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北师大版高中数学选修2-1期末考试试题


高二期末考试数学试题
一.选择题(每小题 5 分,满分60 分) 1.设 l , m, n 均为直线,其中 m, n 在平面 a内 , 则“l ? ? ”是“l ? m且l ? n” 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) D.既不充分也不必要条件 ) 。

C.充分必要条件

2.对于两个命题:① ?x ? R, ?1 ? sin x ? 1 , A. ① 假 ② 真 B. ① 真 ② 假 3.与椭圆

② ?x ? R,sin 2 x ? cos2 x ? 1 ,下列判断正确的是( C. ① ② 都假 D. ① ② 都真 )

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 4 x2 ? y2 ? 1 B. 4 x2 ? y2 ? 1 C. 2

y2 ?1 A. x ? 2
2

x2 y2 ? ?1 D. 3 3

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

A , B 两点,则 ?ABF2 是正三角形,则椭圆的离心率是( 4.已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,过 F 1 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与
A

2 2

B

1 2
0

C

3 3

D

1 3


5.过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点作倾斜角为 45 直线 l ,直线 l 与抛物线相交与 A , B 两点,则弦 AB 的长是( A 8 B 16 C 32 D 64
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

6.在同一坐标系中,方程 a 2 x 2 ? b 2 x 2 ? 1与ax ? by2 ? 0(a ? b ? 0) 的曲线大致是( ) A. B. C. D. 2 2 x y 7.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b >0) 的两个焦点 F1,F2,点 P 在椭圆上,则 ?PF 1F 2 的面积 最大值一定是( a b A



a2

B

ab

C a a 2 ? b2

D

b a 2 ? b2
)

8.已知向量 a ? (1,1,0),b ? (?1,0,2),且k a ? b与2a ? b 互相垂直,则实数 k 的值是( A.1
1 B. 5
3 5 C.
7 D. 5

9.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是棱 A1B1 的中点,则
5

A1B 与 D1E 所成角的余弦值为(



A. 10

B.
2

10 10

C.

5 5

D.

10 5

10.若椭圆 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0)与直线y ? 1 ? x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的连线的斜率为
2

2 2

n ,则 m 的值是(

)

A.

2 2 3  2        B   .     C   .     D     . 2 9 2 2

2 11.过抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 1 ?x1 , y1 ?, P 2 ?x2 , y 2 ? 两点,若 y1 ? y 2 ? 6 ,则 P 1P 2 的值为 (



A.5

B .6

C.8

D.10

x2 y2 ? 12.以 =1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为 4 12
A.





x2 y2 ? ? 1? 16 12

B.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? C. ? ? 1? 12 16 16 4

D.

x2 y2 ? ?1 16 12

二.填空题(每小题 5 分)

1 OM ? xOA ? yOB ? OC 3 13.已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外一点 O,给出下列表达式:
其中 x,y 是实数,若点 M 与 A、B、C 四点共面,则 x+y=___ 14.斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点,则
AB

等于___

2 15.若命题 P:“ ? x>0, ax ? 2 ? 2 x ? 0 ”是真命题 ,则实数 a 的取值范围是___.

16.已知 ?AOB ? 90? , C 为空间中一点,且 ?AOC ? ?BOC ? 60? ,则直线 OC 与平面 AOB 所成角的正弦值为___. 三.解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。 ) 17. (本小题满分 14) 设命题 P : "?x ? R, x2 ? 2 x ? a " ,命题 Q : " ?x ? R, x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0" ; 如果“ P 或 Q ”为真,“ P 且 Q ”为假,求 a 的取值范围。

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

18. (15分)如图①在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E,F,G 分别是线段 PC、PD,BC 的中点,现将 ΔPDC 折起,使平面 PDC⊥平面 ABCD(如图②) (Ⅰ)求证 AP∥平面 EFG; (Ⅱ)求二面角 G-EF-D 的大小; (Ⅲ)在线段 PB 上确定一点 Q,使 PC⊥平面 ADQ,试给出证明.

19.(15分) 如图,金砂公园有一块边长为 2 的等边△ ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪 分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (Ⅰ)设 AD= x ,DE=

y ,求 y 关于 x 的函数关系式;
x D B

A E y C

(Ⅱ)如果 DE 是灌溉水管,我们希望它最短,则 DE 的位置应在哪里?请予以证明.

20(本小题满分 15分)设 F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右两个焦点 a2 b2
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(Ⅰ)若椭圆 C 上的点 A(1, )到F1 , F2 两点的距离之和等于 4, 求椭圆 C 的方程和焦点坐标;

3 2

(Ⅱ)设点 P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点, Q(0, ), 求 | PQ | 的最大值 。

1 2

21(本小题满分 15分) 如图,设抛物线 C: x 2 ? 4 y 的焦点为 F, P( x0 , y0 ) 为抛物线上的任一点(其中 x0 ≠0) , 过 P 点的切线交 y 轴于 Q 点. (Ⅰ)证明: FP ? FQ ;
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y A

(Ⅱ)Q 点关于原点 O 的对称点为 M,过 M 点作平行于 PQ 的直线 交抛物线 C 于 A、B 两点,若 AM ? ? MB (? ? 1) ,求 ? 的值. B O Q
M F

P x



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