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辽宁省五校协作体2015届高三上学期期中数学试卷(理科)


辽宁省五校协作体 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共有 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x||x|<3},B={x|y=lg(x﹣1)},则集合 A∩B 为() A.[0,3) B.[1,3) C.(1,3) D.(﹣3,1] 2. (5 分)下列函数中周期为 π 且为偶函数的是() A.y=cos(2x﹣ ) B.y=sin(2x+ ) C.y=sin(x+ ) D.y=cos(x﹣ )

3. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“?x∈R,均有 x ﹣x+1>0”的否定是:“?x∈R,使得 x ﹣x+1<0” 2 B. “x=3”是“2x ﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件 C. 线性回归方程 = x+ 对应的直线一定经过其样本数据点(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn, yn)中的一个点 D.若“p∨(?q)”为真命题,则“p∧q”也为真命题

4. (5 分)已知平面向量 =(2m+1,3) , =(2,m) ,且 与 反向,则| |等于() A. B. 或 2 C. D.2

5. (5 分)设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=﹣ (x)=4x,则 f(107.5)=() A.10 B. C.﹣10

,且当 x∈[﹣3,﹣2]时,f

D.﹣

6. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,其中 A>0,ω>0, 列关于函数 f(x)的说法中正确的是()

.则下

A.对称轴方程是

B. C. 最小正周期是 π D.在区间 上单调递减

7. (5 分)已知 f(x)=sin+cos 的最大值为 A,若存在实数 x1,x2,使得对任意实数 x 总有 f (x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则 A|x1﹣x2|的最小值为() A. B. C. D.

8. (5 分)已知向量 =(2,1) , ? =10,| + |=5 A.5 B.25 C.

,则| |=() D. ,y≥0},则集

9. (5 分)已知集合 M={(x,y)|x+y﹣2≤0,x≥0,y≥0},N={(x,y)|y≤ 合 M∩N 中的点所构成的平面区域的面积为() A. B. 1 C. D.

10. (5 分)已知数列{an},定直线 l: (m+3)x﹣(2m+4)y﹣m﹣9=0,若(n,an)在直线 l 上,则数列{an}的前 13 项和为() A.10 B.21 C.39 D.78 11. (5 分)已知{an}为等差数列,0<d<1,a5≠
*

,sin a3+2sina5cosa5=sin a7,Sn 为数列{an}

2

2

的前 n 项和,若 Sn≥S10 对一切 n∈N 都成立,则首项 a1 的取值范围是() A.[﹣ π,﹣π) B.[﹣ π,﹣π] C.(﹣ π,﹣ π) D.[﹣ π,﹣ π]

12. (5 分)已知函数 f(x)在[0,+∞)上可导,其导函数记作 f′(x) ,f(0)=﹣2,且 f(x+π) = f(x) ,当 x∈[0,π)时,f′(x)?cos2x>f(x)?sin2x﹣f′(x) ,若方程 f(x)+knsecx=0 在[0,+∞)上有 n 个解,则数列{ }的前 n 项和为()

A.(n﹣1)?2 +1

n

B.(n﹣1)?2

n+1

+2 C.n?2

n﹣1

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB=b,则 =.

14. (5 分) 平面上三个向量 的最大值是.





, 满足|

|=1, |

|=

, |

|=1,

?

=0, 则

?

15. (5 分)在数列{an}中,a1≠0,an+1= 数列{Rn}的最大项为第项.

an,Sn 为{an}的前 n 项和.记 Rn=

,则

16. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意 x,y∈R,均有 f(x+y)=f(x)+f(y) +2014 成立,若函数 g(x)=f(x)+2014x
2013

有最大值 M 和最小值 m,则 M+m=.

三、解答题:本大题共 6 小题,总计 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=1,c= (1)求 sinA 的值; (2)求△ ABC 的面积. ,cosC= .

18. (12 分)已知向量 =(2cosx, (1)求 f(x)的单调增区间; (2)若 tanα= ,求 f(α)的值. 19. (12 分)已知函数 f(x)=ax+

sinx) , =(cosx,﹣2cosx)设函数 f(x)= ?

(a>0) .

