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大一高数期末考试题


电卓期末高数模拟考试 一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1. 设f ( x ) ? cos x( x ? sin x ), 则在x ? 0处有(
(A) f ?(0) ? 2 (B) f ?(0) ? 1 (C) f ?(0) ? 0 1? x 设? ( x ) ? ,? ( x ) ? 3 ? 33 x,则当x ? 1时(   ) 1? x 2. . (A) ? ( x)与? ( x) 是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B) ? ( x)与? ( x) 是等价无穷小; (C) ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的无穷小; (D) ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的 无穷小.
  ). (D) f ( x ) 不可导.

3. 若

F ( x) ? ? (2t ? x) f (t )dt
0

x

, 其 中 f ( x ) 在 区 间 上 (?1,1) 二 阶 可 导 且

f ?( x ) ? 0 ,则(

). (A)函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极大值; (B)函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极小值; (C)函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值,但点 (0, F (0)) 为曲线 y ? F ( x) 的拐点; (D) 函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值, (0, F (0)) 也不是曲线 y ? F ( x) 的拐点。 点

4.

设f ( x )是连续函数,且 f ( x ) ? x ? 2? f (t )dt , 则 f ( x ) ? (
0

1

)

x2 (A) 2

x2 ?2 (B) 2 (C) x ? 1
2 sin x

(D) x ? 2 .

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 5. 6.
lim(1 ? 3 x )
x ?0

?

.

已知

cos x 是 f ( x ) 的一个原函数 , x .

则? f ( x ) ?

cos x dx ? x

7.

n??
1 2

lim

?
n

(cos 2

?
n

? cos 2
dx ?

2? n ?1 ? ? ? cos 2 ?) ? n n

.

?

x 2 arcsin x ? 1 1 ? x2

8. - 2 . 三、解答题(本大题有 5 小题,每小题 8 分,共 40 分) x? y 9. 设函数 y ? y( x ) 由方程 e ? sin( xy ) ? 1 确定,求 y?( x ) 以及 y?(0) .
1 ? x7 求? dx. x (1 ? x 7 ) 10. ? xe ? x,  x ? 0 1 ? 设f ( x ) ? ?  求 ? f ( x )dx . ?3 ? 2 x ? x 2, 0 ? x ? 1 ? 11.

1

0 12. 设函数 f (x ) 连续, , x ?0 且 g?( x ) 并讨论 g?( x ) 在 x ? 0 处的连续性.

g ( x ) ? ? f ( xt )dt

1

lim

f ( x) ?A x ,A 为常数. 求

13. 求微分方程 xy? ? 2 y ? x ln x 满足

y(1) ? ?

1 9 的解.

四、 解答题(本大题 10 分) 14. 已知上半平面内一曲线 y ? y( x) ( x ? 0) ,过点 (0,1) ,且曲线上任一点
M ( x 0 , y0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x ? x0 所围成

面积的 2 倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题 10 分)

15. 过坐标原点作曲线 y ? ln x 的切线,该切线与曲线 y ? ln x 及 x 轴围
(1) 成平面图形 D. 求 D 的面积 A;(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V.

六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 8 分)

16. 设 函 数 f ( x ) 在 ? 0,1? 上 连 续 且 单 调 递 减 , 证 明 对 任 意 的 q ?[0, 1] ,

?
0

q

f ( x ) d x ? q ? f ( x )dx
0

1

.

17. 设函数 f ( x ) 在 ?0, ? ? 上连续, 且

?
0

?

f ( x) d x ? 0

,0

?

?

f ( x ) cos x dx ? 0
.

证明: ?0, ? ? 内至少存在两个不同的点 ? 1 , ? 2 ,使 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0.(提 在

F ( x) ?
示:设

?
0

x

f ( x )dx


一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) ? ? 1 cos x 2  ( ) ?c 6 e 3 2 . 8. 5. . 6. 2 x .7. 三、解答题(本大题有 5 小题,每小题 8 分,共 40 分) 9. 解:方程两边求导 ?( e x ? y ( 1? y? ? c oxy ( xy) ? y ? ) 0 ) s
e x ? y ? y cos( xy ) e x ? y ? x cos( xy ) x ? 0, y ? 0 , y?(0) ? ?1 y ?( x ) ? ?

.

7 7 x6 10. 解: u ? x    dx ? du 1 (1 ? u) 1 1 2 原式 ? ? du ? ? ( ? )du 7 u(1 ? u) 7 u u?1 1 ? (ln | u | ?2ln | u ? 1 |) ? c 7 1 2 ? ln | x 7 | ? ln | 1 ? x 7 | ? C 7 7

11. 解: ??3
0

1

f ( x )dx ? ? xe ? x dx ? ?
?3 1 0

0

1

0

2 x ? x 2 dx

? ? xd (?e ? x ) ? ?
?3
0 ?3

1 ? ( x ? 1)2 dx
0 ? 2

? ? ? xe ? x ? e ? x ? ? ? ? cos 2 ? d?   x ? 1 ? sin ? ) (令 ? ?

? 2e 3 ? 1 4 12. 解:由 f (0) ? 0 ,知 g(0) ? 0 。

?

?

g ( x ) ? ? f ( xt )dt ?
0
x

1

xt ? u

? f ( u)du
0

x

x

(x ? 0 )

g ?( x ) ?

xf ( x ) ? ? f ( u)du
0

x2

( x ? 0)

g?(0) ? lim
x ?0

? f (u)du
0

x

x

2

? lim
x ?0 x

f ( x) A ? 2x 2 ? A? A A ? 2 2 , g?( x ) 在 x ? 0 处连续。

lim g ?( x ) ? lim
x ?0 x ?0

xf ( x ) ? ? f ( u)du x
0 2

dy 2 ? y ? ln x 13. 解: dx x

y?e
?

?

? x dx

2

(? e

? x dx

2

ln xdx ? C )

1 1 x ln x ? x ? Cx ?2 3 9 1 1 1 y( 1 ) ? C ? 0 y ? x ln x ? x ? , 3 9 9 , 四、 解答题(本大题 10 分)
14. 解:由已知且 , ?? ? 2 y ? y ? 将此方程关于 x 求导得 y
0
2 特征方程: r ? r ? 2 ? 0

y? ? 2 ? y d x ? y

x

解出特征根: r1 ? ?1, r2 ? 2.

其通解为

y ? C1e ? x ? C 2 e 2 x

代入初始条件 y(0) ? y ?(0) ? 1 ,得 2 1 y ? e?x ? e2x 3 3 故所求曲线方程为: 五、解答题(本大题 10 分)

C1 ?

2 1 , C2 ? 3 3

1 y ? ln x 0 ? ( x ? x0 ) x0 15. 解: 根据题意, (1) 先设切点为 ( x 0 , ln x 0 ) , 切线方程: 1 y? x x 0 ? e ,从而切线方程为: e 由于切线过原点,解出

则平面图形面积

A ? ? (e y ? ey)dy ?
0

1

1 e ?1 2

(2)三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1,则 曲线 y ? ln x 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积 为 V2
V 2 ? ? ? (e ? e y ) 2 dy
0 1

V1 ?

1 ? e2 3

6 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 12 分)

V ? V1 ? V2 ?

?

(5e 2 ? 12e ? 3)

16. 证明: 0
q

?

q

f ( x) d x ? q ? f ( x)dx ? ? f ( x) d x ? q ( ? f ( x) d x ? ? f ( x)dx)
0
1 0 0 q

1

q

q

1

? (1 ? q ) ? f ( x) d x ? q ? f ( x)dx
0 q

?1?[0, q ]?2 ?[ q ,1]

?

q(1 ? q) f (?1 ) ? q(1 ? q) f (?2 )
1

f (?1 ) ? f (?2 )

?

0

故有:

? f ( x ) d x ? q ? f ( x )dx
0 0

q

证毕。
x

17.
F ( x ) ? ? f ( t )dt , 0 ? x ? ? 0 证: 构造辅助函数: 。 其满足在 [0, ? ] 上连续, (0, ? ) 在 F ?( x ) ? f ( x ) ,且 F (0) ? F (? ) ? 0 上可导。 0?

由题设,有

?
0

?

f ( x ) cos xdx ? ? cos xdF( x ) ? F ( x ) cos x | ? ? sin x ? F ( x )dx
0 0 0

?

?

?



有0 ,由积分中值定理,存在 ? ? (0, ? ) ,使 F (? ) sin? ? 0 即 F (? ) ? 0 综上可知 F (0) ? F (? ) ? F (? ) ? 0, ? ? (0, ? ) .在区间 [0, ? ] , [? , ? ] 上分别应用罗 尔定理,知存在 ? 1 ? (0, ? ) 和 ? 2 ? (? , ? ) ,使 F ?(? 1 ) ? 0 及 F ?(? 2 ) ? 0 ,即 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0 .

? F ( x ) sin xdx ? 0

?

高等数学 I 解答

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的 括号中) (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) ? x ,? x 1. 当 x ? x0 时, ? ? ? ? 都是无穷小,则当 x ? x0 时( D )不一定是 无穷小. (A) (C)

? ?x ? ? ? ?x ?
ln ?1 ? ? ( x) ? ? ( x)?
1 x ?a

(B) (D)

? 2 ?x ? ? ? 2 ?x ?

