解决函数的问题. 构建函数关系式, 使用函数的方法来研究解决非函数问题应该是函数思想的核心. 因此,可以认为函数思想的 精髓是构建函数关系,产生使用函数方法来解决问题的思路. 例 9. 设不等式 2x-1>m(x -1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的值恒成立.求 x 的取值范围. 分析:此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于 x 的不等式讨论.然而,若变换一个角 度以 m 为变量,即关于 m 的一次不等式(x -1)m-(2x-1)<0 在[-2,2]上恒成立的问题.对此 的研究,设 f(m)=(x -1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值 在[-2,2]内恒为负值时参数 x 应该满足的条件 ?
? f ( 2) ? 0 . ? f (?2) ? 0
2 2 2 2

解:将原不等式变成关于 m 的一次不等式:(x -1)m-(2x-1)<0 在|m|≤2 时恒成立, 设 f(m)=(x -1)m-(2x-1),( ?2 ? m ? 2 ) 则 ?
2 ? ? f (2) ? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 2 ? ? f (?2) ? ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0

2

7 ?1 3 ?1 , ) 2 2 点评:本题的关键是利用函数思想变换角度,以参数 m 作为自变量而构造函数式,不等式

解得 x∈(

问题变成函数在闭区间上的值域问题.本题有别于关于 x 的不等式 2x-1>m(x -1)的解集是 [-2,2]时求 m 的值、 关于 x 的不等式 2x-1>m(x -1)在[-2,2]上恒成立时求 m 的范围.一般地, 在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更 明朗化.或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数,更具有灵活性, 从而巧妙地解决有关问题.
2

2

例 10.给定抛物线 C : y 2 ? 4 x ,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点. (1)设 l 的斜率为 1,求 OA 与OB 夹角的大小; (2)设 FB ? ? AF , 若? ? ?4,9 ? ,求 l 在 y 轴截距的变化范围. 分析:本题若从题目所叙述的知识内容来看,属于平面向量与解析几何相结合的试题,但在 解题过程中却集中体现了函数与方程的思想.
, OB ?? 第(1)问中,显然需要利用公式 cos ? OA
OA· OB OA· OB

OB 的值. OB 与 OA· 来求 OA 与OB 的夹角. 于是问题转化为 OA·

由已知条件,可写出直线 l 的方程:y=x-1,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 解方程组 ?
? y ? x ? 1,
2 ? y ? 4 x,

消去 y,并整理,得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 . 则 x1 ? x2 ? 6, x1 x2 ? 1 .

OB = ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ?3 . 所以 OA·
OA· OB ? x12 ? y12 · x 22 ? y 22 ? x1x2 ?x1x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16? ? 41 .

所以 cos ? OA, OB ??

OA· OB OA· OB

??

3

41 . 41

在以上解法中,所列方程组是确定的方程组,是可以求出它的解的. 然后再分别代入计 算,只不过比较麻烦,运算量较大. 采用根与系数关系之后, 解方程组消元后得到的是 x1+x2
OB 化简变形后再代入求值. 这种计算过程既是方程思想 OB 与 OA· 与 x1x2 的值,需要将 OA·

在深层次的体现,又体现出换元法. 第(2)问是求参数取值范围的问题,解法思路的首选应该是列出函数解析式,用函数 的方法来解决. 先列出直线方程:y=kx-k,它在 y 轴上的截距为-k. 再根据已知条件 FB ? ? AF ,列方程组 ? 解方程组 ?
? y ? kx ? k ,
2 ? y ? 4 x,

? x2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ) , ? y 2 ? ??y1 .

① ②


消去 x,得 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0.

我们的任务是构造关于 ? 与 k 的等式,下面给出两种方法. 4 ? ? y1 ? y 2 ? , 方法一 由根与系数的关系,得 k ? ? y y ? ?4 . ? 1 2 由②④⑤消去 y1、y2 后,得 ? ? ? ? ? 化简后得
4 ? ? ? ? ?4. ? k (1 ? ? ) ? 4? 4 k2 ? ? . 1 (1 ? ? ) 2 ? ? ?2 ? ?
2

④ ⑤

到此得到 ? 与 k2 的函数解析式,便可以由 ? 的取值范围 [4 , 9] 来求函数 k2 的值域 3? ?3 4? ? 4 ? 9 16? ? ,? ? ? ? , ?. ?16 , 9 ? ,再进一步求出-k 的取值范围 ? 3 4 ? ? ?4 3? ? ? 方法二 解方程③,求出它的两个根 y1 和 y2. 方 程 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 的 两 个 根 为 y ?
2 ? 2 1? k 2 .在代入②式 k

y2 ? ??y1时 , 考 虑 到

? ? [4, 9] ,则应取 y

1

?

2 ? 2 1 ? k2 2 ? 2 1? k 2 , y2 ? . k k

代入后,得

2 ? 2 1? k 2 2 ? 2 1? k 2 ? ?? . 由此解得 k k

??

1? k 2 ?1 1? k ?1
2

? 1?

2 1? k 2 ?1

.

这样就列出中 k 与 ? 的函数解析式,下面则需由 ? 的取值范围[4,9],由值域求定义域 的方法来求-k 的取值范围,只要解不等式组 4≤ 1 ?
2 1? k 2 ?1

≤9 即可.

第 (Ⅱ) 问的解题思路是通过列方程 (组) 和消去参数, 得到关于 ? , k 的等式 f( ? ,k)=0, 然后变形为 ? =f(k)或 k=g( ? )的函数解析式的形式, 或由定义域求值域, 或由值域求定义域, 以求得所求参数的取值范围. 在这个解法过程中,前半部分体现的是方程的思想,后半部分 体现的是函数的思想. 可以认为参数取值范围的问题是考查函数与方程思想的典型问题. 1 例 11.方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解可视为函数 y ? x ? 2 的图像与函数 y ? 的图像交点的横 x 坐 标 . 若 方 程 x 4 ? ax ? 4 ? 0 的 各 个 实 根 x1 , x2 , ?, xk (k ? 4) 所 对 应 的 点 ( i = 1, 2,? , k )均在直线 y ? x 的同侧,则实数 a 的取值范围是 解析: x ? ax ? 4 ? 0 ? x 3 ? a ?
4

( x , x4 )
i i

.
4 x

4 ,设 x i 是 x

y ? x 3 ? a 和 y ? 图象交点的横坐标,则
y

( xi ,

4 ) 是它们图象的交点。由题意这些交点都在直线 xi

y ? x 的同侧。由于 y ? x 3 ? a 的图象是由 y ? x 3 的图象
平移而得(如图) 。 (1)当这些交点同在直线 y ? x 上方时, y ? x 3 ? a 的图 象与 y ? x 在第三象限的交点也在直线 y ? x 上方,即点
A(?2,?2) 在
-4 -3 -2 -1 A

2 1 O 1 2

B

3 4

x

y ? x 3 ? a 的图象下方,故 (?2) 3 ? a ? ?2 ,

所以 a ? 6 ; (2)同理,当这些交点同在直线 y ? x 下方时, y ? x ? a 的图象与 y ? x 在第一象限的交
3
3 3 点也在直线 y ? x 下方, 即点 B(2,2) 在 y ? x ? a 的图象上方, 故2 ? a ? 2, 所以 a ? ?6 ;

综上: a ? 6 或 a ? ?6 。 点评:本题以方程为背景建立函数关系式,考查函数与方程思想、数形结合思想. 函数是方程与不等式的“中介”,他们既有区别,又联系紧密.高考试题中相关解答题往 往既通过客观试题考查函数与方程思想的基本应用, 又利用解答题从深层次上对函数与方程 思想进行了综合考查. 2、方程思想 方程是初中代数的主要内容, 初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法, 但在初中 阶段很难形成思想. 所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系, 通过设 未知数、列方程或方程组,解方程或方程组等步骤,达到求值目的的解题思路和策略,它是 解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础. 方程思想是最基本、最重要的数学思想方法之一,它从对问题的数量关系分析入手,运

用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 (这种模型可以是方程、 不等式或方程于与不等 式混合组等) ,然后通过解方程(组)或不等式(组)来求解问题.由于立体几何题的求解有 着其独特的方法与规律,用方程思想解立体几何题常常被忽视.方程与不等式架设了已知与 未知的桥梁,处理数学问题常常需要方程思想,立体几何也不例外. 例 12.若 cos ? ? 2sin ? ? ? 5, 则 tan ? =( B (A) )

1 2

(B)2

(C) ?

1 2

(D) ? 2

解析:本小题主要考查三角函数的求值问题。 方法一:由 cos ? ? 2sin ? ? ? 5 可知,

cos ? ? 0, 两边同时除以 cos? 得 1 ? 2 tan ? ? ? 5 sec? , 平方得

(1 ? 2 tan ? )2 ? 5sec2 ? ? 5(1 ? tan 2 ? ),
2 ?t a n ? ? 4 t? an ? ? 4 ,解得 0 tan ? ? 2.

方法二:将已知的等式两边平方得

cos2 ? ? 4 sin 2 ? ? 4 sin ? cos? ? 5(cos2 ? ? sin 2 ? ) ,化简得
sin 2 ? ? 4 sin ? cos? ? 4 cos2 ? ? 0
2 即 (sin? ? 2 cos? ) ? 0 ,故 tan ? ? 2 。

方 法 三 : 用 观 察 法 . cos? ? 2 sin ? ? ? 5 sin(? ? ? ) ? ? 5 ( 其 中 tan ? ?

1 ) ,由 2

sin ? ? 0, cos? ? 0 ,估算排除 A、C、D,选 B。

y2 ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线 例 13. (05 全国卷 III,文、理 9)已知双曲线 x ? 2 上且 MF1 ? MF 2 ? 0, 则点 M 到 x 轴的距离为 ( )
2

A.

4 3

B.

5 3

C.

2 3 3

D. 3

分析:如图,由向量数量积的性质知, MF1 ? MF2 ,即是△ F1MF2 直角 三角形,那么,点 M 就是双曲线上确定的点,如果设点 M 的坐标为 (x0,y0) ,则点 M 到轴 x 的距离为 y0 . 欲求

y0

y M x F1 O N F2

应该建立关于 y0 的方

程(组). 根据已知, OF2 ? 3 ,所以 x0 ? y0 ? 3 ,并且 x0 ? 就可以得到 y0 的值.