(1)用单调性的定义判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性并加以证明; (2)设 f(x)在 0<x≤1 的最小值为 g(a) ,求 y=g(a)的解析式. 20. (12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+an=1,数列{bn}满足 b1=4,bn+1=3bn﹣2; (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足 cn=anlog3(b2n﹣1﹣1) ,其前 n 项和为 Tn,求 Tn. 21. (12 分)设 f(x)=xlnx,g(x)=x ﹣1. (1)令 h(x)=f(x)﹣g(x) ,求 h(x)的单调区间; (2)若当 x≥1 时,f(x)﹣mg(x)≤0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 22. (12 分)已知函数 f(x)=(x ﹣a+1)e ,g(x)=(x ﹣2)e . (1)若曲线 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线为 l:y=2ex+b,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在[﹣3,1]上是单调函数,求实数 a 的取值范围; 2 (3)若 f(x)有两个不同极值点 m,n(m<n) ,且|m+n|≥|mn|﹣1,记 F(x)=e f(x)+g(x) , 求 F(m)的最大值.
2 x 2 x+2 2

辽宁省五校协作体 2015 届高三上学期期中数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共有 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x||x|<3},B={x|y=lg(x﹣1)},则集合 A∩B 为() A.[0,3) B.[1,3) C.(1,3) D.(﹣3,1] 考点: 对数函数的定义域;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据绝对值和对数函数求出集合 A 和 B,然后由交集的定义求出结果. 解答: 解:∵|x|<3 ∴﹣3<x<3 故 A=(﹣3,3) ∵y=lg(x﹣1) ∴x﹣1>0,解得 x>1 故 B=(1,+∞) ∴A∩B=(1,3) 故选:C. 点评: 本题考查交集的定义的运算,是基础题.解题时要认真审题,注意含绝对值不等式 和对数函数的性质的灵活运用. 2. (5 分)下列函数中周期为 π 且为偶函数的是() A.y=cos(2x﹣ ) B.y=sin(2x+ ) C.y=sin(x+ ) D.y=cos(x﹣ )

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 先利用函数的周期性排除 C,D,再利用诱导公式与函数的奇偶性可排除 A,从而可 得答案. 解答: 解:A:令 g(x)=cos(2x﹣ )=sin2x,

则 g(﹣x)=sin(﹣2x)=﹣sin2x=﹣g(x) , ∴g(x)=cos(2x+ )为奇函数,故可排除 A; )=cos2x,

B:∵y=f(x)=sin(2x+ ∴其周期 T=

=π,f(﹣x)=cos(﹣2x)=cos2x=f(x) ,

∴y=sin(2x+ ∴y=sin(2x+ C:∵y=sin(x+

)是偶函数, )是周期为 π 的偶函数,故 B 正确; )其周期 T=2π,故可排除 C; )的周期为 2π,故可排除 D;

D:同理可得 y=cos(x﹣

故选:B. 点评: 本题考查正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性,考查诱导公式的应用,属于中档 题. 3. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“?x∈R,均有 x ﹣x+1>0”的否定是:“?x∈R,使得 x ﹣x+1<0” 2 B. “x=3”是“2x ﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件 C. 线性回归方程 = x+ 对应的直线一定经过其样本数据点(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn, yn)中的一个点 D.若“p∨(?q)”为真命题,则“p∧q”也为真命题 考点: 命题的真假判断与应用;特称命题;命题的否定. 分析: 利用全称命题与特称命题的否定关系判断 A 的正误;充要条件判断 B 的正误;回归 直线方程判断 C 的正误;复合命题的真假判断 D 的正误; 2 2 解答: 解:对于 A,命题“?x∈R,均有 x ﹣x+1>0”的否定是:“?x∈R,使得 x ﹣x+1<0”, 不满足命题的否定形式,所以 A 不正确. 对于 B,“x=3”是“2x ﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件,正确,前者推出后者,后者不能说明 前者一定成立,所以 B 正确; 对于 C,线性回归方程 = x+ 对应的直线一定经过其样本数据点(x1,y1) , (x2,y2) ,… , (xn,yn)中的一个点,显然不正确,一定经过样本中心,所以 C 不正确; 对于 D,若“p∨(?q)”为真命题,则“p∧q”也为真命题,不正确,所以 D 不正确. 故选:B. 点评: 本题考查命题的真假的判断与应用,充要条件以及全称命题特称命题的否定关系, 回归直线方程的应用,基本知识的考查.
2

4. (5 分)已知平面向量 =(2m+1,3) , =(2,m) ,且 与 反向,则| |等于() A. B. 或 2 C. D.2

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据题意,平面向量 、 共线且反向,求 m 的值,即可得出| |.

