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(全国通用)2016高考数学二轮复习 解答题的解题模板8 导数与不等式恒成立问题课件 理


模板8 导数与不等式恒成立问题

(x+a)ln x 【例 8】(满分 12 分)设 f(x)= , 曲线 y=f(x)在点(1, x+1 f(1))处的切线与直线 2x+y+1=0 垂直. (1)求 a 的值; (2)若对?x∈[1,+∞),f(x)≤m(x-1)恒成立,求 m 的范围.
? ? ?ln ?

[规范解答]

(1)f′(x)=

x+a? ? x+ x ?(x+1)-(x+a)ln x ? ,2 分 (x+1)2 4分

2(1+a) 1 1 由 f′(1)=2,即 =2,解得 a=0. 4

xln x (2)由(1)知 f(x)= ,当 x≥1 时,f(x)≤m(x-1), x +1 xln x m 即 ≤m(x-1),可化为 ln x-mx+ x ≤0, x+1 6分

2 1 m m -mx +x-m 设 g(x)=ln x-mx+ x ,g′(x)=x-m- 2= .8 分 x x2

设 φ(x)=-mx2+x-m,

①当m≤0时,g′(x)>0,g(x)≥g(1)=0,不合题意.

9分

1 ②当 m>0 时, 1° Δ≤0 时, 即 m≥ , g′(x)≤0, g(x)≤g(1)=0, 2 符合题意. 1 2° Δ>0 时,0<m< ,φ(1)=1-2m>0,不合题意. 2 综上,m
?1 ? 的取值范围是?2,+∞?.12 ? ?

10 分 11 分



[解题模板] 第一步

求f(x)的导数;

第二步 求参数a,确定函数f(x)的解析式; 第三步 将不等式进行转化; 第四步 构造函数g(x); 第五步 求g′(x),转化为一元二次函数再进行求解; 第六步 规范结论,查看关键点.

1-a 2 【训练 8】 (2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)=aln x+ x 2 -bx(a≠1),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 0. (1)求 b; a (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< ,求 a 的取值范围. a-1 a 解 (1)f′(x)=x +(1-a)x-b.由题设知 f′(1)=0,解得 b=1.

(2)f(x)的定义域为(0,+∞), 1-a 2 由(1)知,f(x)=aln x+ 2 x -x, a ? 1-a? a ? f′(x)=x +(1-a)x-1= x ?x-1-a? ?(x-1) ? ?

1 a ①若 a≤2,则 ≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在 1-a a (1,+∞)上单调递增.所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< 的充 a-1 1-a a a 要条件为 f(1)< ,即 2 -1< , a-1 a-1 所以- 2-1<a< 2-1; 1 a ②若2<a<1,则 >1, 1-a

故当

? a ? ? x∈?1,1-a? ?时,f′(x)<0, ? ?

? a ? ? x∈?1-a,+∞? ?时,f′(x)>0, ? ?

? ? a ? a ? ? ? ? f(x)在?1,1-a?上单调递减,f(x)在?1-a,+∞? ?上单调递增. ? ? ? ? ? a ? a ? 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< 的充要条件为 f ? ?1-a?< a-1 ? ? ? a ? a2 a a a a ? ? ,而 f ?1-a?=aln + + > ,所 a-1 1-a 2(1-a) a-1 a-1 ? ?

以不符合题意.
1-a -1-a a ③若 a>1,则 f(1)= 2 -1= 2 < . a-1 综上,a 的取值范围为:(- 2-1, 2-1)∪(1,+∞).


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