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2014年高考真题卷(导数)


2014-2015 学年度下学期第一次月考
高二数学预测专题(一)
命题人:唐彪 审题人:杨露露 一.选择题:(本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1、 【2014 大纲高考理第 7 题】曲线 y ? xe x ?1 在点(1,1)处切线的斜率等于 ( A. 2e 积为( A. 2 2 ) B. 4 2 C. 2
1 0



B. e

C.2

D.1

2、 【2014 山东高考理第 6 题】直线 y ? 4 x与曲线y ? x3 在第一象限内围成的封闭图形的面 D.4

3、 【2014 陕西高考理第 3 题】定积分

C .e D.e ? 1 4、 【2014 高考湖南卷文第 9 题】若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则(
A. e ? e ? ln x2 ? ln x1
x2 x1 x2 x1

A.e ? 2

B.e ? 1

? (2x ? e )dx 的值为(
x





B. e ? e ? ln x2 ? ln x1 D. x2ex1 ? x1e x2
2

C. x2e ? x1e
x1

x2

5、 【2014 江西高考理第 8 题】若 f ( x ) ? x ? 2 A. ?1 B. ?

?

1

0

f ( x)dx, 则 ? f ( x )dx ? (
0

1



1 3

C.

1 3

D.1

6、 【2014 高考江西卷文第 10 题】在同意直角坐标系中,函数 a y ? ax2 ? x ? 与y ? a2 x3 ? 2ax2 ? x ? a(a ? R) 的图像不可能的是( 2



7、 【全国 1 高考理第 11 题】已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 , 且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是( A. ? 2, ?? ? B. ?1, ?? ? ) C. ? ??, ?2? D. ? ??, ?1?

8、 【2014 高考全国 2 卷文第 11 题】 若函数 f ( x) ? kx ? ln x 在区间 ?1, ?? ? 单调递增, 则k 的 取值范围是( ) A. ? ??, ?2? B. ? ??, ?1? C. ? 2, ?? ? D. ?1, ?? ?
3 2 9、 【2014 高考辽宁卷文第 12 题】当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则

实数 a 的取值范围是( A. [?5, ?3]



B. [ ?6, ? ]

? x . 若存在 f ? x ? 的极值点 x 满足 10、 【2014 全国 2 高考理第 12 题】设函数 f ? x ? ? 3 sin 0
m
2 x0 2 ? ? ) ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是( A. ? ??, ?6? ? ? 6, ?? B. ? ??, ?4? ? ? 4, ?? 2

9 8

C. [?6, ?2]

D.[?4, ?3]

C.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

1 ,? D. ? ??,?1?? ?

?

二.填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、 【2014 江西高考理第 14 题】若曲线 y ? e? x 上点 P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 , 则点 P 的坐标是________. 12、 【2014 高考广东卷文第 11 题】 曲线 y ? ?5e x ? 3 在点 ? 0, ?2? 处的切线方程为 .

?? x ? a, x ? 0, ? 13、 【2014 高考上海卷文第 9 题】设 f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 1 x ? , x ? 0, ? x ?
的取值范围是 .
2

14、 【2014 高考江苏卷第 11 题】在平面直角坐标系 xoy 中,若曲线 y ? ax ?

b ( a , b 为常 x

数)过点 P(2, ?5) ,且该曲线在点 P 处的切线与直线 7 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则

a?b ? . 15、 【2014 高考安徽卷文第 15 题】若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: ( i ) 直线 l 在点 P?x0 , y0 ?处与曲线 C 相切; (ii ) 曲线 C 在 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直
线 l 在点 P 处“切过”曲线 C . 下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线 l : y ? 0 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ②直线 l : x ? ?1 在点 P ?? 1,0 ? 处“切过”曲线 C : y ? ( x ? 1) 2 ③直线 l : y ? x 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? sin x ④直线 l : y ? x 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? tan x

? x3

⑤直线 l : y ? x ? 1 在点 P ?1,0 ? 处“切过”曲线 C : y ? ln x 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (满分 12 分) 【2014 江西文第 18 题】 已知函数 f ( x) ? (4x 2 ? 4ax ? a 2 ) x , 其中 a ? 0 . (1)当 a ? ?4 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值为 8,求 a 的值.