解答: 解:∵平面向量 =(2m+1,3) , =(2,m) ,且 与 反向, ∴m(2m+1)﹣3×2=0, 解得 m=﹣2,或 m= ; 验证 m= 时不满足题意, ∴ =(2,﹣2) ; ∴| |= =2 .

故选:D. 点评: 本题考查了平面向量的应用问题,解题时应用平面向量的坐标表示求向量共线问题, 是基础题. 5. (5 分)设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=﹣ (x)=4x,则 f(107.5)=() A.10 B. C.﹣10 D.﹣ ,且当 x∈[﹣3,﹣2]时,f

考点: 函数的周期性. 专题: 计算题. 分析: 先通过有 f(x+3)=﹣ ,且可推断函数 f(x)是以 6 为周期的函数.进而可 以及偶函数 f(x)和 x∈[﹣3,﹣2]时,

求得 f(107.5)=f(5.5) ,再利用 f(x+3)=﹣ f(x)=4x 即可求得 f(107.5)的值. 解答: 解:因为 f(x+3) =﹣

,故有 f(x+6) =﹣

=﹣

=f(x) . 函

数 f(x)是以 6 为周期的函数. f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=﹣ 故选 B 点评: 本题主要考查了函数的周期性. 要特别利用好题中有 ( f x+3) =﹣ 解题过程中,条件 f(x+a)=﹣ 通常是告诉我们函数的周期为 2a. 的关系式. 在 =﹣ =﹣ = .

6. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,其中 A>0,ω>0, 列关于函数 f(x)的说法中正确的是()

.则下

A.对称轴方程是 B. C. 最小正周期是 π D.在区间 上单调递减

考点: 正弦函数的对称性;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性;由 y=Asin (ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 结合图象求得 f(x)=sin(x+ 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ) ,由此判断 A、B、C 都不正确;令 ,故 D 正确,

,k∈z,可得函数的单调减区间为

从而得出结论. 解答: 解:结合图象可得 A=1,周期 T= 析式为 f(x)=sin(x+φ) . 由五点法作图可得﹣ 故由 x+ =kπ+ +?=0,∴?= ,故 f(x)=sin(x+ ) . ,最小正周期为 2π, =2[ ]=2π,∴ω=1,故函数解

,k∈z,可得函数的对称轴为 x=kπ+

,k∈z;且?=

故 A、B、C 都不正确. 令 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈z,可得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈z,故函数 f(x)在区间

上单调递减,故 D 正确, 故选 D. 点评: 本题主要考查正弦函数的定义域和值域,对称性和周期性, 由由函数 y=Asin (ωx+?) 的部分图象求解析式,属于中档题. 7. (5 分)已知 f(x)=sin+cos 的最大值为 A,若存在实数 x1,x2,使得对任意实数 x 总有 f (x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则 A|x1﹣x2|的最小值为() A. B. C. D.

考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用三角恒等变换可得 f (x) =2sin, 依题意可知 A=2, |x1﹣x2|的最小值为 T= 从而可得答案. 解答: 解:∵f(x)=sin+cos = sin2014x+ cos2014x+ cos2014x+ sin2014x ,

= sin2014x+cos2014x =2sin, ∴A=f(x)max=2,周期 T= = ,

又存在实数 x1,x2,对任意实数 x 总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立, ∴f(x2)=f(x)max=2,f(x1)=f(x)min=﹣2, |x1﹣x2|的最小值为 T= ∴A|x1﹣x2|的最小值为 ,又 A=2, .

故选:A. 点评: 本题考查三角函数的最值,着重考查两角和与差的正弦与余弦,考查三角恒等变换, 突出正弦函数的周期性的考查,属于中档题.

8. (5 分)已知向量 =(2,1) , ? =10,| + |=5 A.5 B.25 C.

,则| |=() D.

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量的数量积的运算,结合题意,求出 的模长. 解答: 解:∵向量 =(2,1) , ? =10,| + |=5 ∴| |= ∴ 解得 ∴| |=5. 故选:A. 点评: 本题考查了平面向量的应用问题,解题时应根据平面向量的数量积,求向量的模长, 是基础题. =25, = = , +2 ? + = +2×10+ = ; ,

9. (5 分)已知集合 M={(x,y)|x+y﹣2≤0,x≥0,y≥0},N={(x,y)|y≤ 合 M∩N 中的点所构成的平面区域的面积为() A. B. 1 C. D.

