3986.net
小网站 大容量 大智慧
赞助商链接
当前位置:首页 >> 其它考试 >>

高中数学知识要点重温之(20)多面体与球doc


2011 届高三数学精品复习之多面体与球
1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心 ? 三侧棱相等或三侧棱与底 面所成的角相 等;内心 ? 三侧面与底面所成的二面角相等;垂心 ? 相对的棱垂直。正三棱锥中相对的 棱垂直;三棱锥三侧棱(侧面)两两垂直 ? 顶点在底面上的射影为三角形的垂心;三棱锥 一个顶点在对面上的射影为三角形的垂心 ? 三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的 垂心。 [举例 1] 已知三棱锥 S-ABC 的底面是正三角形,点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心,SA=a,则此三棱锥体积最大值是 解析: ∵点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心, ∴点 S 在底面 ABC 上的射影 O 为△ ABC 的垂心;又△ABC 为正三角形,∴O 为△ABC 的中心, 即三棱锥 S-ABC 为正三棱锥。记 SO=h(h< a) ,则 AO= a 2 ? h 2 ,
2 2 于是有:AB= 3( a ? h ) ,记三棱锥 S-ABC 体积为 f(h),则 f(h)=

3 2 (a ? h 2 )h , 4

f /(h)=

a3 3 2 3 (a ? 3h 2 ) ,∴fmax(h)= f ( a) = . 6 4 3

[来源:学科网 ZXXK]

[举例 2] 下面是关于 三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱; 其中,真命题的编号是 (写出所有真命题的编号). 解析:①侧面与底面所成的二面角都相等,则顶点在底面上的射影 O 是底面的内心,又底 面是等边三角形, 故 O 是底面三角形的中心, 所以三棱锥是正三棱锥; ②在三棱锥 S-ABC 中,令 AB=BC=CA=SA=SB=2,SC=3,该三棱锥不是正三棱锥;③底面是等边三角形且侧 面的面积都相等,则顶点到底面三边的距离相等,即顶点在底面上的射影 O 到底面三边的 距离相等,但这不意味着 O 是底面三角形的内心,还有可能是旁心(一个内角的平分线与 另一个角的外角平分线的交点) , 故三棱锥未必是正三棱锥; ④侧棱与底面所成的角都相等, 则顶点在底面上的射影 O 是底面的外心,侧面与底面所成的二面角都相等,则 O 是底面的 内心,底面三角形的内、外心重合,则必为正三角形且 O 为其中心,故该三棱锥是正三棱 锥。 [巩固 1]已知三边长分别为 4、5、6 的△ABC 的外接圆恰好是球 O 的一个大圆,P 为球面上 一点,若点 P 到△ABC 的三个顶点的距离相等,则三棱锥 P-ABC 的体积为: ( ) A. 8 B.10 C.20 D.30 [巩固 2]对于四面体 ABCD,给出下列四个命题 ①若 AB=AC,BD=CD,则 BC ? AD ②若 AB=CD,AC=BD,则 BC ? AD ? ? ? ③若 AB AC,BD CD,则 BC AD ④若 AB ? CD,BD ? AC,则 BC ? AD 其中真命题的序号是 。 (写出所有真命题的序号)
[来源:学科网] [来源:学|科|网]

2.关注长方体对角线的性质:①长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角的余弦的平 方和为 1;②长方体的对角线与过一个顶点的三个面所成角的余弦的平 方和为 2;
[来源:Zxxk.Com]

[举例]已知锐角 ? 、 ? 、 ? 满足:cos

2

? + cos2 ? + cos2 ? =1,则 tan ? tan ? tan ? 的最小

值为 。 2 2 2 解析: 本题若考虑三角变换,将不胜其烦; 由 cos ? + cos ? + cos ? =1 联想到锐角 ? 、? 、 ? 是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角, 记该长方体过一个顶点的三条棱长分别 为 a、 b、 c,则 tan ? tan ? tan ? =

b2 ? c2 a2 ? c2 a2 ? b2 2bc 2ac 2ab ≥ ? ? ? ? a b c a b c

= 2 2 ,当且仅当 a=b=c 时,等号成立。 0 [巩固]已知空间三平面 ? 、 ? 、 ? 两两垂直,直线 l 与平面 ? 、 ? 所成的角都是 30 ,则直 线 l 与平面 ? 所成的角是 。 3.求多面体的体积常用“割补法” ,关注组成多面体的个部分体积之间的比例关系;如同底 等高的“柱”是“锥”的 体积的 3 倍;求“锥”的体积关键是“高” , “等积转换”是常用 的办法。 [举例 1]以平行六面体相邻两个面上相互异面的两条对角线的端点为顶点的四面体的体积是 平行六面体的体积的: ( ) A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 5