2

2

2

y0 ? 1 . 解这个方程组, 2

2

本题的另一个思路:因为 MF1 ? MF2 ,所以 MH 是 Rt?F1 MF2 的斜边上的高,由等(面) 积法, MH 等于
MF1 · MF2 F1 F2

,其中 F1 F2 可以求得,问题集中到两条焦半径的积上,设
4 2 3 ? 2 3 . 3

MF1 ? m, MF2 ? n ,则 m ? n ? 2, m2 ? n 2 ? (2 3) 2 ,所以 mn=4,所以 MH ?

1 ? 2x ? 4 x a 例 14. 设 f(x)=lg ,如果当 x∈(-∞,1]时 f(x)有意义,求实数 a 的取值范围. 3
分析:当 x∈(-∞,1]时 f(x)=lg

1 ? 2x ? 4 x a x x 有意义的函数问题,转化为 1+2 +4 a>0 在 3

x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题. 解:由题设可知,不等式 1+2 +4 a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立,
x x

1 2x 1 x ) +( ) +a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立. 2 2 1 x 1 1 2 设 t=( ) , 则 t≥ , 又设 g(t)=t +t+a,其对称轴为 t=- 2 2 2 1 1 1 2 1 3 2 ∴ t +t+a=0 在[ ,+∞)上无实根, 即 g( )=( ) + +a>0,得 a>- 2 2 2 2 4 3 所以 a 的取值范围是 a>- . 4
即:( 点评:对于不等式恒成立,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利用函数的图像和 单调性进行解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思想和函数思想.一般地,我 们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系,将问题进 行相互转化.

1 2x 1 x ) +( ) +a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立的问题时,也可使用“分离参数 2 2 1 x 1 3 3 2 法”: 设 t=( ) , t≥ ,则有 a=-t -t∈(-∞,- ],所以 a 的取值范围是 a>- .其 2 2 4 4
在解决不等式( 中最后得到 a 的范围,是利用了二次函数在某区间上值域的研究,也可属应用“函数思想”. 函数与方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而相互关联的,它们之间既 有区别又有联系. 函数与方程的思想,既是函数思想与方程思想的体现,也是两种思想综合 运用有体现,是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想. 16 例 15.表面积为 的长方体的长、宽、高之和为 1,设长方体的长为 x ,体积为 V .(1)求 27 长方体的体积 V 与 x 的函数关系式 V ( x) .(2)求 V 的最大值与最小值.(3)求 V 最大时长方 体的长、宽、高各是多少.
?x ? y ? z ? 1 ? 解:设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z,则 ? 16 ?2( xy ? yz ? zx) ? 27 ? (i) (ii)   

(1) 由(i)得: y ? z ? 1 ? x 由(ii)得: yz ?
?V ? xyz ? x[

(iii)

8 8 ? x( y ? z) ? ? x(1 ? x) (iv) 37 27

8 8 ? x(1 ? x)] ? x 3 ? x 2 ? x. 27 27 8 ? x(1 ? x)] ? 0 27

由(iii) 、(iv)知 y、z 是方程:
t 2 ? (1 ? x)t ? 8 ? x(1 ? x) ? 0 27

(v)的根,故 ? ? (1 ? x) 2 ? 4[

解之得:

1 5 ? x ? , 此时满足y ? 0且z ? 0. 9 9 8 1 5 x   ( ?x? ) 27 9 9 8 4 2 1 5 ? 3( x ? )( x ? )   ( ?x? ) 27 9 9 9 9
x

?V ? V ( x) ? x 3 ? x 2 ?

(2)由(1) : V ( x) ? 3x 2 ? 2x ?

2 4 令 V ?( x) ? 0 得x1 ? , x 2 ? . 9 9
?当x ? 2 5 20 或 时,V max ? . 9 9 729 1 4 16  当x ? 或 时,V max ? 9 9 729.

1 9

2 9

4 9

5 9

(3) 当V最大时x ? ① 当x?

2 5 或 ,故 9 9

2 7 10 7 10 5 2 时, y ? z ? , yz ? ,代入(v)得: t 2 ? t ? ? 0 ? t1 ? , t 2 ? 9 9 81 9 81 9 9
2 ? y? ? ? 9 或 ? ?z ? 5 ? 9 ?

5 ? y? ? ? 9 所以 ? ?z ? 2 ? 9 ?

② ②当当 x ?

5 4 4 4 4 2 2 时, y ? z ? , yz ? ,代入(v)得: t 2 ? t ? ? 0 ? t1 ? t 2 ? ? y ? z ? 9 9 81 9 81 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9

综上,此时长方体的长、宽、高为 2 、 5 、 2 或 2 、 2 、 5 或 5 、 2 、 2 . 高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查, 使用选择题和填空题考查函 数与方程思想的基本运算,而在解答题中,则从更深的层次,在知识网络的交汇处,从思想 方法与相关能力相综合的角度进行深入考查.

三、分类与整合的思想
我们在解决很多数学问题时,会遇到“说不清楚”或“不好说清楚”的思维障碍,这往 往是由于数学问题的多条件或多结果而造成,因而需根据实际情况分别采取不同方向求解, 这种“分别情况、不同对待”的思想,就是“分类讨论”的思想方法,主要用于解决确定性中的 不确定性问题和不确定性中的确定性问题 分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法, 是研究数学问题时经常使用的数 学思想方法. 要正确地对事物进行分类,通常应从所研究的具体问题出发,选取恰当的分类 标准,然后根据对象的属性,把它们不重不漏的划分为若干个类别. 科学的分类,一个是标 准的统一,一个是不重不漏. 划分只是手段,分类研究才是目的. 因此,还需要在分好的类 别下对分事物进行研究,在这其中体现的是由大化小,由整体化部分,由一般化特殊的解决

问题的方法. 它的研究基本方向是“分”,但“分”与“合”既是矛盾的对立面,又是矛盾的统一 体,有“分”必然有“合”,当分类解决完这个问题之后,还必须把它们总合到一起,因为我们 研究的毕竟是这个问题的全体. 这样,有“分”有“合”,先“分”后“合”,不仅是分类与整合思 想解决数学问题的主要过程,也是分类与整合思想的本质属性. 高考将对分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置,并以解答题为主进行考查. 考 查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究,为什么要分类,如何分类,以及分类后如何 研究,最后如何整合. 考查中经常对含有字母参数的数学问题进行分类与整合的研究,由此 重点考查考生思维的严谨性与周密性.

1、分类讨论的一般步骤
①明确讨论对象,确定对象范围; ②确定分类标准,进行合理分类,做到不重复,不遗漏; ③逐类讨论,获得阶段性结果; ④归纳总结,整合结论.

2、分类讨论的类型 (1)概念型:对数学概念分类(如绝对值、斜率、直线与平面所成角、是否满足概念条
件等)型数学问题. 例 16(07 上海理 10)平面内两直线有三种位置关系:相交,平行与重合。已知两个相交平 面 ? , ? 与两直线 l1 , l2 , 又知 l1 , l2 在 ? 内的射影为 s1 , s2 , 在 ? 内的射影为 t1 , t2 。 试写出 s1 , s2 与 t1 , t2 满足的条件,使之一定能成为 l1 , l2 是异面直线的充分条件 解析:当 s1 // s 2 ,并且 t1 与 t 2 相交(或 t1 // t 2 ,并且 s1 与 s2 相交)时 l1 , l2 一定是异面直线。 事实上,当 l1 , l2 在 ? 内的射影 s1 , s2 满足 s1 // s 2 时可以推断 l1 , l2 一定不相交,当 l1 , l2 在 ? 内 的射影 t1 , t2 相交时可以推断 l1 , l2 一定不平行,所以 l1 , l2 一定是异面直线。

(2)性质型:对数学对象的性质的存在条件进行分类整合,如空间几何性质,参数对函数
(曲线)局部或整体性质的作用等. 例 17.(06 江苏) 设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (1)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) (2)求 g(a)

1 (3)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a a 解析:本小题主要考查函数、方程等基本知识,考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数 学知识分析问题、解决问题的能力。
(1) t ? 1 ? x ? 1 ? x ,要使有 t 意义,必须 1+x≥0 且 1-x≥0,即-1≤x≤1, ∴ t 2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ?[2, 4], t≥0 t 的取值范围是 [ 2, 2]. 由①得 1 ? x ?
2



1 2 t ?1 2

1 2 1 t ? 1 )+t= at 2 ? t ? a, t ? [ 2, 2] 2 2 1 2 (2)由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2
∴m(t)=a(

注意到直线 t ? ?

1 1 2 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴,分以下几种情况讨论。 a 2

当 a>0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由t ? ?

1 <0 知 m(t)在 [ 2, 2]. 上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2 a

(2)当 a=0 时,m(t)=t, t ?[ 2, 2] ,∴g(a)=2. (3)当 a<0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, 若t ? ?

1 2 ? [0, 2] ,即 a ? ? 则 g (a) ? m( 2) ? 2 a 2 1 1 1 2 1 ? ( 2, 2] ,即 ? ? a ? ? 则 g ( a ) ? m( ? ) ? ? a ? a a 2a 2 2

若t ? ? 若t ? ?

1 1 ? (2, ??) ,即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 a 2

? a ? 2, ? 1 2 1 ? , ? ?a?? , 综上有 g ( a ) ? ? ? a ? 2a 2 2 ? ? 2 ? 2, a?? 2
(3)情形 1:当 a ? ?2 时 由2?

a??

1 2

1 1 1 1 ? ? ,此时 g (a) ? 2 , g ( ) ? ? 2 a 2 a a

1 2 ? 2解得a ? ?1 ? ,与 a<-2 矛盾。 a 2
1 1 a 2 1 1 ? ? ? 时, g (a) ? 2 , g ( ) ? ? ? a a 2 2 a 2

情形 2:当 ?2 ? a ? ? 2 即 ?

1 a 2 ? ? ? 解得, a ? ? 2 与 a ? ? 2 矛盾。 a 2
情形 3:当 ? 2 ? a ? ?

1 1 2 2 , ? 2? ?? 时,此时 g (a) ? 2 ? g ( ) a a 2 2

所以 ? 2 ? a ? ?

2 , 2

情形 4:当 ?

