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广东省广州市高山文化培训学校2015届高考数学二模试卷(文科)


广东省广州市高山文化培训学校 2015 届高考数学二模试卷(文 科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M={x|﹣3<x<1},N={x|x≤﹣3},则 M∪N( ) A.? B.{x|x≥﹣3} C.{x|x≥1} D.{x|x<1} 2.若函数 y=(x+1) (x﹣a)为偶函数,则 a=( ) A.﹣2 B.﹣1 C.1 3.圆 x +y =1 与直线 y=kx+2 没有公共点的充要条件是( A. C. 4.已知 0<a<1,x=loga A.x>y>z
2 2 2

D.2 )

B. D. +loga ,y= loga5,z=loga C.y>x>z ﹣loga ,则( D.z>x>y , )

B.z>y>x

5. 设 P 为曲线 C: y=x +2x+3 上的点, 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是 则点 P 横坐标的取值范围是( A. B. C. ) D.

6.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片 上的数字之和为奇数的概率为( ) A. B. C. D.

7.将函数 y=2 +1 的图象按向量 平移得到函数 y=2 A. (﹣1,﹣1) B. (1,﹣1)

x

x+1

的图象,则 等于(

)

C. (1,1)

D. (﹣1,1)

8.已知变量 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值为(

)

A.4

B.2

C.1

D.﹣4

9.已知双曲线 9y ﹣m x =1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ,则 m=( A.1 B.2 C.3 D.4

2

2 2

)

10. 如图, 动点 P 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的对角线 BD1 上. 过点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线,与正方体表面相交于 M,N.设 BP=x,MN=y,则函数 y=f(x)的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题: (本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做其中的一题,两题全答的,只计算 14 两题得分) . 11.函数 __________. 12.如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图,则此几何体共由__________块 木块堆成. 的定义域是

13.如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题: ① ③ + ? =2 = ;② =2 +2 ? ; ) = ( ? ) .

;④(

其中真命题的代号是__________.__________(写出所有真命题的代号) .

(坐标系与参数方程选做题) 2 2 14.点 P(x,y)是椭圆 2x +3y =12 上的一个动点,则 x+2y 的最大值为__________.

(几何证明选讲选做题) 15. 如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦,它们相交于 P,连结 AD,BD.已知 AD=BD=4,PC=6, 那么 CD 的长为__________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.在△ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2, (1)若△ ABC 的面积等于 ,求 a,b; (2)若 sinB=2sinA,求△ ABC 的面积. 17.假设数学测验的成绩都是正整数,甲、乙两人某次数学测验成绩都是两位正整数,且十 位数字都是 8,求甲、乙两人此次数学成绩的差的绝对值不超过 2 的概率. (画图解答) 18.如图所示,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AB=2, E,F,G 分别为 PC、PD、BC 的中点. (1)求证:GC⊥平面 PEF; (2)求证:PA∥平面 EFG; (3)求三棱锥 P﹣EFG 的体积. .

19.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=kSn+2,且 a1=2,a2=1. (1)求 k 的值; (2)求 Sn; (3)是否存在正整数 m,n,使 说明理由. 20. 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P 到两点 设点 P 的轨迹为 C. (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点.k 为何值时
3 2 2

成立?若存在,求出这样的正整数;若不存在,



的距离之和等于 4,



?此时

的值是多少?.

21.设函数 f(x)=ax +bx ﹣3a x+1(a,b∈R)在 x=x1,x=x2 处取得极值,且|x1﹣x2|=2. (Ⅰ)若 a=1,求 b 的值,并求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a>0,求 b 的取值范围.

广东省广州市高山文化培训学校 2015 届高考数学二模试 卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M={x|﹣3<x<1},N={x|x≤﹣3},则 M∪N( ) A.? B.{x|x≥﹣3} C.{x|x≥1} D. {x|x<1} 考点:并集及其运算. 专题:集合. 分析:由题意和并集的运算直接求出 M∪N. 解答: 解:因为集合 M={x|﹣3<x<1},N={x|x≤﹣3}, 所以 M∪N={x|x<1}, 故选:D. 点评:本题考查并集及其运算,属于基础题. 2.若函数 y=(x+1) (x﹣a)为偶函数,则 a=( A.﹣2 B.﹣1 C.1 考点:偶函数. ) D.2

