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含参不等式的解法举例


含参不等式专题(淮阳中学)
编写:孙宜俊 当在一个不等式中含有了字母,则称这一不等式为含参数的不等式,那么此 时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解,首先是对不等式的类型(即 是那一种不等式)的影响,其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必 须通过分类讨论才可解决上述两个问题, 同时还要注意是参数的选取确定了不等 式的解,而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查 的重点内容,也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例 说明,以供同学们学习。 解含参的一元二次方程的解法, 在具体问题里面, 按分类的需要有讨论如下 四种情况: (1) 二次项的系数; (2)判别式; (3)不等号方向(4)根的大小。

一、含参数的一元二次不等式的解法: 1.二次项系数为常数(能分解因式先分解因式,不能得先考虑 ? ? 0 ) 例 1、解关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 。 解: ( x 2 ? a)(x ? 1) ? 0

? 令( x ? a)(x ? 1) ? 0 ? x ? a, x ? 1 为方程的两个根
(因为 a 与 1 的大小关系不知,所以要分类讨论) (1)当 a ? 1 时,不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? a} (2)当 a ? 1 时,不等式的解集为 {x | x ? a或x ? 1} (3)当 a ? 1 时,不等式的解集为 {x | x ? 1} 综上所述: (1)当 a ? 1 时,不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? a} (2)当 a ? 1 时,不等式的解集为 {x | x ? a或x ? 1} (3)当 a ? 1 时,不等式的解集为 {x | x ? 1} 变题 1、解不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 ; 2、解不等式 x 2 ? (a 2 ? a) x ? a 3 ? 0 。
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小结: 讨论两个根的大小关系, 尤其是变题 2 中 2 个根都有参数的要加强讨 论。 例 2、解关于 x 的不等式 2 x 2 ? kx ? k ? 0 分析 解 此不等式为含参数 k 的不等式, 当 k 值不同时相应的二次方程的判别 式的值也不同,故应先从讨论判别式入手.

? ? k 2 ? 8k ? k (k ? 8)

(1) 当 ? ? 0,既k ? ?8或k ? 0时, 方程2x 2 ? kx ? k ? 0 有两个不相等的实根。 所以不等式 2 x 2 ? kx ? k ? 0的解集是:
? ? k ? k (k ? 8) ? ? ? k ? k (k ? 8) ? ?x? ?x ? 4 4 ? ? ? ?

(2) 当 ? ? 0即k ? ?8或k ? 0时, 方程2x 2 ? kx ? k ? 0 有两个相等的实根,

? k? 所以不等式 2 x 2 ? kx ? k ? 0的解集是?? ? ,即 ?2? , {0} ; ? 4?
(3) 当 ? ? 0,即? 8 ? k ? 0时, 方程2x 2 ? kx ? k ? 0 无实根 所以不等式 2 x 2 ? kx ? k ? 0的 解集为 ? 。 说明:一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系,要 注意数形结合研究问题。 小结:讨论 ? ,即讨论方程根的情况。 2.二次项系数含参数(先对二次项系数讨论,分大于、等于或小于 0,然后能 分解因式先分解因式,不能得先考虑 ? ? 0 ) 例 3、解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0. 解:若 a ? 0 ,原不等式 ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1.
1 1 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0 ? x ? 或 x ? 1. a a
1 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0. a
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(?)

1 其解的情况应由 与 1 的大小关系决定,故 a

(1)当 a ? 1 时,式 (?) 的解集为 ? ; (2)当 a ? 1 时,式 (?) ?
1 ? x ? 1; a 1 . a

(3)当 0 ? a ? 1 时,式 (?) ? 1 ? x ? 综上所述,当 a ? 0 时,解集为{ x x ? 当 a ? 0 时,解集为{ x x ? 1}; 当 0 ? a ? 1 时,解集为{ x 1 ? x ?
1 }; a

1 或x ? 1 }; a

当 a ? 1 时,解集为 ? ;当 a ? 1 时,解集为{ x 例 4、解关于 x 的不等式: ax2 ? ax ? 1 ? 0. 解: ax2 ? ax ? 1 ? 0.
(?)

1 ? x ? 1 }. a

(1) a ? 0 时, (?) ? ?1 ? 0 ? x ? R. (2) a ? 0 时,则 ? ? a 2 ? 4a ? 0 ? a ? 0 或 a ? ?4 , 此时两根为 x1 ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , x2 ? . 2a 2a ? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ; ?x? 2a 2a

①当 a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ?

