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湖南省十三校2014届高三数学第二次联考试题 理(含解析)新人教A版


湖南省 2014 届高三·十三校联考 第二次考试 理科数学试卷
得分: 【试卷综析】 本套试卷是湖南省 13 校第二次联考试题,试卷在题型、题量、分值、 难度、知识点分布及覆盖面上都和高考试题比较接近。从整体上看,试卷难度适当,具 有较好的区分度、效度和信度。试题注重考查了基础知识、基本技能和基本方法,突出 了对学生数学能力的考查。例如第 6 题,第 8 题,9 题都很好地考查了学生的数学能力。 在学生熟悉的背景下进行命题,进行创新,这是高考的要求,也是中学教学的要求。在 本套试卷中,有所体现,这是一大亮点。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.已知集合 A ? {x | A. (??,1)

1 ? 1} , B ? {x | ln x ? 0} ,则 A B ? ( x ?1
B. (0,1] C. [0,1) D. (0,1)

)

【知识点】借助分式不等式和对数不等式考查集合的运算。 【答案解析】D

A ? {x | x ? 1 或 x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 1} ,所以 A B ? (0,1)

【思路点拨】解分式不等式时,要时刻注意,移项通分。利用数轴求集合的交集。 2.已知 a ? R ,则“”是“复数 z ? (a2 ? a ? 2) ? (a ? 1)i(i 为虚数单位)为纯虚数”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【知识点】本题考查了复数知识和充分必要条件的判断。 【答案解析】C 复 数 z ? ( a2 ? a ?2 ) ? (a ? 1)i ( 为 i 虚数单位)为纯虚数的充要条件是 )

?a2 ? a ? 2 ? 0 ,所以 a ? 2 。 ? a ? 1 ? 0 ?

开始

【思路点拨】复数为纯虚数,必须保证实部等于 0,虚部不等于 0. 解决充分必要问题需要先 k=1 求出充要条件,然后再把充要条件的范围放大或缩小。 S=1 3.(2013·肇庆二模改编)若某程序框图如图所示,则该程序运行 后输出的值是( ) 否 S<100? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 是 【知识点】程序框图问题。 输出 k S=S+2S 11 【答案解析】A k ? 1, s ? 3; k ? 2, s ? 11; k ? 3, s ? 11 ? 2 结束 k=k+1 【思路点拨】根据程序框图的循环结构,依次求出即可。 4. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 S2 ? 10, S4 ? 36 , 则过点 P ( n, an ) 和 Q(n ? 2, an? 2 )(n ? N * ) 的直线的斜率是( A. 1 B. 2 ) C. 4 D.

1 4
-1-

【知识点】 考查等差数列的基本知识,基本量的计算。 【答案解析】C 由 S2 ? 10, S4 ? 36 求出公差 d ? 4 。 k ?

an ? 2 ? an ?d 。 n?2?n

【思路点拨】等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数形式,其图像是一些孤立的点,它的斜 率就是等差数列的公差。 5.若函数 y ? f ( x) 的图象如图,则函数 y ? f (1 ? x) 的图象大致为( )

y O O 1 x
、 、

y 1 x
、 、

y -2 -1 O x


y -1 O x


y O 1 2 x


A





【知识点】本题考查了函数图象的变换。 【答案解析】A 函数 y ? f ( x) 平移一个单位即可。

B

C

D

的图象与的图象关于 y 轴对称,再把 y ? f (? x) 的图象向右

【思路点拨】函数 y ? f (1 ? x) ? f [?( x ? 1)] ,先把 y ? f ( x) 的图象作关于 y 轴对称的图象, 然后再平移。 【典型总结】函数图象的平移,一定要注意把 x 的系数提出。 6.(2013?嘉兴一模)如图,给定由 10 个点(任意相邻两 点距离为 1)组成的正三角形点阵,在其中任意取三 个点,以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是( ) A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 【知识点】计数问题 【答案解析】C 按顺序查即可 【思路点拨】依次查可得 7.若某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该棱锥的体积等于( ) 3 3 A. 10cm B. 20cm 3 3 C. 30cm B. 40cm 【知识点】计数问题 【答案解析】C 按顺序查即可 【思路点拨】依次查可得
4 5 正视图 3 俯视图 侧视图 3

