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3.1.2概率的加法公式 课件(人教B版必修3)


高 一 数 学

教学目标:
(1)知识与技能目标:通过探究式教学,使学生正确理解“互

斥事件”,“彼此互斥”和“对立事件”的概念,理解并掌握当A, B互斥时“事件AUB”的含义,了解两个互斥事件的概率加法公式, 并会利用两个对立事件的概率和为1的关系,简化一些概率的运算, 同时,会应用所学知识解决一些简单的实际问题。

(2)过程与方法目标:在本节教学中,通过日常生活中的大量
实例,鼓励学生动手试验,引导学生学会如何观察、推理、归纳、 类比、引申、反思和评价,注重培养学生的数学交流表达的能力, 知识间纵横迁移的视角转换能力,提高直觉思维能力。

(3)情感态度与价值观目标:增强学生合作学习交流的机会,
感受与他人合作的重要性,同时养成各感官官并用的良好习惯。

例1. 抛掷一颗骰子,观察掷出的点数. 设 事件A为“出现奇数点”,B为“出现2 1 1 点”. 已知P(A)= ,P(B)= ,求“出现 2 6 奇数点或2点”的概率。 这里的事件A和事件B不可能同时发生,这 种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事 件.

设事件C为““出现奇数点”或2点”,它 也是一个随机事件。
事件C与事件A、B的关系是:若事件A和 事件B中至少有一个发生,则C发生;若C发 生,则A,B中至少有一个发生,我们称事件 C为A与B的并(或和) 如图中阴影部分所表示的就是A∪B.

一、互斥事件、事件的并
1.互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫做 互斥事件(或称为互不相容事件); 2.事件的并:由事件A和B至少有一个发生 (即A发生,或B发生,或A、B都发生)所构成 的事件C,称为事件A与B的并(或和)。记作 C=A∪B(或C=A+B)。 事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所 组成的集合。

二、互斥事件的概率加法公式
假定事件A与B互斥,则
如果用μn(A)表示在n次试验中事件A出现的频 率,则有μn(A∪B)=μn(A)+μn(B).
由概率的统计定义可知, P(A∪B)=P(A)+P(B)。 一般地,如果事件A1,A2,…,An彼此互斥, 那P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2) +…+P(An), 即彼此互斥事件和的概率等于概率的和.

假定事件A与B互斥,则
P(A∪B)=P(A)+P(B) 叫互斥事件的概率加法公式
例1中事件C:“出现奇数点或2点”的概率是事件A: “出现奇数点”的概率与事件B:“出现2点”的概 率之和,即

P(C)=P(A)+P(B)=

1 1 2 ? ? 2 6 3

在求某些较为复杂事件的概率时,先将它 分解为一些较为简单的、并且概率已知(或 较容易求出)的彼此互斥的事件,然后利用 概率的加法公式求出概率. 因此互斥事件的概 率加法公式具有“化整为零、化难为易”的 功效,但需要注意的是使用该公式时必须检 验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.

例2. 在数学考试中,小明的成绩在90分以上的
概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79分 的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,计算 小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和 小明考试及格的概率.

解: 分别记小明的成绩在90分以上,在80~89分, 在70~79分,在60~69分为事件B,C,D,E,这 四个事件是彼此互斥的.

根据概率的加法公式,小明的考试成绩在 80分以上的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. 小明考试及格的概率为 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.

3.对立事件: 不能同时发生且必有一个发生的两个 事件叫做互为对立事件。 事件A的对立事件记作A. 在上例中,令A=“小明考试及格”, A =“小明考试不及格” 显然A与 A是互斥事件,且A或 A 必有一个发生,即

A ? A=?

P(?) ? P( A ? A) ? P( A) ? P( A) ? 1
所以, 即

P( A) ? P( A) ? 1 P( A) ? 1 ? P( A)

A

A

这个公式为我们求P ( A)提供了一种方法.当 我们直接求P ( A)有困难时,常可以转化为求
P( A)

例3.判断下列给出的每对事件,(1)是否为互斥事件, (2)是否为对立事件,并说明理由。 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从 1~10各4张)中,任取1张: (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数 大于9”。

例4. 某战士射击一次,问: (1)若事件A=“中靶”的概率为0.95,则 A的概率为多少? (2)若事件B=“中靶环数大于5”的概率为 0.7 ,那么事件C=“中靶环数小于6”的概率 为多少? (3)事件D=“中靶环数大于0且小于6”的 概率是多少?