? 2 ( x) ? ( x)

? sin x ? lim ? ? 2. 极限 x?a ? sin a ?
(A) 1

的值是( C (B) e

). (C) e
cot a

(D) e

tan a

? sin x ? e 2 ax ? 1 x?0 ? f ( x) ? ? x ? a x ? 0 在 x ? 0 处连续,则 a ? 3.

=(

D

).

(C) e (D) ?1 f ( a ? h ) ? f ( a ? 2h) lim ? f (x) 在点 x ? a 处可导,那么 h?0 h 4. 设 ( (A) 3 f ?(a) (B) 2 f ?(a) (A) 1 (B) 0 (C)
f ?(a)

A

).

1 f ?(a ) (D) 3

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) ln( x ? a) ? ln a 1 lim (a ? 0) x a. 5. 极限 x?0 的值是

e x y ? y ln x ? cos 2 x 确 定 函 数 y(x) , 则 导 函 数 y ? ? y 2 sin 2 x ? ? ye xy x . ? xy xe ? ln x 7. 直线 l 过点 M(1,2,3) 且与两平面 x ? 2 y ? z ? 0,2 x ? 3y ? 5z ? 6 都平行,则直 x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? 1 ?1 ?1 线 l 的方程为 .
6. 由 8. 求函数 y ? 2 x ? ln(4 x) 的单调递增区间为 (-?,0)和(1,+? ) 三、解答题(本大题有 4 小题,每小题 8 分,共 32 分)
2

.

(1 ? x ) x ? e lim x 9. 计算极限 x ? 0 .

1

(1 ? x) ? e e ?1 ln(1 ? x) ? x e ? e lim ? e lim ?? 2 x ?0 x ?0 x x x 2 解: ? ? ? ? ? ? 10. 已知: | a |? 3 , | b |? 26 , a ? b ? 30 ,求 | a ? b | 。 ? ? a ?b 5 12 cos? ? ? ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? ? ? 13 a b 13 a ? b ? 72 lim
x ?0

1 x

1 ln(1? x ) ?1 x

解:



11. 设 f (x) 在[a,b]上连续,且
x x

F ( x) ? ? ( x ? t ) f (t )dt
a

x

x ? [ a, b]

,试求出 F ??(x) 。

解:

F ( x) ? x ? f (t )dt ? ? tf (t ) dt
a a

F ?( x) ? ? f (t )dt ? xf ( x) ? xf ( x) ? ? f (t )dt
a a

x

x

F ??( x) ? f ( x) cos x ? x sin3 xdx. 12. 求 cos x 1 ?2 ? x sin3 xdx ? ? 2 ? xd sin x 解: 1 1 1 1 ? ? x sin ?2 x ? ? sin ?2 xdx ? ? x sin ?2 x ? cot x ? C 2 2 2 2

四、解答题(本大题有 4 小题,每小题 8 分,共 32 分)

?
2

2

dx x x2 ?1

13.

求 3 1 令  ? t x

.

原式 ? ? 23
2
3 2

1

1 t
dt 1? t

1 1 (? 2 )dt t 1 ?1 2 t

?

6 2x y? 1 ? x 2 的极值与拐点. 14. 求函数
解:函数的定义域(-?,+?)

?

1 2

? arcsin t
2

3 2 1 2

?

?

? 4 x(3 ? x 2 ) 2(1 ? x)(1 ? x) y ?? ? (1 ? x 2 ) 3 (1 ? x 2 ) 2 令 y ? ? 0 得 x 1 = 1, x 2 = -1 y ??(1) ? 0 x = 1 是极大值点, y ??(?1) ? 0 x = -1 是极小值点 1 2 y (1) ? 1,极小值 y (?1) ? ?1 极大值
y? ?
令 y ?? ? 0 得 x 3 = 0, x 4 = x (-?,- 3 ) -

3, x 5= - 3
(0, -

(- 3 ,0) +

3)

( 3 ,+?) +

y ??

3 3 故拐点(- 3 ,- 2 )(0,0) 3 , 2 ) , (
15.

求由曲线

y?

x3 2 4 与 y ? 3x ? x 所围成的平面图形的面积.

解:

x3 ? 3x ? x 2 ,  x 3 ? 12 x ? 4 x 2 ? 0, 4 x( x ? 6)( x ? 2) ? 0,   x1 ? ?6,  x2 ? 0,   x3 ? 2.
0

2 x3 x3 ? 3x ? x 2 )dx ? ? (3x ? x 2 ? )dx ?6 4 0 4 4 3 3 x 3 x 3 x x4 2 0 ? ( ? x 2 ? ) ?6 ? ( x 2 ? ? ) 0 16 2 3 2 3 16 1 1 ? 45 ? 2 ? 47 3 3 2 16. 设抛物线 y ? 4 ? x 上有两点 A(?1, 3) , B(3, ?5) ,在弧 A B 上,求一点 P( x, y ) 使 ?ABP 的面积最大.

S?? (

解:

AB连线方程:y ? 2 x ? 1 ? 0   AB ? 4 5 点P到AB的距离 ?ABP的面积 2x ? y ? 1 5 ? ?x 2 ? 2x ? 3 5   ( ?1 ? x ? 3)

   S ( x ) ?

1 ?x2 ? 2x ? 3 ?4 5? ? 2( ? x 2 ? 2 x ? 3) 2 5    S ?( x) ? ?4 x ? 4  当x ? 1  S ?( x) ? 0

   S ??( x ) ? ?4 ? 0 当x ? 1时S ( x ) 取得极大值也是最大值

此时y ? 3  所求点为(1,3)
另解:由于?ABC的底AB一定, 故只要高最大而过C点的抛物线
2 的切线与AB平行时, 高可达到最大值, 问题转为求C( x 0 ,4 ? x 0 )

, 使f ?( x0 ) ? ?2 x 0 ? ?5 ? 3 3 ? 1 ? ?2,  解得x 0 ? 1, 所求C点为(1,3)

六、证明题(本大题 4 分)
17.
2x 设 x ? 0 ,试证 e (1 ? x) ? 1 ? x .

证明:设 f ( x) ? e (1 ? x) ? (1 ? x), x ? 0
2x

f ?( x) ? e 2 x (1 ? 2 x) ? 1 , f ??( x) ? ?4 xe 2 x ,
x ? 0, f ??( x) ? 0 ,因此 f ?(x) 在(0,+?)内递减。
2x

在(0,+?)内, f ?( x) ? f ?(0) ? 0, f ( x) 在(0,+?)内递减, 在(0,+?)内, f ( x) ? f (0), 即 e (1 ? x) ? (1 ? x) ? 0 亦即当 x>0 时, e (1 ? x) ? 1 ? x
2x



高等数学 I A

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 18. 函数

? ln( x ? 1) ? x ?1 , x ? 1 ? ? ? f ( x) ? ?tan x, 0 ? x ? 1 2 ? ? x ? sin x, x ? 0 ? ? 的全体连续点的集合是 ( ) (A) (- ? ,+ ? ) (B) (- ? ,1) ? (1,+ ? )
(C) (- ? ,0) ? (0, + ?) (D) (- ? ,0) ? (0,1) ? (1,+ ? )

19.

设 x ??

lim (

x2 ?1 ? ax ? b) ? 0 x ?1 ,则常数 a,b 的值所组成的数组(a,b)为(



(A) (1,0) (B) (0,1) (C) (1,1) (D) (1,-1) 20. 设在[0,1]上 f (x) 二阶可导且 f ??( x) ? 0 ,则( ) (A) f ?(0) ? f ?(1) ? f (1) ? f (0) (B) f ?(0) ? f (1) ? f (0) ? f ?(1)

(C) f ?(1) ? f ?(0) ? f (1) ? f (0)
?

(D) f (1) ? f (0) ? f ?(1) ? f ?(0)
?
?
3 4 ? (sin x ? cos x)dx P ? ? 2

M ?

2 2 21. 则( ) (A) M < N < P (B) P < N < M (C) P < M < N (D) N < M < P 二 填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
2 1. 设 x ? 1 d ( x arctan x ? 1) ? (

?

??

2

sin x cos4 x dx, N ? 1? x2

?

?

?? ( x
2

2

2

sin 3 x ? cos4 x)dx

) ( )

2. 设

? f ( x)dx ? sin x ? c, 则 ? f

(n)

( x)dx ?

x?4 y z ?5 ? ? 3. 直线方程 2 ? m n 6 ? p ,与 xoy 平面,yoz 平面都平行,
那么 m, n, p 的值各为(
n ?i?
2



i ? ? lim ? 2 e ? n ? ? x ? ?? i ?1 n 4. ( ) 三 解答题(本大题有 3 小题,每小题 8 分,共 24 分) 1 ? ? 1 lim ? 2 ? 2 ? x ?0 s i n x x ? ? 1. 计算

1 ? 2 ? x cos , x ? 0 f ( x) ? ? x ?x x ? 0 试讨论 f (x) 的可导性,并在可导处求出 f ?(x) ? 2. 设 3. 设函数 y ? f ( x)在(??,??) 连续,在 x?0 时二阶可导,且其导函数 f ?(x) 的图形如图
所示,给出

f (x) 的极大值点、极小值点以及曲线 y ? f (x) 的拐点。
y

x

a O 四

b

c

d

解答题(本大题有 4 小题,每小题 9 分,共 36 分) x ? 2 2 dx ? ( x ?1) x 1. 求不定积分

? ln x dx
1

e

2. 计算定积分 e

3. 已知直线 l2 的平面方程。

l1 :

x y z ?1 ? ? 1 2 3

l2 :

x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? 2 5 4 , 求过直线 l1 且平行于直线

4.