1 1 2 1 ? a ? ? 时, ?2 ? ? ? 2 ,此时 g (a ) ? ?a ? , a 2a 2 2

1 1 2 2 g ( ) ? 2 ?a ? 矛盾。 ? 2, 解得a ? ? , 与a ? ? a 2a 2 2

1 1 1 ? a ? 0 时, ? ?2 ,此时 g(a)=a+2, g ( ) ? 2 2 a a 1 由 a ? 2 ? 2 解得 a ? 2 ? 2, 与a ? ? 矛盾。 2 1 1 1 情形 6:当 a>0 时, ? 0 ,此时 g(a)=a+2, g ( ) ? ? 2 a a a 1 由 a ? 2 ? ? 2解得a ? ?1 ,由 a>0 得 a=1. a
情形 5:当 ? 综上知,满足 g ( a ) ? g ( ) 的所有实数 a 为 ? 2 ? a ? ?

1 a

2 , 或 a=1. 2

(3)状态与结构型:对数学对象的几何结构或代数结构、或存在状态进行分类整合
例 16.已知同一平面上的三个向量 a 、 b 、 c 两两所成的角均相等,且 a ? 1 , b ? 2 ,

c ? 3 ,则 2a ? b ? c ?



解析:三个向量 a 、 b 、 c 两两所成的角均相等意味着 a 、 b 、 c 三向量共线或两两所成的 角均为 1200。 当 a 、 b 、 c 三向量共线时 2a ? b ? c ? 2+2+3=7; 当 a 、 b 、 c 两两所成的角均为 1200 时,由向量加法几何意义知 2 a + b 与 c 共线反向,即或

2a ? b ? c ? 1;
∴ 2a ? b ? c ? 7 或 1。

(4)参数型:对参数进行分类整合
例 17.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围. 解析:本题是一个以导数为工具,研究函数单调性的问题. 求 f(x)的导数是必不可少的步骤. 易求得 f ' ( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 1. 到此就可以把 f(x)的增、减性问题转化为 f ' ( x) 的正、负问题来研究,如何转化就成了解决 本题的关键. 由于在教材中学习的函数单调性与导数的关系定理是非充要的,即“一般地, 设函数 y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y '> 0 ,那么 y=f(x)为这个区间内的增 函数;如果在这个区间内 y '< 0 ,那么 y=f(x)为这个区间内的减函数”. 由于这个定理的局限 性,我们不能把原问题等价转化为“ f ' ( x) 恒小于零时,求 a 的取值范围”来解决. 而要正确 使用这个定理,可先求出使 f ' ( x) 恒小于零时 a 的取值范围,由定理,在这个范围内, f ' ( x) 恒小于零,则 f(x)在 R 上必为减函数. f ' ( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 1 在 R 上恒小于零 ? a< 0且? ? 36 ? 12a< 0 ? a< ? 3. 到此只能够得出:当 a< ? 3时,f ' ( x) 在 R 上恒小于零,再由定理进一步得出 f(x)在 R 上 为减函数. 也就是说,所求出的范围 (??,?3) 只是所求取值范围的一个部分,是它的充分 条件,下面还需进一步求解. 求解的方法就是对 a 的取值范围进行分类,再在每一类内研究 f(x)是否在 R 上的减函数. 由于已经得到了范围 (??,?3) ,并且由已知解析式可知 a 的取值范围是全体实数,于是

? ?) 两类就很自然了. 再划分为-3 和 (?3,

1 8 当 a=-3 时, f ( x) ? ?3x 3 ? 3x 2 ? x ? 1 ? ?3( x ? ) 3 ? . 3 9 3 由函数 y ? x 的单调性及图像的平移变换,当知当 a=-3 时,f(x)是 R 上的减函数.

当 a> ? 3时, 在R上总有f ' ( x)>0 的情况出现,所以当 a> ? 3时, 函数f ( x)在R上 不是减函数. 综上,所求 a 的取值范围为 ?? ?,?3? . 本题解法中的分类与整合完全是因为所学定理的局限性引起的, 先求出所求取值范围的 一个充分条件,然后再进一步分类研究. 要注意,本解法是对 a 的取值进行的分类,而不是 对 f ' ( x) 的正、负、零的分类,这一点务必要搞清楚. 例 18.已知函数 f ? x? ? 2mx2 ? 2 ? 4 ? m? x ?1, g ? x? ? mx ,若对于任一实数 x , f ? x ? 与

g ? x ? 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是
A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) 解析:方法一:当 m ? 0 时,显然不成立。 当 m ? 0 时,因 f (0) ? 1 ? 0 当 ? 当? D.(-∞,0)

b 4?m ? ? 0 即 0 ? m ? 4 时结论显然成立; 2a 2

b 4?m ? ? 0 时只要 ? ? 4(4 ? m)2 ? 8m ? 4(m ? 8)(m ? 2) ? 0 即可,即 4 ? m ? 8 2a 2 故 0 ? m ? 8 ,选 B。
方法二:验证答案,当 m ? 4 时, f ( x) ? 8x 2 ? 1 ? 0 恒成立,结论成立,则选项 A,D 错; 当 m ? 1 时 f ( x) ? 2x 2 ? 6 x ? 1, g ( x) ? ?4 x, x ? ?2 时 f (?2) ? 0, g (?2) ? 8 ? 0 , 当 x ? ?2 时 f ( x) ? 0 ,结论成立,则选项 B,D 错;所以选 C。
2 例 19.已知 t 为常数,函数 y ? x ? 2 x ? t 在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=________

解析:本小题主要考查二次函数问题。
2 2 方法一: y ? x ? 2 x ? t ? ( x ? 1) ? 1 ? t 。

2 ①当 ? 1 ? t ? 0 时,即 t ? ?1 时, y ? ( x ? 1) ? 1 ? t , ,

即 x ? 3 时, ymax ? 3 ? t ? 2 ,即 t ? 1 (和 t ? ?1 矛盾)不符合题意;
2 ②当 ? 1 ? t ? 0 ,即 t ? ?1 时,结合函数 y ? x ? 2 x ? t 的图象,

当 x ? 1 时, ymax ? ? 1 ? t ? 2 ,又由 t ? ?1 可得 t ? 1 。 当 x ? 3 时, ymax ? 3 ? t ? 2 ,可得 t ? 1 或 t ? 5 ,易验证 t ? 5 时不符合题意。 综上所述; t ? 1 。 方 法 二 : 对 称 轴 为 x ? 1, 下 方 图 像 翻 到 x 轴 上 方 . 由 区 间 [0 , 3] 上 的 最 大 值 为 2 , 知

ymax ? f (3) ? 3 ? t ? 2, 解得 t ? 1或5, 检验 t ? 5 时,
f (0) ? 5 ? 2 不符,而 t ? 1 时满足题意.

(5)多级分类讨论型
例 20.求函数 y ? ln(a x ? k ? 2 x ) (a>0 且 a≠1)的定义域. 分析:要使 y ? ln(a x ? k ? 2 x ) 有意义,只需使 a x ? k ? 2 x >0 ,从而将问题转化为解不等式
a ( ) x ? k ,按 a、k 分类讨论即可. 2 a 解:由已知有: a x ? k ? 2 x >0,即 ( )x ? k 2 (1) 当 k ? 0 时,由 a>0 且 a≠1 知此时函数定义域为 x ? R . a (2) 当 k ? 0 时,①当 0 ? ? 1 即 a ? (0,1) ? (1,2) 时,函数定义域为 {x | x ? loga k} ; 2 2

②当

a a 由函数定义知函数定义域非空, ( )x ? k ?1? k , ? 1 即 a ? 2 时, 2 2

故必有 0 ? k ? 1 ,此时函数定义域为 x ? R ; a ③当 ? 1 即 a ? (2,??) 时,函数定义域为 {x | x ? loga k} 2 2

3、避免分类讨论策略 (1)分离参数
例 21. 已知曲线 C:y ? ? x 2 ? mx ? 1,点A(3,0),B(0,3) .若曲线 C 与线段 AB 有交点, 则实数 m 的 取值范围是______________________. 分析:此题求的是两曲线有交点的充要条件,所给曲线 C 是一条开口向下的抛物线,线段 AB 是直线 x ? y ? 3 上的一段,其中 0 ? x ? 3 . 思路一: 按求曲线交点的方法, 应将 x ? y ? 3 代入方程 y ? ? x 2 ? mx ? 1 , 得 x 2 ? (m ? 1) x ? 4 ? 0 . 使此方程在 ?0,3? 上有根,按有一个根和两个根分类讨论. 思路二:由思路一, x 2 ? (m ? 1) x ? 4 ? 0 ? m ? 1 ? f ( x) ? x ?
x ? 2 时等号成立,由数形结合知 m ? 3 .
4 4 ? 2 4 ? 4, 当且仅当 x ? 即 x x

思路三:由思路二, x 2 ? (m ? 1) x ? 4 ? 0 ? m ? 1 ? f ( x) ? x ?

4 4 ,令 f ?( x) ? 1 ? 2 =0 x x ? ? 由 0 ? x ? 3 得 x ? 2 ,知 m ? (0,2] 时 f ( x) ? 0 ,m ? [2,3] 时 f ( x) ? 0 ,所以 f (2) ? 4 是 f ( x) 在

[0,3]上的极小值也是最小值,故 m ? 3 .

(2)主参换位
, 1] ,函数 f ?x ? ? x 2 ? ?a ? 4?x ? 4 ? 2a 的值总大于零,则 x 的取值范围是: 例 22.对任何 a ? [?1

A. 1 ? x ? 3

B. x ? 1或x ? 3

C. 1 ? x ? 2

D. x ? 1或x ? 2

分析: 方法一: 转化为不等式 (组) 进行求解, 由 x 2 ? ?a ? 4?x ? 4 ? 2a ? 0 ? ?x ? 2??x ? ?2 ? a ?? ? 0

得?

?x ? 2 ?x ? 2 (1),或? (2) , ?x ? 2 ? a ?x ? 2 ? a

∵a ? ?? 1 , 1? , ∴2 ? a ? [1 , 3]

于是,由(1)得 x ? 3 ,由(2)得 x ? 1 , 1],f ?x ? ? 0 总成立时, x 的取值范围是 x ? 1或 x ? 3,故选 B. ∴对任何 a ? [?1 方法二:主参换位转化为函数问题求解.
2 视 f ?x ? 为关于 a 的函数,令 g ?a ? ? ?x ? 2?a ? ?x ? 2? ,依题意有 x ? 2 ,若 x ? 2 ,则有

f ?2? ? 0 ,与 f ?x ? ? 0 矛盾,故知 x ? 2 ,因 g?a ? 为关于 a 一次函数.
故要使 g?a ? 在 a ?[ ?1,1] 上恒大于零,则必须且只须,当 x ? 2 时,有 g? ?1? ? 0 ; 当 x ? 2 时,有 g ?1? ? 0 . 由 x ? 2 时, g? ?1? ? 0 ,即
2

?x ? 2· ? (?1) ? ?x ? 2?

