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福建省南平市建瓯二中2014-2015学年高一第二学期期末数学复习试卷(5)


2014-2015 学年福建省南平市建瓯二中高一(下)期末数学复习 试卷(5)
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 A=45°,a=6,b= 的大小为( ) A. 30° B. 60° C. 30°或 150° D. 60°或 120° 2.已知 c<d,a>b>0,下列不等式中必成立的一个是( A. a+c>b+d B. a﹣c>b﹣d C. ad<bc D. > )

,则 B

3.已知等差数列{an}中,a3+a9=8,则数列{an}的前 11 项和 S11 等于( A. 22 B. 33 C. 44 D. 55



4.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且

,那么

的值为(



A.

B.

C.

D.

[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 5.已知数列{an}的通项公式 则 n 等于( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a=ccosB,则△ABC 是( A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1>0, S5=S12, 则当 Sn 取得最大值时, n 的值为 ( A. 7 B. 8 C. 9 D. 8 或 9 ) .若数列{an}的前 n 项和 ,



8.某人从 2010 年起,每年 1 月 1 日到银行新存入 a 元(一年定期) ,若年利率为 r 保持不 变,且每年到期存款和利息自动转为新的一年定期,到 2013 年底将所有存款及利息全部取 回,则可取回的钱数(元)为( ) A. (1+r)
5

B.

C. a(1+r) D. a

6

9.已知关于 x 的不等式 ax +x+1<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是(

2



A.

B.

C.

D.

10.已知 a,b 为正实数,且 取值范围为( A. )

,若 a+b﹣c≥0 对于满足条件的 a,b 恒成立,则 c 的

B. (﹣∞,3] C. (﹣∞,6] D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 11.在数列{an}中,已知 a1=1,an+1=an+2n,则 a10= 12.数列{an}前 n 项和 Sn=n +n+1,则 an=
2

. .
2

13.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 B=60°,不等式 x ﹣4x+1< 0 的解集为{x|a<x<c},则 b= .

14.在约束条件

下,过点(1,1)目标函数 z 取得最大值 10,则目标函数 z=

(写出一个适合题意的目标函数即可) .

三、解答题 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且满足 A=45°, 学_科_网 Z_X_X_K] (Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)设 a=5,求△ABC 的面积. .[来源:

16.已知关于 x 的不等式: (1)当 a=1 时,解该不等式; (2)当 a>0 时,解该不等式.



17. 福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大, 对某月即将 出售的空调和冰箱进行了相关调查,得出下表: 资金 每台空调或冰箱所需资金 (百元) 月资金最多供应量 (百元) 空调 冰箱 进货成本 30 20 300

工人工资 5 10 110 每台利润 6 8 问:该商场如果根据调查得来的数据,应该怎样确定空调和冰箱的月供应量,才能使商场获 得的总利润最大?总利润的最大值为多少元?

18.已知点(x,y)是区域

, (n∈N )内的点,目标函数 z=x+y,z 的最大值记

*

作 zn.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且点(Sn,an)在直线 zn=x+y 上. (Ⅰ)证明:数列{an﹣2}为等比数列; (Ⅱ)求数列{Sn}的前 n 项和 Tn.

19.已知函数 f(x)=



(Ⅰ)求 f(x)+f(1﹣x) ,x∈R 的值; (Ⅱ)若数列{an}满足 an=f(0)+f( )+f( )+…+f( {an}的通项公式. )+f(1) (n∈N ) ,求数列
*

2014-2015 学年福建省南平市建瓯二中高一 (下) 期末数 学复习试卷(5)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 A=45°,a=6,b= 的大小为( ) A. 30° B. 60° C. 30°或 150° D. 60°或 120° 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理求得 sinB= ,再由大边对大角求得 B 的值. 解答: 解: 在△ABC 中, 由正弦定理可得 , 即

,则 B

, 解得 sinB= .