81 ? 过原点的抛物线 y ? ax 及 y=0,x=1 所围成的平面图形绕 x 轴一周的体积为 5 , 确定
2

抛物线方程中的 a,并求该抛物线绕 y 轴一周所成的旋转体体积。

五、综合题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 8 分)
2 1. 设 F ( x) ? ( x ? 1) f ( x) ,其中 f (x) 在区间[1,2]上二阶可导且有 f (2) ? 0 ,试证明存在 ? ( 1 ? ? ? 2 )使得 F ??(? ) ? 0 。

2.

f ( x) ? ? (t ? t 2 ) sin 2 n tdt ( x ? 0)
0

x

(1) 求 f (x) 的最大值点;

f ( x) ?
(2) 证明:

1 (2n ? 2)( 2n ? 3)

一、单项选择题

B

D

B

C.

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) x 1 ( ? 4 arctan x ? 1)dx x ?1 5. dy ? 2 .
6. 7.

n? n? ( x)dx ? ? cos(x ? 2 )dx ? sin(x ? 2 ) ? c ? . m ? 2, p ? ?6, n ? 0 .
f
(n)

1 (e ? 1) 2 8. . 三、解答题(本大题有 3 小题,每小题 8 分,共 24 分) 1 1 lim( 2 ? 2 ) x ?0 sin x x . 9. (8 分)计算极限

1 1 x 2 ? sin 2 x ? 2 ) ? lim 2 2 2 x ?0 x sin x 解: x?0 sin x x x ? sin x x ? sin x ? lim x ?0 x3 x 1 ? cos x 1 ? 2lim ? x ?0 3x 2 3 1 ? 2 ? x cos , x ? 0 f ( x) ? ? x ?x x ? 0 ,试讨论 f (x) 的可导性,并在可导处求出 ? 10. (8 分)设 lim(
f ?(x) .

1 1 x ? 0 , f ?( x) ? 2 x cos ? sin x x ;当 x ? 0 , f ?( x) ? 1 解: 当 1 ?x 2 cos ?0 ?x ? 0 ?x x?0 f ? '(0) ? lim ? 0 f ? '(0) ? lim ?1 ?x ?0 ? ?x ?0 ? ?x ?x 1 1 ? x?0 ?2 x cos ? sin f ?? x ? ? ? x x ?1 x?0 ? 故 f (x)在 x=0 处不可导。
11. (8 分)设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 连续,在 x ? 0 时二阶可导,且其导函数

f ?( x) 的图形如图.给出 f ( x) 的极大值点、极小值点以及曲线 y ? f ( x) 的拐

点.
y

x

a O

b

c d 极小值点: x ? b

解:极大值点: x ? a x ? d 拐点 (0, f (0)),(c, f (c)) 四

解答题(本大题有 4 小题,每小题 9 分,共 36 分)

( x ? 2) 2 ? x( x ? 1)2 dx . 12. (9 分)求不定积分 4 1 ?3 ? ( x ? ( x ? 1)2 ? x ? 1 )dx 解:原式=

4 ln x ?
=

1 ? 3 ln x ? 1 ? c x ?1

13. (9 分)计算定积分
1

?

e

1 e

ln x dx
.
e 1

解:原式=

? ? ? ln x ? dx ? ?
1 e
1 e

ln xdx
e

? ? ? ? x ln x ? x ?? 1 ? ? x ln x ? x ?1 ? ?
? 2? 2 e

x y z ?1 x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? l2 : ? ? 1 2 3 , 2 5 4 ,求过直线 l1 且平行于 14. (9 分)已知直线 直线 l2 的平面方程. ? ? ? 解: n ? s1 ? s2 ? (1, 2,3) ? (2,5, 4) ? (?7, 2,1) l1 :

取直线 l1 上一点 M1(0,0,1) 于是所求平面方程为

?7 x ? 2 y ? ( z ? 1 ) ? 0
15.

(a ? 0 ) 及 y=0, x=1 所围成的平面图形绕 x (9 分)过原点的抛物线 y ? ax 81 ? 轴一周的体积为 5 . 求 a,并求该抛物线绕 y 轴一周所成的旋转体体积.
2

x5 V ? ? ? ( a x ) dx ? ? a 5 0 解:
2 2 2

1

1

?
0

? a2
5

? a2
由已知得

5

?

81? 2 5 故 a = 9 抛物线为: y ? 9x
1
1

x4 V ? ? 2? x ? 9 x dx ? 18? 4 0 绕 y 轴一周所成的旋转体体积: 五 综合题(每小题 4 分,共 8 分)
2

0

9 ? ? 2

16. (4 分)设 F ( x) ? ( x ? 1) f ( x) , 其中 f (x) 在区间[1,2]上二阶可导且有 f (2) ? 0 .
2

证明:存在 ? ( 1 ? ? ? 2 )使得 F ??(? ) ? 0 。 证明:由 f (x) 在[1,2]上二阶可导,故 F (x)在[1,2]二阶可导,因 f (2)=0,故 F (1)=F
(2) = 0 在[1,2]上用罗尔定理,至少有一点 x0 , (1 ? x0 ? 2) 使 F ?( x0 ) ? 0

F ?( x) ? 2( x ? 1) f ( x) ? ( x ? 1) 2 f ?( x)
17. (4 分).

得 F ?(1) ? 0

在[1,x0]上对 F ?(x) 用罗尔定理,至少有点 ? (1 ? ? ? x0 ? 2) F ??(? ) ? 0

解: (1) x ? 1 为 f ( x) 的最大值点。 f ?( x) ? ( x ? x 2 )sin 2 n x , 当 0 ? x ? 1 , f ?( x) ? ( x ? x 2 )sin 2 n x ? 0 ; 当 x ? 1 , f ?( x) ? ( x ? x 2 )sin 2 n x ? 0 。 f (1) 为极大值,也为最大值。 (2)

f ( x) ? ? (t ? t 2 )sin 2n tdt ? f (1)
0
1 1 0 0

x

f (1) ? ? (t ? t 2 )sin 2 n tdt ? ? (t ? t 2 )t 2 n dt ?

1 (2n ? 2)(2n ? 3)

高等数学上 B(07)解答 一、填空题: (共 24 分,每小题 4 分) dy ? y ? sin[sin( x 2 )] ,则 dx 2 x cos[sin( x 2 )]cos x 2 。 1. ?? a ??? 1 ? x2 dx ? ? , a =__1______。 2. 已知 e ?1e ln x dx ? 2 ? 2 e。 3. x 4. y ? e 过原点的切线方程为 y ? ex 。

x 5.已知 f ( x) ? e ,则 ? 3 9 ? 6. a ? 2 , b ? 2

f '(ln x) dx x = x?c。

3 2 时,点 (1, 3) 是曲线 y ? ax ? bx 的拐点。 二、计算下列各题: (共 36 分,每小题 6 分) cos x 1.求 y ? (sin x) 的导数。

解: y? ? (e 2.求 ? 解: ?

cos x ln sin x

)? ? ecos x ln sin x (? sin x ln sin x ? cot x cos x)

sin ln xdx



sin ln xdx ? x sin ln x ? ? cos ln xdx

? x sin ln x ? x cos ln x ? ? sin ln xdx

1 ( x sin ln x ? x cos ln x) ? C 2 x?5 ? x 2 ? 1 dx 3.求 。 ?

解:

?

x?5

1 d ( x 2 ? 1) 5 dx ? ? dx ? ? dx 2 2 2 x ?1 x ?1 x2 ?1
x?0 x ? 0 在点 x ? 0 处可导,则 k 为何值?

? x 2 ? 1 ? 5ln | x ? x 2 ? 1 | ?C
?e x , ? f ( x) ? ? k ? x ? 1, ? 4.设

解:

f ??(0) ? lim

xk ? lim x k ?1 x ?0 ? x x ?0 ?

f ??( 0 ) ?

k ?1
5.求极限 解:
lim(
n ??

ex ?1 lim ? x ?0 ? x
lim(
n ??

1
1 n 2 ? 22 1

1 n 2 ? 12

?

?? ?

) n2 ? n2 。

1 n 2 ? 12
n k ?1
n

? 1

1 n 2 ? 22

???

1 n2 ? n2

)

? lim ?
n ??

? lim ?
n ?? k ?1

n2 ? k 2 1 1 k2 n 1? 2 n

??