8.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , A1 , A2 为实轴顶点, F 是右焦点, B(0, b) 是虚轴端点, a 2 b2

若在线段 BF 上(不含端点)存在不同的两点 Pi (i ? 1, 2) ,使得 ?Pi A1 A2 构成以 A1 A2 为斜边的 直角三角形,则双曲线离心率 e 的取值范围是( A. ( 2, ??) B. ( )

5 ?1 5 ?1 5 ?1 , ??) ) ) C. (1, D. ( 2, 2 2 2 【知识点】考查双曲线的性质和基本量的计算(离心率的求法) 。
-2-



【答案解析】D

,由题意知,圆心 O 到直线 BF 的距离小于半径,即

bc b ? c2
2

? a ,解得

e?

5 ?1 。假设点 B 与点 P1 重合,求得 e ? 2 。故选 D。 2

【思路点拨】根据题意,可以确定点 Pi 在以 A1 A2 为直径的圆 x2 ? y 2 ? a 2 上,再利用特殊点 可求。 9.(2013?金山区一模改编)若实数 a,b,c 成等差数列,点 P(?1,0) 在,点 N (3,3) ,则 | MN | 的最 大值是( A. 5 ? 2 ) B. 5 ? 2 C. 5 ? 2 2 D. 5 ? 2 2

【知识点】等差数列的性质;直线关于点、直线对称的直线方程。 【答案解析】A 2b=a+c,所以 a-2b+c=0,可知直线恒过定点(1,-2) 。又 P(?1,0) 在动直线

ax ? by ? c ? 0 上 的 射 影 为 M , 所 以 ?PMQ ? 900 , 此 时 圆 心 ( 0 , -1 ) ,r?2。

| AN |? 5 ? 2 。
【思路点拨】此题考查了等差数列的性质,恒过定点的直线方程,圆周角定理,线段中点坐 标公式,以及两点间的距离公式,利用等差数列的性质得到 2b=a+c,即 a-2b+c=0 是解本题的 突破点. 10.已知点 G 是 ?ABC 的重心,且 AG ? BG, A.

1 1 ? ,则实数 ? 的值为( ? ? tan A tan B tan C
D. 2

)

1 3

B.

1 2

C. 3

【知识点】考查三角形的重心,三角基本关系式。 【答案解析】 B 以 G 为坐标原点, 以 GA、GB 分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系。不妨设 A(1, 0), B(0,1),依题意,G 为 ?ABC 的重心,则点 C(1,1). 所以可得 tanA=tanB=3,tanC=4/3. 可得 ? 的值为

1 。 2

【思路点拨】利用点 G 是 ?ABC 的重心, 且 AG 与 BG 垂直,用特值法,建立平面直角坐标系, 再应用重心坐标公式求出 tanA=tanB=3,tanC=4/3.

二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡中对 应题号后的横线上. (一)选做题(请考生在 11、12、13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 11.(2011?天津卷改编)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F , E D 是 AB 延长线上一点,且 DF ? CF ? 2, AF ? 2BF ,若 CE 与圆相切,
A F C B E

且 CE ?

7 ,则 BE = 2

.

-3-

【知识点】相交弦定理,切割线定理 【答案解析】

1 2

2 由 AF ? BF ? DF ? CF 得 BF ? 1 ,又 CE ? BE ? AE ,得 BE ?

1 . 2

【思路点拨】应用相交弦定理,切割线定理解题,属容易题。 12.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? t ? (t 为参数),在以原点 O 为极点, x 轴的 y ? 2 t ? ?