,y≥0},则集

考点: 专题: 分析: 解答:

定积分在求面积中的应用;二元一次不等式(组)与平面区域. 不等式的解法及应用. 由题意作出图象,然后转化为定积分求得答案. 解:由 M={(x,y)|x+y﹣2≤0,x≥0,y≥0},N={(x,y)|y≤ ,y≥0}, ,x≥0,y≥0},

则集合 M∩N={(x,y)| 图象如图,

∴集合 M∩N 中的点所构成的平面区域的面积为 S= = = .

故选:D. 点评: 本题考查了二元一次不等式表示的平面区域,考查了定积分,体现了数学转化思想 方法,是中档题. 10. (5 分)已知数列{an},定直线 l: (m+3)x﹣(2m+4)y﹣m﹣9=0,若(n,an)在直线 l 上,则数列{an}的前 13 项和为() A.10 B.21 C.39 D.78 考点: 数列与解析几何的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由点(n,an) (n∈N )在直线 l: (m+3)x﹣(2m+4)y﹣m﹣9=0 上,可得 an= ﹣ ,即可得到数列{an}的前 13 项和.
*

n

解答: 解:∵点(n,an) (n∈N )在直线 l: (m+3)x﹣(2m+4)y﹣m﹣9=0 上, ∴(m+3)n﹣(2m+4)an﹣m﹣9=0, ∴an= n﹣ .

*

∴数列{an}的前 13 项和 S13=

=39.

故选 C. 点评: 本题考查数列与解析几何的综合,考查了等差数列的前 n 项和公式,属于基础题. 11. (5 分)已知{an}为等差数列,0<d<1,a5≠
*

,sin a3+2sina5cosa5=sin a7,Sn 为数列{an}

2

2

的前 n 项和,若 Sn≥S10 对一切 n∈N 都成立,则首项 a1 的取值范围是() A.[﹣ π,﹣π) B.[﹣ π,﹣π] C.(﹣ π,﹣ π) D.[﹣ π,﹣ π]

考点: 数列与三角函数的综合. 专题: 综合题;等差数列与等比数列;三角函数的求值. 分析: 先确定 d=
*

,可得 Sn=

,对称轴 n=

,利用

Sn≥S10 对一切 n∈N 都成立,可得 9.5≤ 解答: 解:∵sin a3+2sina5cosa5=sin a7, ∴2sina5cosa5=2sin ∴sin4d=1, ∴d= ∴Sn= 对称轴 n=
* 2 2

≤10.5,即可求出首项 a1 的取值范围.

cos

?2cos

sin



, . .

∵Sn≥S10 对一切 n∈N 都成立, ∴9.5≤ ∴﹣ π≤a1≤﹣ . ≤10.5,

故选:D. 点评: 熟练掌握等差数列的前 n 项和公式和配方法、二次函数的单调性是解题的关键.

12. (5 分)已知函数 f(x)在[0,+∞)上可导,其导函数记作 f′(x) ,f(0)=﹣2,且 f(x+π) = f(x) ,当 x∈[0,π)时,f′(x)?cos2x>f(x)?sin2x﹣f′(x) ,若方程 f(x)+knsecx=0 在[0,+∞)上有 n 个解,则数列{ }的前 n 项和为()

A.(n﹣1)?2 +1

n

B.(n﹣1)?2

n+1

+2 C.n?2

n﹣1

D.

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用;等差数列与等比数列. 分析: 由于 f(0)=﹣2,且 f(x+π)= f(x) ,则 f(π)= f(0)=﹣1,f(2π)= ﹣ ,f(3π)=﹣ , …,f(nπ)=﹣( )
n ﹣1

=

.再由导数的积的运算法则和二倍角公式,得到 f(x)cosx 的单调性

和极值,由条件可得,kn=﹣f(x)cosx 在[0,+∞)上有 n 个解,k1=﹣f(0)cos0=2,k2=﹣f (π)cosπ=﹣1,…,kn=﹣f( (n﹣1)π)cos(n﹣1)π,则有 k2n=( )
﹣1

n﹣1

,即有

=n?2

n

,再运用错位相减法,即可得到前 n 项和.