1

1 1 ? x2

0

dx =

? ln( x ? 1 ? x 2 ) |1 ? ln(1 ? 2) 0

? x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 ?2 x ? y ? z ? 0 ? ? 6.求过点 (2, 2, 0) 且与两直线 ? x ? y ? z ? 1 ? 0 和 ? x ? y ? z ? 0 平行的平面 方程。 解 : 两 直 线 的 方 向 向 量 分 别 为 s1 ? (1, 2, ?1) ? (1, ?1,1) ? (1, ?2, ?3), s2 ? (2, ?1,1) ? (1, ?1,1) ? (0, ?1, ?1) , 平面的法向量
n ? (1, ?2, ?3) ? (0, ?1, ?1) ? (?1,1, ?1) 。

平面方程为 x ? y ? z ? 0 。 三、解答下列各题: (共 28 分,每小题 7 分) ? x ? R cos t d2y ? 2 1.设 ? y ? R sin t ,求 dx 。
dy ? ? cot t 解: dx

d2y 1 1 ? (? cot t )? ?? t 2 dx ? R sin t R sin 3 t
0 2.求 在 [?1, 2] 上的最大值和最小值。 解: F ?( x) ? x( x ?1) ? 0, x ? 0, x ? 1
1 1 F (0) ? 0, F (1) ? ? t (t ? 1)dt ? ? , 0 6 ?1 2 5 2 F (?1) ? ? t (t ? 1)dt ? ? , F (2) ? ? t (t ? 1)dt ? 0 0 6 3 2 5 ? 最大值为 3 ,最小值为 6 。
2 2 3.设 y ? y( x) 由方程 x(1 ? y ) ? ln( x ? 2 y) ? 0 确定,求 y '(0) 。 2 2 解:方程 x(1 ? y ) ? ln( x ? 2 y) ? 0 两边同时对 x 求导

F ( x) ? ? t (t ?1)dt

x

(1 ? y 2 ) ? 2 xyy? ?
x ? 0, y ?

2 x ? 2 y? ?0 x2 ? 2 y



1 2 代入上式

5 8 2 2 4.求由 y ? x 与 y ? x 围成的图形绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积。 y ' ( 0? )

解:

V ? ? ? ( y ? y 4 )dy
0

1

3 ? 10 四、证明题:(共 12 分,每小题 6 分) ?

1.证明过双曲线 xy ? 1 任何一点之切线与 OX , OY 二个坐标轴所围成的三角 形的面积为常数。 证明:双曲线 xy ? 1 上任何一点 ( x, y ) 的切线方程为
Y?y?? 1 ( X ? x) x2

1 (0, y ? ), (2 x, 0) x 切线与 x 轴、 y 轴的交点为 1 s ? x y? ) ? 2 ( x 故切线与 OX , OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为 2.设函数 f ( x) 与 g ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续,证明:至少存在一点 ? 使得

f (? )? g ( x)dx ? g (? ) ? f ( x)dx
?
a

b

?

证明:令

F ( x) ? ? g ( x)dx ? f ( x)dx
x a
b

b

x

F (a) ? F (b) ? 0 ,由 Rolle 定理,存在一点 ? ?[a, b] ,使 F ?(? ) ? 0 ,即

f (? )? g ( x)dx ? g (? ) ? f ( x)dx
?
a

?

高等数学上解答(07)
一、单项选择题(每小题 4 分,共 16 分) ?|sin x| (?? ? x ? ??) 是 A 1. f ( x) ? x cos xe 。 (A)奇函数; (B)周期函数; (C)有界函数; (D)单调函数 2 2.当 x ? 0 时, f ( x) ? (1 ? cos x) ln(1 ? 2 x ) 与 B 是同阶无穷小量。 3 4 5 2 (A) x ; (B) x ; (C) x ; (D) x
?x ? 2 y ? z ? 0 ? 3.直线 ? x ? y ? 2 z ? 0 与平面 x ? y ? z ? 1 的位置关系是

(A)直线在平面内; (B)平行; 直。 ? ? ? ? ? a, b, c 。若 a ? b ? 0, 4.设有三非零向量 (A)0; (B)-1;

(C)垂直;

C 。 (D)相交但不垂 A 。 (D)3

? ? ? ? ? a ? c ? 0 ,则 b ? c ?

(C)1;

二、 填空题(每小题 4 分,共 16 分)
1.曲线 y ? ln x 上一点 P 的切线经过原点 (0, 0) ,点 P 的坐标为 (e,1) 。 tan x ? x 1 lim 2 x ? x ?0 x (e ? 1) 3。 2.
y 2 3.方程 e ? 6 xy ? x ? 1 ? 0 确定隐函数 y ? y( x) ,则 y?(0) ? 0 。 2 4.曲线 y ? x 、 x ? 1 与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为

? 5。 三、解下列各题(每小题 6 分,共 30 分)

1.已知 解:

f ( x) ? lim (
t ???

t ? sin 2 x t ) t ,求 f ?( x) 。

f ( x) ? lim (
t ???
2

2 t ? sin 2 x t ) ? e? sin x t

f ?( x) ? ?e? sin x sin 2 x

? [ln(ln x) ? ln x ]dx 。 2.求不定积分
解:

1

? [ln(ln x) ? ln x ]dx ? ? ln(ln x)dx ? ? ln x dx
? x ln(ln x) ? ?

1

1

1 1 dx ? ? dx ln x ln x ? x ln(ln x) ? C 1 2 sin x 2 ??1 x (1 ? x4 ? 1 ? x )dx 。 3.计算定积分 1 1 1 2 sin x 2 2 2 2 sin x ??1 x (1 ? x4 ? 1 ? x )dx ? ??1 ( x 1 ? x )dx ? ??1 x 1 ? x4 dx 解:

? ? ( x2 1 ? x2 )dx ? 0
?1
x ?sin t

1

? 2? 2 sin 2 t cos 2 tdt

?

?

?

0

8

dx ? 4.求不定积分 1 ? cos x 。 dx ? ? dx ? ? dx ? 1 ? cos x 1 ? cos x 解: 1 ? cos x 1 d cos x 2 x ? sec 2 dx ? ? 1 ? cos x 2 x ? tan ? ln |1 ? cos x | ?C 2 f ?(ln x) ? x ,且 f (1) ? e ? 1 ,求 f ( x) 。 5.已知 t 解:令 ln x ? t , f ?(t ) ? e ? 1 ? sin x 1 sin x

1 ? sin x

f ( x) ? e x ? C
f (1) ? e ? 1 , f ( x) ? e x ? 1

四、 (8 分) f ( x) 对任意 x 有 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 设 且
解:由 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , f (1) ? 2 f (0) f ( x) ? f (1) f ?(1) ? lim x ?1 x ?1 x ?t ?1 f (t ? 1) ? f (1) ? lim t ?0 t

f ?0 ) (

??

1 2 。 f ?1 。 求 )(

2 f (t ) ? 2 f (0) t ? 2 f ?(0) ? ?1 ? lim
t ?0
2 2 五、 分)证明:当 x ? 1 时, ( x ? 1) ln x ? ( x ? 1) 。 (8

证明:只需证明 ( x ? 1) ln x ? x ? 1 。 令 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1
1 ?0 x , f ( x) 在 [1, ??) 单调递增。 f (1) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 。即 ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 。 f ?( x) ? ln x ?

六、 (8 分)
已知

F ( x) ? ? ( x2 ? t 2 ) f ??(t )dt
0

x

2 , f ??( x) 连续,且当 x ? 0 时, F ?( x) 与 x

为等价无穷小量。求 f ??(0) 。 F ?( x) lim 2 ? 1 解: x?0 x

F ( x) ? ? ( x2 ? t 2 ) f ??(t )dt ? x2 ? f ??(t )dt ? ? t 2 f ??(t )dt
0 0 0

x

x

x

F ?( x) ? 2 x ? f ??(t )dt ? x f ??( x) ? x f ??( x) ? 2x ? f ??(t )dt
2 2 0 0

x

x

lim

2 x ? f ??(t )dt F ?( x) 0 ? lim ? 2 f ??(0) x ?0 x ?0 x2 x2 1 f ??(0) ? 2

x

七、 (8 分)
2 设有曲线 y ? 4 x (0 ? x ? 1) 和直线 y ? c (0 ? c ? 4) 。 记它们与 y 轴所围 图形的面积为 A1 ,它们与直线 x ? 1 所围图形的面积为 A2 。问 c 为何值

时,可使 A ? A1 ? A2 最小?并求出 A 的最小值。 解:
A ? A1 ? A2 ? ?
A?(c) ? c ? 1
c 0 4 y y dy ? ? (1 ? )dy c 2 2

令 A?(c) ? c ? 1 ? 0 ,得 c ? 1 。 1 A??(1) ? ? 0 2 , c ? 1 为最小值点。
4 y y dy ? ? (1 ? )dy ? 1 0 2 1 2 八、设 f ( x) 在 (a, b) 内的点 x0 处取得最大值,且 | f ??( x) |? K (a ? x ? b) 。 证明: | f ?(a) | ? | f ?(b) |? K (b ? a)

min A ? ?

