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【新课标】2014年高二下学期期末考试(数学理)(好)


2013—2014 学年度下学期高二数学理期末模拟试题
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分共 150 分,考试时间 120 分钟.

C. a ? (?1,0), b ? (1, ??)

D. a ? (?1,0), b ? (0,1) )

第Ⅰ 卷(选择题

共 60 分)

8.在回归分析中,代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( A.总偏差平方和 B.残差平方和 C.回归平方和 D.相关指数 R2 9.设随机变量 ? ~ N (0,1) ,记 ?( x) ? P(? ? x) ,则 P(?1 ? ? ? 1) 等于( A. 2?(1) ? 1 C. B. 2?(?1) ? 1 D. ?(1) ? ?(?1)

一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.) 1.复数



(1 ? 3i) 3i ? 1

2

的值是(

) A.2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ? 2

? (1) ? ? (?1) 2

2.下面几种推理是类比推理的是 ( ) A . 两 条 直 线 平 行 , 同 旁 内 角 互 补 , 如 果 ?A 和 ?B 是 两 条 平 行 直 线 的 同 旁 内 角 , 则
?A ? ?B ? 180? B.由平面向量的运算性质,推测空间向量的运算性质 C.某校高二级有 20 个班,1 班有 51 位团员,2 班有 53 位团员,3 班有 52 位团员,由此可以 推测各班都超过 50 位团员

10.把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里,如果数学必须比历史先 上,则不同的排法有( ) A.48 B.24 C.60 D.120 11. 口袋里放有大小相同的 2 个红球和 1 个白球,有 放回的每次模取一个球,定义数列 ?an ?:

D.一切偶数都能被 2 整除, 2

100

是偶数,所以 2

100

能被 2 整除

?? 1 第n次摸取红球 如果 Sn 为数列 ?an ?的前 n 项之和, 那么 S7 ? 3 的概率为 ( an ? ? ? 1 第n次摸取白球
224 729 28 729 35 2387 28 75



3.把一块边长是 a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边沿着虚线折转成一 个无盖方底的盒子,盒子的容积最大时,切去的正方形边长是( ) A.

a 3

B.

a 4

C.

a 5

D.

a 6


A.

B.

C.

D.

4.已知(

20 2 x ? ) 的展开式中,不含 x 的项是 ,那么正数 p 的值是( 2 27 p x
B.2 C.3 D.4

12.有 A.B.C.D.E.F6 个集装箱,准备用甲.乙.丙三辆卡车运送,每台卡车一次运两个. 若卡车甲不能运 A 箱,卡车乙不能运 B 箱,此外无其它任何限制;要把这 6 个集装箱分配给 这 3 台卡车运送,则不同的分配方案的种数为( ) A.168 B.84 C.56 D.42

A. 1

5.如果 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 的方差为 3,那么 2 (a1 ? 3) .2 (a2 ? 3) . 2 (a3 ? 3) .2 (a4 ? 3) .2 (a5 ? 3) .2 (a6 ? 3) 的方差是( A.0 B.3
2006

第Ⅱ 卷(非选择题满分 90)
) 二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (2x+ x )4 的展开式中 x3 的系数是 14.曲线 y ? x 2 , x ? 0, y ? 1 ,所围成的图形的面积可用定积分表示为__________. 15.从 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第 n 个等式为_________.
3 2 2 16.已知函数 f ( x) ? kx ? 3(k ? 1) x ? k ? 1(k ? 0) ,若 f ( x) 的单调减区间是 (0,4) ,则在

C.6 天是 ( )

D.12

6.今天为星期四,则今天后的第 2 A.星期一 C.星期四

B.星期二 D.星期日

2( x ? a) 7.函数 y ? 的图象如右图所示,则( ) ( x ? a)2 ? b A. a ? (0,1), b ? (0,1) B. a ? (0,1), b ? (1, ??)

曲线 y ? f ( x) 的切线中,斜率最小的切线方程是_________________
-1-

三、解答题 17. (12 分)求证: (1) a2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) ; (2) 6 + 7 >2 2 + 5 .

3 21. (12 分)已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x2 ? )( x ? a) . 2
(I)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围; (II)若 f ?(?1) ? 0 , (ⅰ ) 求函数 f ( x) 的单调区间; (ⅱ ) 证明对任意的 x1 , x2 ? (?1, 0) ,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

5 恒成立 16

18. ( 12 分)已知 z 为复数, z ? 2i 和
2

z 都是实数,其中 i 为虚数单位。 2?i

(1)求复数 z ; (2)若复数 ( z ? ai) 在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围。

19. ( 12 分) 某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只 选修甲的概率为 0.08,只选修甲和乙的概率是 0.12,至少选修一门的概率是 0.88,用 ? 表示该学生 选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.(Ⅰ )记“函数 f ( x) ? x ? ?x 为 R 上的偶函数”为事
2

件 A,求事件 A 的概率; (Ⅱ )求 ? 的分布列和数学期望.

20. (12分)函数数列 ? f n ( x)? 满足: f1 ( x) ?

x 1? x2

( x ? 0) , f n?1 ( x) ? f1[ f n ( x)]

(1)求 f 2 ( x), f 3 ( x) ; (2)猜想 f n ( x) 的表达式,并证明你的结论.