解答: 解:由于 f(0)=﹣2,且 f(x+π)= f(x) , 则 f(π)= f(0)=﹣1,f(2π)= …,f(nπ)=﹣( )
n ﹣1

=﹣ ,f(3π)=﹣ ,



由于当 x∈[0,π)时,f′(x)?cos2x>f(x)?sin2x﹣f′(x) , 则有 f′(x) (1+cos2x)﹣f(x)sin2x>0, 即有 2cosx(f′(x)cosx﹣f(x)sinx)>0,则 2cosx?(f(x)cosx)′>0, 则有 cosx>0, (f(x)cosx)′>0,f(x)cosx 在(0, cosx<0, (f(x)cosx)′<0,f(x)cosx 在( )递增,

,π)递减,

由于方程 f(x)+knsecx=0 在[0,+∞)上有 n 个解, 即有 kn=﹣f(x)cosx 在[0,+∞)上有 n 个解, 则 k1=﹣f(0)cos0=2,k2=﹣f(π)cosπ=﹣1,k3=﹣f(2π)cos2π= ,k4=﹣f(3π)cos3π= ﹣ , …,kn=﹣f( (n﹣1)π)cos(n﹣1)π, 则有 k2n=( )
n﹣1 2

,即有
n﹣1

=n?2

n﹣1


2 3 n

令 S=1+2?2+3?2 +…+n?2

,则 2S=1?2+2?2 +3?2 +…+n?2 ,

两式相减得,﹣S=1+2+2 +2 +…+2
n

2

3

n﹣1

﹣n?2 =

n

﹣n?2

n

则 S=(n﹣1)?2 +1. 故选 A. 点评: 本题考查导数的运用:求单调区间和极值,考查函数的零点问题,考查等比数列的 通项和求和公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB=b,则 =1.

考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简, 再利用正弦定理变形即可得到结果. 解答: 解:将 bcosC+ccosB=b,利用正弦定理化简得:sinBcosC+sinCcosB=sinB, 即 sin(B+C)=sinB, ∵sin(B+C)=sinA, ∴sinA=sinB, 利用正弦定理化简得:a=b, 则 =1. 故答案为:1. 点评: 此题考查了正弦定理,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本 题的关键,属于中档题.

14. (5 分) 平面上三个向量 的最大值是 3.





, 满足|

|=1, |

|=

, |

|=1,

?

=0, 则

?

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由于满足| |=1,| |= ,| |=1, ? =0,建立如图所示的直角坐标系,可得

A(1,0) ,B(0, ) ,可设 C(cosθ,sinθ) ,θ∈[0,2π) .再利用向量的坐标运算、数量积 运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性即可得出. 解答: 解:∵满足| |=1,| |= ,| |=1, ? =0,

如图所示, ∴A(1,0) ,B(0, ) , 可设 C(cosθ,sinθ) ,θ∈[0,2π) . ∴ =(1﹣cosθ,﹣sinθ) , =(﹣cosθ, ﹣sinθ) ,



?

=﹣cosθ(1﹣cosθ)﹣sinθ(

)=﹣cosθ﹣

+1=﹣2sin(



+1≤3, 当且仅当 θ= ∴ ? 时取等号.

最大值是 3.

故答案为:3.

点评: 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调 性有界性,属于中档题.

15. (5 分)在数列{an}中,a1≠0,an+1= 数列{Rn}的最大项为第 4 项. 考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列.

an,Sn 为{an}的前 n 项和.记 Rn=

,则

分析: 利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式可得 Rn= 本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵a1≠0,an+1= ∴ =

,再利用基

an, , .

Sn=

,S2n=



∴Rn=

=

=





比较 R3,R4,R5 可得当 n=4 时,Rn 取得最大值. 故答案为:4. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、基本不等式的性质,考查了计 算能力,属于中档题. 16. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意 x,y∈R,均有 f(x+y)=f(x)+f(y) +2014 成立,若函数 g(x)=f(x)+2014x
2013

有最大值 M 和最小值 m,则 M+m=﹣4028.