1

证明: f ?( x0 ) ? 0

在 [a, x0 ] 对 f ?( x) 应用拉格朗日定理 f ?( x0 ) ? f ?(a) ? f ??(?1 )( x0 ? a) (a ? ?1 ? x0 ) f ?(a) ? f ??(?1 )(a ? x0 ), |f ?(a) |? K ( x0 ? a) 在 [ x0 , b] 对 f ?( x) 应用拉格朗日定理 f ?(b) ? f ?( x0 ) ? f ??(?2 )(b ? x0 ) ( x0 ? ?2 ? b) f ?(b) ? f ??(?2 )(b ? x0 ), |f ?(b) |? K (b ? x0 )
一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题分 5 小题, 每小题 2 分, 共 10 分) 1、

设I ? ?

ex ?1 d x, 则I ? ex ?1 ( A)   e x ? 1) ? c   )   e x ? 1) ? c; ln( ( B ln( (C )   e x ? 1) ? x ? c; 2 ln( ( D)  x ? 2 ln(e x ? 1) ? c.
答( )

2、
1 n ?? 2

lim e n ? e n ? e

n ?1 n

?e ?

( A)1  ( B ) e   (C )e  ( D)e 2           答(  )
3、

1 的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn ( x) ? (    )(式中0 ? ? ? 1) 1? x (?1) n 1 ( A)   x n ?1     )   (B x n ?1 n ?1 n ?1 (n ? 1)(1 ? ?x) (n ? 1)(1 ? ?x) f ( x) ? (?1) n 1 (C )   x n ?1       )    (D x n ?1 n?2 n?2 (1 ? ?x) (1 ? ?x)                      答  ) (   
4、

设f ( x)在x ? 0的某邻域内连续, 且f (0) ? 0, lim

f ( x) ? 2 , 则点x ? 0 x ?0 1 ? cos x ( A)  是f ( x)的极大值点     )  是f ( x)的极小值点 (B (C )  不是f ( x)的驻点       )  是f ( x)的驻点但不是极值点 (D                            答  ) (   

5、

曲线y ? x 2 ? 2 x ? 4上点M 0 (0,4)处的切线M 0T与曲线y 2 ? 2( x ? 1)所围成的平面 图形的面积A ? 21 4 9 13 ( A)       )      )      )   (B (C (D 4 9 4 12
答( )

二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分)

1 设 y ? ln 1 ? tan( x ? ) ,则y ? ? ____ x 1、
2
3 2



用切线法求方程x ? 2 x ? 5x ? 1 ? 0在(?1,内的近似根时, 选x0并相应求得下 0) 一个近似值x1 ? 则x0,x1分别为__________ ________? x ?1 y ?1 z ?1 ? ? 2 ? 与 x ? 1 ? y ? 1 ? z 相交于一点, ? ? ????? 。 3、 设空间两直线 1 则

? sin x ? e 2 ax ? 1 ,当x ? 0 ? f ( x) ? ? , 在x ? 0处连续,则a ? __________ . _ x ?a     ,当x ? 0 ? 4、
5、 0 三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

?

b

x dx ? __________ _______ ,其中b是实数.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c ? 2i ? 6 j ? k 与 ? 与两个向量 a ? 3i ? j 和 b ? i ? j ? 4 k 平行, 设平面 证明: 向量 平面 ? 垂直。
四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

讨论积分?

1

0

五、解答下列各题 ( 本 大 题 11 分 )

dx 的敛散性. xp

导出计算积分I n ? ?
六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

dx xn x2 ?1

的递推公式, 其中n为自然数。

?x ? 2 y ? z ? 5 ? 0 l1 : ? ? z ? 10 ? 0 求过 P0 (4,2,?3) 与平面 ?: x ? y ? z ? 10 ? 0 平行且与直线 垂
直的直线方程。 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

计算极限 lim
八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

x ?0

1 ? x sin x ? cos 2 x x tan x

试求I n ? ? (ln x) n dx 的递推公式(n为自然数),并计算积分? (ln x) 3 dx .
1 1

e

e

九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

设f ( x) 在(a, b) 内可微, 但无界,试证明f ?( x) 在(a , b) 内无界。
十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

设 lim ?( x) ? u 0, f (u ) ? f (u 0 ) , 证明: f ??( x)? ? f (u 0 ) lim lim
x ? x0 u ?u 0 x ? x0



十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

在半径为R的球内, 求体积最大的内接圆柱体的高
十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 重量为 p 的重物用绳索挂在 A, B 两个钉子上, 如图。 设 所受的拉力 f 1 , f 2 。

cos ? ?

12 4 ,cos ? ? 13 5 , A, B 求

A O

B

p
十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

  一质点 , 沿抛物线y ? x (10 ? x ) 运动 , 其横坐标随着 时间t的变化规律为x ? t t (t的单位是秒 , x的单位是米 ), 求该质点的纵坐标在点M (8, 6) 处的变化速率.
十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

设曲线x ?

y , x ? 2 ? y 2 及y ? 0,围成一平面图形.(1)求这个平面图形的面积;

(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.
、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题分 5 小题, 每小题 2 分, 共 10 分) 1、C 2、答:B 3、 C 10 分 4、 (B) 5、C 二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分)

1 1 ) sec 2 ( x ? ) 2 x x 1 2(1 ? tan( x ? )) x 1、 (1 ?
2、 x0 ? 0

10 分 5分 10 分

x1 ? ?

1 5

5 3、 4
4、-1

? b2 ?? 2 ,b ? 0 ? ? ?0 ,b ? 0 ?b 2 ? ,b ? 0 ? 5、 ? 2
三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

10 分

? ? ? n ? a ?b ? 3 1
平面法向量

? i

? j

? k 0 ? {?4,12,2}
4分 8分 10 分

1 1 ?4

? 从而平面与 c 垂直。
四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

? ? n ? ?2c ? ? n 与 c 平行

  当p ? 1时,

?

1 dx dx 1 1 ? lim ? p ? lim ( ? p ?1 ) 1 ? p 0 x ? ??0 ? x ? ??0 1 ? p x 1 1    ? lim (1 ? p ?1 ) ? ??0 1 ? p ? ? 1 ,p ? 1 ? ? ?1 ? p ???,p ? 1 ? 1

5分

当p ? 1时,

?

1 dx dx ?? ? lim ln x 1 ? ?? ? p 0 x 0 x ? ??0 1 dx ?0 x p 当p ? 1时收敛,当p ? 1时发散. 1

7分 10 分

五、解答下列各题 ( 本 大 题 11 分 )

解 : 法一 In ? ? 1 x
n ?1

d x2 ?1

?

x2 ? 1 x2 ? 1 ? (n ? 1) ? dx x n ?1 x n?2

3分

? ? ?

x2 ? 1 1? x2 ? (n ? 1) ? dx x n ?1 x n?2 x 2 ? 1 x2 ? 1 1 dx ? (n ? 1) ? dx ? (n ? 1) ? n ?1 n?2 2 n x x x ?1 x x2 ? 1 x2 ? 1 ? (n ? 1) I n ? 2 ? (n ? 1) I n x n ?1
x2 ? 1 n ? In n ?1 n ?1 (n ? 1) x
7分

故I n ? 2 ? ?

1? x2 1                 I 1 ? ln ? ?c x x ? In ? ? x2 ? 1 2 ? n ? I n ? 2 (n ? 2)  I 0 ? ln 1 ? x 2 ? x ? c n ?1 n ?1 (n ? 1) x
10 分 3分

法二 令x ? tan t  dx ? sec 2 tdt

? In ? ?

sec tdt sec t ?? dt n tan t sec t tan n t d sect ?? tan n ?1 t sect sec3 t ? ? ? (n ? 1) dt tan n ?1 t tan n ? 2 t sect sec3 t sect ? ? ? (n ? 1) dt ? (n ? 1) ? dt n ?1 n?2 tan t tan t tan n t
x ?1 ? (n ? 1)( I n ? 2 ? I n ) x n ?1
2

2

5分

 ?

? I n?2 ? ? ? In ? ?

n x2 ? 1 In ? n ?1 (n ? 1) x n ?1

x2 ? 1 2?n ? I n ? 2 ( n ? 2) n ?1 n ?1 (n ? 1) x

7分

1? x2 1 I 1 ? ln ? ?c x x

I 0 ? ln 1 ? x 2 ? x ? c.
六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

10 分

,, ? 的法向量为 n ? {111}

i

j

k 1

S1 ? 1 2 ?1 ? {2,?1,0}
l1 的方向向量为
所求直线方向向量为

0 0

3分 7分

S ? n ? S1 ? {1,2,?3}
从而所求直线方程为

10 分 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

x?4 y?2 z?3 ? ? 1 2 ?3

原式 ? lim
x ?0

1 ? x sin x ? cos2 2 x x tan x ( 1 ? x sin x ? cos 2 x )
3分 7分 10 分

1 x sin x sin 2 2 x lim( ? ) 2 x?0 x tan x x tan x 1 5 ? (1 ? 4) ? 2 2 ?
八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

In ?