∵b<a,∴B<A=45°,∴B=30°, 故选 A. 点评: 本题主要考查正弦定理的应用,大边对大角,已知三角函数值求角的大小,属于中 档题. 2.已知 c<d,a>b>0,下列不等式中必成立的一个是( A. a+c>b+d B. a﹣c>b﹣d C. ad<bc D. > )

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得﹣c>﹣d,且 a>b,相加可得 a﹣c>b﹣d,从而得出结论. 解答: 解:∵c<d,a>b>0, ∴﹣c>﹣d,且 a>b, 相加可得 a﹣c>b﹣d, 故选:B 点评: 本题考查不等式与不等关系,不等式性质的应用,得到﹣c>﹣d,且 a>b,是解题 的关键. 3.已知等差数列{an}中,a3+a9=8,则数列{an}的前 11 项和 S11 等于( A. 22 B. 33 C. 44 D. 55 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. )

[来源:Z,xx,k.Com]

分析: 根据等差数列的性质可知 a1+a11=a3+a9,然后根据等差数列的求和公式解之即可求出 所求.

解答: 解:∵等差数列{an}, ∴a1+a11=a3+a9=8, 则 S11= =4×11=44

故选 C. 点评: 本题主要考查了等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,熟练掌握性质及公式 是解本题的关键,属于基础题.

4.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且

,那么

的值为(



A.

B.

C.

D.

[来源:Zxxk.Com] 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据数列{an}为等比数列,则 S4,S8﹣S4,S12﹣S8,S16﹣S12 也成等比数列,利用等差 数列的性质得到 S8=3S4,S16=15S4,代入即可得到答案. 解答: 解:根据等比数列的性质, 若数列{an}为等比数列,则 S4,S8﹣S4,S12﹣S8,S16﹣S12 也成等比数列, 又∵ ,∴数列 S4,S8﹣S4,S12﹣S8,S16﹣S12 是以 S4 为首项,以 2 为公比的等比数列

∴S8=3S4,S16=15S4, ∴ =

故选 D. 点评: 本题考查的知识点是等比数列的性质,根据数列{an}为等比数列,则 S4,S8﹣S4,S12 ﹣S8,S16﹣S12 也成等比数列是解答本题的关键. 5.已知数列{an}的通项公式 则 n 等于( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据数列的通项特点可知可利用裂项求和进行求和,然后根据 方程,解之即可. 解答: 解:∵ 建立关于 n 的 .若数列{an}的前 n 项和 ,

∴an= (



) ﹣ )]= (1﹣ )

∴数列{an}的前 n 项和 Sn= [(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ∵ , )= 解得 n=7

∴Sn= (1﹣

故选 B. 点评: 本题主要考查了数列的求和,解题的关键根据数列的通项选择相应的求和方法,同 时考查了运算求解的能力,属于基础题. 6.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a=ccosB,则△ABC 是( A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 利用正弦定理将 a=ccosB 转化为 sinA=sinCcosB 再判断即可. 解答: 解:∵在△ABC 中,a=ccosB, ∴由正弦定理得:sinA=sinCcosB,又 sinA=sin(B+C) , ∴sin(B+C)=sinCcosB, 即 sinBcosC+sinCcosB=sinCcosB, ∴sinBcosC=0, ∵在△ABC 中,sinB≠0, ∴cosC=0, ∴C= . )

∴△ABC 是直角三角形. 故选 C. 点评: 本题考查三角形的形状判断,考查正弦定理的应用,考查三角函数间的关系,属于 中档题. 7. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1>0, S5=S12, 则当 Sn 取得最大值时, n 的值为 ( A. 7 B. 8 C. 9 D. 8 或 9 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据 a1>0,S5=S12 可得 d<0,而 Sn=na1+ d= n +(a1﹣ )n,得到 Sn 是
2



一个关于 n 的开口向下抛物线,从而可以求出当 Sn 取得最大值时 n 的值. 解答: 解:由 S5=S12,得: 5a1+ d=12a1+ d,

解得:a1=﹣8d,又 a1>0,得到 d<0, 所以 Sn=na1+ d= n +(a1﹣ )n,
2

由 d<0,得到 Sn 是一个关于 n 的开口向下抛物线,且 S5=S12, 由二次函数的对称性可知,当 n= ,而 n 是正整数,所以 n=8 或 9 时,Sn 取得最大值.

故选 D. 点评: 本题主要考查了等差数列的性质,以及二次函数的图象与性质,同时考查了计算能 力,属于基础题. 8.某人从 2010 年起,每年 1 月 1 日到银行新存入 a 元(一年定期) ,若年利率为 r 保持不 变,且每年到期存款和利息自动转为新的一年定期,到 2013 年底将所有存款及利息全部取 回,则可取回的钱数(元)为( ) A. (1+r)
5

B.

