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高考数学一轮复习学案:11讲:空间几何体、三视图和直观图(含答案)


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学案 1 空间几何体、三视图和直观图
考纲展示: 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中 简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识 别上述三视图所表示的立体模型,并且会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图, 了解空间图 形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图. 知识梳理: 1.多面体的结构特征 (1) 棱 柱 的 上下 底 面 ________ , 侧棱 都 ________ 且 ____________ ,上 底 面和下 底 面是 ________的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个________的三角形. (3)棱台可由__________________的平面截棱锥得到,其上下底面的两个多边形________. 2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其____________旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕__________________或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到, 也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕其________旋转得到. 3.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到, 这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与 平面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括________、____________、________. 4.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用________画法,基本步骤是: (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成对 应的 x′轴、y′轴,两轴相交于点 O′,且使∠ x?o?y ? =________. (2)已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于__________的线段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度________,平行于 y 轴的线段, 长度变为___________________. (4)在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面, 在直观图中对应的 z′轴也垂直于 x?o?y ? 平面,已知图形中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍平行于 z′轴且长度________. 5.中心投影与平行投影 (1)平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线相交于一点. (2)从投影的角度看,三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的图形.

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考点一 空间几何体的结构 例 1、以下六个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点; ⑤顶点在底面上的射影是底面三角形的内心,又是外心的三棱锥必是正棱锥. 其中真命题的序号是________. 变式迁移: 1、下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 考点二 空间几何体的三视图 1 (2009· 福建)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 , 2 则该几何体的俯视图可以是( ) 例2

例题小结: (1)画几何体三视图的基本要求是:正视图与俯视图长对正;正视图与侧视图高平齐;侧 视图与俯视图宽相等. (2)三视图的安排规则是:正视图与侧视图分别在左右两边,俯视图画在正视图的下方. 变式练习: 1.如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视 图相同的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.②④

2.(2011· 课标全国)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相 应的侧视图可以为( )

3.如图,△ABC 为正三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面 ABC 且 3 3AA′= BB′=CC′=AB,则多面体 ABC ? A?B?C ? 的正视图(也称主视图)是( 2

)

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4. (2010 年宁夏银川模拟)若一个三棱柱的三视图如图所示, 其俯视图 为正三角形,则这个三棱柱的高和底面边长分别为( ) (A)2,2 3 (B)2 2,2 (C)4,2 (D)2,4

考点三 直观图及斜二测画法 例 3、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来 的图形是( )

例题小结: 用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积 S′与原平面图形的面积 S 之间的关 系是 . 变式迁移: 1.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面四边形的面积 等于( ) 2 2 2 2 2 2 A. a B.2 2a2 C. a2 D. a 4 2 3 2. 已知正三角形 ABC 的边长为 4, 则△ABC 的水平放置直观图△ A?B ?C ? 的面积为________. 3.(2011· 浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观 图可以是( )

课后练习: 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A.底面是正方形,有两个侧面是矩形 B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形,具有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 2.(2011· 汕头月考)已知水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为 2a 的正三角形,则原△ABC 的面积为( ) 3 6 A. 2a2 B. a2 C. a2 D. 6a2 2 2

3.(2011·山东高考理科·T11)右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定 下列三个命题: ①存在三棱柱, 其正(主)视图、 俯视图如下图; ②存在四棱柱, 其正(主)视图、 俯视图如右图; ③存在圆柱, 其正(主)视图、 俯视图如右下图.
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其中真命题的个数是( (A)3 (B)2

) (C)1 (D)0

4.(2011·江西高考文科·T9)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则 该几何体的左视图为( )

A

B

C

D

5.(2011· 福州质检)某简单几何体的一条对角线长为 a,在该几何体的正视图、侧视图与俯视 图中,这条对角线的投影都是长为 2的线段,则 a 等于( ) A. 2 B. 3 C.1 D.2

6. (2011· 金华月考)将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示), A, B, C 分别是△GHI 三边的中点, 得到几何体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

7. (2011· 宜昌月考)棱长为 a 的正四面体 ABCD 的四个顶点均在一个球面上, 则此球的半径 R =________ . 8.画出下列几何体的三视图.

9.如图是一个几何体的正视图和俯视图. (1)试判断该几何体是什么几何体; (2)画出其侧视图,并求该平面图形的面积.