分析: 本小题主要考查函数的奇偶性的定义: f (x) 的定义域为 I, ?x∈I 都有, f (﹣x) =f (x) . 根 据定义列出方程,即可求解. 解答: 解:f(1)=2(1﹣a) ,f(﹣1)=0 ∵f(x)是偶函数 ∴2(1﹣a)=0,∴a=1, 故选 C. 点评:本题主要考查偶函数的定义,对于函数的奇偶性问题要注意恰当的使用特殊值法. 3.圆 x +y =1 与直线 y=kx+2 没有公共点的充要条件是( A. C. B. D.
2 2

)

考点:直线与圆相交的性质. 分析:当圆心到直线的距离大于半径时,直线与圆没有公共点,这是充要条件. 2 2 解答: 解:依题圆 x +y =1 与直线 y=kx+2 没有公共点

故选 C. 点评:本小题主要考查直线和圆的位置关系;也可以用联立方程组,△ <0 来解;是基础题. 4.已知 0<a<1,x=loga A.x>y>z +loga ,y= loga5,z=loga C.y>x>z ﹣loga ,则( )

B.z>y>x

D.z>x>y

考点:对数值大小的比较. 分析:先化简 x、y、z 然后利用对数函数的单调性,比较大小即可. 解答: 解:x=loga y= loga5=loga +loga =loga ﹣loga , =loga , ,z=loga

∵0<a<1,又 < < , ∴loga >loga >loga ,即 y>x>z. 故选 C. 点评:本题考查对数函数的性质,对数的化简,是基础题.
2

5. 设 P 为曲线 C: y=x +2x+3 上的点, 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是 则点 P 横坐标的取值范围是( A. B. ) C. D.



考点:导数的几何意义. 专题:压轴题.

分析:根据题意知,倾斜角的取值范围,可以得到曲线 C 在点 P 处斜率的取值范围,进而得 到点 P 横坐标的取值范围. 解答: 解:设点 P 的横坐标为 x0, 2 ∵y=x +2x+3, ∴y′ =2x0+2,

利用导数的几 何意义得 2x0+2=tanα(α 为点 P 处切线的倾斜角) , 又∵ ∴ ,∴0≤2x0+2≤1, .

故选:A. 点评:本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题. 6.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片 上的数字之和为奇数的概率为( ) A. B. C. D.

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,基本事件总数 n= =6,取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数 m= =4,由此能求出

取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率. 解答: 解:4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张, 基本事件总数 n= =6, =4,

取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数 m= ∴取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 = .

故选:C. 点评:本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件的概率计算公式 的合理运用.
x x+1

7.将函数 y=2 +1 的图象按向量 平移得到函数 y=2 A. (﹣1,﹣1) B. (1,﹣1)

的图象,则 等于( D. (﹣1,1)

)

C. (1,1)

考点:函数的图象与图象变化. x 分析:本小题主要考查函数图象的平移与向量的关系问题.依题由函数 y=2 +1 的图象得到函 x+1 x 数 y=2 的图象,需将函数 y=2 +1 的图象向左平移 1 个单位,向下平移 1 个单位;故 .

解答: 解:设 =(h,k)则 函数 y=2 +1 的图象平移向量 后所得图象的解析式为 y=2 ∴
x x﹣h

+1+k



∴ =(﹣1,﹣1) 故选 A 点评: 求平移向量多采用待定系数法, 先将平移向量设出来, 平移后再根据已知条件列出方程, 解方程即可求出平移向量.

8.已知变量 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值为(

)

A.4

B.2

C.1

D.﹣4

考点:简单线性规划的应用. 专题:计算题;数形结合. 分析:先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截 距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可. 解答: 解:作图 易知可行域为一个三角形, 其三个顶点为(0,1) , (1,0) , (﹣1,﹣2) , 验证知在点(1,0)时取得最大值 2 当直线 z=2x+y 过点 A(1,0)时,z 最大是 2, 故选 B.