考点: 函数奇偶性的性质;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可先研究函数 f(x)的特征,构造与 f(x) 、g(x)相关的奇函数,利用奇函数 的图象对称性,得到相应的最值关系,从而得到 g(x)的最大值 M 与最小值 m 的和,得到本 题结论. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意 x,y∈R,均有 f(x+y)=f(x)+f(y) +2014 成立, ∴取 x=y=0,得:f(0)=f(0)+f(0)+2014,f(0)=﹣2014, 取 y=﹣x,得到:f(0)=f(x)+f(﹣x)+2014, ∴f(x)+f(﹣x)=﹣4028. 记 h(x)=f(x)+2014x +2014, 2013 2013 则 h(﹣x)+h(x)=[f(﹣x)+2014(﹣x) +2014]+f(x)+2014x +2014 2013 2013 =f(x)+f(﹣x)+2014x ﹣2014x +4028 =f(x)+f(﹣x)+4028 =0, ∴y=h(x)为奇函数. 记 h(x)的最大值为 A,则最小值为﹣A. 2013 ∴﹣A≤f(x)+2014x +2014≤A, 2013 ∴﹣A﹣2014≤f(x)+2014x ≤A﹣2014, 2013 ∵g(x)=f(x)+2014x , ∴∴﹣A﹣2014≤g(x)≤A﹣2014, ∵函数 g(x)有最大值 M 和最小值 m, ∴M=A﹣2014,m=﹣A﹣2014, ∴M+m=A﹣2014+(﹣A﹣2014) =﹣4028. 故答案为:﹣4028. 点评: 本题考查了函数奇偶性及其应用,还考查了抽象函数和构造法,本题难度适中,属 于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,总计 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2013

17. (10 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=1,c= (1)求 sinA 的值; (2)求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)根据正弦定理即可求 sinA 的值; (2)根据余弦定理和是三角形的面积公式即可求△ ABC 的面积. 解答: 解: (1)∵cosC= , ∴sinC= ∵ ∴
2 2

,cosC= .

, , ,即
2



(2)∵c =a +b ﹣2abcos? C, ∴
2



即 2b ﹣3b﹣2=0, 解得 b=2, ∴三角形的面积 S= .

点评: 本题主要考查三角形的面积公式的计算以及正弦定理和余弦定理的应用,涉及的公 式较多.

18. (12 分)已知向量 =(2cosx, (1)求 f(x)的单调增区间; (2)若 tanα= ,求 f(α)的值.

sinx) , =(cosx,﹣2cosx)设函数 f(x)= ?

考点: 两角和与差的正弦函数;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)求出 f(x)的表达式,然后化简为一个角的一个三角函数的形式,结合余弦函 数的单调性,求出函数 f(x)的单调递增区间; 2 (2)先表示出 f(α) ,然后分子分母同时除以 coa α,并将 tanα 的值代入即可. 解答: 解:f(x)= ? =2cos x﹣2 分) (1)当 2kπ﹣π≤2x+ ≤2kπ 时,f(x)单调递增,解得:kπ﹣ ≤x≤kπ﹣ k∈Z
2

sinxcosx=1+cos2x﹣

sin2x=1+2cos(2x+

)…(3

∴f(x)的单调递增区间为[kπ﹣ (2)f(α)=2cos α﹣ 2 sinαcosα=
2

,kπ﹣

] k∈ Z

…(7 分)

=

=

…(12 分) 点评: 本题考查平面向量的数量积,三角函数的单调性,三角函数的值,考查学生计算能 力,是中档题.

19. (12 分)已知函数 f(x)=ax+

(a>0) .

(1)用单调性的定义判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性并加以证明; (2)设 f(x)在 0<x≤1 的最小值为 g(a) ,求 y=g(a)的解析式. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;分类讨论;函数的性质及应用. 分析: (1)f(x)在(0, )上是单调递减的,在( ,+∞)上单调递增的.运用单调性 的定义证明,注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤; (2)讨论当 0< ≤1 即 a≥1 时,当 >1 即 0<a<1 时,运用函数的单调性即可得到最小值. 解答: 解: (1)f(x)=ax+ ﹣

f(x)在(0, )上是单调递减的,在( ,+∞)上单调递增的; 理由如下:设 x1,x2 是(0, )上的任意两个值,且 x1<x2,则△ x=x2﹣x1>0, △ y=f(x2)﹣f(x1)=ax2+ =a(x2﹣x1)+ =(x2﹣x1)? ∵0<x1< ,0<x2< ∴0<x1x2< ∴0<ax1x2<1, ﹣ax1﹣ =a(x2﹣x1)+ ) ﹣