? 0 ? ?x ? 2??x ? 3? ? 0 ,

∴ x ?3
2

由 x ? 2 时, g?1? ? 0 ,即 故有 x ? 1或 x ? 3

?x ? 2· ? 1 ? ?x ? 2?

? 0 ? ?x ? 2??x ? 1? ? 0 ,∴ x ? 1

(3)数形结合
例 23. 函数 f ( x) ? ? ( ) A.4

?4 x ? 4,
2

x≤1 ,

? x ? 4 x ? 3,x ? 1
C.2

的图象和函数 g ( x) ? log2 x 的图象的交点个数是

B.3

D.1

解析:在同一坐标系中画出函数 f ( x) ? ?

?4 x ? 4, x ? 1,
2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1,

和 g ( x) ? log2 x 的图象。

由图知,有 3 个交点。 综上,分类与整合既是一种逻辑方法,又是一种重要的数学思想. 高考对分类与整合思 想考查的一个重要目的是检测学生的理性思维.在使用分类整合思想解决数学问题时,需要 对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解.

四、化归与转化的思想
所谓化归与转化的思想是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之 转化,进而使问题得到解决的一种解题策略. 化归与转化的思想是解决数学问题时经常使用 的基本思想方法,它的主要特点是灵活性与多样性. 一个教学问题,我们可以视其为一个数 学系统或数学结构, 组成其要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的, 但其变形并不 唯一,而是多种多样的. 所以,应用数学变换的方法去解决有关数学问题时,就没有一个统 一的模式可以遵循. 在此正需要我们依据问题本身所提供的信息,利用所谓的动态思维,去 寻找有利于问题解决的变换途径和方法,并从中进行选择. 一般情况下,总是将复杂的问题 化归为简单的问题, 将较难的问题转化为较容易求解的问题, 将未解决的问题化归为已解决 的问题等等. 1 例 24.设函数 f ( x) ( x ? R) 为奇函数, f (1) ? , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则f (5) ? 2 (A)0 (B)1 (C)

5 2

(D)5

本题属于求函数值的问题. 题目的已知条件中并没有给出函数的解析式,而是给出了函 数的两条性质和 x=1 时的函数值,分析后不难看出,要想求出 f(5)的值,必须利用所给的两 1 条性质进行转化,最终利用 f (1) ? 求值,因此,由 f(5)如何利用性质出现 f(1)就成了解决 2 本题的关键. 先利用性质 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2)分析, 将f ( x)进行转化 .
f (5) ? f (3 ? 2) ? f (3) ? f (2) ? f (1 ? 2) ? f (2) ? f (1) ? 2 f (2).

其中 f(1)已知,只需求出 f(2)即可. 于是问题进一步转化为如何求 f(2)的值. 再使用相同 的思维模式进行变形已经不可能,必须与另一条性质综合考虑才行. 1 由于 f ( x)是R上的奇函数, 则f (?1) ? ? f (1) ? . 2 因此 f (?1 ? 2) ? f (?1) ? f (2), 即f (1) ? ? f (1) ? f (2).由此解得f (2) ? 2 f (1) ? 1. 1 5 到此的求值转化已基本完成,可以求 f(5)的值了. f (5) ? f (1) ? 2 f (2) ? ? 2 ? . 选(C). 2 2 本题以求函数值为素材,重点考查化归与转化的思想,利用函数的两条性质,沟通已知 与未知的关系,将未知转化成已知进行求解. 在转化的过程中,又体现出特殊与一般,具体 与抽象之间的相互转化,使多种数学思想方法交织、融合在一起.

1、从数学思维看 (1)抽象向具体转化
例 25. (05 年全国卷 I) 设 I 为全集, 且 S1 ? S 2 ? S3 ? I , S1、S 2、S3 是 I 的三个非空子集, 则下面论断正确的是( A. CI S1 ? (S 2 ? S3) ?? C. CI S1 ? CI S 2 ? CI S3) ?? ) B. S1 ? (CI S 2 ? CI S3 ) D. S1 ? (C I S 2 ? C I S 3 )

分析:这是一个以容斥原理为背景的集合运算问题,正面入手相对而言比较抽象,可以从以 下方面入手. 方法一:由德· 摩根律:

C I (S1 ? S 2 ? S 3 ) ? CI S1 ? CI S 2 ? CI S3)
? CI I ? ? ,故选 C.
方法二: (韦恩图)如右图取特例,由德· 摩根律知:

CI S1 ? CI S 2 ? CI S 3) ? CI S1 ? (S2 ? S3) ? ? ,故选 C.
方法三:取特例 I ? {1,2,3}, S1 ? {1 }, S 2 ? {2}, S3 ? {3},不假思索地选 C. 小结: 方法二和方法三本着抽象问题具体化、 一般问题特殊化的原则, 兵不血刃, 一剑封喉! 例 26.抽象函数问题中,抽象结构往往对应了我们熟悉的函数背景,例如: f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 对应于背景函数 y ? kx
f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x) x 对应于背景函数 y ? a f ( y)

x f ( xy) ? f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) 对应于背景函数 y ? loga x y f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( x) 对应于背景函数 y ? tan x 1 ? f ( x) f ( y )

f ( x) ? f ( y ) ? 2 f (

x? y x? y )f( ) 对应于背景函数 y ? cos x 2 2

……… 我们可以将其转化为在熟悉的函数背景加以思考并解决. 赋值法是解决抽象函数问题的重要方法, 如求值、 函数性质的判断与证明、 解析式的求解等. 同时,抽象函数记号在高中代数中可能表达函数关系,也可能表达运算法则,还可能表达图 象变换规则.使用时,要视不同问题,选好认识的角度.

(2)特殊与一般
例 27. 设函数f ( x) ? 的值为____. 分析:方法一:由已知
4 x ? 4 1? x ? 2 m ?

1 1 (m ? 0为常数) 已知对任意 x ? R, 都有f ( x) ? f (1 ? x) ? 成立.则 m 4 ?m 2
x

1 1 1 ? 1? x ? , 4 ?m 4 ?m 2
x

1 x 4 4 (4 ? m)(4 1? x ? m),即2(4 x ? x ? 2m) ? 4 ? m 2 ? m(4 x ? x ) 2 4 4 4 4 ? (m ? 2)(4 x ? x ) ? (m ? 2) 2 ? 0,即(m ? 2)(4 x ? x ? m ? 2) ? 0 4 4 ? 上式对一切x ? R恒成立,? m ? 2

方法二:既然 m 是确定的常数,不妨用赋值法取特例建立关于 m 的方程即可,事实上,令 x=0 代如 f ( x) ? f (1 ? x) ?
1 1 1 1 ?0 ? ? ?m ?? m?2 得: 1? m 4 ? m 2 2

2、从数学对象看 (1)代数与几何 ①几何问题代数化 例 28.有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式 如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点,已知最 底层正方体的棱长为 2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39, 则该塔形中正方体的个数至少是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:设有 n 个正方体构成,则其表面积由三部分组成: ①侧面 4n 个正方形,且从下向上看正方形面积构 成一个首项为 4,公比为
1 的等比数列; 2

②最底层正方形的面积 4; ③俯视该几何体,其表面为正方形(如右) , 其面积为 4。
1 1 1 所以 4 ? 2 ? 4 ? 4(1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ) ? 39 ? 2 n ? 32 ? n ? 5 ,故选 C. 2 2 2

点评:从算法角度看,本题的难点是通过正方 体的表面即为媒介把问题转化为数列问题,其

中"俯视"几何体使问题得以简化(新课程的三视图) 例 29. (06 全国 III 理 16)已知在△ ABC 中,∠ACB=90° ,BC=3,AC=4,P 是 AB 上的点, 则点 P 到 AC、BC 的距离乘积的最大值是 分析 如图 1,设点 P 到 AC、BC 的距离分别为 x,y,由平面几何知识易得 S ?APC ? S ?BPC ? S ?ABC ? 4 x ? 3 y ? 12 ,其中 x,y 都是正实数,问题转化为在 A 此条件下,求 xy 的最大值问题,下面有两条途径可供选择,一是应用基本不等 式解之,二是利用二次函数性质求其最大值. 思路 1:由分析知: 4 x ? 3 y ? 12 ,所以,12=4x+3y≥ 2 4 x· 3 y ,即 3≥ 3xy ,所
E

x

P

3 y ? 2 时,xy 的最大值为 3. 以,xy≤3,当且仅当 4x=3y=6,即 x ? 2
思路 2 由分析知: 4 x ? 3 y ? 12 ,所以, y ?
12 ? 4 x ,所以, 3

y
B C F

3 12 ? 4 x 4 4 3 xy ? · x ? ? x 2 ? 4 x ? ? ( x ? ) 2 ? 3, 又 0<x<3,所以,当 x ? , 3 3 3 2 2

A

y

进而 y=2 时,xy 有最大值,其最大值为 3. P E 思路三:如图,以 C 为原点、CB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则 x y x y 12 ? 4 x AB 方程为 ? ? 1 ,设 P(x,y) ,则 ? ? 1 ,所以, y ? , 3 3 4 3 4 12 ? 4 x 4 4 3 所以, xy ? · x ? ? x 2 ? 4 x ? ? ( x ? ) 2 ? 3, 又 0< x <3 ,所以,当 C F 3 3 3 2 3 x ? ,进而 y=2 时,xy 有最大值,其最大值为 3. 2 本题是以平面几何知识为载体的条件不等式问题, 反映了不等式与函数的自然交汇, 解 答过程中体现了函数思想的灵活应用. 例 30.如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都是 2,侧棱与底面成 60° 的角,且侧 面 ABB1A1⊥底面 ABC, (1) 求斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 C1 (2) 求证:B1C ? C1A B1 (3) 求二面角 C1-AB-C 的大小. A
1

B

x

分析: (1) 证:作 B1D ? AB 于 D ∵ 侧面 ABB1A1⊥底面 ABC 又 B1 D ? 平面ABB1 A1 ∴ B1D ? 底面 ABC, 即 B1D 为棱柱的高 ∴
B1 D ? B1 B sin 600 ? 3 ,

E C A D B

?
3 ? 22 ? 3 4 ∴ 三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 = SΔABC· B1D =3 S ?ABC ?

B1BD=60° .