点评:本小题是考查线性规划问题,本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最 值,属于基础题.
2 2 2

9.已知双曲线 9y ﹣m x =1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ,则 m=( A.1 B.2 C.3 D.4

)

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;压轴题. 分析:由双曲线 9y ﹣m x =1(m>0)可得
2 2 2

,顶点

,一条渐近线为 mx

﹣3y=0,再由点到直线的距离公式根据一个顶点到它的一条渐近线的距离为 可以求出 m. 解答: 解: 取顶点 ,一条渐近线为 mx﹣3y=0, ,

∵ 故选 D. 点评:本小题主要考查双曲线的知识,解题时要注意恰当选取取公式. 10. 如图, 动点 P 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的对角线 BD1 上. 过点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线,与正方体表面相交于 M,N.设 BP=x,MN=y,则函数 y=f(x)的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

考点:空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:压轴题. 分析:只有当 P 移动到正方体中心 O 时,MN 有唯一的最大值,则淘汰选项 A、C;P 点移动 时,x 与 y 的关系应该是线性的,则淘汰选项 D. 解答: 解:设正方体的棱长为 1,显然,当 P 移动到对角线 BD1 的中点 O 时,函数 取得唯一最大值,所以排除 A、C; 当 P 在 BO 上时,分别过 M、N、P 作底面的垂线,垂足分别为 M1、N1、P1, 则 y=MN=M1N1=2BP1=2?xcos∠D1BD=2? 是一次函数,所以排除 D.

故选 B. 点评: 本题考查直线与截面的位置关系、 空间想象力及观察能力, 同时考查特殊点法、 排除法. 二、填空题: (本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做其中的一题,两题全答的,只计算 14 两题得分) . 11.函数 的定义域是

13.如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题: ① ③ + ? =2 = ;② =2 +2 ? ; ) = ( ? ) .

;④(

其中真命题的代号是①②.④(写出所有真命题的代号) .

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:利用向量的运算法则及正六边形的边、对角线的关系判断出各个命题的正误. 解答: 解:① + = =2 =2 + )? ,故①正确; =2( )? =2( + ﹣ ? )=2 ? = )? +2 ? =2 ,故②正确; ≠0,故③错误; ?( ? ) ,故④正确;

②取 AD 的中点 O,有 ③∵ ④∵ ? =2 ﹣ ? =( ?

,∴(

故答案为:①②④. 点评:本题考查向量的 运算法则:平行四边形法则,三角形法则、考查正六边形的边,对角 线的关系. (坐标系与参数方程选做题) 14.点 P(x,y)是椭圆 2x +3y =12 上的一个动点,则 x+2y 的最大值为 考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题. 分析:先把椭圆 2x +3y =12 化为标准方程,得
2 2 2 2



,由此得到这个椭圆的参数方程为:

(θ 为参数) ,再由三角函数知识求 x+2y 的最大值. 解答: 解:把椭圆 2x +3y =12 化为标准方程, 得 ,
2 2

∴这个椭圆的参数方程为: ∴x+2y= ∴ , .

, (θ 为参数)

故答案为: . 点评:本题考查椭圆的参数方程和最大值的求法,解题时要认真审题,注意三角函数知识的灵 活运用. (几何证明选讲选做题) 15. 如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦,它们相交于 P,连结 AD,BD.已知 AD=BD=4,PC=6, 那么 CD 的长为 8.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:推理和证明;立体几何. 分析:根据 AD=BD=4, = ,∠DAB=∠DBA,确定出∠DAB=∠ACD,∠CDA=∠ADP,

判断△ APD∽△CAD,运用对应边成比例即可判断求解.

解答: 解: 连接 AC,DP=x,CD=6+x ∵AD=BD=4, ∴ = ,∠DAB=∠DBA,

∴∠ACD=∠DAB, 即∠DAB=∠ACD, ∵∠CDA=∠ADP, ∴△APD∽△CAD, 对应边成比例, ∴ = = , 化简计算得出:x +6x﹣16=0,求解得出:x=2,x=﹣8(舍去) ∴x+6=2+6=8, 故答案为:8 点评: 本题考查了圆周角, 弦长问题, 判断有关的角相等问题, 得出相似三角形, 属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题 ,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.在△ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2, (1)若△ ABC 的面积等于 ,求 a,b; (2)若 sinB=2sinA,求△ ABC 的面积. 考点:解三角形;三角形中的几何计算. 专题:计算题. .
2



