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数学必修2 直线与方程典型例题


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第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角: 2.直线的斜率: 3.直线的斜率公式:

【典型例题】 题型 一 求直线的倾斜角 例 1 已知直线 l 的斜率的绝对值等于 3 ,则直线的倾斜角为( A. 60° B. 30° C. 60° 120° D. 30° 150° 或 或 变式训练: 设直线 l 过原点,其倾斜角为 ? ,将直线 l 绕原点沿逆时针方向旋转 45°,得到直线 l1 , 则 l1 的倾斜角为( A. ? ? 45? ) 。 B. ? ? 135? C. 135? ? ? ).

D. 当 0°≤α<135°时为 ? ? 45? ,当 135°≤α<180°时,为 ? ? 135? 题型 二 求直线的斜率 例 2 如图所示菱形 ABCD 中∠BAD=60° 求菱形 ABCD 各边和两条对 , 角线所在直线的倾斜角和斜率.

变式训练: 已知过两点 A(m2 ? 2, m2 ? 3) , B(3 ? m2 ? m, 2m) 的直线 l 的倾斜角为 45° ,求实 数 m 的值.

题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系 例 3 右图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则( ). A .k1<k2<k3 B. k3<k1<k2 C. k3<k2<k1 D. k1<k3<k2 拓展 一 三点共线问题 例 4 已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值.
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变式训练: 若三点 P(2,3) ,Q(3, a ) ,R(4, b )共线,那么下列成立的是( ). A. a ? 4, b ? 5 B. b ? a ? 1 C. 2 a ? b ? 3 D. a ? 2b ? 3 拓展 二 与参数有关问题 例 5 已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2)的直线 l 与线段 AB 始终有公共点, 求直线 l 的 斜率 k 的取值范围.

变式训练: 已知 A(2, ?3), B(?3, ?2) 两点, 直线 l 过定点 P (1,1) 且与线段 AB 相交, 求直线 l 的斜率 k 的 取值范围.

拓展 三 利用斜率求最值 例 6 已知实数 x 、 y 满足 2 x ? y ? 8, 当 2≤ x ≤3 时,求

y 的最大值与最小值。 x

变式训练: 利用斜率公式证明不等式:

a?m a ? (0 ? a ? b 且 m ? 0) b?m b

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】
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1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定(注意垂直与 x 轴和 y 轴的两直线) :

【典型例题】 题型 一 两条直线平行关系 例 1 已知直线 l1 经过点 M(-3,0) 、N(-15,-6) l2 经过点 R(-2, , 判断 l1 与 l2 是否平行?

3 5 ) 、S(0, ) ,试 2 2

变式训练: 经过点 P(?2, m) 和 Q ( m, 4) 的直线平行于斜率等于 1 的直线, m 的值是 则 ( A.4 B.1 C.1 或 3 D.1 或 4

) .

题型 二 两条直线垂直关系 例 2 已知 ?ABC 的顶点 B(2,1), C (?6,3) ,其垂心为 H (?3, 2) ,求顶点 A 的坐标.

变式训练: (1) l1 的倾斜角为 45° l2 经过点 P(-2,-1) , 、Q(3,-6) ,问 l1 与 l2 是否垂直?

(2)直线 l1 , l2 的斜率是方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两根,则 l1与l2 的位置关系是 题型 三 根据直线的位置关系求参数

.

例 3 已知直线 l1 经过点 A(3,a)、B(a-2,-3),直线 l2 经过点 C(2,3) 、D(-1,a-2), (1)如果 l1 // l2 ,则求 a 的值; (2)如果 l1 ⊥ l2 ,则求 a 的值

题型 四 直线平行和垂直的判定综合运用

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例 4 四边形 ABCD 的顶点为 A(2, 2 ? 2 2) 、 B(?2, 2) 、 C (0, 2 ? 2 2) 、 D(4, 2) ,试判断四边 形 ABCD 的形状.

变式训练:已知 A(1,1) ,B(2,2) ,C(3,-3) ,求点 D,使直线 CD⊥AB,且 CB∥AD.

探点 一 数形结合思想 例 5 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上. (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐 标.

探点 二

分类讨论思想

例 6 ?ABC 的顶点 A(5, ?1), B(1,1), C (2, m) ,若 ?ABC 为直角三角形,求 m 的值.

3.2 直线的方程
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3.2.1 直线的点斜式方程 【知识点归纳】 1.直线的点斜式方程:

2.直线的斜截式方程:

【典型例题】 题型 一 求直线的方程 例 1 写出下列点斜式直线方程: (1)经过点 A(2,5) ,斜率是 4; (2)经过点 B (3, ?1) ,倾 斜角是 30? .

