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第一章集合与常用逻辑用语


2015 届湖南高考数学(艺考)专题复习

第一章

集合与常用逻辑用语 集 合

第一讲
※基础知识:

1.集合 (1)定义:某些指定的对象集在一起叫集合;集合中的每个对象叫集合的元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性;表示一个集合要用 ? ?。 (2)集合的表示法:列举法、描述法、图示法; (3)集合的分类:有限集、无限集和空集(空集记作 ? , ? 是任何集合的子集,是任何非 空集合的真子集) ; (4)元素 a 和集合 A 之间的关系: a ? A 或 a ? A ; (5)常用数集:自然数集 N ;正整数集 N ;整数集 Z ;有理数集 Q ;实数集 R ;复数 集C 2.子集 (1)定义: A 中的任何元素都属于 B ,则 A 叫 B 的子集 ;记作: A ? B ,
?

注意: A ? B 时, A 有两种情况: A ? ? 或 A ? ? ( 2 )性质:① A ? A, ? ? A ;②若 A ? B, B ? C ,则 A ? C ;③若 A ? B, B ? A 则

A? B;
3.真子集 (1)定义: A 是 B 的子集 ,且 B 中至少有一个元素不属于 A ;记作: A ? B ; (2)性质:① A ? ? , ? ? A ;②若 A ? B, B ? C ,则 A ? C ; 4. n 元集合共有 2 个子集,其中有 2 ? 1 个真子集, 2 ? 1 个非空子集;
n n n

CU A

A

5.补集

(1)定义:记作: CU A ? {x | x ?U , 且x ? A};

(2)性质: A ? CU A ? ?,A ? CU A ? U,CU (CU A) ? A; 6.交集与并集(1)交集: A ? B ? {x | x ? A且x ? B} 性质:① A ? A ? A, A ? ? ? ? ②若 A ? B ? B ,则 B ? A A B

(2)并集: A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 性质:① A ? A ? A, A ? ? ? A ②若 A ? B ? B ,则 A ? B B

※典型例题
题型一:集合的基本概念 例 1. 已 知 集 合 P ? { y ? x2 ? 1} , Q ? { y | y ? x2 ? 1} , E ? {x | y ? x 2 ? 1} , ) C. E ? F D. Q ? G
1

F ? {( x, y) | y ? x2 ? 1} , G ? {x | x ? 1} ,则( A. P ? F B. Q ? E

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例 2. i 是虚数单位,若集合 S ? {?i, 0, i} ,则( A. i ? S
2

) C. i
2012

B. i

2010

?S

?S

D. i

2013

?S

例 3. 若 a, b ? R ,集合 ? 1, a ? b, a? ? ?0, , b?, 求 b ? a 的值.

? b ? a

? ?

题型二:集合之间的关系 例 4. 设集合 M ? {x | x ? A .M ? N

k 1 k 1 ? , k ? Z } , N ? {x | x ? ? , k ? Z } ,则( 2 4 4 2
B.M ? ?N C.M ? N D.M



N ??

2 例 5.已知 M ? {x | 2 x ? 5 x ? 3 ? 0} ,N ? {x | mx ? 1} , 若N ? M , 则适合条件的实数 m

的集合 P 为

; P 的子集有

个; P 的非空真子集有

个.

例 6. 若集合 A ? {1,2,3}, B ? {1,3,4} ,则 A ? B 的子集个数为 A.2 B.3 C.4 D.16





例 7. 已知集合 A ? {x | 的集合 C 的个数为( A.1 ) B.2

x?2 ? 0, x ? N }, B ? {x | x ? 2, x ? Z } ,则满足条件 A ? C ? B x
C.4 D.8

题型三:集合的运算 例 8.(1) 【2014 高考广东卷】已知集合 M ? ??1,0,1? , N ? ?0,1, 2? ,则 M A. ??1,0,1 ? B. ??1,0,1, 2?
2

N ?(



C. ??1,0, 2?

D. ?0,1?

(2) 【2014 高考北京卷】 已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0} ,B ? {0,1, 2} , 则A A. {0} B. {0,1} C. {0, 2}

B ?(



D. {0,1, 2}

2

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, A? { x| x? 0} , B? {x | x ? , 1} (3) 【 2014 高 考 辽 宁 卷 】 已 知 全 集 U ? R 则集合

CU ( A B) ? (
A.{x | x ? 0}

) B.{x | x ? 1} C.{x | 0 ? x ? 1} D.{x | 0 ? x ? 1}

(4) 【2011 湖南文】设全集 U ? M A. {1, 2,3} B. {1,3,5}

N ? {1, 2,3, 4,5}, M
C. {1, 4,5}

CU N ? {2, 4}, 则 N ? (
D. {2,3, 4}



0, 1? , N = x 2 ? x ,则 M (5) (2012 湖南文)设集合 M ? ??1,
A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{1} D.{0}

?