非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 1 ? 0 .则 l 与 C 的交 点直角坐标为 . 【知识点】考查抛物线的参数方程,参数方程与普通方程的互化,极坐标与直角坐标的互化, 直线与抛物线的位置关系。 【答案解析】 (1,2) 曲线 C 的普通方程为 y ? 2x2 ,直线 l 的直角坐标方程是 y ? x ? 1 ,二 者联立,求出交点坐标。 【思路点拨】把参数方程化为普通方程,极坐标方程化为直角坐标方程,联立求解。 13.设 x, y, z ? R, 2 x ? 2 y ? z ? 8 ? 0 ,则 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? ( z ? 3)2 的最小值为 【知识点】考查柯西不等式。 【答案解析】9 .

[( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? ( z ? 3)2 ](22 ? 22 ? 12 ) ? [2( x ?1) ? 2( y ? 2) ? ( z ? 3)]2 ? (2x ? 2 y ? z ?1)2 ? 81
【思路点拨】根据已知条件凑成柯西不等式的形式。 (二)必做题(14 ~16 题)
? 1 dx ? ? 2 sin xdx 的值为 1 0 x 【知识点】定积分运算

14.定积分 ?

e

.

【答案解析】0

e 2 原式= ln x |1 ?(? cos x) |0 ?0

?

【思路点拨】记住基本初等函数的导数公式

15.(2013?昌平区一模)在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? 4, BC ? 2, D 是 BC 的中点, (1) ( AB ? AC) ? AD ? . .

(2) E 是 AB 的中点, P 是 ?ABC (包括边界)内任意一点,则 AD ? EP 的取值范围是 【知识点】向量的数量积运算、线性规划

【答案解析】 (1)2 (2) [?9,9] (1)以 C 为坐标原点,CA、CB 分别为 x,y 轴建立直角坐 标系,则 A(4,0), B(0,2),D(0,1), ( AB ? AC) ? AD ? CB ? AD ? (0, 2) ? (?4,1) ? 2 ;

-4-

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? (2) 根据题意知,点 P 所在的平面区域为 ? x ? 0 , ?y ? 0 ?

AD ? EP ? (?4,1) ? ( x ? 2, y ?1) ? ?4x ? y ? 7 , 令 z ? ?4 x ? 7 , 画 出 平 面 区 域 , 可 知
zmin ? ?16, zmax ? 2 。所以 AD ? EP 的取值范围是 [?9,9] 。
【思路点拨】根据题意建立直角坐标系,运用向量的坐标运算能使过程简单、易操作。 16.(2013?石景山区一模改编 ) 给定有限单调递增数列 {xn }(n ? N * , 数列 { xn } 至少有两项 ) 且 xi≠0(1≤i≤n) ,定义集合 A ? {( xi , x j ) |1 ? i, j ? n, 且i, j ? N *} .若对任意点 A1 ? ? , 存在点 ? 2 ? ? 使得 OA1 ? OA2 (O 为坐标原点),则称数列 { xn } 具有性质 P . (1)给出下列四个命题,其中正确的是 .(填上所有正确命题的序号) ①数列 {xn }: -2,2 具有性质 P ; ②数列 { yn } :-2,-1,1,3 具有性质 P ; ③若数列 { xn } 具有性质 P ,则 { xn } 中一定存在两项 xi , x j ,使得 xi ? x j ? 0 ; ④若数列 { xn } 具有性质 P , x1 ? ?1, x2 ? 0 且 xn ? 1(n ? 3) ,则 x2 ? 1 . (2)若数列 { xn } 只有 2014 项且具有性质 P, x1 ? ?1, x3 ? 2 ,则 { xn } 的所有项和 S2014 ? . 【知识点】等差数列与等比数列的综合;数列的函数特性.本题考查新定义,考查反证法的 运用,考查学生分析解决问题的能力,难度较大. 【答案解析】 (1)①③④ (2) 2
2013