D1 A1 D A B B1 C

C1

解析:如图,以 A1B 和 B1C 的端点为顶点的四面体是 三棱锥 A1-BB1C,将原平行六面体视为四棱柱 ADD1A1-BCC1B1,易见三棱锥的底面积是四棱柱 的底面积的一半,高相等,故三棱锥的体积是
[来源:Z§xx§k.Com]

四棱柱的体积的

1 ,选 A。 6

[举例 2] 如图 3-1 是一个直三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为

ABC .已知 A1B1 ? B1C1 ? 1 , ?A1B1C1 ? 90 , AA1 ? 4 , BB1 ? 2 , CC1 ? 3 .求此几何
体的体积. (07 高考江西理 20) 解析:过 B 作截面 BA2C2 ∥面 A1B1C1 ,分别 交 AA1 , CC1 于 A2 , C2 .如图 3-2, 原几何体可视为四棱锥 B-ACC2A2 与三棱柱 A1B1C1-A2BC2 的组合体。 作 BH ? A2C2 于 H ,则 BH 是四棱锥 的高, BH ? B C1 A1 B1 图 3-1 A1 B1 图 3-2 A A C H A2 B C1 C C2

2 1 1 1 2 1 ? , VB ? ACC2 A2 ? S ACC2 A2 ? BH ? ? ? (1 ? 2) 2 ? 2 3 3 2 2 2

3 VA1B1C1 ? A2 BC2 ? S ?A1B1C1 ? BB1 =1;故所求几何体体积为 。 2
[巩固 1]在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 A1ABB1 是菱形,侧面 BCC1B1 是矩形,C1B1⊥AB, 求平面 C1AB1 把棱柱分成两部分的体积的比。

[巩固 2] 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是 边长为 1 的正方形,且△ADE、△BCF 均为正三角形, EF//AB,EF=2,则该多面体的体积为( ) A. C.

2 3
4 3

B. D.

3 3
3 2

4.解决多面体表面上两点间距离最小值的问题,常运用侧面展开法,转化为平面图形两点 间距离处理。 (多面体展开时要注意各种不同的展开方式) 。 [举例] 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AB=BC= 2 , BB1=2, ∠ABC=900, E、 F 分别为 AA1、 C1B1 的中点,求沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度。 A1
E

B1 C1 F

A1
E

C1

F

B1

C1
F


4-1 A1
E F

B1

A C A1
E

B

A
F

C B1 C1 A1
E

B

B1

C1

A

图 4-3

B


4-4 A B 图 4-2 C A C

解析:题中 E、F 分别在 AA1、C1B1 上,所以“展开”后的图形中必须有 AA1、C1B1;故“展 开”方式有以下四种:
[来源:Z。xx。k.Com]

11 ?2 2; 2 7 (ⅱ)沿 BB1 将面 ABB1A1 和面 BCC1B1 展开至同一平面,如图 4-2,求得:EF2= ? 2 2 ; 2 7 (ⅲ)沿 A1B1 将面 ABB1A1 和面 A1B1C1 展开至同一平面,如图 4-3,求得:EF2= ? 2 ; 2 9 (ⅳ)沿 A1C1 将面 ACC1A1 和面 A1C1B1 展开至同一平面,如图 4-4,求得:EF2= ; 2
(ⅰ) 沿 CC1 将面 ACC1A1 和面 BCC1B1 展开至同一平面, 如图 4-1, 求得: EF2=
[来源:Z*xx*k.Com] [来源:学科网]

可见 EF 的最小值为

3 2 。 2
0

[巩固]在正三棱锥 S-ABC 中,SA=1,∠ASB=30 ,过点 A 作三棱锥的截面 AMN,求截面 AMN 周长的最小值. 5.平面截球所得到的截面是圆,圆心与球心的连线垂直于截面;截面圆的半径、圆心与球

心的连线段、球的半径所构成的直角三角形是解决球的截面问题的“核心”图形。 [举例]如图,已知 A,B,C 是表面积为 48 ? 的球面上的 三点,AB=2,BC=4,∠ABC=60 ,O 为球心,则二面角 O-AB-C 的大小为:
源:Zxxk.Com]

0





[来

A.