?

e

1

(ln x ) n dx
e 1

e   ? x ln n x 1 ? n ? (ln x ) n ?1dx

? e ? nI n?1

4分
e 1

于是 I n ? e ? ne ? n(n ? 1)e???(?1) n n! ? dx
? e ? ne ? n(n ? 1)e ? ? ? (?1) n?1 n(n ? 1) ? 2e ? (?1) n n!(e ? 1)
7分

所以  ? (ln x) 3 dx ? e ? 3e ? 6e ? 6(e ? 1)
1

e

    ? 6 ? 2e
九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

10 分

证明: 反证设f ?( x ) 在 (a , b) 内有界 , 即?M ? 0则?x ? (a , b) 有 f ?( x ) ? M
取x 0 ? (a, b)则对?x ? (a, b), x ? x0 在以x0 与x为端点的区间上f ( x) 满足拉格朗日中值定理的条件, 则至少存在?介于x0 与x之间, 使
2分

  f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?(? )( x ? x0 )
即 f ( x ) ? f ( x 0 ) ? f ? (? ) (b ? a )     ? f ( x 0 ) ? M (b ? a ) 记为K

5分

8分

即f ( x) 在(a , b) 内有界与题意矛盾, 故假设不正确, 即f ?( x) 在(a , b) 内无界.
10 分 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

由 lim f (u ) ? f (u 0 )
u ?u0

任给? ? 0,存在? ? 0 使当u ? u 0 ? ?时,恒有 f (u ) ? f (u 0 ) ? ?

4分

又 lim ?( x) ? u 0,取?1 ? ?,存在? ? 0
x ? x0

使当0 ? x ? x0 ? ?时,( x) ? u 0 ? ? ?

8分

故当0 ? x ? x0 ? ?时,就有
因此 lim f ?? ( x ) ? ? f ( u0 )
x ? x0

f ?? ( x)? ? f (u0 ) ? ?成立

10 分

十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

设内接圆柱体的高为h, 则圆柱体的底面半径r ? R 2 ? ( 其体积为   V ? ?h( R 2 ? h2 )    h ? 2 R 0? 4

h 2 ) 2
4分

   V ? ? ? ( R 2 ? 唯一驻点 h ?

3 2 h ) 4

2 3 R 3
8分 10 分

3   V ?? ? ? ?h ? 0 2
故h ? 2 3 R时 , 圆柱体体积最大 3

十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 按点 O 受力平衡,应有

4 ?12 ? 13 f 1 ? 5 f 2 ? p ? 5 ? f 1 cos ? ? f 2 cos ? ? p 3 ? ? f1 ? f 2 ? 0 ? f 1 sin ? ? f 2 sin ? ? 0 ,即 ? 13 5 39 25 f1 ? p, f2 ? p 56 56 解得
十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

(4 分 ) (8分 )

(10 分)

当 x ? 8时,t ? 4

2分

3 dx ? t 2 ? 3(米/秒) 2 dt t?4 t?4

1

4分

dy dx ? (10 ? 2 x) ? x?8 dt dt

? ?18(米/秒) x(t ) ? 3
10 分

答:质点的纵坐标在M(8,16) 处的变化率为 ? 18( 米/秒)
十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

解:(1)    x ?
1 0

y  x ? 2 ? y 2  交点 (11). ,
2 1

   S ? ? x 2 dx ? ?

2 ? x 2 dx
2

1 x x     ? ? ( 2 ? x 2 ? arcsin ) 3 2 2 1
1 1 ? ? ? ? ? 3 2 2 4 ? 1 ? ? , 4 6 ?

3分

5分
2 1

(2)  Vx ? ? ? x 4 dx ? ? ? (2 ? x 2 )dx
0

1

8分

?

?

5 4 2 22 ?( ? )? . 3 15

? 2( 2 ? 1)? ?

?
3

(2 2 ? 1)

10 分

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题分 4 小题, 每小题 3 分, 共 12 分) 1、

lim(1 ? cos x ) 2 sec x ? (    )
x ??

1 4              答(  ) A.e ?2   B.e 2   C. 4   D.
2、

  设f ( x), g ( x)在x 0的某去心邻域内可导, g ?( x) ? 0且 lim f ( x) ? lim g ( x) ? 0,
x ? x0 x ? x0

则( I ) lim

x ? x0

f ( x) f ?( x) ? A与(Ⅱ) lim ? A关系是 : x ? x0 g ?( x ) g ( x)

( A)   是(Ⅱ)的充分但非必要条件 () Ⅰ ( B )   是(Ⅱ)的必要但非充分条件 () Ⅰ (C )   是(Ⅱ)的充要条件 () Ⅰ ( D )   不是(Ⅱ)的充分条件,也不是必要条件 () Ⅰ                    答( )
3、

设f ( x)在?a,b?连续,F ( x) ? ? f ( x)dt  ? x ? b),则F ( x)是f ( x)的 (a
x a

  ).原函数一般表示式         B).一个原函数 (A (   ).在?a,b?上的积分与一个常数之差 (C
4、

  ).在?a,b?上的定积分 (D

                        答(  )
若已知x ? 0时,F ( x) ? ? ( x 2 ? t 2 ) f ??(t ) d t的导数与x 2 是等价无穷小,则f ??(0) ?
0 x

( A)1     (C )  1  ?

1 ( B)   2 ( D)   ?

1 2                 答(  )

二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分 4 小题, 每小题 3 分, 共 12 分)
1

1、 y ? xe 2、 3

x2

的铅直渐近线是__________ _______
__________. 、

? tan

2

xd x ?

设f ( x)为以T为周期的连续周期函数,则f ( x)在?a,a ? T ?(a ? 0)上的定积分与 f ( x)在?0,T ?上的定积分的大小关系是 __________ ____ x y?2 z?7 ? ? 3 5 4 、 直 线 1 与 平 面 3x ? y ? 9z ? 17 ? 0 的 交 点 为
??????????????????? 。 三、解答下列各题 (本大题共 2 小题,总计 12 分) 1、(本小题 6 分) 2、(本小题 6 分)

写出f ( x) ? ln(1 ? x)? x ? 1?带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林展开式.

x2 y2 ? ? z2 16 指出锥面 4 被平行于 zox 平面的平面所截得的曲线的名称。
四、解答下列各题 (本大题共 5 小题,总计 24 分) 1、(本小题 1 分)

求  x d x. ?
2、(本小题 2 分)

计算? ( x ? x )dx .
0

4

3、(本小题 5 分)

求?
求?
4

ln x d x. x 1 ? ln x
. x(1 ? x )
tan x 2

4、(本小题 5 分)

dx

1

5、(本小题 11 分)
?

设 y ( x ) ? (2 ? x )

1 , ( ? x ? 1) 求dy. 2

五、解答下列各题 (本大题共 2 小题,总计 14 分) 1、(本小题 7 分)

试证:F (t ) ? ? ln(t 2 ? 2t cos x ? 1)dx为偶函数.
0

?

2、(本小题 7 分) 试证: 对角线向量是 A ? ?3,?4,?1?, B ? ?2,3,?6? 的平行四边形是菱形, 并计算其边长。 六、解答下列各题 (本大题共 3 小题,总计 20 分) 1、(本小题 6 分)

在抛物线y ? x 2 找出到直线3xk ? 4 y ? 2 的距离为最短的点
2、(本小题 6 分)

设曲线的方程为y ? f ( x ). 已知在曲线的任意点 ( x , y ) 处满足y ?? ? 6 x , 且在曲线上的 (0,?2) 点处的曲线的切线的方程为 2 x ? 3 y ? 6, 求此曲 线的方程.
3、(本小题 8 分)

经济学上, 均衡价格p0 定义为供给曲线与需求曲线相交时的价格, 消 费者剩余定义为需求曲线与直线p ? p0间的面积(右图区域?), 生产 者剩余定义为供曲线与直线p ? p0间的面积(右图区域? ).已知需 求曲线方程p( x) ? 1000 ? 0.4 x 2 , 供给曲线方程为p( x) ? 42 x.求均衡 点及消费者剩余和生产者剩余.

七、解答下列各题 (本大题共 2 小题,总计 6 分) 1、(本小题 1 分)

设f ( x)在x ? x0 处连续,g ( x)在x0 处不连续, 试判定F ( x) ? f ( x) ? g ( x)在x0 处的连续性.
2、(本小题 5 分)

若 lim f ( x) ? ?, g ( x) ? A,试判定 lim f ( x) ? g ( x)是否为无穷大? lim
x ? x0 x ? x0 x ? x0

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题分 4 小题, 每小题 3 分, 共 12 分) 1、D 10 分 2、 答 ( B) 3、B 4、B 二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分 4 小题, 每小题 3 分, 共 12 分) 1、 x ? 0 2、 ? tan x ? x ? c. 3、= 4、 (2,4,3) 三、解答下列各题 (本大题共 2 小题,总计 12 分) 1、(本小题 6 分) 10 分 10 分 10 分

10 分

x2 x3 xn ? ??? ? Rn ( x ) 2 3 n 1 1 Rn ( x ) ? ? ? x n ?1 , ?介于 0与x之间 n ?1 n ? 1 (1 ? ? ) f ( x) ? ? x ?
2、(本小题 6 分)

7分 10 分

? x2 y2 ? ? z2 ? ? 0 ?4 16 y ? y0 所截得的曲线为 ? y ? y 0 ? 用 故 y0 ? 0 时为一对相交直线
y0 ? 0 时为双曲线
四、解答下列各题 (本大题共 5 小题,总计 24 分) 1、(本小题 1 分)

4分 10 分

?

x dx ?