?2

(1)对于数列{xn},若 A1(-2,2),则 A2(2,2);若 A1(-2,-2)则 A2(2,-2);均满 足 OA1⊥OA2,所以具有性质 P. 对于数列{yn},当 A1(-2,3)若存在 A2(x,y)满足 OA1⊥OA2,即-2x+3y=0,即

y 2 ? ,数 x 3

列{yn}中不存在这样的数 x,y,因此不具有性质 P.取 A1(xi,xi) ,又数列{xn}具有性质 P, 所以存在点 A2(xi,xj)使得 OA1⊥OA2,即 xixi+xixj=0,又 xi≠0,所以 xi+xj=0。数列{xn}中一 定存在两项 xi,xj 使得 xi+xj=0;又数列{xn}是单调递增数列且 x2>0,所以 1 为数列{xn}中的 一项. * 假设 x2≠1,则存在 k(2<k<n,k∈N )有 xk=1,所以 0<x2<1. 此时取 A( xn) , 数列{xn}具有性质 P, 所以存在点 A( xs) 使得 OA1⊥OA2, 所以 x2xi+xnxs=0; 1 x2, 2 xi, 只有 x1,所以当 x1=-1 时 x2=xnxs>xs≥x2,矛盾; 当 xs=-1 时 x2=

xn ≥1,矛盾.所以 x2=1 xi

(2)x2=1.若数列{xn}只有 2014 项且具有性质 P,可得 x4=4,x5=8, 猜想数列{xn}从第二项起是公比为 2 的等比数列. 所以 S2013=-1+1+2+4+?+2
2012

=

2 ? 22013 2013 =2 -2 1? 2

【思路点拨】利用数列{an}具有性质 P 的概念,对数列{xn}:-2,2 与数列{yn}:-2,-1,1, 3 分析判断即可;取 A1(xi,xi) ,数列{xn}具有性质 P,故存在点 A2(xi,xj)使得 OA1⊥OA2, 利用向量的坐标运算整理即可证得 xi+xj=0;数列{xn}中一定存在两项 xi,xj 使得 xi+xj=0;数
-5-

列{xn}是单调递增数列且 x2>0,1 为数列{xn}中的一项,通过反证法可证得 x2=1;若数列{xn} 只有 2014 项且具有性质 P, 可得 x4=4, x5=8, 猜想数列{xn}从第二项起是公比为 2 的等比数列, 利用等比数列的求和公式计算即可. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的三内角分别为 A, B, C, B ?

?
3

,向量 m ? (1 ? cos 2 A, ?2sin C), n ? (tan A,

cos C ) ,记函数 f ( A) ? m ? n . (Ⅰ)若 f ( A) ? 0, b ? 2 ,求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)若关于 A 的方程 f ( A) ? k 有两个不同的实数解,求实数 k 的取值范围.
【知识点】向量的数量积运算、辅助角公式的应用,利用图形判断方程解的情况。 【答案解析】(Ⅰ)由 f ( A) ? m ? n ? (1 ? cos 2 A) tan A ? 2sin C cos C , 即 f ( A) ? 2cos2 A ? tan A ? 2sin C ? cos C ? sin 2 A ? sin 2C , 又因为 A ? C ?

2? 2? ,所以 C ? ? A 代入上式得, 3 3 4? 1 3 ? f ( A) ? sin 2 A ? sin 2C ? sin 2 A ? sin( ? 2 A) ? sin 2 A ? cos 2 A ? sin(2 A ? ) 3 2 2 3

由 f ( A) ? 0 ,得 sin(2 A ? 又0? A?