C. a(1+r) D. a

6

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得存入 a 元,一年后存款及利息是 a(1+r) ,二年后存款及利息是 a(1+r)
2

,三年后存款及利息是 a(1+r) ,…由等比数列的求和公式可得. 解答: 解:存入 a 元,一年后存款及利息是 a(1+r) , 二年后存款及利息是 a(1+r) , 3 三年后存款及利息是 a(1+r) , 则到 2013 年年底将所有存款及利息总数是: a(1+r)+a(1+r) +a(1+r) +a(1+r) = =
2 3 4 2

3

故选 A[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 点评: 本题考查等比数列的求和公式,把实际问题抽象为数列问题是解决问题的关键,属 中档题. 9.已知关于 x 的不等式 ax +x+1<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是( A. B. C. D.
2



考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 针对 a 进行分类讨论,分别由不等式和方程的关系可得 a 的范围,最后取并集即可. 解答: 解:当 a=0 时,不等式 ax +x+1<0 化为 x+1<0,可解得 x<﹣1,不是空集,满足 题意; 当 a>0 时,对应的二次函数 y=ax +x+1,开口向上,需一元二次方程 ax +x+1=0 有两个不同 的根,[来源:学科网 ZXXK]
2 2 2

即△=1﹣4a>0,解得 a< ,故 0<a< ; 当 a<0 时,对应的二次函数 y=ax +x+1,开口向下,符合题意, 综上可得实数 a 的取值范围是:a< 故选 D 点评: 本题考查一元二次不等式的解法.注意问题的等价转化和分类讨论的思想,属基础 题.
2

10.已知 a,b 为正实数,且 取值范围为( A. )

,若 a+b﹣c≥0 对于满足条件的 a,b 恒成立,则 c 的

B. (﹣∞,3] C. (﹣∞,6] D.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: a+b=(a+b)
min



)= (3+ +

) ,利用基本不等式可求出 a+b 的最小值(a+b)

,要使 a+b﹣c≥0 对于满足条件的 a,b 恒成立,只要值(a+b)min﹣c≥0 即可. ①,

解答: 解:a,b 都是正实数,且 a,b 满足 则 a+b=(a+b) ≥ (3+2 当且仅当 ( )= + 即 b= )= (3+ + , a②时,等号成立. ,b= )

联立①②解得 a=

,故 a+b 的最小值为 + ﹣c≥0, 即 c≤ +

, ].

要使 a+b﹣c≥0 恒成立, 只要 +

, 故 c 的取值范围为 (﹣∞, +

故选 A. 点评: 本题主要考查基本不等式的应用,注意基本不等式的使用条件:一正、二定、三相 等,以及函数的恒成立问题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 11.在数列{an}中,已知 a1=1,an+1=an+2n,则 a10= 91 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n,取 n=1,n=2,n=3,…,n=10,把各项式子相加, 进行求解,从而求出 a10,即可求出所求. 解答: 解:∵数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n 即 an+1﹣an=2n, .

∴a2﹣a1=2, a3﹣a2=4, a4﹣a3=6, … a10﹣a9=20, ∴将上述式子相加得 a10﹣1=2+4+6+…+20= =90,

∴a10=91 故答案为:91 点评: 本题主要考查了等差数列前 n 项和公式的应用,解题的关键掌握等差数列前 n 项和 公式,属于基础题.

12.数列{an}前 n 项和 Sn=n +n+1,则 an=

2



考点: 数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用当 n=1 时,a1=S1.当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 即可得出. 解答: 解:当 n=1 时,a1=S1=1+1+1=3. 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n +n+1﹣[(n﹣1) +(n﹣1)+1]=2n. ∴an= .