(2)由(1)知 B1D ? 底面 ABC, ? B1BA=60° 故 ΔABB1 是正三角形 ∴ D 是 AB 的中点 连 CD,又 ΔABC 是正三角形 ∴ CD ? AB,又 CD 是 B1C 在平面 ABC 上的射影 ∴ B1C ? AB ; 又 BB1C1C 是菱形 ,故 B1C ? BC1 又 AB∩BC1=B ,故 B1C ? 面 ABC1 又 AC1 ? 面 ABC,∴ B1C ? C1A

(3)由(2)已证 C1A ? B1C,又 ACC1A1 是菱形,∴ C1A⊥A1C ∵ B1C∩A1C=C, 故 C1A ? 面 A1B1C ∴ C1A ? A1B1 , 又 AB//A1B1 ∴ C1A ? AB 连 DE, 则 DE//C1A, 故 DE ? AB 又 CD ? AB, 故 ∠CDE 是二面角 C1-AB-C 的平面角 DE 平分 ? CDB1 , ? ? CDE=45°

在 ΔCDB1 中,CD=B1D= 3 , ∠CDB1 是直角,

点评: 立体几何中的化归与转化主要体现在四个层面: 一是立体几何内部知识之间的相 互转化,如面面平行与线面平行的互化、线面垂直与线线垂直的互化等;二是将空间问题转 化为平面问题, 如将空间的角和空间距离转化为平面内的角和距离的计算问题、 将截面图问 题转化为平面问题等; 三是以向量为工具将证明问题转化为运算问题; 四是数学语言的转化.

②代数问题几何化
(0, 1) (4, 2) (2, 6) 例 31. (1)在平面直角坐标系中,点 A、B、C 的坐标分别为 、 、 . 如
果 P( x, y ) 是△ ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当 w ? xy 取到最大值时,点 P 的 坐标是 .

(2)已知不等式 x ? 1 ? x ? b 解集是[1,2],则 b ? _____________. 解析: (1)方法一:点 A、B、C 围成的区域是△ ABC (含边界,如图) ,

y P1 A O

C P B P2 x

w ? xy 表示四边形 PP 1OP 2 的面积,易知只有点 P 在线段 BC 上时四边形
PP 1OP 2 的面积可能取最大值,故 P 必在线段 BC 上。

易知 BC 方程为: 2 x ? y ? 10 ? 0 ,设 P( x,10 ? 2 x)(2 ? x ? 4) ,则

? ? xy ? x(10 ? 2 x) ? ?2( x ? ) 2 ?
∴当 x ?

5 时 ? max 2

25 (2 ? x ? 4) , 2 25 5 ? xy ? ,此时点 P 的坐标为 ( ,5) 。 2 2

5 2

方法二: w ? xy 取最大值 ? y ? 易知 w ? xy 取最大值时 y ?

?
x

的图象与△ ABC 区域(含边界)有公共点时 ? 最大,
? ? ?y ? ? x 2 ? 10x ? ? ? 0 , x ? ? y ? 10 ? 2 x

?
x

的图象与 BC 相切,联立: ?
25 5 ? P( ,5) 。 2 2

所以 ? ? 100 ? 4? ? 0 ? ? max ?

(2)不等式解集区间的端点是对应方程的根 ? 不等式与方程的对立统一 ? 曲线的位置关系(不等式)与曲线的交点(方程或方程组)
x ? 1 ? x ? b 意味着曲线 y ? x ? 1 在直线 y ? x ? b 上方,

y
M(2,1)

O

1

x

x ? 1 ? x ? b 解集是[1,2],意味着曲线 y ? x ? 1 在直线 y ? x ? b 上方部分为覆盖 x 轴的范

围是[1,2] ? M(2,1)在直线 y ? x ? b 上,代入的 b=-1.

(2)不等式与方程
无论从代数角度还是几何角度看,方程与不等式问题都有三大主题: (1)定量求解; (2) 解的定性分析(3)方程与不等式的转化,这里谈谈第(2) 、 (3)两个问题. “相等”和“不等”是现实世界物质形式中量与量的两种重要的关系,它们相互关联且相 互依存, 在一定的条件下可以互相转化.在数学学习过程中, 要注意“相等”与“不等”的相互关 系,通过方程与不等式的转化,找到解决问题的途径.

①方程向不等式的转化
例 32.(1)已知正数 a , b 满足 a ? b ? ab ? 3 ,那么 a ? b 的最大值为_______; ab 的最小值 为________. (2)函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 2
x 2 ?5 x ? 4

的最小值为



解析: (1)正数 a , b 满足 a ? b ? ab ? 3 ? (

a?b 2 ) ? 3 ? (a ? b) 2 ? 4(a ? b) ? 12 ? 0 2

知 a ? b ? 6 或 a ? b ? ?2 (舍) ,故 a ? b 的最大值为 6. 正数 a , b 满足 a ? b ? ab ? 3 ? 2 ab ? ( ab) 2 ? 2 ab ? 3 ? 0 ,∴ ab ? 9 ,故 ab 的最小值为 9. ? ab ? 3 或 ab ? ?1 (舍) ( 2 ) 由 已 知 可 求 得 函 数 的 定 义 域 为 (??,0] ? [4,??)
h( x) ? 2
x 2 ?5 x ? 4

, 考 查 函 数 g ( x) ? x 2 ? 2 x 和

,易知在 (??,0] 上 g ( x) 和 h( x) 同为减函数,且 f (0) ? g (0) ? h(0) ? 4 ;在 [4,??)

上 g ( x) 和 h( x) 同为增函数,且 f (4) ? g (4) ? h(4) ? 2 2 ? 1 ? 4 ,故 f ( x) 的最小值为 1 ? 2 2 . 点评:观察函数的单调性将其转化为简单函数的最值.

②不等式向方程的转化.
由实数理论知:若 a≥b 且 a≤b 则必有 a=b,这是由“不等”变为“相等”的典型模型,在数学 运算中经常用到,例如:由(x-y)2≤0 及隐含条件(x-y)2≥0 可以导出(x-y)2=0 3 2 1 1 ?1 1? 例 33.已知函数 f ?x ? ? ax ? x 的最大值不大于 ,又当 x ? ? , ? 时, f ? x ? ? .求 a 的 2 6 8 ?4 2? 值; 解:由于 f ?x ? ? ax ?

3 2 a ? a2 1 ?1 1? x 的最大值不大于 1 ,故 f ? ? ,即 a 2 ? 1 ①,又 x ? ? , ? ? ?? 2 6 ?4 2? ?3? 6 6
1 8 ,解得 a ? 1 ②.由①②得 a ? 1 . 1 8

? ?1? f? ?? ? 1 ? 2 时, f ?x ? ? ,故 ? ? ? 1? 8 ?f? ? ?? ? ? ?4?

(3)空间与平面(空间向平面转化、空间图形之间的转化)
例 34.已知球 O 的半径为 1, A、B、C 三点都在球面上,且每两点间的球距离均为 心 O 的平面 ABC 的距离为
? ,则球 2

2 3 6 (C) (D) 3 3 3 解析:这是一个和球有关的立体几何计算问题. 读题后发现,题目的已知条件略显复杂,能 不能由所给条件出发, 将这个貌似复杂的问题简单化, 将原问题转化为另一个简洁明晰的问 题呢?这是我们在解决这个问题时首先要思考的.

(A)

1 3

(B)

由于 A、 B 两点在球面上, 它们之间的球面距离为

? . 又知球 2

的半径为 1,那么便可在过 A、 B、 O 三点的大圆中, 求出∠AOB=90° . 可以用同样的方法求得∠AOC=90° ,∠BOC=90° ,即 OA、OB、 OC 两两互相垂直. 又由于 OA、OB、OC 都是球的半径,这样, 三棱锥 O-ABC 就是侧棱两两互相垂直的正三棱锥,到此,原问 题便可以转化为“已知正三棱锥 O-ABC 中,侧棱 OA、OB、OC 两两互相垂直, 且 OA=OB=OC=1, 求顶点 O 到底面 ABC 的距离. ” 下面求解决这个问题,我们给出三种方法. 方法一 先画距离再计算. 取 BC 的中点 D ,连结 OD 、 AD ,作 OE⊥AD 于 E ,如图 2 - 13. 由已知易求出
OD ? 2 2 2 6 3 , AD ? ( 2 ) 2 ? ( ) ? , 由 OE· AD=AO· OD,可求出 OE ? . 2 2 2 3

方法二 利用等积法计算,设 O 到平面 ABC 的距离为 h,由 VO? ABC 得

? VA?OBC

1 1 3 11 3 · h· · ( 2 ) 2 ? · · 1· 1· 1 ,解得 h? . 3 2 2 32 3 方法三 构造转移法. 由已知条件,认真分析所给几何体的特征,能产生什么联想?这个三棱锥恰是棱长为 1 的正方体的一角,于是便可以将三棱锥转化为正方体来研究,如图 2-14,此图恰为我们平 时熟悉的图形,截面 ABC 将正方体的对角线截成 1:2 的两段. 易求出正方体的对角线长为 3 为所求. 3 比较以上三种方法我们不难发现,方法三最为简捷,几乎不用动笔就可以写出答案. 方 法三中蕴含了思维的转化过程, 将三棱锥的问题转化为正方体的问题, 将复杂的图形转化为 简单的图形,将一般的图形转化为特殊的图形,将陌生的图形转化为熟悉的图形. 这一系列 的转化过程达到了简化运算的目的, 体现出高考试题对化归转化思想的考查和对相应能力的 要求.
3 ,则

(4)数学结构转换

? x ? y ? 1≥ 0, ? x?2 y 例 35.若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3 的最小值是( ? x ≤ 0, ?
A.0 B.1 C. 3 D.9
x?2 y



解析:本题线性规划的目标函数是超越结构 z ? 3 值即可.