?
3

) ? 0,

2? ? ? ? 5? ? 4? ,且 2 A ? ? ?????????5 分 , 且A ? ,所以 ? 2 A ? ? 3 2 3 3 3 3 3

3 3 3 2 b ? 3 ??????????????????????????8 分 所以 S ?ABC ? 4 ? ? ? 4? 4? 5? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( A) ? sin(2 A ? ) ,令 x ? 2 A ? , x ? ( , ) ( , ) , 3 3 3 3 3 3 ? 4? 4? 5? 则方程 f ( A) ? k 有两个不同的实数解等价于 k ? sin x 在 x ? ( , ) ( , ) 上有两上不 3 3 3 3 ? 4? 4? 5? 同实根,作出 y ? sin x, x ?( , ) ( , ) 草图如右, y 3 3 3 3 3 y? 5? 2 3 2? 3 3 ? ? k ? 1 或 ?1 ? k ? ? 可知当 时,直线 y ? k 与曲线 ? x O 2 2 3 3 y?? y ? sin x 有两个交点,符合题意,故实数 k 的取值范围为 2
3 3 ) ( ,1) .?????????????????????????12 分 2 2 【思路点拨】熟练应用辅助角公式,正确画出函数的图象,利用数形结合解决问题。 k ? ( ?1, ?
18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

也所以 2 A ?

?

? ? ,即 A ?

?

,从而 ?ABC 为正三角形,

3 ,乙 5

能答对其中 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试,答对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,至少得 15 分才能入选.
-6-

(Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率. 【知识点】概率问题,分布列、数学期望、独立重复试验。 【答案解析】(Ⅰ)设乙答题所得分数为 X ,则 X 的可能取值为 ?15,0,15,30 .???????1 分 且 P( X ? ?15) ?
1 1 C53 1 C5 C5 5 ? , P ( X ? 0) ? ? , 3 3 C10 12 C10 12

X
P

-1 5

0

15

30

C 2C1 5 C3 1 P( X ? 15) ? 5 3 5 ? , P( X ? 30) ? 5 ? ???5 分 3 C10 12 C10 12
乙的得分的分布列如右表,且 E( X ) ?

1 12

5 12

5 12

1 12

?15 ?1 ? 0 ? 5 ? 15 ? 5 ? 30 ?1 15 ? ?????8 分 12 2 5 1 1 ? ? , 12 12 2

(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选, 记甲、乙入选的 事件分别为 A, B ,则由(Ⅰ)知, P( B) ?

3 2 3 3 81 , ?( ) ? 5 5 5 125 44 1 103 于是甲、乙至少有一人入选的概率 P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? ??????12 分 ? ? 125 2 125 【思路点拨】 (1)求出 X 的可能取值,并求出其概率,即可得到分布列。
又甲回答 3 题可以视为独立重复试验,故 P( A) ? C32 ( )2 (2)是独立重复试验问题。利用对立事件求解。

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,

P M A D C

AD // BC , AD ? CD ,且 AD ? CD ? 2 2, BC ? 4 2, PA ? 2 ,
点 M 在 PD 上. B (Ⅰ)求证: AB ? PC ; (Ⅱ)若二面角 M ? AC ? D 的大小为 45 ,求 BM 与平面 PAC 所成角的正弦值. 【知识点】空间线面的位置关系、二面角的大小。 【答案解析】(Ⅰ)如图,设 E 为 BC 的中点,连结 AE , 则 AD ? EC , AD // EC ,所以四边形 AECD 为平行四边形, 故 AE ? BC ,又 AE ? BE ? EC ? 2 2 , 所以 ?ABC ? ?ACB ? 45 ,故 AB ? AC , 又因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 AB ? PA ,
B x E

z P M A C D y

-7-

且 PA AC ? A ,所以 AB ? 平面 PAC ,故有 AB ? PC ?????????????5 分 (Ⅱ)如图,以 A 为原点,分别以射线 AE , AD, AP 为 x, y, z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 A(0,0,0), E(2 2,0,0), B(2 2, ?2 2,0), C(2 2,2 2,0), D(0, 2 2,0), P(0,0,2) , 设 PM ? ? PD ? (0,2 2?, ?2?)(0 ? ? ? 1) ,易得 M (0,2 2? ,2 ? 2? ) ,

? ?n1 ? AC ? 2 2 x ? 2 2 y ? 0 设平面 AMC 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 ? , n ? AM ? 2 2 ? y ? (2 ? 2 ? ) z ? 0 ? ? 1
令 y ? 2, 得 x ? ? 2, z ?