分析: (1)由 c 及 cosC 的值,利用余弦定理列出关于 a 与 b 的关系式 a +b ﹣ab=4,再由已知 2 2 三角形的面积及 sinC 的值,利用三角形的面积公式得出 ab 的值,与 a +b ﹣ab=4 联立组成方 程组,求出方程组的解即可求出 a 与 b 的值; 2 2 (2)利用正弦定理化简 sinB=2sinA,得到 b=2a,与(1)得出的 a +b ﹣ab=4 联立组成方程 组,求出方程组的解得到 a 与 b 的值,再由 sinC 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角 形 ABC 的面积. 解答: 解: (1)∵c=2,cosC= , ∴由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC 得:a +b ﹣ab=4, 又△ ABC 的面积等于 ∴ 整理得:ab=4, 联立方程组 , , ,sinC= ,
2 2 2 2 2

2

2

解得 a=2,b=2; (2)由正弦定理,把 sinB=2sinA 化为 b=2a, 联立方程组 ,

解得: 又 sinC= ,





则△ ABC 的面积



点评:此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及 特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 17.假设数学测验的成绩都是正整数,甲、乙两人某次数学测验成绩都是两位正整数,且十 位数字都是 8,求甲、乙两人此次数学成绩的差的绝对值不超过 2 的概率. (画图解答) 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析:设甲的成绩为 x,乙的成绩为 y,则(x,y)对应如图所示的正方形 ABCD 及其内部的 整数点,其中满足|x﹣y|≤2 的(x,y)对应的点如图阴影部分( 含边界)的整数点,问题得以 解决 解答: 解:设甲的成绩为 x,乙的成绩为 y,x,y∈{80,81,82,??,89}, 则(x,y)对应如图所示的正方形 ABCD 及其内部的整数点,共有 10×10=100, 其中满足|x﹣y|≤2 的(x,y)对应的点如图阴影部分(含边界)的整数点,共有 100﹣7×8=44, 故所求概率为 P= = ,

点评:本题考查了概率公式的计算,关键是画出图象,属于中档题 18.如图所示,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AB=2, E,F,G 分别为 PC、PD、BC 的中点. (1)求证:GC⊥平面 PEF; (2)求证:PA∥平面 EFG; (3)求三棱锥 P﹣EFG 的体积.

考点:直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题:证明题;综合题. 分析: (1) : 因为 PD⊥平面 ABCD, GC?平面 ABCD, 所以 GC⊥PD. 因为 GC⊥CD 且 PD∩CD=D 所以 GC⊥平面 PCD. (2)因为 EF∥CD 且 EF∥GH 所以 E,F,H,G 四点共面.又因为 F,H 分别为 DP,DA 的 中点所以 PA∥FH 因为 PA?平面 EFG,FH?平面 EFG,所以 PA∥平面 EFG. (3)先求出底面的面积 . 解答: (1)证明:∵PD⊥平面 ABCD,GC?平面 ABCD, ∴GC⊥PD. ∵ABCD 为正方形,∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D, ∴GC⊥平面 PCD. (2)证明:如图,取 AD 的中点 H,连接 GH,FH, ∵E,F 分别为 PC,PD 的中点, ,由题意得 所以三棱锥的体积为

∴EF∥CD. ∵G,H 分别为 BC,AD 的中点, ∴GH∥CD. ∴EF∥GH. ∴E,F,H,G 四点共面. ∵F,H 分别为 DP,DA 的中点, ∴PA∥FH. ∵PA?平面 EFG,FH?平面 EFG, ∴PA∥平面 EFG. (3)解:∵ ∴ ∵ ∴ , . , . ,

点评: 证明线面垂直关键是证明直线与面内的两条相交直线垂直; 证明线面平行关键是证明已 知直线与面内一条直线平行即可;求三棱锥的体积时有时需要换一个底面积与高都好求的顶 点,在利用体积公式求出体积即可. 19.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=kSn+2,且 a1=2,a2=1. (1)求 k 的值; (2)求 Sn; (3)是否存在正整数 m,n,使 说明理由. 考点:数列与不等式的综合;数列的求和. 专题:综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 S2=kS1+2,得 a1+a2=ka1+2,代入数值可求 k; (2)由 (1)知 ①,当 n≥2 时, ②,两式相减可得递推式, 成立?若存在,求出这样的正整数;若不存在,