,求解时只需转化为 u ? x ? 2 y 的最小

1 1 作出可行域 (略) 可知, 此平面区域是以 0(0,0), A(0,1), B(? , ) 为顶点的三角形内部 (包 2 2

括边界) ,当 x ? 0, y ? 0 时, x ? 2 y 取得最小值零, z ? 3

x?2 y

取得最小值 1,选 B。 )

例 36.若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 3 ,则 2a+b+c 的最小值为(

(A) 3 ? 1 (C) 2 3 +2

(B)

3 +1

(D) 2 3 ? 2

解析:思路一:利用基本不等式求解最值.由 a(a+b+c)+bc=4-2 3 得: 已知左端= a 2 ? ab ? ac ? bc ①,出于统一结构的需要,势必把结论平方,得 ②,与①相比,有系数的差异和项的差异,那

(2a ? b ? c) 2 ? 4a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc

么,把①、②中同类项的系数进行统一会有什么结果呢?我们来尝试一下: , ① ?4 = 4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 4bc ③, 再与②比较,③= 4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc ? 2bc ,这时发现其真正差异在于的 b 2 ? c 2 与 2bc ,而
b 2 ? c 2 ? 2bc ,从而获得解题思路:由 a(a+b+c)+bc=4-2 3 得:

16 ? 8 3 = 4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 4bc = 4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc ? 2bc
? 4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc ? b 2 ? c 2 ? (2a ? b ? c) 2

故 2a ? b ? c ? 16 ? 8 3 ? 2( 3 ?1) ,所以选 D。 思路二:由 a,b,c>0,
4 ? 2 3 ? a 2 ? ab ? ac ? bc ? (a ? b)(a ? c) ? [ (a ? b) ? (a ? c) 2 (2a ? b ? c) 2 , ] ? 2 4

故 (2a ? b ? c) 2 ? 4( 3 ?1) 2 ? 2a ? b ? c ? 2( 3 ?1) ,所以选 D。 思路三: 2a ? b ? c ? (a ? b) ? a ? c) ? 2 (a ? b)(a ? c) ? 2 4 ? 2 3 ? 2( 3 ? 1) 思路四:一般地,特殊结果出现在特殊状态。取 a ? b ? c ? 排除 B、C;
1 ( 3 ? 1) 代入 2a+b+c=2 3 ? 2 , 2

(5)数学语言转化
语言是思维的载体,思维需要用语言或文字表达,数学语言是数学特有的形式化符号 体系, 依靠这种语言进行思维能够使思维在可见的形式下再现出来, 数学语言包括文字语言、 符号语言和图形语言,在数学高考试题中,主要是用文字语言和符号语言,辅之以图形语言 表述、 呈现试题内容、 文字语言包括日常生活的语言, 还有数学学科的特殊语言, 各种名词、 术语、 高考中考核的重点是文字语言, 并要求考生能够根据实际情况进行三种形式的语言间 的转换,对语言的考查包括两方面的要求:一是要求考生读懂题目的叙述,把所给的文字和 数学符号翻译成数学关系输入大脑, 以便于大脑加工。 二是要求考生有一定的语言表达能力, 能清楚、准确、流畅地表达自己的解题过程,并要求表达合乎条理、层次清楚,合乎逻辑, 准确规范地使用名词、术语和数学符号,书写工整、清晰。 例 37.对于直线 m,n 和平面 a,下面命题中的真命题是 (A)如果 m ? a, n ? a, m, n 是异面直线,那么 n//a (B)如果 m ? a, n ? a, m, n 是异面直线,那么 n 与 a 相交 (C)如果 m ? a, n // a, m, n 共面,那么 m//n

(D)如果 m // a, n // a, m, n 共面,那么 m//n 解析:本题考查空间直线与平面位置关系的判定,涉及异面直线、直线与平面的三种位置关 系、两条直线平行的判定等内容,体现出文字语言,符号语言转化为图形语言的能力,判断 几何命题真假的方法与能力,体现出思维能力与空间想象能力的综合,在解决这类问题时, 读题画图是关键,首先要读懂题,将文字语言、符号语言转化为图形语言进行研究,往往采 用举特例排除的方法进行判断。 点评: 这是一道重点考查符号语言的试题, 要求考生在正确理解文字语言和符号语言的基础 上,建立空间观念,画出草图,进行文字语言、符号语言与图形语言的相互转化,然后再利 用概念和定理进行判断和推理, 此类试题以考查符号语言为入口, 进行三种语言的相互转化, 并与考查逻辑思维能力、 空间想象能力相结合。 立体几何中有相当一部分内容是采用符号语 言 表 述 的 , 除 了 平 面 几 何 中 使 用 过 的 “⊥” , “//” 等 符 号 外 , 集 合 符 号 , 如

“?”, “?”, “?”, “?”, “?”等 也引进了立体几何, 这样在立体几何中如何突出考查符号语言就
成了高考的任务之一, 为了正确引导高中教学, 在近几年的高考试卷中几乎每年都有一道以 符号语言为主进行表述的选择题或填空题, 用来考查阅读理解、 空间想象及逻辑思维等能力。 数学语言的特点之一是准确而清楚,每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义,没 有含糊不清或易产生歧义的词汇, 其中每一个符号以及每一个由符号组成的式子只有一个意 思;数学语言的的特点之二是高度抽象性,数学阅读需要较强的逻辑思维能力.在阅读过程 中,读者必须认读感知阅读材料中有关的数学术语和符号,理解每个术语和符号,并能正确 依据数学原理分析它们之间的逻辑关系,最后达到对材料的本真理解,形成知识结构,这中 间用到的逻辑推理思维特别多.而一般阅读理解和感知好像融合为一体,因为这种情况下的 阅读,主要的是运用已有的知识,把它与新的印象联系起来,从而掌握阅读的对象,较少运 用逻辑推理思维. 阅读是学生自主获取知识的一种学习过程, 它不仅仅是读的过程, 而且是动口动手动脑 有机结合,统一协调的过程. 数学阅读是数学学习的有机组成部分,它以数学阅读为载体、 以提高学生数学阅读理解能力为目标. 例 38.用长度分别为 2、3、4、5、6(单位: cm )的 5 根细木棒围成一个三角形(允许连 接,但不允许折断) ,能够得到的三角形的最大面积为( ) A. 8 5cm
2

B. 6 10cm

2

C. 3 55cm

2

D. 20cm

2

分析: 本题考查三角形构成条件及三角形面积计算问题, 对考生的算法算理意识要求非常高。 作为一个定性数学实验, “所得到的三角形的面积最大” P 实际上是一个定量结果,准确到结论应该十分困难。从逻 P1 辑角度看,我们应该将所有能构成三角形的实验结果进行 面积比较。事实上,本问题有两个障碍,其一是三角形构 N M F2 F1 O

3 2 2 成条件,实验的可能结果有 C5 ? C5 C3 ? 40 种,其中有多少个结果能构成三角形?,仅这一

点对不少考生就是一个不可逾越的障碍, 因为遗漏一个可能实验结果就有可能导致遗憾; 其 二是这些实验结果对应的面积比较方法:是直接计算比较?还是利用三角形的面积性质比 较?这就是算理问题。注意实验结果是周长为定值 20 的三角形: 算法一:列举满足构成三角形条件的实验结果: (2,9,9) , (3,8,9) , (4,7,9) , (4,8, 8) , (5,6,9) , (5,7,8) , (6,6,8) , (6,7,7) ,武士道精神直接计算八种情形的面积 再比较(死路一条!)。 算法二(列举并进行估算比较) :满足构成三角形条件的实验结果: (2,9,9) , (3,8,9) , (4,7,9) , (5,6,9) , (4,8,8) , (5,7,8) , (6,6,8) , (6,7,7) ,在周长为定值 的三角形中,一旦确定底边长度,那么其面积只与高正相关(如右图,在椭圆中的焦点三角 形中,考虑椭圆上的点 P 运动变化的连续性) 。据此知 S(2,9,9)<S(3,8,9)<S(4, 7,9)<S(5,6,9) ,同理, S(4,8,8)<S(5,7,8)<S(6,6,8) ,S(5,6,9) <S(6,6,8)<S(6,7,7) ,可知当三边长为 6,7,7 时三角形面积最大,设此等腰三角 形底角为 ? ,易知 cos? ?
2 10 1 3 ,故 sin? ? ,所以最大面积为 S ? ? 7 ? 6 ? sin? ? 6 10 , 7 2 7

选 B。 算法三:利用平面几何结论:周长为定值的三角形在其形状为正三角形时面积最大。根据运 动变化的连续性, 周长为定值的三角形的形状越接近正三角形其面积越大。 由于所构成三角 形的周长为 20,平均边长
20 ? 6.67 ,最接近正三角形的三边长应该是 6,7,7,仿算法二 3

获得结论。 点评: (1)一般来说,对于 5 个连续的自然数:n-2,n-1,n,n+1,n+2,以它们作为边长来围成 三角形,必然是以“n+2”为底边, “n-1+n=2n-1”与“n-2+n+1=2n-1”为两腰的等腰三角形 的面积最大。 (2)本题考查考生比较、分析、直觉推理的能力,要在短短的几分钟时间内计算出所有可 以组成的三角形的面积是不现实的,完整地完成上述的直觉推理过程也不太现实,但是,如 果考虑到周长一定的三角形,正三角形面积最大,当无法构成正三角形时,则三边长越接近 的三角形的面积越大.比较以上算法,算法三利用既有结论四两拨千斤,克服了两个障碍, 回避了命题者设置的陷阱。

3、从数学关系看
(1)结论关系转化 例 39.非二次函数对应的不等式恒成立往往通过参数分离等手段转化为函数值域或最值问 题,一般地: 若 f ( x) ? g (k ) 在 f ( x) 的定义域上恒成立,且 f ( x) 存在最小值,那么 f min ( x) ? g (k ) 若 f ( x) ? g (k ) 在 f ( x) 的定义域上恒成立,且 f ( x) 存在最大值,那么 f max ( x) ? g (k ) (2)证明与运算转化 例 40.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,

?ACB ? 900 .侧棱 AA1=2,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E
在平面 ABD 上的射影是 ?ABD 的重心 G.(1) 求 A1B 与平面 ABD 所 成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)求点 A1 到平面 AED
A1

C1

D

B1

E C G A F B

的距离. 分析: (1)思路一:连结 BG,则 BG 是 BE 在平面 ABD 内的射影,即 ?EBG 是 A1B 与平 面 ABD 所成角. 设 F 为 AB 中点,连结 EF、FC,? D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,又 DC ? 平面ABC , ∴CDEF 为矩形. 连结 DF,G 是 ?ABD的重心,∴ G ? DF .
1 在 Rt ?EFD 中, EF 2 ? FG ? FD ? FD2 ,由 EF ? 1 得 FD ? 3 . 3
G

E D

于是 ED ? 2 , EG ?

1? 2 3

?