=(x2﹣x1) (a﹣

ax1x2﹣1<0 又△ x=x2﹣x1>0,ax1x2>0, ∴△y=f(x2)﹣f(x1)<0 ∴f(x)在(0, )上是单调递减,同理可证 f(x)在( ,+∞)上单调递增; (2)当 >1 即 0<a<1 时,f(x)在(0,1]上单调递减, ∴fmin(x)=f(1)=a; 当 0< ≤1 即 a≥1 时,f(x)在(0, ]单调递减,在[ ,1]单调递增,

∴fmin(x)=f( )=2﹣

∴g(a)=



点评: 本题考查函数的单调性的判断和运用,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力, 属于中档题和易错题. 20. (12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+an=1,数列{bn}满足 b1=4,bn+1=3bn﹣2; (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足 cn=anlog3(b2n﹣1﹣1) ,其前 n 项和为 Tn,求 Tn. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)根据递推公式分别求出{an}和{bn}的通项公式; (2)由错位相减求和法求出数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)①当 n=1 时,a1+S1=1∴a1= ②当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(1﹣an)﹣(1﹣an﹣1)=an﹣1﹣an, ∴an= an﹣1 ∴数列{an}是以 a1= 为首项,公比为 的等比数列; ∴an= ?( )
n﹣1

=( )

n

∵bn+1=3bn﹣2 ∴bn+1﹣1=3(bn﹣1) 又∵b1﹣1=3∴{bn﹣1}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列 n ∴bn﹣1=3 、 n ∴bn=3 +1 (2)∵cn=( ) ?log33
2 n 2n﹣1

=(2n﹣1)?( )
3

n

∴Sn=1× +3×( ) +5×( ) +…+(2n﹣3)?( )
2 3 4

n﹣1

+(2n﹣1)?( )
n

n

∴ Sn=1×( ) +3×( ) +5×( ) +…+(2n﹣3)?( ) +(2n﹣1)?( ) ∴(1﹣ )Sn=1× +2[( ) +( ) +…+( ) = ﹣4×( )
n+1 2 3 n﹣1 n

n+1

+( ) ]﹣(2n﹣1)?( )

n+1

﹣(2n﹣1)?( )
n+1

n+1

= ﹣(2n+3) ( ) ∴Sn=3﹣

点评: 本题考查数列的通项公式的求法和数列求和,解题时要注意公式的灵活运用,特别 是错位相减求和法的合理运用. 21. (12 分)设 f(x)=xlnx,g(x)=x ﹣1. (1)令 h(x)=f(x)﹣g(x) ,求 h(x)的单调区间; (2)若当 x≥1 时,f(x)﹣mg(x)≤0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题;导数的综合应用. 2 分析: (1)由题意 h(x)=xlnx﹣x +1,二阶求导以确定导数的正负,从而求函数的单调 区间; (2)令 F(x)=xlnx﹣m(x ﹣1) ,对其二阶求导以确定导数的正负,从而求函数的最值,将 恒成立问题化为最值问题,从而求解. 2 解答: 解: (1)h(x)=xlnx﹣x +1 h′(x)=lnx+1﹣2x 令 t(x)=lnx+1﹣2x t′(x)= ﹣2=
2 2

∴t(x)在(0, )上单调递增,在( ,+∞)上单调递减, ∴t(x)≤t( )=﹣ln2<0, 即 h′(x)<0, ∴h(x)在(0,+∞)上单调递减. 2 (2)令 F(x)=xlnx﹣m(x ﹣1) , 则 F′(x)=lnx+1﹣2mx, 令 G(x)=lnx+1﹣2mx, 则 G′(x)= ﹣2m, ①当 m≥ 时, ∵x≥1,∴ ≤1, ∴ ﹣2m≤0,即 G′(x)≤0; ∴G(x)在[1,+∞)上单调递减, ∴G(x)≤G(1)=1﹣2m≤0, 即 F′(x)≤0, ∴F(x)在[1,+∞)上单调递减, ∴F(x)≤F(1)=0, ∴f(x)﹣mg(x)≤0, ∴m≥ 符合题意; ②当 m≤0 时,显然有 F′(x)=lnx+1﹣2mx≥0, ∴F(x)在(1,+∞)上单调递增,