17、 (满分 12 分) 【2014 高考江西理第 18 题】已知函数 (1)当 时,求 的极值; 1 (2)若 在区间 (0, ) 上单调递增,求 b 的取值范围. 3

.

18、 (满分 12 分) 【2014 高考重庆文第 19 题】 已知函数 f ( x ) ? 且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y ? (1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.

x a 3 其中 a ? R , ? ? ln x ? , 4 x 2

1 x. 2

19、 (满分 12 分) 【2014 高考北京卷文第 20 题】已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x . (1)求 f ( x) 在区间 [?2,1] 上的最大值; (2)若过点 P(1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x ) 相切,求 t 的取值范围。

20、 (满分 13 分) 【2014 高考大纲卷文第 21 题】函数 f(x)=ax3 +3x2 +3x(a≠0). (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若函数 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围.

f ( x) ? ex ? ax ( a 为常数)的 图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ( x) 在点 A 处的切线斜率为 ?1. (1)求 a 的值及函数 f ( x ) 的极值; 2 x (2)证明:当 x ? 0 时, x ? e ; x (3)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce .
21、 (满分 14 分) 【2014 高考福建卷文第 22 题】已知函数

2014-2015 学年度下学期第一次月考
高二数学预测专题(一)参考答案
一.选择题:(本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 题号 答案 1、 1 C 2 D 3 C 4 C 5 B 6 B 7 C 8 D 9 C 10 C

2、

3、

4、

5

6、 【答案】B 【解析】 当 a ? 0 时, 两函数图像为 D 所示, 当 a ? 0 时, 由 y? ? 3a2 x2 ? 4ax ? 1 ? 0 得:

1 1 a 1 1 1 1 2 ? 或x? , y ? ax ? x ? 的对称轴为 x ? .当 a ? 0 时,由 ? 知B a 3a 2a 2 a 2a 3a 1 1 1 ? 不对. 当 a ? 0 时,由 ? 知 A,C 正确. a 2a 3a x?
7 、

8、 【答案】D 【解析】

1 1 f ' ( x) ? k ? ,由已知得 f ' ( x ) ? 0在 x ? ?1, ?? ? 恒成立,故 k ? ,因为 x ? 1 ,所以 x x 1 0 ? ? 1 ,故 k 的取值范围是 ?1, ?? ? . x
9 、

10



二.填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11 、

12



13、 【答案】 ( ??, 2] 【解析】由题意,当 x ? 0 时, f ( x) 的极小值为 f (1) ? 2 ,当 x ? 0 时, f ( x) 极小值 为 f (0) ? a , f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a ? 2 . 【考点】函数的最值问题 14 、

15



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 【答案】 (1) (0, ) 和 (2, ??) , (2) ?10. 【解析】 (1)利用导数求函数单调区间,首先确定定义域: [0, ??), 然后对函数求导,在定 义域内求导函数的零点:

2 5

f ?( x) ? (8x ? 4a) x ?
a ? ?4 时, f ?( x) ?
2 5

4 x 2 ? 4ax ? a 2 20 x 2 ? 12ax ? a 2 (10 x ? a)(2 x ? a) ,当 ? ? 2 x 2 x 2 x

2 2(5 x ? 2)( x ? 2) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 或 x ? 2 ,列表分析得单调增 5 x

区间: (0, ) 和 (2, ??) , (2)已知函数最值,求参数,解题思路还是从求最值出发.由(1) 知, f ?( x) ? (8 x ? 4a) x ? 导函数的零点为 x ? ?

4 x 2 ? 4ax ? a 2 20 x 2 ? 12ax ? a 2 (10 x ? a)(2 x ? a) , 所以 ? ? 2 x 2 x 2 x

a a a a 或x?? , 列表分析可得: 函数增区间为 (0, ? ) 和 ( ? , ??) , 2 10 10 2 a a a a a 减区间为 ( ? , ? ) .由于 f ( ? ) ? 0, 所以 ? ? [1, 4] ,当 0 ? ? ? 1 时, 10 2 2 2 2 a f ( x)min ? f (1) ? 4 ? 4a ? a2 ? 8, a ? ?2 ? 2 2 , (舍) ,当 ? ? 4 时, 2

f ( x)min ? min{ f (1), f (4)}, 由于 f (1) ? 8, 所以 f (4) ? 2(64 ? 16a ? a2 ) ? 8, 且

f (4) ? f (1), 解得 a ? ?10 或 a ? ?6 (舍),当 a ? ?10 时, f ( x) 在 (1, 4) 上单调递减,满
足题意,综上 a ? ?10 . (1)定义域: [0, ??), 而

f ?( x) ? (8x ? 4a) x ?