例 2 倾斜角是 135? ,在 y 轴上的截距是 3 的直线方程是

.

变式训练: 1. 已知直线 l 过点 P(3,4) ,它的倾斜角是直线 y ? x ? 1 的两倍,则直线 l 的方程为

2. 已知直线 l 在 y 轴上的截距为-3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6,求直线 l 的 方程.

3.将直线 y ? x ? 3 ? 1 绕它上面一点(1, 3 )沿逆时针方向旋转 15° ,得到的直线方程
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.

题型 二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题 例 3 已知直线 l1 的方程为 y ? ?2 x ? 3, l2 的方程为 y ? 4 x ? 2 ,直线 l 与 l1 平行且与 l2 在 y 轴上的截距相同,求直线 l 的方程。

探究 一 直线恒过定点或者象限问题 例 4. 已知直线 y ? kx ? 3k ? 1 . (1)求直线恒经过的定点; (2)当 ?3 ? x ? 3 时,直线上的点都在 x 轴上方,求实数 k 的取值范围.

探究 二 直线平移 例 5 已知直线 l:y=2x-3 ,将直线 l 向上平移 2 个单位长度,再向右平移 4 个单位后得到 的直线方程为__________________

3.2.2 直线的两点式方程 【知识点归纳】
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1.直线的两点式方程:

2.直线的截距式方程:

【典型例题】 题型 一 求直线方程 例 1 已知△ ABC 顶点为 A(2,8), B(?4,0), C (6,0) ,求过点 B 且将△ ABC 面积平分的直线方 程.

变式训练: 1.已知点 A(1,2) 、B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( ). A. 4 x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5 2.已知 2 x1 ? 3 y1 ? 4, 2 x2 ? 3 y2 ? 4 ,则过点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的直线 l 的方程是( ). A. 2 x ? 3 y ? 4 B. 2 x ? 3 y ? 0 C. 3x ? 2 y ? 4 D. 3x ? 2 y ? 0 例 2 求过点 P(3, 2) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程.

变式训练:已知直线 l 过点(3,-1) ,且与两轴围成一个等腰直角三角形,则 l 的方程为 题型 二 直线方程的应用 例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买 行李票,行李费用 y(元)是行李重量 x(千克)的一次函数,其图象如图所示. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并说明自变量 x 的取值范围; (2)如果某旅客携带了 75 千克的行李,则应当购买多少元行李票?
y元 10 6 o 60 80 x(千克)

探究 一 直线与坐标轴围成的周长及面积 例 4 已知直线 l 过点 (?2,3) ,且与两坐标轴构成面积为 4 的三角形,求直线 l 的方程.
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探究 二 有关光的反射 例 5 光线从点 A(-3,4)发出,经过 x 轴反射,再经过 y 轴反射,光线经过点 B(-2, 6) ,求射入 y 轴后的反射线的方程.

变式训练:已知点 A(?3,8) 、 B(2, 2) ,点 P 是 x 轴上的点,求当 AP ? PB 最小时的点 P 的 坐标.

3.2.3 直线的一般式方程 【知识点归纳】
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1.直线的一般式:

2.直线平行与垂直的条件:

【典型例题】 题型 一 灵活选用不同形式求直线方程 例 1 根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式: 1 (1)斜率是- ,经过点 A(8,-2) (2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴; ; 2 3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 ,-3; (4)经过两点 P1(3,-2) P2 (5,-4). 、 2

题型 二 直线不同形式之间的转化 例 2 求出直线方程,并把它化成一般式、斜截式、截距式:过点 A(?5,6), B(?4,8) .

题型 三 直线一般式方程的性质 例 3 直线方程 Ax ? By ? C ? 0 的系数 A、B、C 分别满足什么关系时,这条直线分别有以下 性质? (1)与两条坐标轴都相交; (2)只与 x 轴相交; (3)只与 y 轴相交; (4)是 x 轴所在 直线; (5)是 y 轴所在直线.

变式训练:已知直线 l : 5ax ? 5 y ? a ? 3 ? 0 。
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(1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限, 求 a 的取值范围。

题型 四 运用直线平行垂直求参数 例 4 已知直线 l1 : x ? my ? 2m ? 2 ? 0 , l2 : mx ? y ? 1 ? m ? 0 ,问 m 为何值时: (1) l1 ? l2 ; (2) l1 // l2 .

变式训练: (1)求经过点 A(3, 2) 且与直线 4 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程; (2)求经过点 B(3,0) 且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线方程.