故答案为:



点评: 熟练掌握“利用当 n=1 时,a1=S1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 求 an”是解题的关键. 13.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 B=60°,不等式 x ﹣4x+1< 0 的解集为{x|a<x<c},则 b= . 考点: 一元二次不等式的解法;余弦定理. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由不等式 x ﹣4x+1<0 的解集为{x|a<x<c},说明 a,c 为方程 x ﹣4x+1=0 的两个 根,然后借助于根与系数关系列式求出 a,c,在三角形 ABC 中运用余弦定理求 b 的值. 解答: 解:因为不等式 x ﹣4x+1<0 的解集为{x|a<x<c}, 所以 a,c 为方程 x ﹣4x+1=0 的两个根,所以 在△ABC 中,B=60°,所以 b =a +c ﹣2ac? cos60°= 所以 故答案为 . .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,则 a +c =14, ,

点评: 本题考查了一元二次不等式的解法,考查了方程的根与系数的关系,训练了余弦定 理在解三角形中的应用,此题是基础题.

14. 在约束条件

下, 过点 (1, 1) 目标函数 z 取得最大值 10, 则目标函数 z=

x+9y

(写出一个适合题意的目标函数即可) . 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 画出满足约束条件

的可行域,设出目标函数的解析式,结合目标函数 z 在

点(1,1)取得最大值 10,结合直线斜截式方程的几何意义,可构造出满足条件 a,b 的关 系式,取一组满足条件的 a,b 的值,即可得到答案.

解答:[来源:学科网] 解:满足约束条件

的可行域如下图所示:

设目标函数为 z=ax+by 则 y= x+

若目标函数 z 在点(1,1)取得最大值 10,



令 a=1,则 b=9 满足条件 故答案为:x+9y(主观题,满足条件即可) 点评: 本题考查的知识点是简单线性规划,其中根据目标函数 z 在点(1,1)取得最大值 10,结合直线斜截式方程的几何意义,构造出满足条件 a,b 的关系式,是解答的关键.

三、解答题 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且满足 A=45°, (Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)设 a=5,求△ABC 的面积. 考点: 两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系;正弦定理. 专题: 计算题;三角函数的求值;解三角形. 分析: (Ⅰ) ,可求 sinB,然后由 sinC=sin(A+B)展开可求 可求 b,代入三角形的面积公式 S= 即可求 .

(Ⅱ)法一:由正弦定理得,b= 解

法二:同法一利用正弦定理可求 c,代入 S= 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ ∴ (或: ,

即可求解



(Ⅱ)法一:由正弦定理得,





法二:由正弦定理得,







点评: 本题主要考查了同角平方关系及两角和与差的正切公式, 正弦定理及 三角形的面积 公式的应用

16.已知关于 x 的不等式: (1)当 a=1 时,解该不等式; (2)当 a>0 时,解该不等式.



考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: (1)把 a=1 代入不等式,把右边的 1 移项到左边,通分后,根据两数相除,异号得 负的取符号法则得到 x﹣2 与 x﹣1 异号, 转化为两个不等式组, 求出两不等式组解集的并集 即可得到原不等式的解集; (2)把原不等式的右边的 1 移项到左边,通分合并后,根据两数相除异号得负的取符号法 则及 a 大于 0,得到 ax﹣2 与 x﹣1 异号,先求出(ax﹣2) (x﹣1)=0 的两个解分别为 和 1, 根据求出的两解相等,求出 a 的值,得到此时原不等式无解;根据 大于 1,求出此时 a 的 范围,根据不等式取解集的方法可得 a 的范围;同理 小于 1 时,求出相应的 a 的范围,综 上,得到原不等式的解集. 解答: 解: (1)把 a=1 代入原不等式得: 1,即 ,

可化为:





解得:1<x<2, 则原不等式的解集为(1,2) ; (2)a>0 时, 令方程(ax﹣2) (x﹣1)=0,解得: 综上:①当 ②当 ③当 ,即 a=2 时,解集为? ; ; ; , ,

即 0<a<2 时,解集为: 即 a>2 时,解集为:

点评: 此题考查了其他不等式的解法,利用了转化及分类讨论的数学思想,是高考常考的 题型.本题转化的理论依据为:两数相乘(除) :同号得正,异号得负的取符号法则.[来源: 学科网 ZXXK] 17. 福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大, 对某月即将 出售的空调和冰箱进行了相关调查,得出下表: 资金 每台空调或冰箱所需资金 (百元) 月资金最多供应量 (百元) 空调 冰箱 进货成本 30 20 300 工人工资[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 5 10 110 每台利润 6 8