4 x 2 ? 4ax ? a 2 20 x 2 ? 12ax ? a 2 (10 x ? a)(2 x ? a) ,当 ? ? 2 x 2 x 2 x

a ? ?4 时, f ?( x) ?

2 2(5 x ? 2)( x ? 2) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 或 x ? 2 ,列表: 5 x 2 (0, ) 5 2 5 2 ( , 2) 5 ?
2

x
f ?( x )

(2, ??)

?

0

0

?

所以单调增区间为: (0, ) 和 (2, ??) , (2)由(1)知,

2 5

f ?( x) ? (8x ? 4a) x ?
数的零点为 x ? ?

4 x 2 ? 4ax ? a 2 20 x 2 ? 12ax ? a 2 (10 x ? a)(2 x ? a) , 所以导函 ? ? 2 x 2 x 2 x

a a a a 或 x ? ? ,列表分析可得:函数增区间为 (0, ? ) 和 ( ? , ??) ,减 2 10 10 2 a a a a a 区间为 ( ? , ? ) .由于 f ( ? ) ? 0, 所以 ? ? [1, 4] ,当 0 ? ? ? 1 时, 10 2 2 2 2 a (舍) ,当 ? ? 4 时, f ( x)min ? f (1) ? 4 ? 4a ? a2 ? 8, a ? ?2 ? 2 2 , 2

f ( x)min ? min{ f (1), f (4)}, 由于 f (1) ? 8, 所以 f (4) ? 2(64 ? 16a ? a2 ) ? 8, 且
f (4) ? f (1), 解得 a ? ?10 或 a ? ?6 (舍),当 a ? ?10 时, f ( x) 在 (1, 4) 上单调递减,满
足题意,综上 a ? ?10 . 【考点定位】导数的应用 17 、

18、

当 x ? ? 0,5? 时, f ? ? x ? ? 0, 故 f ? x ? 在 ? 0,5? 内为减函数; 当 x ? ?5, ??? 时, f ? ? x ? ? 0, 故 f ? x ? 在 ? 5, ?? ? 内为增函数; 由此知函数 f ? x ? 在 x ? 5 时取得极小值 f ?5? ? ? ln5 . 【考点定位】导数的应用 19、

g ( x) 与 g ' ( x) 的情况如下:

x
g ' ( x)
g ( x)

(??, 0)
+

0 0 t+3

(0,1)

1 0

(1, ??)
+

?

t ?1

20、 【答案】 (1)a≥1 时,在(- ? ,+ ? )是增函数;0<a<1 时, f(x)在(- ? ,x2 ) , (x1 , + ? )上是增函数;f(x)在(x2 ,x1 )上是减函数; (2)[ ? 【解析】 (1)首先求出函数的导数,然后求出是 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 的解集即可.

5 , 0) (0, ??) 4

21、 【答案】 (1)当 x ? ln 2 时, f ( x) 有极小值 f (ln 2) ? 2 ? ln 4 , f ( x) 无极大值. (2)见解析.(3)见解析. 【解析】 (1)由 f ' (0) ? 1 ? a ? ?1,得 a ? 2 . 从而 f ' ( x) ? e x ? 2 . 令 f ' ( x) ? 0 ,得驻点 x ? ln 2 .讨论可知:

由(1)得, g ( x) ? f ( x) ? f (ln 2) ? 2 ? ln 4 ? 0 ,即 g ( x) ? 0 .
' '

h( x0 ) ? 4k ? ln(4k ) ? ln k ? 2(k ? ln k ) ? 2(k ? ln 2)
易知 k ? ln k , k ? ln 2 ,所以 h( x0 ) ? 0 . 因此对任意 c ? (0,1) ,取 x0 ?



4 x ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce . c
x

综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce . 解法三: (1)同解法一. (2)同解法一. (3)①若 c ? 1 ,取 x0 ? 0 , 由(2)的证明过程知, e ? 2 x ,
x


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