∴F(x)>F(1)=0, 即 f(x)﹣mg(x)>0,不符合题意; ③当 0<m< 时, 令 G′(x)= ﹣2m>0 解得:1<x< G′(x)= ﹣2m<0 解得:x> ∴G(x)在[1, ; ,

]上单调递增,

∴G(x)≥G(1)=1﹣2m>0,即 F′(x)>0; ∴F(x)在[1, ∴当 x∈(0, ]上单调递增; )时,F(x)>F(0)=0,

即 f(x)﹣mg(x)>0,不符合题意; 综合①②③可知,m≥ 符合题意, ∴m 的取值范围是[ ,+∞) . 点评: 本题考查了导数的综合应用,难在二阶求导以判断函数的单调性与最值,同时考查 了恒成立问题化成最值问题的处理方法,属于难题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=(x ﹣a+1)e ,g(x)=(x ﹣2)e . (1)若曲线 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线为 l:y=2ex+b,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在[﹣3,1]上是单调函数,求实数 a 的取值范围; 2 (3)若 f(x)有两个不同极值点 m,n(m<n) ,且|m+n|≥|mn|﹣1,记 F(x)=e f(x)+g(x) , 求 F(m)的最大值. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)根据导数的几何意义,即可求出切线的斜率,故求出 a,b 的值, (2)需要分两种情况讨论,单调递增和单调递减,采用分离参数法,求出参数的最值即可, (3)先求出 a 的范围,再求出 m 的范围,化简 F(x) ,根据导数求出 F(m)的最大值. 2 x 解答: 解: (1)f′(x)=(x +2x﹣a+1)e 由题意:f′(1)=(4﹣a)e=2e, 解得:a=2, 2 x ∴f(x)=(x ﹣1)e 又 f(1)=0=2e+b, ∴b=﹣2e (2)若函数 f(x)在[﹣3,1]上是单调递增函数 2 x 则 f′(x)=(x +2x﹣a+1)e ≥0 在[﹣3,1]上恒成立, 2 即 x +2x﹣a+1≥0, 2 2 ∴a≤x +2x+1=(x+1) 在[﹣3,1]上恒成立,
2 x 2 x+2

∴a≤0, 若函数 f(x)在[﹣3,1]上是单调递减函数 则 f′(x)=(x +2x﹣a+1)e ≤0 在[﹣3,1]上恒成立, 2 即 x +2x﹣a+1≤0, 2 2 a≥x +2x+1=(x+1) 在[﹣3,1]上恒成立, ∴a≥4, 综上,若函数 f(x)在[﹣3,1]上是单调函数,则 a 的取值范围是(﹣∞,0]∪[4,+∞) ; (3)令 f′(x)=0 得:x +2x﹣a+1=0 由题意:△ =4﹣4(1﹣a)=4a>0, 即 a>0, 且:m+n=﹣2,mn=1﹣a(m<n) , ∵|m+n|≥|mn|﹣1, ∴|a﹣1|≤3, ∴0<a≤4, 2 m ∵f′(m)=(m +2m﹣a+1)e =0, 2 ∴a=m +2m+1, 2 ∴0<m +2m+1≤4 ∴﹣3≤m≤1 且 m≠﹣1, 又∵m<n, ∴﹣3≤m<﹣1 ∴F(x)=(x ﹣a+1)e +(x ﹣2)e =(2x ﹣a﹣1)e 2 m+2 2 m+2 ∴F(m)=(2m ﹣a﹣1)e =(m ﹣2m﹣2)e 2 m+2 ∴F′(m)=(m ﹣4)e ∴F(m)在[﹣3,﹣2]上单调递增,在[﹣2,﹣1)上单调递减 ∴Fmax(m)=F(﹣2)=6. 点评: 本题考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值,一般是求出导函数对应方程的根, 然后求出跟对应的函数值,区间端点的函数值,然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最 值.同时考查了利用导数研究函数的极值,求函数极值的步骤是:先求导函数,令导函数等于 0, 求出方程的根, 确定函数在方程的根左右的单调性, 根据极值的定义, 确定极值点和极值. 过 程中要注意运用导数确定函数的单调性,一般导数的正负对应着函数的单调性.
2 x+2 2 x+2 2 x+2 2 2 x


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