?

N ?(

)

(6) (2013 湖南文)已知集合 U ? {2,3,6,8}, A ? {2,3}, B ? {2,6,8} ,则 (CU A ) B?

(7) (2014 湖南文)已知集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 3} ,则 A

B?(



A.{x | x ? 2}

B.{x | x ? 1}

C. {x | 2 ? x ?

3}

D.{x |1 ? x ? 3}

例 9.已知集合 A ? {( x, y ) | x ? 2 y ? 0} , B ? {( x, y ) |

y ?1 ? 0} ,则 A B ? x?2



题型四:图解法解集合问题

? 例 10. 设全集 U ? x | 0 ? x ? 10, x ? N ,若 A

?

?

B ? ?3? , A CU B ? ?1,5,7? ,


CU A CU B ? ?9? ,则 A ?

,B ?

例 11.(1) 已知全集 U ? R, 集合 A ? ?1,2,3,4,5? , B ? ?2, ??? ,则图中阴影 部分所表示的集合为( A. {0,1, 2} ) B. {0,1} C. {1, 2} D. {1} 和 2 ? }

A

B

( 2 ) . 已 知 全 集 U ?R

, 集 合 M ? { x ?2 ? x 1 ?

N ? {x x ? 2k ?1, k ? 1,2, } 的关系的韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴
影部分所示的集合的元素共有( A. 3 个 B. 2 个 ) C. 1 个 D. 无穷多个
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(3).某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动 都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .

题型五:新型集合的概念和运算 例 12. 【2012 江西卷】定义集合运算: A ? B ? ? z z ? xy, x ? A, y ? B?. 设 A ? ?1, 2? , B ? ?0, 2? , 则集合 A ? B 的所有元素之和为( A.0 B.2 ) C .3

D.6

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第二讲
※基础知识

简易逻辑

一、逻辑联结词与四种命题 1.命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题; 2.复合命题的形式: p 且 q , p 或 q ,非 p ; 3.复合命题的真假: 对 p 且 q 而言,当 p 、 q 为真时,其为真;当 p 、 q 中有一个为假时,其为假。 对 p 或 q 而言,当 p 、 q 均为假时,其为假;当 p 、 q 中有一个为真时,其为真; 当 p 为真时,非 p 为假;当 p 为假时,非 p 为真。 4.四种命题:记“若 p 则 q ”为原命题,则否命题为“若非 p 则非 q ” ,逆命题为“若 q 则

p” ,逆否命题为“若非 q 则非 p ” 。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四
种命题为真的个数只能是偶数个。 二、全称量词与存在量词 1.全称量词与存在量词 (1)全称量词:对 应 日 常 语 言 中 的“ 一 切 ”、“ 任 意 的 ”、“ 所 有 的 ”、“ 凡 是”、“任给”、“对每一个”等词,用符号“ ?”表示。 ( 2 )存在量词:对 应 日 常 语 言 中 的“ 存在一个”、“ 至 少 有 一 个 ”、“ 有个”、 “某个”、“ 有 些 ” 、 “ 有的”等词,用 符 号 “ ? ” 表 示 。 2. 全 称 命 题 与 特 称 命 题
( 1 )全 称 命 题 :含 有 全称量词的命题。“对 ?x ? M ,有 p ( x) 成立”简记成“ ?x ? M ,

p( x) ”。
( 2 )特 称 命 题 :含 有 存在量词的命题。 “ ?x ? M ,有 p ( x) 成立” 简记成“ ?x ? M ,

p( x) ”。
(3)同一个全 称 命 题 、特 称 命 题 ,由 于 自 然 语 言 的 不 同 ,可 以 有 不 同 的 表 述 方 法 , 现列表如下,供参考。 命题 特 称 命 题 ?x ? M , p ( x) 全 称 命 题 ?x ? M , p ( x) ①所有的 x ? M ,使 p ( x) 成立 表述 方法 ②对一切 x ? M ,使 p ( x) 成立 ③对每一个 x ? M ,使 p ( x) 成立 ④任给一个 x ? M ,使 p ( x) 成立 ⑤若 x ? M ,则 p ( x) 成立 ①存在 x ? M ,使 p ( x) 成立 ②至少有一个 x ? M ,使 p ( x) 成立 ③对有些 x ? M ,使 p ( x) 成立 ④对某个 x ? M ,使 p ( x) 成立 ⑤有一个 x ? M ,使 p ( x) 成立

4.常 见 词 语 的 否 定 如 下 表 所 示 : 词语 词语的否定 词语 词语的否定 是 不是 且 或 一定是 不一定是 必有一个 一个也没有 都是 不都是 至少有 n 个 至多有 n ? 1 个 大于 小于或等于 至多有一个 至少有两个 小于 大于或等于 所有 x 成立 存在一个 x 不成立
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三、充分条件与必要条件 充分、必要条件的判定 ①若 p ? q 且 q ? ? p ,则 q ? p ,则 q ②若 p ? 且 ? ③若 p ? q 且 q ? p ,则 ④若 p ? ? q且q ? ? p ,则

p 是 q 的充分不必要条件; p 是 q 的必要不充分条件; p 是 q 的充要条件; p 是 q 的既不充分也不必要条件.