②当 ? 4 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R ;
1 ③当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R且x ? ? ; 2

④当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? 综上,可知当 a ? 0 时,解集为(

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a . 或x? 2a 2a

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , ); 2a 2a

当 ? 4 ? a ? 0 时,解集为 R ;
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当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,? 当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,

1 1 ) ? ( ? ,?? ); 2 2

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ) ?( ,?? ). 2a 2a

例 5、解关于的 x 不等式 (m ? 1) x2 ? 4 x ? 1 ? 0(m ? R) 分析:当 m+1=0 时,它是一个关于 x 的一元一次不等式;当 m+1 ? 1 时,还需 对 m+1>0 及 m+1<0 来分类讨论, 并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论: ⑴当 m<-1 时,⊿=4(3-m)>0,图象开口向下,与 x 轴有两个不同交点,不 等式的解集取两边。⑵当-1<m<3 时,⊿=4(3-m)>0, 图象开口向上,与 x 轴有两个不同交点,不等式的解集取中间。⑶当 m=3 时,⊿=4(3-m)=0,图 象开口向上,与 x 轴只有一个公共点,不等式的解为方程 4 x2 ? 4 x ? 1 ? 0 的根。 ⑷当 m>3 时,⊿=4(3-m)<0,图象开口向上全部在 x 轴的上方,不等式的解集 为?。
1? 解: 当m ? ?1时, 原不等式的解集为 ? ?x | x ? ?; ? 4?
当m ? ?1时, (m ? 1) x 2 ? 4 x ? 1 ? 0的判别式?=( 4 3-m); ? 2? 3?m 2? 3?m? 则当m ? ?1时,原不等式的解集为 或x ? ?x | x ? ? m ?1 m ?1 ? ? ? 2? 3?m 2? 3?m? 当 ? 1 ? m ? 3时, 原不等式的解集为 ?x? ?x | ? m ?1 m ?1 ? ?

? 当 m=3 时,原不等式的解集为 ? x | x ? ?

1? ?; 2?

当 m>3 时, 原不等式的解集为 ? 。 小结: ⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解, 若不易分解, 也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确:①图象开口方向,②判别式 确定解的存在范围,③两根大小。⑶二次项的取值(如取 0、取正值、取负值) 对不等式实际解的影响。 牛刀小试:解关于 x 的不等式 ax2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0, (a ? 0) 思路点拨:先将左边分解因式,找出两根,然后就两根的大小关系写出解集。 具体解答请同学们自己完成。

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二、含参数的分式不等式的解法: 例 1:解关于 x 的不等式
ax ? 1 ?0 x ?x?2
2

分析:解此分式不等式先要等价转化为整式不等式,再对 ax-1 中的 a 进行 分类讨论求解,还需用到序轴标根法。 解:原不等式等价于 (ax ? 1)(x ? 2)(x ? 1) ? 0 当 a =0 时,原不等式等价于 ( x ? 2)(x ? 1) ? 0 解得 ? 1 ? x ? 2 ,此时原不等式得解集为{x| ? 1 ? x ? 2 };
1 当 a >0 时, 原不等式等价于 ( x ? )( x ? 2)( x ? 1) ? 0 , a

则:当 a ? 1 时, 原不等式的解集为 ?x | x ? ?1且x ? 2? ;
2
1 ? 当 0< a ? 1 时, 原不等式的解集为 ? ? x | x ? 或 ? 1 ? x ? 2? ;

2

?

a

?

? 当 a ? 1 时, 原不等式的解集为 ? ? x | ?1 ? x ? 或x ? 2? ;
2

?

1 a

?

1 当 a <0 时, 原不等式等价于 ( x ? )( x ? 2)( x ? 1) ? 0 , a

则当 a ? ?1 时, 原不等式的解集为 ?x | x ? 2且x ? ?1? ;
1 ? 当 ? 1 ? a ? 0 时, 原不等式的解集为 ? ? x | x ? 或 ? 1 ? x ? 2? ; ? a ?
1 ? 当 a ? ?1 时, 原不等式的解集为 ? ? x | x ? ?1或 ? x ? 2? ; ? a ?

1 ,-1 和 2 的大小 a 进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时,一要 考虑参数总的取值范围,二要用同一标准对参数进行划分,做到不重不漏,三要 使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移 项、通分等一系列手段,把不等号一边化为 0,再转化为乘积不等式来解决。

小结:⑴本题在分类讨论中容易忽略 a =0 的情况以及对

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牛刀小试:解关于 x 的不等式

a ( x ? 1) ? 1, (a ? 1) x?2

思路点拨: 将此不等式转化为整式不等式后需对参数 a 分两级讨论: 先按 a >1 a?2 和 a <1 分为两类,再在 a <1 的情况下,又要按两根 与 2 的大小关系分为 a ?1 有很多同学找不到分类的依据, 缺乏分类讨论的 a ? 0, a ? 0和0 ? a ? 1 三种情况。 意识,通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。

上述两题分别代表一元二次不等式中多项式可否直接进行因式分解, 其共同 点是二次项系数含参数,故需对二次项系数的符号进行讨论. 练习:1.解关于 x 的不等式 ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0

2.解关于 x 的不等式: x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 0.

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