? 3

B.

? 4

C. arccos

3 3

D. arccos

33 11

解析:球的半径为 2 3 ;⊿ABC 为直角三角形,斜边 BC 是其外接圆的直径,记 BC 的中点为 O1,则 OO1⊥面 ABC,在 Rt⊿OO1B 中,OB= 2 3 , BO1=2,∴OO1= 2 2 ;取 AB 中点 D,连 OD、O1D,则 AB⊥OD,AB⊥O1D, ∴∠ODO1 是二面角 O-AB-C 的平面角,在 Rt⊿ABC 中 O1D= 故在 Rt⊿OO1D 中,OD= 11 ,cos∠ODO1=

1 AC= 3 2

3 11

,∴∠ODO1= arccos

33 ,选 D。 11

[巩固]过球的一条半径的中点, 作垂直于该半径的平面, 则所得截面的面积与求的表面积的 比为 。

6.求多面体的外接球半径一般需确定球心的位置;长方体(正方体)的对角线是其外接球 的直径;将多面体“补”成长方体(正方体)是研究多面体外接球的常用的办法。 [举例 1] 三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,若 PA=AC= 2 ,则该三棱锥的外接球 的体积是 。
[来源:学科网 ZXXK]

P

解析:思路一: “找球心” (到三棱 锥 四个顶点距离相等等的点) 。 注意到 PC 是 Rt⊿PAC 和 Rt⊿PBC 的 公共的斜边,记它的中点为 O, 则 OA=OB=OP=OC= A C B

P

A C

B

1 PC=1,即该三棱锥 2 4 ? 3

的外接球球心为 O,半径为 1,故它的体积为:

方法二: “补体” ,将三棱锥补成长方体,如图所示;它的对角线 PC 是其外接球的直径。 [举例 2]正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点在同一球面上, 若该正四棱锥的底面边长为 4,侧棱长为 2 6 ,则 这个球的表面积为 。
[来源:Z#xx#k.Com]

P

D A

O O1 B

C

解析:正四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上,

记为 O,PO=AO=R,PO1=4,OO1=R-4,或 OO1=4-R(此时 O 在 PO1 的延长线上) ,在 Rt⊿AO1O 中,R =8+(R-4) 得 R=3,∴球的表面积 S=36 ?
2 2

[巩固 1] 如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为 6 cm 2 、4 cm 2 和 3 cm 2 ,那么 它的外接球的体积是 。 [巩固 2] 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上, 其中底面的三个顶点在该球的一 个大圆上,则该正三棱锥的体积是: ( ) (07 高考陕西理 6)

(A)

3 3 4

(B)

3 3

(C)

3 4

(D)

3 12

[迁移]点 P 在直径为 2 的球面上, 过 P 两两垂直的 3 条弦, 若其中一条弦长是另一条的 2 倍, 则这 3 条弦长之和的最大值是 。

7.球面上两点间的球面距离是“球心角” (两点与球心的连线段的夹角)的弧度数与球的半 径的积。 [举例] 设球 O 的半径是 1, A、 B、 C 是球面上三点, 已知 A 到 B、 C 两点的球面距离都是 且二面角 B-OA-C 的大小为

? , 2

? ,则从 A 点沿球面经 B、C 两点再回到 A 点的最短距离是: 3 7? 5? 4? 3? (A) (B) (C) (D) 6 3 4 2 (07 高考四川理 6) 解析:∵球 O 的半径是 1,A 到 B、C 两点的球面 ? ? 距离都是 ,∴∠AOB=∠AOC= ,∴∠BOC 就是 2 2 ? 二面角 B-OA-C 的平面角,∴∠BOC = ,故 B、C 3 ? 两点间的球面距离为 ;从 A 点沿球面经 B、C 两点 3 再回到 A 点的最短距离即 A、B、C 两两间的球面距离之和,故选 C。 注:本题容易误以为所求的“最短距离”是⊿ABC 的外接圆的周长 ;读者不妨求求该周长, 倒是很好的锻炼(先求⊿ABC 的三边的长,再用正弦定理) 。

,AA? ? 2 , [巩固] 顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD ? A?B?C ?D? 中,AB ? 1 则 A,C
两点间的球面距离为( A. ) (07 高考福建理 8) C.