解:因为A与A互为对立事件,

(1)P(A)=1-P(A)=0.05;
(2)事件B与事件C也是互为对立事件, 所以P(C)=1-P(B)=0.3; (3)事件D的概率应等于中靶环数小于6 的概率减去未中靶的概率,即 P(D)=P(C)-P(A)=0.3-0.05=0.25

例5.盒内装有各色球12只,其中5红、4黑、 2白、1绿,从中取1球,设事件A为“取出 1只红球”,事件B为“取出1只黑球”, 事件C为“取出1只白球”,事件D为“取 5 1 1 出1只绿球”.已知P(A)= 3 ,P(B)= , 12 6 1 P(C)= 12 ,P(D)= , 求:(1)“取出1球为红或黑”的概率; (2)“取出1球为红或黑或白”的概率.

解:(1)“取出红球或黑球”的概率为
3 P(A∪B)=P(A)+P(B)= ; 4

(2)“取出红或黑或白球”的概率为
11 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= 12

又(2)A∪B∪C的对立事件为D,
11 所以P(A∪B∪C)=1-P(D)= 即为所求. 12

例6. 某公务员去开会,他乘火车、轮船、 汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、 0.4, (1)求他乘火车或乘飞机去的概率; (2)求他不乘轮船去的概率; (3)如果他乘某种交通工具去开会的概 率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具 去的?

解:记“他乘火车去”为事件A,,“他 乘轮船去”为事件B,“他乘汽车去”为 事件C,“他乘飞机去”为事件D,这四 个事件不可能同时发生,故它们彼此互 斥, (1)故P(A∪C)=0.4; (2)设他不乘轮船去的概率为P,则 P=1-P(B)=0.8; (3)由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3,故他有 可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽 车或乘飞机去。

检验性练习
1.每道选择题有4个选择项,其中只有1 个选择项是正确的。某次考试共有12道选 择题,某人说:“每题选择正确的概率是 1/4,我每题都选择第一个选择项,则一 定有3题选择结果正确”这句话(B ) (A)正确 (B)错误 (C)不一定 (D)无法解释

2.从1,2,…,9中任取两数,其中:① 恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有 一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个 奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数 和至少有一个偶数。 在上述事件中,是对立事件的是( C ) (A)① (B)②④ (C)③ (D)①③

1 3.甲、乙2人下棋,下成和棋的概率是 , 2 1 乙获胜的概率是 ,则甲不胜的概率是 3

(B )
1 A. 2 1 C. 6 5 B. 6 D. 2 3

4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任 取两个球,那么互斥而不对立的两个事件 是( C ) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红 球”

C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

5.抽查10件产品,设事件A:至少有两件
次品,则A的对立事件为( B ) A. 至多两件次品 B. 至多一件次品 C. 至多两件正品

D. 至少两件正品

6. 从一批羽毛球产品中任取一个,其质量
小于4.8 g的概率为0.3,质量小于4.85 g的 概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85) (g)范 围内的概率是 ( C ) A.0.62 B.0.38

C.0.02

D.0.68

7.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙
两级均属次品,若生产中出现乙级品的概 率为0.03、丙级品的概率为0.01,则对成 品抽查一件抽得正品的概率为( D ) A.0.09 B.0.98

C.0.97

D.0.96

8.某射手射击一次击中10环、9环、8环的
概率分别是0.3,0.3,0.2,那么他射击一 次不够8环的概率是 0.2 。 9. 某人在打靶中,连续射击2次,事件

“至少有一次中靶”的互斥事件
是 . 两次都不中靶

10. 我国西部一个地区的年降水量在下列 区间内的概率如下表所示:
年降水量 /mm 概率 [100, 150) 0.21 [150, 200) 0.16 [200, 250) 0.13 [250, 300] 0.12

则年降水量在[200,300](mm)范围内

的概率是______________. 0.25

11.某射手在一次射击中射中10环、9环、8 环、7环、7环以下的概率分别为0.24、 0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一 次射击中: (1)射中10环或9环的概率, 0.52 (2)至少射中7环的概率; 0.87 (3)射中环数不足8环的概率. 0.29

A

课堂小结 1、运用互斥事件的概率加法公式时, 首先要判断它们是否互斥,再由随机 事件的概率公式分别求它们的概率, 然后计算。 2、在计算某些事件的概率较复杂时, 可转而先算其对立事件的概率。 3、对立事件性质:
P(A)=1-P( A )

课后作业:
P100 练习 A 练习 B 2 2


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