2 3 x 2 ? c. 3
3 4 0

10 分

2、(本小题 2 分)

x2 2 2 原式 ? ( ? x ) 2 3 40 ? 3

7分 10 分

3、(本小题 5 分)

ln x dx x 1 ? ln x ln x ?? d(ln x) 1 ? ln x

?

3分

? ? 1 ? ln x d(1 ? ln x) ? ?

d(1 ? ln x) 1 ? ln x
7分 10 分

?

2 (1 ? ln x) 3

3 2

? 2 1 ? ln x ? c.

4、(本小题 5 分)

令  x ? t

原式 ? ?

2

1

2t dt t (1 ? t )
2

4分 6分
2

2 1 1 ? 2? ( ? )dt 1 t t ?1

? 2?ln t ? ln(t ? 1)?1

8分 10 分 2分

? 2 ln

4 3

5、(本小题 11 分)

dy ? y ?( x)dx

  ? (2 ? x )

tan x 2

?

1 ?x ? ?? 2 ?x ? 2 sec 2 ln(2 ? x ) ? 2 ? x tan 2 ?dx ? ?

10 分

五、解答下列各题 (本大题共 2 小题,总计 14 分) 1、(本小题 7 分)

F ( ?t ) ? ? ln(t 2 ? 2t cos x ? 1)dx
0

?

2分

令 x ? ? ? u

F (?t ) ? ?? ln(t 2 ? 2t cos u ? 1)du
?

0

6分 8分 10 分

? ? l n t 2 ? 2t c o s ? 1)dx ( x
0

?

? F (t )
2、(本小题 7 分) 因为 A ? B ? 3 ? 2 ? ( ?4) ? 3 ? ( ?1) ? ( ?6) ? 0 ,故 A? B 因此这个平行四边形的对角线是垂直的,于是它是菱形。 (6 分) 边长=

?

0.5?| A| ? 0.5?| B|

? ?
2

?

2

?1 ? ? 32 ? ( ?4) 2 ? ( ?1) 2 ?2

?

?

1/ 2

? ?1 2 2 2 ? ? ? 2 ? 3 ? ( ?6) ? ?2

2

?

?

1/ 2

? ? ?

2

?

5 3 2

(10 分)

六、解答下列各题 (本大题共 3 小题,总计 20 分) 1、(本小题 6 分)

设抛物线上任点( x, x 2 ), 到直线的距离为
d? 3x ? 4 x 2 ? 2 9 ? 16 1 ? ( 4 x 2 ? 3x ? 2) 5

4分

1 d ? ? (8 x ? 3) 5 唯一驻点 x ? d ?? ? 3 8

8 ?0 5 3 故当x ? 时, d最小 8 9? ?3 即点? , ? 到直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0的距离最短 ? 8 64 ?
(注如用切线平行于已知直线解也可以) 2、(本小题 6 分)

8分 10 分

? y ? ? ? y ?? d x ? 3 x 2 ? c       (1)

3分

又由 2 x ? 3 y ? 6得y ? ? y?
( 0 , ?2 )

2 x?2 3

?
2 3

2    代入 (1) 得 3
5分

y ? ? 3x 2 ?

? y ? ? (3x 2 ?

2 2 ) d x ? x3 ? x?c 3 3
2 x ? 2. 3
10 分

再将(0,?2)代入得c ? ?2,? y ? x 3 ?
3、(本小题 8 分)

? p ? 1000 ? 0.4 x 2 ? ? p ? 42 x ,

解出x ? 20. 均衡点p ? 840.
消费者剩余? (1000 ? 0.4 x 2 ) ? 840 dx
0 20

?

?

3分

     2133 .33 ? 生产者剩余? ?840 ? 42 x ?dx
20 0

? 8400

6分 10 分

七、解答下列各题 (本大题共 2 小题,总计 6 分) 1、(本小题 1 分)

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在x0 处必不连续

4分

若F ( x ) 在x 0 处连续,则 g ( x ) ? F ( x ) ? f ( x ) 在x 0 处也连续,矛盾!
2、(本小题 5 分) 10 分

答:不一定. 1 1 ? ?0 f ( x) g( x) ? lim f ( x ) ? g ( x ) ? ? 若A ? 0, lim
x ? x0

x ? x0

4分 6分

但若A ? 0则等式可能不成立
例如 lim 1 ? ?, lim ( x ? 1) 2 ? 0 x ?1 x ? 1 x ? x1 1 但 lim ? ( x ? 1) 2 ? 0 ? ? x ?1 x ? 1

10 分

1、

极限 lim (1 ?
x ?0

x x )    ? 0,b ? 0)的值为 (a a
b

b

( A)1.  ) ln (B
2、

b be   )e a .  ) (C (D a a               答(  )
3 cos x

lim(1 ? cos x )
x ?0

?

A.e 3   B.8  C.1  D.?                答(  )
3、

  设f ( x ) 在[a , b]上连续 , 在 (a , b) 内可导记 ( Ⅰ ) f (a ) ? f (b) ( Ⅱ ) 在 (a , b) 内f ?( x ) ? 0则: ( A)( Ⅰ ) 是 ( Ⅱ ) 的充分但非必要条件 ( B )( Ⅰ ) 是 ( Ⅱ ) 的必要 , 但非充分条件 (C )( Ⅰ ) 是 ( Ⅱ ) 的充要条件 ( D)( Ⅰ ) 与 ( Ⅱ ) 既非充分也非必要条件                     答  (   )
4、

若?x0,f ( x0 ) ?为连续曲线, y ? f ( x)上的凹弧与凸弧分界点 则(    , ) ( A)  0,f ( x0 ))必为曲线的拐点 (x ( B)  0,f ( x0 ))必定为曲线的驻点 (x (C )  x0为f ( x)的极值点 ( D)  x0 必定不是f ( x)的极值点                     答(    )
5、

一长为Lcm的杆OA绕O点在水平面上作圆周运动. 杆的线密度? ? r为杆上一点到O点的距离 , 角速度为? , 则总动能? ?

1 , r

1 1 1 1 ( A)   ? 2 L2    ( B)   ? 2 L2    (C )   ? 2 L2    ( D)   ? 2 L2 2 3 4 5
二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分 3 小题, 每小题 3 分, 共 9 分) 1、 2、

答(

)

? (3 ? x

2 3

) dx ?
x 0

_______________.

设f ( x) ? ? t (t ? 1)dt,则f ( x)的单调减少的区间是__________

3、对于 ? 的值,讨论级数 n ?1 (1)当??????时,级数收敛 (2)当??????时,级数发散 三、解答下列各题 (本大题共 3 小题,总计 13 分) 1、(本小题 4 分) 2、(本小题 4 分) 级数

? (n

?

n?

? 1)

验证f ( x) ? x 2 在[2,4]上拉格朗日中值定理的正确性

? ?? 1?
n ?1

?

n ? n ?1? 2

n10 10 n

是否收敛,是否绝对收敛? 3、(本小题 5 分)

? ? 3? ? x ?? ? , ? ? 2 2 ? 时, f ? x ? ? x 。 设 f ? x ? 是以 2? 为周期的函数, 当 又设 S ? x ? 是 f ? x ? 的 以 2? 为周期的 Fourier 级数之和函数。试写出 S ? x ? 在 ? ??, ?? 内的表达式。
四、解答下列各题 (本大题共 5 小题,总计 23 分) 1、(本小题 2 分)

求极限  lim
2、(本小题 2 分)

x 3 ? 12 x ? 16 x ?2 2 x 3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 4

求 ? (e x ? 1) 3 e x dx.
3、(本小题 4 分)

求?

2 1

x2 ?1 dx. x

4、(本小题 7 分)

求? x d x.
5、(本小题 8 分) 试将函数 五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )
?

y?

1 x 2 在点 x0 ? 0 处展开成泰勒级数。

如果幂级数 n ?0 在 x ? ?2 处条件收敛,那么该 级数的收敛半径是多少? 试证之. 六、解答下列各题 (本大题共 2 小题,总计 16 分) 1、(本小题 7 分)

?a

n

xn

如图要围成三间长都为 y , 宽都为 x 的长方形屋围 , 其墙的总长度为a, 问x, y各等于多少时 , 所围成的总面积最大?(墙的厚度不计)

2、(本小题 9 分)

求由曲线y ? e 2 x , x轴及该曲线过原点的切线所围成的平面图形的面积.
七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

?chx,x ? 0, 设 f ( x) ? ? , 试讨论f ( x)的可导性并在可导处求出f ?( x) ?ln(1 ? x),x ? 0
八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

计算 lim

x ?0

? (a ? b )dt , ? 0,b. ? 0). (a ln(1 ? t )dt ?
t t 0 2x 0

x

九、解答下列各题 ( 本 大 题 12 分 )

设函数f ( x)在?a,b?上有连续导数(a ? 0),又设x ? r cos ?,f ( x) ? r sin ?. 试证明:? f ( x)dx ? ? r 2 (?)d? ? bf (b) ? af (a) , 2
a ? b ?