题型 五 综合运用 例 5 已知直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 , l2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,求 m 的值,使得: (1)l1 和 l2 相交;(2)l1⊥l2;(3)l1//l2;(4)l1 和 l2 重合.

3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标
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3.3.2 两点间的距离 【知识点归纳】 1.两条直线的焦点坐标:

2.两点间的距离公式:

【典型例题】 题型 一 求直线的交点坐标 例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交,求出交点坐标. (1)直线 l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0; (2)直线 l1: nx ? y ? n ? 1 , l2: ny ? x ? 2n .

题型 二 三条直线交同一点 例 2 若三条直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, x ? y ? 1 ? 0,kx ? y ? 2 ? 0 相交于一点,则 k 的值等于

变式训练:1.设三条直线: x ? 2 y ? 1, 2 x ? ky ? 3,3kx ? 4 y ? 5 交于一点,求 k 的值

2.试求直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 关于直线 l2 : 3x ? y ? 3 ? 0 对称的直线 l 的方程.

题型 三 求过交点的直线问题 例 3 求经过两条直线 2 x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点,且平行于直线 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 的

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直线方程.

变式训练:已知直线 l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过 l1 和 l2 的交点,且与直线 l3: 3x-2y+4=0 垂直的直线 l 的方程.

题型 四 两点间距离公式应用 例 4 已知点 A(?2, ?1), B(a,3) 且 | AB |? 5 ,则 a 的值为

变式训练: 在直线 2 x ? y ? 0 上求一点 P ,使它到点 M (5,8) 的距离为5,并求直线 PM 的方程.

题型 五 三角形的判定 例 5 已知点 A(1, 2), B(3, 4), C (5,0) ,判断 ?ABC 的类型.

探究 一 直线恒过定点问题 例 6 已知直线 (a ? 2) y ? (3a ? 1) x ? 1 . 求证:无论 a 为何值时直线总经过第一象限.
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变式训练:若直线 l:y=kx ? 3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,求直线 l 的倾 斜角的取值范围.

探究 二 利用对称性求最值问题(和最小,差最大) 例 7 直线 2x-y-4=0 上有一点 P,求它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差的最大值.

变式训练:已知 M (1, 0)、N (? 1, 0) ,点 P 为直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上的动点.求 PM 2 ? PN 2 的最 小值,及取最小值时点 P 的坐标.

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
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【知识点归纳】 1.点到直线的距离:

2.两条平行间直线的距离:

拓展:点关于点、直线对称点的求法

【典型例题】 题型 一 利用点到直线距离求参数 例 1 已知点 (a, 2) (a ? 0) 到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离为 1,则 a=( A. 2 B.- 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 1

).

题型 二 利用点到直线距离求直线的方程

1 10 例 2 求过直线 l1 : y ? ? x ? 和 l2 : 3x ? y ? 0 的交点并且与原点相距为 1 的直线 l 的方程. 3 3

变式训练: 直线 l 过点 P(1,2),且 M(2,3),N(4,-5)到 l 的距离相等,则直线 l 的方程是

题型 三 利用平行直线间的距离求参数

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例 3 若两平行直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 和 6 x ? ay ? c ? 0 之间的距离为

c?2 2 13 ,求 的值. a 13

变式训练:两平行直线 5x ? 12 y ? 3 ? 0与10 x ? 24 y ? 5 ? 0 间的距离是( A.

).

2 13

B.

1 13

C.

1 26

D.

5 26

题型 四 利用平行直线间的距离求直线的方程 例 4 与直线 l : 5x ? 12 y ? 6 ? 0 平行且与 l 的距离 2 的直线方程是

题型 五 点、直线间的距离的综合运用 例 5 已知点 P 到两个定点 M(-1,0) 、N(1,0)距离的比为 2 ,点 N 到直线 PM 的 距离为 1.求直线 PN 的方程.

探究 一 与直线有关的对称问题
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例 6 △ABC 中, A(3,3), B(2, ?2), C( ?7,1) . 求∠A 的平分线 AD 所在直线的方程.

变式训练:1.与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于点(1,-1)对称的直线方程是 2.求点 A(2,2)关于直线 2 x ? 4 y ? 9 ? 0 的对称点坐标

探究 二 与距离有关的最值问题 例 7 在函数 y ? 4 x 2 的图象上求一点 P,使 P 到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短,并求这个最短 的距离.

变式训练:在直线 l : 3x ? y ? 1 ? 0 上求一点 P,使得: (1)P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大。 (2)P 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小。

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