2t 2t ,即 n1 ? (? 2, 2, ). t ?1 t ?1

又平面 ACD 的一个法向量为 n 2 ? (0,0,1) ,

2? | | n1 ? n 2 | 1 ? ?1 ? ? cos 45 ,解得 ? ? , 由题知 | cos ? n1 , n 2 ?|? | n1 | ? | n 2 | 2 2? 2 4?( ) ? ?1 |
即 M (0, 2,1), BM ? (?2 2,3 2,1) ,而 AB ? (2 2, ?2 2,0) 是平面 PAC 的一个法向量, 设平面 BM 与平面 PAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? BM , AB ?|?

| ?8 ? 12 | 4?3 3

?

5 3 . 9

5 3 .?????????????12 分 9 【思路点拨】 (1)熟练应用线面平行、垂直的判定定理和性质定理是解此类问题的关键。 (2) 建立平面直角坐标系,用空间向量求出各面的法向量求解。
故直线 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 20. (本小题满分 13 分) 如图,矩形 ABCD 是一个观光区的平面示意图,建立平面直角 坐标系,使顶点 A 在坐标原点 O, B、D 分别为 x 轴、 y 轴, AD ? 3 (百米), AB ? a (百米)( 3 ? a ? 4 )观光区中间叶形阴影部分 MN 是 一个人工湖,它的左下方边缘曲线是函数 y ? (1 ? x ? 2) 的图象的 一段.为了便于游客观光,拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直 路(宽度不计),要求其与人工湖左下方边缘曲线段 MPN 相切(切点 记为 P ),并把该观光区分为两部分,且直线 l 左下部分建设为花圃. 记点 P 到 AD 的距离为 t , f (t ) 表示花圃的面积. (Ⅰ)求花圃面积 f (t ) 的表达式; (Ⅱ)求 f (t ) 的最小值. 【知识点】分段函数、利用导数研究函数的切线方程、判断单调性、求最值。 【答案解析】(Ⅰ)由题意可设 P(t , ),1 ? t ? 2 ,又因 y? ? ?

D

y C M P N B x

2 x

O (A)

2 t

2 ,所以过点 P 的切线方程为 x2

-8-

y?

2 2 2 4 ? ? 2 ( x ? t ) ,即 y ? ? 2 x ? (i ? t ? 2) , t t t t 4 t

D E

y C M P N F B x

切线 l 与 x 轴交于点 F (2t ,0) ,与 y 轴交于点 E (0, ) ,

? 2t ? a, ?4 4 a ? ①当 ? ? 3, ,即 ? t ? 时,切线左下方区域为直角三角形. 3 2 ?t 1 ? t ? ? ? ?
所以 f (t ) ? 2t ?

O (A)

1 2

4 ?4; t
D E y C M P N O (A) B F x

? 2t ? a , ?4 a ? ②当 ? ? 3, ,即 ? t ? ? 时,切线左下方区域为直角梯形. 2 ?t 1 ? t ? ? ? ?
所以 f (t ) ?

1 4 4t ? 2a 4at ? a 2 ( ? ) a ? ; 2 t t2 t2

? 2t ? a, ?4 4 ? ③当 ? ? 3, ,即 1 ? t ? 时,切线左下方区域为直角梯形. 3 ?t ? ?1 ? t ? ?
所以 f (t ) ?