6 3

F

∵ FC ? ED ? 2 ,∴ AB ? 2 2 , A1 B ? 2 3, EB ? 3 ∴ sin ?EBG ?
EG 6 1 2 2 ? ? ? ? ?EBG ? arcsin EB 3 3 3 3

思 路 二 : 如 图 所 示 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 坐 标 原 点 为 C , 设 CA ? 2a , 则

A(2a,0,0), B(0,2a,0), D(0,0,1) , A1 (2a,0,2), E (a, a,1), G(

2a 2a 1 , , ) 3 3 3
z C1

a a 2 2 2 ∴ GE ? ( , , ), BD ? (0,?2a,1) ,∴ GE ? BD ? ? a 2 ? ? 0 ? a ? 1 3 3 3 3 3 2 4 1 ∴ BA1 ? (2,?2,2), BG ? ( ,? , ) 3 3 3
14 7 BA1 ? BG 7 3 故所求角为 arccos . cos ?A1 BG ? ? ? 1 3 3 | BA1 | ? | BG | 2 3 ? 21 3
A1

D

B1

E C G x A F B

y

(2)思路一:连结 A1D,则有 VA ? ADE ? VD? AA E .
`1 1

∵ ED ? 平面A1 AB , 设 点 A1 到 平 面 AED 的 距 离 为 h, 则 S ?AED ? h ? S ?A1 AE ? DE , 即
2 6 . 3 思路二:由(1)思路六有 A(2,0,0) ,A1(2,0,2) ,E(1,1,1) ,D(0,0,1).由
1 1 AE ? ED ? h ? A1 A ? AB 2 4

据此解得 h ?

AE ? ED ? (?1,1,1) ? (?1,?1,0) ? 0 , AA ? ED ? (0,0,2) ? (?1,?1,0) ? 0 可知点 A1 在平面 AED 内的射影 1

点 K 在 AE 上,设 AK ? ? AE
A1 K ? A1 A ? AK ? (??, ?, ? ? 2) ,又 A1 K ? AE ? 0 ,故 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ? ? ?
2 3

2 2 4 2 6 ∴ A1 K ? (? , ,? ) ?| A1 K |? 3 3 3 3

∴点 A1 和点 B 到平面 AED 的距离

2 6 3

思路三: (法向量)由思路三可知 DA ? (2,0,?1), DE ? (1,1,0), AA1 ? (0,0,2) 设 n ? (1, x, y) 是平面 AED 的一个法向量,则
? ? x ? ?1 ?n ? DA ? 0 ?? ? n ? (1,?1,2) ? y?2 ? ? n ? DE ? 0 ?

故点 A1 和点 B 到平面 AED 的距离 d ?

1 |n|

? | n ? AA1 |?

2 6 3

点评:①对于(1)求线面角,须先找后算,找较容易算的方法与途径因人而异,补形、平 面几何中的射影定理、等积法等不一而足;对于(2) ,既可以直接先作后算,也可用转化法 或体积法或向量法间接求解, 这正是求解点面距离的两条根本途径, 但具体应用时又因人而 异,反映了思维的多样性和发散性. ②利用向量方法将空间几何证明转化为代数运算是立体几何的通法之一. (3)正难则反 例 41.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内,甲、乙 都需要照顾的概率为 0.05, 甲、 丙都需要照顾的概率为 0.1, 乙、 丙都需要照顾的概率为 0.125, (1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少; (2)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 解析:本题考查相互独立事件同时发生或对立事件有一个发生的概率的计算. 对于(2) ,求 “计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率”,如果正面考虑,有三类七种情况,复杂 程度可想而知. 正难则反,将问题转化为求该事件的对立事件的概率,复杂程度大大降低, 既体现了转化思想的优越性,又体现出“算”中考“想”的命题思想. 高考中十分重视对化归和转化思想的考查. 要求考生熟悉数学变换的思想, 有意识地运 用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题. 高考中重点考查一些常用的变换方法,如一 般与特殊的转化,繁与简的转化,构造转化,命题的等价转化,等等. 许多问题的解答都离不开转化与化归思想,解题过程实际上是一个不断转化的过程.
关于简单不等式与 05 年全国 III 文之三角不等式:解超越不等式时,其实质是利用其对应函数的单调性将 之等价地转化为常规结构,关键在于掌握通性通法,切忌死记硬背,生搬硬套.比如以下超越结构:

f ( x), g ( x) ? [2k? ?

?

,2k? ? ] 时, sin f ( x) ? sin g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 2 2

?

化归原则:由未知到已知,由难到易,由复杂到简单…….其关键在于如何实现由所要 解决的问题向已经解决的或较易解决的问题转化.数学中实现转化与化归的方法很多,分割 法就是经常用到的一种,笛卡儿认为其基本思想是:“把你所考虑的每一个问题,按照可能 和需要,分成若干部分,使它们更容易求解.”这就是我们常常说的复杂的数学问题由若干简 单的数学问题组成,因此可以把一个复杂的数学问题分解为若干简单的数学问题求解.

五、特殊与一般的思想
由特殊到一般或由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程, 就是数学研究中的特殊 与一般的思想. 一般问题特殊化:教材上比比皆是,如三角变换公式皆来源于余弦和差角公式的特殊化,斜

截式是点斜式的特殊化,等等. 特殊问题一般化:由一些特例抽象出共同的特性.勾股定理的一般化为余弦定理,其空间形 式为长方体对角线等于三度平方和 一般与特殊:相对于一般而言,特殊问题的解决往往是比较容易的,因此,数学中也就常常 用到由一般向特殊的化归. 例 42.若 a ? ln 2 , b ? ln 3 , c ? ln 5 ,则 2 3 5 ( )

A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 分析:方法一:利用对数函数 y ? ln x 的单调性将其转化为指数运算进而估算.

a ? ln 2,b ? ln 3 3,c ? ln 5 5 ,故只需比较 p ? 2,q ? 3 3,r ? 5 5 的大小. 注意其根指数的最小公倍数为 30,故只需比较 p 30 ? 215 ,q 30 ? 310 ,r 30 ? 56 的大小.
怎样比较其大小?硬算?估算?思维受阻!可考虑利用指数运算性质转化结构:

p 30 ? 215 ? 85,q 30 ? 310 ? 95,r 30 ? 56 ? 5 ? 55 ,知 r 30 ? p 30 ? q 30 ? c ? a ? b ,故选 C.
方法二:转化为函数性质问题.如果设 f ( x) ? 导数可得到 f(x)在区间(0,e)上是增函数,而在区间 ?e,??? 上是减函数,而 2,3,5 不在同 一单调区间内,并且又都不是极大值点,不能三个同时比较(思维受阻! ). 及时调整思维, 由 5>3>e, 得 f(x)>f(5), 又易算出 2< 1.42 <3 3 , 所以f (3) ? f (2) . 从而结合选择项作出正 确选择. 点评: (1)此题虽小,但“短小精干、绵里藏针”,内涵隽永,将导数、函数性质、不等式等 知识交汇一体,对考生估算、猜想以及综合运用知识解决问题的能力作了较为深入的考查, 体现了较高的理性思维价值. (2)方法二是将特殊问题一般化. 例 43.若 0 ? a1 ? a2 ,0 ? b1 ? b2 , 且 a1 ? a2 ? b1 ? b2 ? A. a1b1 ? a2b2 B. a1a2 ? b1b2 则下列代数式中值最大的是 ( 1, D. )
1nx ,那么 a,b,c 是该函数的三个函数值. 利用 x

C. a1b2 ? a2b1

1 2

解析:方法一: ( 一 般 问 题 特 殊 化 — — 特 殊 值 法 ) 取 a1 ? b1 ?

1 2 , a2 ? b2 ? , 则 3 3

5 1 4 1 4 1 ? , a1a2 ? b1b2 ? ? , a1b2 ? a2 b1 ? ? ,故选 A。 9 2 9 2 9 2 a ? a2 2 b1 ? b2 2 1 ) ?( ) ? . 方法二: a1a2 ? b1b2 ? ( 1 2 2 2 a1b1 ? a 2 b2 ?

a1b1 ? a2b2 ? (a1b2 ? a2b1 ) ? (a1 ? a2 )b1 ? (a1 ? a2 )b2 ? (a2 ? a1 )(b2 ? b1 ) ? 0 a1b1 ? a2b2 ? (a1b2 ? a2b1 ) 1 ? (a1 ? a2 )(b1 ? b2 ) ? a1b1 ? a2b2 ? a1b1 ? a2b1 ? 2(a1b2 ? a2b2 )
a1b1 ? a2b2 ? 1 2

点评:本题改编自竞赛题,根据排序不等式知:同序和≥乱序和≥反序和知答案为 A。在高 考中, 会有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题, 比如利用一般归纳法进行猜

想的试题;利用过由平面到立体、由特殊到一般进行类比猜想的试题;同时充分利用选 择题的特点,考查特殊与一般的思想方法,突出体现特殊化方法的意义与作用. 通过构 造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点,确定特殊位置,利用特殊值,特殊方程等,研究 解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确立的问题,等等. 随着新教材的全面 实施, 高考以新增内容为素材, 突出考查特殊与一般的思想必然成为今后命题改革的方 向.

六、有限与无限的思想
有限与无限相比, 有限显得具体, 无限显得抽象, 对有限的研究往往先于对无限的研究, 对有限个对象的研究往往有章法可循,并积累了一定的经验. 而对无限个对象的研究,却往 往不知如何下手,显得经验不足. 于是将对无限的研究转化成对有限的研究,就成了解决无 限问题的必经之路. 反之当积累了解决无限问题的经验之后,可以将有限问题转化成无限问 题来解决. 这种无限化有限,有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想. 例 44.对任意的锐角 α,β,下列不等关系中正确的是( ) A. sin(α+β)>sinα+sinβ B. sin(α+β)>cosα+cosβ C. cos(α+β)<sinα+sinβ D. cos(α+β)<cosα+cosβ 分析:此题充分体现高考“多想少算”的意图,重在“想”. 方法一: 利用逼近 (极限) 思想, 根据锐角 α, β 的任意性, 当 ? ? 0, ? ? 0 时, sin(α+β) ? 0 , cosα+cosβ ? 2 ,cos(α+β) ? 1 ,sinα+sinβ ? 0 ,故排除 B、C;当 ? ?

?
2

,? ?