问:该商场如果根据调查得来的数据,应该怎样确定空调和冰箱的月供应量,才能使商场获 得的总利润最大?总利润的最大值为多少元? 考点: 简单线性规划. 分析: 根据每月的资金供应量,我们先列出满足条件的约束条件,进而画出可行域,平移 目标函数的变形直线,可得最优解. 解答: 解:设每月调进空调和冰箱分别为 x,y 台,总利润为 z(百元)则由题意得

目标函数是 z=6x+8y,即 y= 平移直线 y= 由

x+

x,当直线过 P 点时,z 取最大值 得

P 点坐标为 P(4,9) 将(4, )代入得 zmax=6×4+8×9=96(百元) 即空调和冰箱每月分别调进 4 台和 9 台是商场获得的总利润最大,总利润最大值为 9600 元

点评: 本题是简单线性规划题,其步骤是设,列,画,移,求,代,答.

18.已知点(x,y)是区域

, (n∈N )内的点,目标函数 z=x+y,z 的最大值记

*

作 zn.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且点(Sn,an)在直线 zn=x+y 上. (Ⅰ)证明:数列{an﹣2}为等比数列; (Ⅱ)求数列{Sn}的前 n 项和 Tn. 考点: 简单线性规划;等比关系的确定;数列的求和. 专题: 计算题;综合题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用.

分析: (I)根据线性规划原理,可得 z 的最大值 zn=2n,从而得到 Sn=2n﹣an.运用数列前 n 项和 Sn 与 an 的关系,算出 2an=an﹣1+2,由此代入数列{an﹣2}再化简整理,即可得到{an﹣ 2}是以﹣1 为首项,公比 q= 的等比数列; (II)由(I)结合等比数列通项公式,得出 an=2﹣( )
n﹣1

,从而得到 Sn=2n﹣2+( )

n﹣1



结合等差数列和等比数列的求和公式,即可算出{Sn}的前 n 项和 Tn 的表达式. 解答: 解: (Ⅰ)∵目标函数对应直线 l:z=x+y, 区域 , (n∈N )表示以 x 轴、y 轴和直线 x+2y=2n 为三边的三角形,
*

∴当 x=2n,y=0 时,z 的最大值 zn=2n ∵(Sn,an)在直线 zn=x+y 上 ∴zn=Sn+an,可得 Sn=2n﹣an, 当 n≥2 时,可得 an=Sn﹣Sn﹣1=(2n﹣an)﹣[2(n﹣1)﹣an﹣1] 化简整理,得 2an=an﹣1+2 因此,an﹣2= (an﹣1+2)﹣2= (an﹣1﹣2) 当 n=1 时,an﹣2=a1﹣2=﹣1 ∴数列{an﹣2}是以﹣1 为首项,公比 q= 的等比数列; (Ⅱ)由(I)得 an﹣2=﹣( ) ∴an=2﹣( )
n﹣1 n﹣1


n﹣1

,可得 Sn=2n﹣an=2n﹣2+( )



∴根据等差数列和等比数列的求和公式,得

即数列{Sn}的前 n 项和 Tn=

, (n∈N ) .

*

点评: 本题给出数列和线性规划相综合的问题,求数列的通项和前 n 项和,着重考查了等 差数列、等比数列的通项公式,数列的求和与简单线性规划等知识,属于中档题.

19.已知函数 f(x)=



(Ⅰ)求 f(x)+f(1﹣x) ,x∈R 的值;

(Ⅱ)若数列{an}满足 an=f(0)+f( )+f( )+…+f( {an}的通项公式.

)+f(1) (n∈N ) ,求数列

*

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据函数的解析式化简 f(x)+f(1﹣x)即可; (Ⅱ)根据 an 的特点和(Ⅰ)的结论,利用倒序求和法求出数列{an}的通项公式. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得,f(x)= ,

∴f(x)+f(1﹣x)=

+

=

+

=1;

(Ⅱ)∵an=f(0)+f( )+f( )+…+f( ∴an=f(1)+f( )+f(

)+f(1) ,①

)+…+f( )+f( )+f(0)②

由(Ⅰ)知 f(x)+f(1﹣x)=1 ∴①+②得,2an=n+1,则 an= .

点评: 本题考查利用倒序求和法求数列{an}的通项公式,考查化简、变形能力.


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