由递推式可判断该数列为等比数列,从而可求 Sn; n (3)表示出不等式,可化为 2<2 (4﹣m)<6,假设存在正整数 m,n 使得上面的不等式成 n 立,则只能是 2 (4﹣m)=4,从而可得 m,n 的方程组,解出即可作出判断; 解答: 解: (1)∵S2=kS1+2,∴a1+a2=ka1+2, 又 a1=2,a2=1,

∴2+1=2k+2,解得 (2)由 (1)知 ①﹣②,得

. ①,当 n≥2 时, , ②,



,易见

,∴



于是{an}是等比数列,公比为 ,首项为 2,

所以

=4(1﹣

) ;

(3) 不等式

,即

,整理可得



可得

即 2<2 (4﹣m)<6,

n

假设存在正整数 m,n 使得上面的不等式成立, n n 由于 2 为偶数,4﹣m 为整数,则只能是 2 (4﹣m)=4, ∴ ,

因此,存在正整数



点评: 本题考查数列求和、 数列与不等式的综合, 考查学生解决问题的能力, 本题运算量较大. 20. 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P 到两点 设点 P 的轨迹为 C. (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点.k 为何值时 , 的距离之和等于 4,



?此时

的值是多少?.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;压轴题;转化思想. 分析: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是椭圆.从而写出其方程即可;

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其坐标满足

,将直线的方程代入椭圆的方程,

消去 y 得到关于 x 的一元二次方程, 再结合根与系数的关系及向量垂直的条件, 求出 k 值即可, 最后通牒利用弦长公式即可求得此时 解答: 解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 焦点, 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 , 为 的值,从而解决问题.

故曲线 C 的方程为



(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其坐标满足
2 2

消去 y 并整理得(k +4)x +2kx﹣3=0, 故
2

. ,即 x1x2+y1y2=0.而 y1y2=k x1x2+k(x1+x2)+1,

于是



所以 当

时,x1x2+y1y2=0,故 时, .
2 2



, ,

而(x2﹣x1) =(x2+x1) ﹣4x1x2=



所以



点评:本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识, 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力. 21.设函数 f(x)=ax +bx ﹣3a x+1(a,b∈R)在 x=x1,x=x2 处取得极值,且|x1﹣x2|=2. (Ⅰ)若 a=1,求 b 的值,并求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a>0,求 b 的取值范围.
3 2 2

考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题:压轴题. 3 2 2 3 2 2 分析: (Ⅰ)由题意 f(x)=ax +bx ﹣3a x+1=x +bx ﹣3x+1,求出其导数 f'(x)=3x +2bx﹣3, 令 f′(x)=0,求出极值点 x=x1,x=x2 利用|x1﹣x2|=2 求出 b 值,并求 f(x)的单调区间; 2 2 (Ⅱ)不知 a 值,只知 a>0,由题意知 x1,x2 为方程 3x +2bx﹣3a =0 的两根,得 =2,求出 a 的范围,因 g(a)=9a ﹣9a ,求出 g(a)的单调区间, 从而求出 a 与 b 的关系,最后根据 a 的范围确定 b 的范围. 2 2 解答: 解:f'(x)=3ax +2bx﹣3a .① 2 (Ⅰ)当 a=1 时,f'(x)=3x +2bx﹣3; 由题意知 x1,x2 为方程 3x +2bx﹣3=0 的两根,所以
2 2 3



由|x1﹣x2|=2,得 b=0. 2 2 从而 f(x)=x ﹣3x+1,f'(x)=3x ﹣3=3(x+1) (x﹣1) . 当 x∈(﹣1,1)时,f'(x)<0;当 x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0. 故 f(x)在(﹣1,1)单调递减,在(﹣∞,﹣1) , (1,+∞)单调递增. 2 2 (Ⅱ)由①式及题意知 x1,x2 为方程 3x +2bx﹣3a =0 的两根, 所以 由上式及题 设知 0<a≤1. 考虑 g( a)=9a ﹣9a , 故 g(a)在 . 又 g(a)在(0,1]上只有一个极值,所以 小值为 g(1)=0.所以 为 g(a)在(0,1]上的最大值,且最 . 单调递增,在
2 3

.从而|x1﹣x2|=2?b =9a (1﹣a) ,

2

2

. 单调递减,从而 g(a)在(0,1]的极大值为

,即 b 的取值范围为

点评:本小题主要考查函数的导数,单调性、极 值,最值等基础知识,考查综合利用导数研 究函数的有关性质的能力.


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