E D

y M N F

C B x

O (A)

1 4t ? 3t 2 9t 2 (2t ? ) ? 3 ? 6t ? ; 2 2 4 9t 2 4 ? 6 t ? ,1 ? t ? , ? 4 3 ? 4 a ? ? t ? , ??????????????????????7 分 综上有, f (t ) ? ?4, 3 2 ? 2 ? 4at ? a a , ?t ?? ? 2 2 ? t 9t 2 9 4 4 15 ? ? (t ? ) 2 ? 4 ,当 t ? 1 时, f (t )min ? ? 4 ; 时, f (t ) ? 6t ? 4 4 3 3 4 4at ? t 2 2at (a ? 2t ) a , f ?(t ) ? ?0, ②当 ? t ? 2 时, f (t ) ? t2 t4 2 a2 a ?4, 所以 f (t ) 在 ( , 2] 上递减,所以 f (t ) min ? f (2) ? 2 a ? 4 2 a 2 15 15 a2 a 2 ? 8a ? 15 ( a ? 3)( a ? 5) ? ? 0, 下面比较 2 a ? 与 的大小,由于 ? (2a ? ) ? 4 4 4 4 4 4 15 所以可知 f (t )min ? 即求.????????????????????????13 分 4
(Ⅱ)①当 1 ? t ? 【思路点拨】解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情境”译为数学 语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系抽象成数学问题,在数学领域寻找适当的 方法解决,再返回到实际问题中加以说明.

-9-

21.(本小题满分 13 分) 已知 F1 , F2 分另为椭圆 C1 :

y

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

M

F1 B O F2 A P

上、下焦点, F1 是抛物线 C2 : x 2 ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1

5 与 C2 在第二象限的交点, 且 | MF1 |? . 3
(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)与圆 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 相切的直线 l : y ? k ( x ? t), kt ? 0 交椭 C1 于 A, B , 若椭圆 C1 上一点 P 满足 OA ? OB ? ? OP ,求实数 ? 的取值范围. 【知识点】考查椭圆、抛物线的基本量运算,直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系其中还 糅合着函数值域的求法。 【答案解析】(Ⅰ)由题知 F1 (0,1) ,所以 a 2 ? b2 ? 1 , 又由抛物线定义可知 MF1 ? yM ? 1 ? 于是易知 M ( ?

5 2 ,得 y M ? , 3 3

2 6 2 2 6 2 2 7 , ) ,从而 MF2 ? ( ) ? ( ? 1)2 ? , 3 3 3 3 3

由椭圆定义知 2a ? MF1 ? MF2 ? 4 ,得 a ? 2 ,故 b 2 ? 3 , 从而椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ???????????????????????6 分 3 4

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) ,则由 OA ? OB ? ?OP 知,

x1 ? x2 ? ? x0 , y1 ? y2 ? ? y0 ,且

x02 y02 ? ? 1 ,??① 3 4

又直线 l : y ? k ( x ? t ), kt ? 0 与圆 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1相切,所以有

| kt ? 1| 1? k2

? 1,

由 k ? 0 ,可得 k ?

2t (t ? ?1, t ? 0) ??② 1? t2

? y ? k ( x ? t ), 又联立 ? 2 消去 y 得 (4 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2tx ? 3k 2t 2 ? 12 ? 0 2 ?4 x ? 3 y ? 12,
且 ? ? 0 恒成立,且 x1 ? x2 ? ?

6k 2 t 3k 2t 2 ? 12 , x1 x2 ? , 2 4 ? 3k 4 ? 3k 2

所以 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2kt ?

?6k 2t 8kt 8kt P ( , ) ????8 分 , 所以得 2 2 ? (4 ? 3k ) ? (4 ? 3k 2 ) 4 ? 3k

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代入①式得

4k 2 t 2 12k 4t 2 16k 2t 2 2 ? ? , 所以 ? ? 1 4 ? 3k 2 (4 ? 3k 2 ) 2 ? 2 ? 2 (4 ? 3k 2 ) 2

又将②式代入得, ? 2 ?