? ?

B.

? ?

2 ? 4

D.

2 ? 2

8.球的内接正多面体和外切正多面体的中心均为球心。球的内接长方体的体对角线是球的 直径, 球的外切正方体的边长是球的直径, 与边长为 a 的正方体各条棱都相切的球的直径为

2 a;边长为 a 的正四面体的内切球的半径为
6 a。 4

1 6 a (正四面体高的 ) ,外接球的半径为 4 12

[举例]已知棱长为 a 的正四面体 ABCD 有内切球 O,经过该棱锥 A-BCD 三侧棱中点的截面 为 ? ,则 O 到平面 ? 的距离为 。 解析:记棱锥 A-BCD 的高为 AO1,O 在 AO1 上且 OO1=

1 AO1;AO1 与面 ? 交于 M,则 4

MO1=

1 1 6 AO1,故 MO= OO1= AO1= a 2 4 12

[来源:学科网]

[巩固] 半径为 1 的球面上的四点 A,B,C,D 是正四面体的顶点, 则 A 与 B 两点间的球面 距离为 ( ) (07 高考安徽理 8) A. arccos ? ?

? ? ?

3? ? 3 ? ?

B. arccos ? ?

? ? ?

6? ? 3 ? ?

C. arccos ? ? ?

? 1? ? 3?

D. arccos ? ?

? 1? ? ? 4?

答案 1.[巩固 1]P 在面 ABC 上的射影为 O,则 OA=OB=OC=OP=R, S ?ABC ? ∴ VP ? ABC ?

1 abc ab sin C = 2 4R

1 abc 0 S ?ABC R ? =10,故选 B;[巩固 2]①④;2、[巩固]45 ;3、[巩固 1]1:2; 3 12

[巩固 2]B;4、[巩固] 2 ;5、[巩固]3:16;6、[巩固 1]

29 29 ? ,[巩固 2]C, 6

[迁移] 设三条弦长分别为 x,2x,y,则:x2+(2x)2+y2=4,用椭圆的参数方程求 3x+y 的最大值为

2 70 ;7、[巩固] B;8、[巩固] C 5



推荐相关:

高中数学多面体和球专项练(带答案)

高中数学多面体和球专项练(带答案) 暂无评价|0人阅读...的练习,熟练答题技巧,同时进一步巩固所复习的知识点...则外接球的表面积是 A.16π B.20π C.24π ...


有关多面体与球习题

贡献者等级:蜻蜓水 一级 格式:doc 关键词:暂无...多面体与球 6页 免费 高三数学强化训练卷(1) 4页...,则此球的表面积等于___.【 20? 】 12.一个棱...


多面体与球的组合体问题

多面体与球的组合体问题_数学_高中教育_教育专区。...这是确定球心位置的基本依据 要知道下列知识: (1)...距离相等的点,在经 过该三角形外心且与该三角形...


多面体与球切、接的问题(讲)

多面体与球切、接的问题(讲)_数学_高中教育_教育...从实际教学来看,这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较...B. 20? C. 24? D. 32? 思路分析:正四棱柱...


多面体与球的内切和外接常见类型归纳

多面体与球的内切和外接常见类型归纳_数学_高中教育_教育专区。多面体与球的内切和外接常见类型归纳在平常教学中,立体几何的多面体与球的位置关系,是培 养学生的...


高三数学一轮复习讲义 专题47 多面体与球

高三数学一轮复习讲义 专题47 多面体与球_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题 47 多面体与球 考纲导读: 考纲要求: 了解多面体、凸多面体的概念,了解正多面体的...


球与多面体的组合体问题

球与多面体的组合体问题_高三数学_数学_高中教育_...重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较...从实际教学来看,这部分知识是学生掌握 最为模糊,...


高考数学复习 第82课时第九章 直线、平面、简单几何体-...

高考数学复习 第82课时第九章 直线、平面、简单几何体-球与多面体 新人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 82 课时:第九章 直线、平面、简单几何体——...


3.第二轮复习-简单多面体与球

3.第二轮复习-简单多面体与球_数学_高中教育_教育...二、重点难点 1、简单多面体包括棱柱、棱锥的概念、...


高考数学复习 第82课时 第九章 直线、平面、简单几何体...

高考数学复习 第82课时 第九章 直线、平面、简单几何体-球与多面体_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 82 课时:第九章 直线、平面、简单几何体——球与多面体...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com