※经典例题
题型一:四种命题及命题的真假 例 1.分别写出命题“若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x , y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题.

例 2. 有下列四个命题: (1)“若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题; (2)“面积相等的三角形全等”的否命题; (3)“若 m ? 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实数解”的逆否命题; (4)“若 A B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题. 其中是真命题的为( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(4) D.(1)(2)(3)
2

例 3.(1)已知直线 l1:x+ay+1=0,直线 l2:ax+y+2=0,则命题“若 a=1 或 a=-1, 则直线 l1 与 l2 平行”的否命题为( )

A.若 a≠1 且 a≠-1,则直线 l1 与 l2 不平行 B.若 a≠1 或 a≠-1,则直线 l1 与 l2 不平行 C.若 a=1 或 a=-1,则直线 l1 与 l2 不平行 D.若 a≠1 或 a≠-1,则直线 l1 与 l2 平行

(2) (2012 湖南理)命题“若α =

? ,则 tanα ≠1 4 ? C. 若 tanα ≠1,则α ≠ 4
A.若α ≠

? ,则 tanα =1”的逆否命题是 ( 4 ? B. 若α = ,则 tanα ≠1 4 ? D. 若 tanα ≠1,则α = 4
[ 中@ 网]

)

题型二:简单逻辑联结词 例 4.指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题,并判断复合命题的真假: (1)菱形对角线相互垂直平分. (2) “2 ? 3”

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例 5. 【2014 高考重庆卷】 已知命题 p : 对任意 x ? R , 总有 | x |? 0 ; q : x ? 1 是方程 x ? 2 ? 0 的根,则下列命题为真命题的是( )

A. p ? ?q

B.?p ? q

C.?p ? ?q

D. p ? q

例 6. 【2014 高考湖南理】 已知命题 p : 若x ? y, 则 ?x ? ? y ; 命题 q : 若x ? y, 则 x2 ? y 2 . 在命题 ① p ? q; ②p ? q; ③p ? (?q); ④(?p) ? q 中,真命题是( A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ )

例 7.已知 p : x 2 ? 8x ? 20 ? 0 , q : x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,且 ? p 是 ? q 的必要不充 分条件,求实数 m 的取值范围.

题型三:全称命题,特称命题 例 8. 【2014 高考湖南文】设命题 p : ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 ,则 ? p 为(
2 A. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0 2 C. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0 2 B. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0



D. ?x ? R, x2 ? 1 ? 0

例 9.写出命题“ ?x ? A ,使得 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定 例 10.给出下列命题:
x ?1 1 . ?x∈R, 2 ? 0 ○ 4 .?x∈R, tan x ? 2 ○

lg x ? 1 2 . ?x∈N*, 3 . ?x∈R, ? x ? 1? ? 0 ○ ○ 3 2 5 . 对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ○
2

其中是假命题的序号有

(写出所有的假命题序号)

题型四:充要条件 例 11.指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件(在“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充 要” 、 “既不充分也不必要”中选一种作答) (1)在 ?ABC 中, p : A ? B , q : sin A ? sin B (2)对于实数 x , y , p : x ? y ? 8 , q : x ? 2 或 y ? 6

例 12. (1) 【2014 高考安徽卷】 “ x ? 0 ”是“ ln(x ? 1) ? 0 ”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



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(2) a ? 0 是方程 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负数根的( A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条件



D.既不充分也不必要条件

(3) (2013 湖南文)“1<x<2”是“x<2”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (4) (2011 湖南文) “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的( )

A.充分不必要条件 C. 充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

例 13.已知 p:2 x ? 1 ? 1, q: ? x ? a ?? x ? a ? 1? ? 0 .若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( A. ? 0, ? 2 C ? ??, 0? ? ? , ?? ? ) B. ? 0,

? 1? ? ? ?1 ?2 ? ?

? ?

1? ? 2? ?1 ? ? , ?? ? ?2 ?

D. ? ??, 0 ?

例 14.设 a , b 是两个非零向量,则使 a b = a b 成立的一个必要非充分条件是( A.a ? b B.a ? b C.a ? ? b



? ? ? 0?

D.a

b

【归纳小结】 掌握基础知识,本专题一般不会考综合性大题,所以不宜做太多高难度综合性大题。但千万 不能忽视基础小题!注意数形结合!(数轴、韦恩图)

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