4 1 1 ( 2 )2 ? 2 ? 1 t t

, t ? 0, t ? ?? ,??????????????10 分

1 1 1 4 4 ? 1 ? 1, 且( 2 )2 ? 2 ? 1 ? 3 ,所以 ? 2 ? (0, ) ( ,4) , 2 t t t 3 3 2 3 } ??????????13 分 所以 ? 的取值范围为 {? | ?2 ? ? ? 2, 且? ? 0, 且? ? ? 3
易知 ( 2 )2 ? 【思路点拨】 (1)运用抛物线和椭圆的定义解题; (2)利用直线和圆相切得到 k 和 t 的关系, 在联立直线和椭圆方程,利用根与系数的关系得到 P 坐标,带入椭圆方程,再分离变量求函 数的值域。 22.(本小题满分 13 分) 设 x ? a 和 x ? b 是函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)求 f (a) ? f (b) 的取值范围; (Ⅱ)若 m ? e ?

1 t

1 2 x ? (m ? 2) x 的两个极值点,其中 a ? b, m ? R . 2

? 2(e 为自然对数的底数),求 f (b) ? f (a) 的最大值. e 【知识点】利用导数研究函数的极值问题,考查运算求解能力、等价转化能力、函数与方程 的思想,考查分析问题和解决问题的能力。
【答案解析】(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f '( x) ?

1

1 x 2 ? (m ? 2) x ? 1 ? x ? (m ? 2) ? . x x

依题意,方程 x2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 有两个不等的正根 a, b(a ? b) ,

?(m ? 2) 2 ? 4 ? 0, 故有 ? ,解得 m ? 0 ,且 a ? b ? m ? 2, ab ? 1 , ?m ? 2 ? 0
所以 f (a) ? f (b) ? ln ab ? (a 2 ? b2 ) ? (m ? 2)(a ? b) ,

1 2

1 1 ? [(a ? b)2 ? 2ab] ? (m ? 2)2 ? ? (m ? 2)2 ? 1 , 2 2
又 m ? 0, ? (m ? 2)2 ? 1 ? ?3 ,所以 f (a) ? f (b) 的取值范围是 (??, ?3) .?????6 分 (Ⅱ)由 f (b) ? f (a) ? ln

1 2

b 1 2 b 1 ? (b ? a2 ) ? (m ? 2)(b ? a) , ? ln ? (b2 ? a2 ) ? (b ? a)(b ? a) a 2 a 2 2 2 b 1 b 1 b ?a b 1 b a ? ln ? (b 2 ? a 2 ) ? ln ? ? ln ? ( ? ) a 2 a 2 ab a 2 a b b 1 1 令 t ? ? 1 ,所以 f (b) ? f (a) ? g (t ) ? ln t ? (t ? ) , a 2 t 1 1 1 ?2?m?2? e ? ? (m ? 2) 2 ? e ? ? 2 , 又因为 m ? e ? e e e

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1 ( a ? b) 2 1 1 1 ?2? ? e ? ? 2 ? t ? ? 2 ? e ? ? 2 ,可化为 e ab e t e (t ? e)(te ? 1) 1 1 ? 0 ,因为 te ? e ? 1 ,所以得 t ? e ,求 g (t ) ? ln t ? (t ? ) 在 t ? e 上最大值, te 2 t 2 1 1 1 (t ? 1) ? 0 ,所以 g (t ) 在 [e, ??? 上递减, 由 g ?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? t 2 t 2t 2 e 1 e 1 所以 g (t ) ? g (e) ? 1 ? ? ,故 f (b) ? f (a) 的最大值为 1 ? ? .???????13 分 2 2e 2 2e 【思路点拨】 (1)函数的极值点问题通常都转化为导数值为 0 来解决。 (2)构造函数。把所 求问题进行适当的转化,转化为大家熟悉的知识上来。
所以 (a ? b) 2 ? e ?

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