-2-

2013—2014 学年度下学期高二数学理期末模拟试题参考答案
一、选择题 二、填空题 1--5 A B D C D 13.24
n?1

? P( A) ? P(? ? 0) ? xyz ? (1 ? x)(1 ? y)(1 ? z )
=0.4× 0.5× 0.6+(1-0.4) (1-0.5) (1-0.6)=0.24 ∴ 事件 A 的概率为 0.24

6--10 A D B A C

11--12 B D

2 14. 3

(II)依题意知 ? =0.2 则 ? 的分布列为

15. 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ? ? (?1) 三、解答题

? n ? (?1)
2

n?1

(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)

16. 12 x ? y ? 8 ? 0

?
P

0 0.24

2 0.76

17.证明: (1) ∵a 2 ? b 2 ? 2ab , a2 ? 3 ? 2 3a , b2 ? 3 ? 2 3b 将此三式相加得:2 (a ? b ? 3) ? 2ab ? 2 3a ? 2 3b ,
2 2

;

∴? 的数学期望为 E ? =0× 0.24+2× 0.76=1.52

∴a2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) . (2)要证原不等式成立,只需证( 6 + 7 ) >(2 2 + 5 ) , 即证 2 42 ? 2 40 .∵ 上式显然成立, ∴ 原不等式成立. 18. (1)因为
2 2

20.解: (1) f 2 ( x) ? f 1 ( f 1 ( x)) ?

f1 ( x) 1 ? f 12 ( x) f 2 ( x) 1 ? f ( x)
2 2

?

x 1 ? 2x 2 x 1 ? 3x 2

f 3 ( x) ? f 1 ( f 2 ( x)) ?

?

z z ? m( m ? R ) , 为实数,所以设 2?i 2?i
则 z ? 2i ? 2m ? (2 ? m)i ,

(2)猜想: f n ( x) ?

x 1 ? nx x 1? x2
2

(n ? N ? )

则 z ? 2m ? m i(m ? R)

下面用数学归纳法证明: ① 当 n=1 时, f1 ( x) ? ,已知,显然成立

因为 z ? 2i 为实数,所以 2 ? m ? 0 ,即 m ? 2 。所以 z ? 4 ? 2i 。 (2) ( z ? ai) ? [4 ? (a ? 2)i] ? 16 ? (a ? 2) ? 8(a ? 2)i ,因为复数 ( z ? ai) 在复平面上对应的
2 2 2
2

?16 ? (a ? 2) 2 ? 0 点在第一象限,所以 ? , 所以 2 ? a ? 6 。 ?8(a ? 2) ? 0
19.解:设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为 x、y、z

② 假设当 n ? K ( K ? N ? ) 时 ,猜想成立,即 f k ( x) ? 则当 n ? K ? 1 时,

x 1 ? kx 2

? x(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.08, ? x ? 0.4 ? ? 解得? y ? 0.6 依题意得 ? xy(1 ? z ) ? 0.12, ?1 ? (1 ? x)(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.88, ? z ? 0.5 ? ?
(I)若函数 f ( x) ? x ? ?x 为 R 上的偶函数,则 ? =0
2

x f k ?1 ( x) ? f1 ( f k ( x)) ? f k ( x) 1 ? f k2 ( x) ? x 1 ? kx 2 ? x 1 ? (k ? 1) x 2 1? ( )2 1 ? kx 2

即对 n ? K ? 1 时,猜想也成立. 由① ② 可得 f n ( x) ?

当 ? =0 时,表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.

x 1 ? nx
2

(n ? N ? ) 成立
-3-

3 3 3 21. 解:(Ⅰ ) ∵ f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? a ,∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? . 2 2 2 ∵ 函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,∴ f ?( x) ? 0 有实数解. 3 ∴D ? 4a2 ? 4 ? 3 ? ? 0 ,…………………4 分 2
因此,所求实数 a 的取值范围是 (??, ? (Ⅱ ) (ⅰ )∵ f ?(?1) ? 0 ,∴3 ? 2a ? ∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ?
3 2 ) 2 (

∴a2 ?

9 . 2

3 2 , ? ?) . 2

3 9 ? 0 ,即 a ? . 2 4 3 1 ? 3( x ? )( x ? 1) . 2 2 1 由 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? ? . 2

1 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? ? ; 2

1 因此,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ? 1] , [? , ? ?) ; 2 1 单调减区间为 [?1, ? ] . 2 (ⅱ )由(ⅰ )的结论可知, 1 25 1 49 f ( x) 在 [?1, ? ] 上的最大值为 f (?1) ? ,最小值为 f (? ) ? ; 2 8 2 16

1 27 1 49 f ( x) 在 [? , 0] 上的的最大值为 f (0) ? ,最小值为 f (? ) ? . 8 2 16 2
∴ f ( x) 在 [?1, 0] 上的的最大值为 f (0) ?

27 1 49 ,最小值为 f (? ) ? . 8 2 16 27 49 5 ? ? . 8 16 16

因此,任意的 x1 , x2 ? (?1, 0) ,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

-4-


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