?
2

时,

sin(α+β) ? 0 ,sinα+sinβ ? 2 ,排除 A,故选 D.(用单位圆或正余弦函数图象皆可) 方法二:根据锐角 α,β 的任意性,可以更特殊地令 α=β,让再对 α 分别赋值:10(排除 C) , 0 0 0 30 (排除 A) ,60 (排除 B) ,可知选 D.其中令 α=1 仍然体现了极限思想:让锐角 α 充分 小. 例 45.过抛物线 y ? ax2 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q,则 (A)2a
1 1 ? 等于( p q

) (C)4a (D)
4 a

(B)

1 2a

解析:思路一:设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,抛物线 y ? ax2 ? x 2 ? 设直线 PQ 为 y ? kx ? 则 | FP |?
1 2 ,代入 y ? ax 4a

1 1 y ,故 F (0, ) , a 4a

得: ax2 ? kx ?

1 ? 0, 4a

1 1 1 1 1 1 ? y1 ? kx1 ? ? y 2 ? kx2 ? , | FQ |? ,∴ ? = 4a 2a 4a 2a p q

1 1 kx1 ? 2a

?

1 kx 2 ? 1 2a

?

k ( x1 ? x 2 ) ? k 2 x1 x 2 ?

1 a

k 1 ( x1 ? x 2 ) ? 2 2a 4a

k2 1 ? a a ? ? 4a k2 k2 1 ? 2 ? 2 ? 2 4a 2a 4a

思路二:考虑到
ax2 ?

1 1 1 ,代入 y ? ax2 得: ? 的结果的确定性,可以考虑取特殊位置 y ? 4a p q

1 1 1 1 ? p?q? ,故 ? = 4 a . 4a 2a p q

思路三: 从运动变化的观点来看, 利用有限与无限的思想, 想象直线 PQ 绕点 F 旋转时 的结果具有确定性,不妨让直线 PQ 旋转至充分接近对称轴,此时 p ?| OF |?
1 1 ? p q

1 1 ? p q

1 , q ? ? ,故 4a

? 4a ,当直线 PQ 与对称轴重合时 p ?| OF |?
x ?1

1 1 1 , q ? ? ,故 ? = 4a . 4a p q

例 46.(1)(08 湖南理 11). lim
*

x ?1 ? ______ . x ? 3x ? 4
2

(1 ? x) m ? a ? b ,则 a ? b ? (2)已知 m ? N , a, b ? R ,若 lim x ?0 x
A. ?m B. m C. ?1 D. 1

(3) (07 福建理 9)把 1 ? (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? 数和为 an ,则 lim

? (1 ? x)n 展开成关于 x 的多项式,其各项系

2an ? 1 等于( n→? a ? 1 n
B.



A.

1 4
x ?1 2

1 2

C. 1

D.2

解析:(1) lim

x ?1 x ?1 1 1 ? lim ? lim ? . x ? 3x ? 4 x?1 ( x ? 4)( x ? 1) x?1 ( x ? 4) 5
m m ? Cm x

(2)方法一: lim

1 2 2 (a ? 1) ? Cm x ? Cm x (1 ? x)m ? a ? lim x ?0 x ?0 x x

? lim([
x ?0

a ?1 2 1 ? m ? Cm x ? x

m m ?1 ? Cm x )?b

∴ a ? ?1, b ? m ,所以 ab ? m

(1 ? x)m ? a m(1 ? x) m?1 ? lim ? m ? b ,所以 ab ? m 方法二:由洛必达法则 lim x ?0 x ?0 x 1
(3)令多项式中 x ? 1 得 an ? 2 n?1 ? 1,所以 lim
n ??

2a n ? 1 3 ? lim( 2 ? n ?1 ) ? 2 。 n ? ? an ? 1 2

点评:这是一组求函数和数列极限的选择题,虽然比较容易,解法也比较常规、简单,但其 中所体现的数学思想却是不容忽视的, 求极限的问题, 无论是求函数的极限还是求数列的极 x ? x , x ? ? 还是 n ? ? 限,无论是 ,其中体现的都是有限与无限的思想,首先来看符号 0 “ x ? x 0 ”的意义,它表示 x 无限趋近于 x 0 ,但不等于 x 0 ,表示出由有限向无限变化的一 种趋势,是有限与无限的思想的体现,而符号“ lim
n ??

2a n ? 1 3 ? lim( 2 ? n ?1 ) ? 2 ”的意义,则 n ? ? an ? 1 2

表示当变量 n 无限趋近于 ? 时, 其值无限趋近于某一个常数的变化趋势, 体现的仍是有限与 无限的思想。 我们既可以通过有限来把握无限,也可以借助无限来确定有限,即“从与对立面的统一 中去把握对立面”. 数学归纳法、数列极限、 函数极限等都是由有限把握无限的极好例证. 随

着高中数学课程改革的逐步深入, 对有限与无限思想的考查力度会不断加大, 这是高考命题 的一个新趋势.

七、或然与必须的思想
概率是研究随机现象的学科,随机现象有两个最基本的特征,一是结果的随机性,即重 复同样的试验,所得到的结果并不相同,以至于在试验之前不能预料试验的结果;二是频率 的稳定性,即在大量重复试验中,每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近,了解一 个随机现象就是,知道这个随机现象中所有可能出现的结果,知道每个结果出现的概率. 知 道这两点就说对这个随机现象研究清楚了. 概率研究的是随机现象,研究的过程是在“偶然” 中寻找“必然”,然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题,这其中所体现的数学思想就是 或然与必然的思想. 例 47.10 个球中有一个红球,有放回的抽取,每次取出一球.
k (1)抽取 n 次,恰有 k ? k ? n ? 次取得红球的概率为____. C n (

1 k 9 n?k ) ( ) 10 10

1 9 (2)抽取 n 次,恰在预定的 k ? k ? n ? 次取得红球的概率为___. ( ) k ( ) n ? k 10 10

(3)抽取 n 次,有 k ? k ? n ? 次取得红球,其中恰有 m(m ? k ) 次在预定的抽取顺序取得红球
k ?m 1 k 9 n?k 的概率为____. Cn ) ( ) ?m ( 10 10

9 1 (4)抽取 n 次,直到第 n 次才第一次取得次红球的概率为___. ( ) n ?1 ? 10 10 1 9 (5)抽取 n 次,到第 n 次才取得 k ? k ? n ? 次红球概率为__. C nk??11 ( ) k ( ) n ? k 10 10

例 48.甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一 分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为

2 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 3

2 2 1 , , ,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 ? 表示甲队的总得分. 3 3 2
(1)求随机变量 ? 的分布列和数学期望; (2)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于 乙队总得分”这一事件,求 P( AB) . 解: (1)解法一:由题意知, ? 的可能取值为 0,1,2,3,且

2? 1 2 ? 2? 2 0 ? 1 , P(? ? 1) ? C3 P(? ? 0) ? C3 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? , 3 ? 3? 9 ? 3 ? 27 8 ? 2? ? 2? 4 3 ?2? . P(? ? 2) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? , P(? ? 3) ? C3 ?? ? ? ? 3? ? 3? 9 ? 3 ? 27
2 3 2 3

3

2

所以 ? 的分布列为

?

0

1

2

3

P

1 27

2 9

4 9

8 27

? 的数学期望为 E? ? 0 ?

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?2. 27 9 9 27

解法二:根据题设可知, ? ~ B ? 3, ? ,

? ?

2? 3?

k 因此 ? 的分布列为 P(? ? k ) ? C3 ? ? ? ? ?1 ?

? 2? ? 3?

k

? ?

2? ? 3?

3? k

? C3k ?

2k 1, 2, 3. , k ? 0, 33

因为 ? ~ B ? 3, ? ,所以 E? ? 3 ?

? ?

2? 3?

2 ? 2. 3

(2)解法一:用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件,用 D 表示“甲得 3 分乙得 0 分” 这一事件,所以 AB ? C D ,且 C,D 互斥,又

? 2 ? ? 2 ? ? 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ? 10 P(C ) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 , ? 3 ? ? 3 ? ?3 3 2 3 3 2 3 3 2? 3
2 3

2

?1 1 1? 4 3 ? 2? P( D) ? C3 ?? ? ?? ? ? ? ? 5 , ? 3? ?3 3 2? 3
由互斥事件的概率公式得 P ( AB ) ? P (C ) ? P ( D ) ?

3

10 4 34 34 ? ? ? . 34 35 35 243

k ? 0, 1, 2, 3. 解法二: 用 Ak 表示 “甲队得 k 分” 这一事件, 用 Bk 表示 “乙队得 k 分” 这一事件,
由于事件 A3 B0 , A2 B1 为互斥事件,故有 P( AB) ? P( A3 B0 由题设可知,事件 A3 与 B0 独立,事件 A2 与 B1 独立,因此

A2 B1 ) ? P( A3 B0 ) ? P( A2 B1 ) .

P( AB) ? P( A3 B0 ) ? P( A2 B1 ) ? P( A3 )P(B0 ) ? P( A2 )P(B1 )

22 ? 1 1 1 2 ? 34 ? 2? ? 1 1? 1 . ? ? ? ? ? 2 ? ? ? C32 ? 2 ? ? ? 2 ? ? C2 ? 2 ?? 3 ?2 3 2 3 ? 243 ? 3? ?3 2?
对离散型随机变量的研究, 我们不仅关心某一次随机试验中到底取什么值的总题, 而更 关心的是随机变量在取某一个值或某一批值时可能性的大小. 因为只有这样, 我们才能确切 地掌握随机变量的取值规律,从而帮助我们解决相应的问题 . 这样就使我们对“或然”与“必 然”的研究又深入一步, 从“分布”与“期望”两个方面获取随机变量的规律, 在“或然”中寻找“必 然”. 随着新教材的实施,高考中对概率内容的考查已放在了重要的位置. 通过对教学中所学 习的等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次 独立重复试验恰有 k 次发生的概率、随机事件的分布列与数学期望等重点内容的考查,在考 查考生基本概念与基本方法的同时, 考查在解决实际应用问题中或然与必须的辩证关系, 体 现或然与必然的数学思想.

3

数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容, 可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学 思想方法则是一种数学意识, 只能够领会和运用, 属于思维的范畴, 用以对数学问题的认识、 处理和解决.应该说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心 就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”.数学思想和 数学方法是紧密联系、互为表里:方法,是实施思想的技术手段;而思想,则是对应方法 的精神实质和理论根据.两者都以一定的知识为基础,反过来又促进知识的深化及形成能力. 强调指导思想时,称数学思想,强调操作过程时,称数学方法.数学思想方法中,数学基本 方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解 题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同 时获得.


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高考数学思想的考查是与数学知识的考查结合进行的.是通过对数学知识的考查来反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度.对数学思想方法的考查是考查考生能力的...

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