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学案 1 空间几何体、三视图和直观图答案
自主梳理 1.(1)平行 平行 长度相等 全等 (2)公共顶点 (3)平行于棱锥底面 相似 2.(1)一边所在直线 (2)一条直角边所在直线 (3)垂直于底 边的腰所在直线 (4)直径 3.正视图 侧视图 俯视图 4.斜二测 (1)45° (或 135° ) (2)x′ 轴、y′轴 (3)不变 原来的一半 (4)不变 课堂活动区 例 1.答案:①④⑤ 解析:命题①符合平行六面体的定义,故①正确.底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底 面不垂直,故②错误.因直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故③错误,④由棱台的定义 知是正确的.⑤由正三角形的内心、外心合一知其正确. 变式迁移 1 D A 错误.如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角 形,但它不是棱锥.B 错误.如下图,若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴 不是直角边,所得的几何体都不是圆锥.C 错误.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边 形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.D 正确.

例 2 解题导引 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正 上方观察几何体画出的轮廓线.解决此类问题的关键是弄清三视图“长、宽、高”的关系. C [当俯视图为 A 中正方形时,几何体为边长为 1 的正方体,体积为 1;当俯视图为 B 中圆 1 π 时,几何体为底面半径为 ,高为 1 的圆柱,体积为 ;当俯视图为 C 中三角形时,几何体为 2 4 1 三棱柱,且底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形,高为 1,体积为 ;当俯视图为 D 中扇形 2 1 π 时,几何体为圆柱的 ,且体积为 .] 4 4 变式迁移 1.D 在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同;②圆锥有两个视图 相同;③三棱台的三个视图都不同;④正四棱锥有两个视图相同. 2 D [由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体的底面为半圆和等腰三 角形, 其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形, 故 应选 D.] 3.D [由 AA′∥BB′∥CC′及 CC′⊥平面 ABC,知 BB′⊥平面 ABC. 3 又 CC′= BB′,且△ABC 为正三角形,故正视图应为 D 中的图形.] 2 4.解析:由三视图可知,此三棱柱的高为 2,底面正三角形的高为 2 3, 故底面边长为 4,故选 D. 例 3.答案:A 2 例题小结:S′= S 4 变式迁移 1.答案:B 2.. 6 3.D [A,B 的正视图不符合要求,C 的俯视图显然不符合要求,答案选 D.]
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课后练习区 1.C 2. D a2.] [斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为 1∶ 2 2 3 , 则易知 S= ( 2a)2, ∴S= 6 4 4 4

3.选 A.只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱,让其直角三角形直角边对应的一个侧面 平卧;②正四棱柱平躺;③圆柱平躺即可使得三个命题为真. 4.选 D.根据正投影的性质,结合左视图的要求知,长方体体对角线投到了侧面,成了侧面 的面对角线,结合选项即得答案. 5.B [可以把该几何体形象为一长方体 AC1,设 AC1=a,则由题意知 A1C1 =AB1=BC1= 2,设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z,则 x2+y2=2, y2+z2=2,z2+x2=2,三式相加得 2(x2+y2+z2)=2a2=6. ∴a= 3.] 6.A [∵原几何体是正三棱柱,且 AE 在平面 EG 中,∴在侧视图中,AE 应为竖直的.] 6 7. a 4 解析 如图所示,设正四面体 ABCD 内接于球 O,由 D 点向底面 ABC 作垂线,垂足为 H,连接 AH,OA, 3 6a 3 则可求得 AH= a, DH= a2-? a?2= , 3 3 ?3 ? 6 3 6 在 Rt△AOH 中,? a?2+? a-R?2=R2,解得 R= a. 4 ?3 ? ?3 ? 8.解 图(1)中几何体的三视图如图①、②、③,图(2)中几何体的三视 图如图 ④、 ⑤、 ⑥.

9.解 (1)由该几何体的正视图及俯视图可知几何体是正六棱锥. (2)侧视图(如图)

其中 AB=AC,AD⊥BC,且 BC 长是俯视图正六边形对边间的距离,即 BC= 3a,AD 1 3 是正棱锥的高,AD= 3a,所以侧视图的面积为 S= × 3a× 3a= a2. 2 2

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