其中? ? arctan

f (a) f (b) ,? ? arctan . a b

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中)

(本大题分 5 小题, 每小题 2 分, 共 10 分)

C 1、 答: 2、B
3、 答  ( B) 4、 ( A) 5、

10 分 10 分 10 分

C 1 (dm)v 2 2 1 1    ? ? dr ? (?r ) 2 2 r 1    ? ? 2 rdr 2 L 1  E ? ? ? 2 rdr 0 2 1   ? ? 2 L2 4 因dE ?

二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分 3 小题, 每小题 3 分, 共 9 分)

9 5 x7 ? 27 x ? 9 x ? x ? ? c. 5 7 1、
3

2、

(0,1)   ( 答 0,1 不扣分 )

?

?

10 分 10 分

3、 ? ? ?1 时收敛

? ? ?1 时发散
三、解答下列各题 (本大题共 3 小题,总计 13 分) 1、(本小题 4 分)

证明: f ( x) ? x 2 在[2 , 3]上连续 , 在(2 , 3)可导 即f (x)在[2 , 3]上满足拉格朗日中值定理的条件

4分

又f ' ( x) ? 2 x f (4) ? f (2) ?6 4?2 得到(2 , 3)内有解? ? 3 令f ' (?) ? 2? ?

8分

即存在? ? 3 , 使f ' (?) ?

f (4) ? f (2) 4?2 这就验证了拉格朗日中值定理对函数f ( x) ? x 2 在[2 , 3]上的正确性
10 分

2、(本小题 4 分)

un ? ?? 1?


n ? n ?1? 2

n10 n10 ? n 10 n 10

由于 故原级数绝对收敛,从而收敛 3、(本小题 5 分) 对 的表达式为

un ?1 1 ? un 10

?n ? ? ?
……6 分 ……10 分

f ? x? ? x , ?

?
2

?x?

3? 2 作周期为 2? 的延拓, f ? x ? 在 ???, ?? 内

? ? ? x ? 2? , ?? ? x ? ? 2 , ? ? ? f ? x ? ? ? ? x , ? ? x ? 0, 2 ? x, 0 ? x ? ?, ? ? ?
f ? x ? 满足 Fourier 级数收敛的充分条件。


(3 分) (5 分)

? ? x ? 2? , ? ? ?, S? x? ? ? ? ? ?x , ? x, ?
分)

?? ? x ? ? x?? ?

?
2

,

?
2

,

? x ? 0, 2 0 ? x ? ?,

?

(10

注:只要写出 S ? x ? 的表达式即可得 10 分。 四、解答下列各题 (本大题共 5 小题,总计 23 分) 1、(本小题 2 分)

3x 2 ? 12 x ? 2 6 x 2 ? 18 x ? 12 6x     ? lim x ?2 12 x ? 18 解: 原式 ? lim

5分 8分 10 分

    ? 2
2、(本小题 2 分)

? (e ? 1) e ? ? (e ? 1)
x 3
x

x

dx
d(e x ? 1)
5分 10 分

3

?

1 x (e ? 1) 4 ? c. 4

3、(本小题 4 分)

令 x ? sec t
原式 ? ? 3 tan 2 tdt
0

?

4分

? ? 3 ( s e 2ct ? 1)dt
0

?

6分 8分 10 分

? ( t a t ? t) n
? 3?
4、(本小题 7 分)

? 3 0

?
3

?

? x2 ? c1   x ? 0, ? ? 2 x dx ? ? 2 ?? x ? c 2  x ? 0. ? 2 ?

5分

由原函数的连续性 , 得 x2 x2 ? c1 ) ? lim? ( ? ? c2 ) x?o x?o 2 2    ? c1 ? c2   令c1 ? c2 ? c lim? (

? x2 ? c,  x ? 0, ? x ?x ? 2 ?? x d x ? ? ? ? c. 2 2 ?? x ? c,  x ? 0 ? 2 ?
5、(本小题 8 分) 因为

10 分

? 1 ?1? ? ?? ? x2 ?x? 1 1 1 ? ? x ? x0 x x0 1? x0
……3 分
? 1 ? ? ?? 1? x n 1 ? x n ?0 n

x ? ?? 1,1?



……5 分

所以

1 1 ? x x0

? ?? 1?
n ?0
n ?1

?

n

? x ? x0 ?
x0
n

n

x ? ?0,2 x0 ?
x ? ?0,2 x0 ?
……10

? 1 ? ? ?? 1? x 2 n ?0

n ? x ? x0 ? n ?1 x0

n ?1

分 五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 由题意,知:

x ? 2 时, 级数绝对收敛; x ? 2 时, 级数不可能收敛. 当
当 故收敛半径是 2. 六、解答下列各题

……4 分 ……8 分 ……10 分

(本大题共 2 小题,总计 16 分) 1、(本小题 7 分)

a 3 ? x 4 2 a 3 总面积为A ? 3xy ? 3x ( ? x ) 4 2 如图 4 y ? 6 x ? a  y ?

3分
2

dA 3a a dA d A ? ? 9 x  当x ? 时, ? 0   2 ? ?9 ? 0 dx 4 12 dx dx a 故当x ? 时, A取得唯一极大值也是最大值 12 a 3 a a 此时  y ? ? ? ? 4 2 12 8 a a 故当x ? ,y ? 时 , 所求总面积最大 12 8
2、(本小题 9 分)

6分 8分

10 分

解: y ? ? 2e 2 x .   设切点 (t 0 , e 2 t0 ), ? 切线y ? 2e 2 t0 x , ? y ? e 2 t0 , 1 ?    ?   t 0 ? 2 t0 2 ? ? y ? 2e t 0
1 切线y ? 2ex ,    切点 ( , e) 2 1 1 1 2 ? s ? ? e 2 x dx ? ? ? e ?? 2 2 1 1 1 1 ? e 2 x 2 ? e ? e. ?? 2 4 4
七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

3分 6分 8分 10 分

f (0) ? 1,f (0 ? 0) ? lim ln(1 ? x) ? 0
x ?0? 0

f (0 ? 0) ? lim cosh x ? 1
x ?0? 0

3分 5分

f ( x) 在x ? 0处不连续, 故不可导
?sinh x,x ? 0, ? f ? ( x ) ? ? ?1 ? 1 ? x ,x ? 0 , ?
八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

10 分

原式 ? lim

ax ? bx x ? 0 2 ln(1 ? 2 x )

5分

a x ln a ? b x ln b x ?0 4 1 ? 2x 1 a ? ln 4 b ? lim
九、解答下列各题 ( 本 大 题 12 分 )

10 分

因为r 2 ? x 2 ? f 2 ( x ) ,? ? arctan
?
b

f ( x) xf ?( x ) ? f ( x ) ,d? ? dx x x 2 ? f 2 ( x)

4分 6分

于是 ? r 2 (? )d? ?? ? xf ?( x) ? f ( x)?dx
?
a

? ? xf ?( x)dx ? ? f ( x)dx
a a

b

b

? xf ( x) ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
b a a a

b

b

8分

? bf (b) ? af (a) ? 2? f ( x)dx
a

b

所以 2? f ( x)dx ? ? r (? )d? ? bf (b) ? af (a)
2 a

b

?

?

10 分

一、

一、

填空

1.

1. x=0 是 f(x)的连续点。 解:
f ( 0) ? 1 2
x ?0?

? cos x ? x? 2, x ? 0 ? f ( x) ? ? ( a ? 0) ? a ? a ? x ,x ? 0 ? x ? 设 当 a=

时,

a ? a? x 1 ? x 2 a 故a ? 1时x ? 0是连续点, ? 1时x ? 0是间断点。 a dy 设方程 x ? y ? arctan y ? 0 确定了 y ? y( x ), 求 dx = 2. 。 y? 1 ? y2 1 ? y? ? ? 0 y? ? 1 ? y2 y2 解: 1 ? a cos 2 x ? b cos 4 x lim x4 3. x?0 =A,则 a= ,b= , A= 。 解:要使极限存在,分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小, 于是有 1+a+b=0,用一次罗必达法则分子仍为无穷小,有 a+4b=0 解出:a=-4/3 b=1/3 代入求得极限 A=8/3 lim cos x 1 ? x?2 2
x ?0?

lim

x 4.函数 y ? x 2 的极小值点为



解: y ? ? 2 ?1 ? x ln 2? 驻点 驻点为极小值点。
x

x??

1 x 2 ln 2 , y ?? ? 2 ( 2 ln 2 ? x(ln 2) ) 在驻点处 y’’>0,故

5.设 f (x) = x lnx 在 x0 处可导,且 f’(x0)=2,则 f (x0)= 解: f ?( x ) ? ln x ? 1,由f ?( x 0 ) ? 2知x 0 ? e, 于是有f ( x 0 ) ? e.



6.设 lim
x ?0

f ? x ? ? f ?0? ? ?1, x2 则 f(x)在 x=0 取得

(填极大值或极小值) 。

解:

? lim

f ? x ? ? f ?0? f ? x ? ? f ?0? =-1,由极限的保号性有 ? 0, 有 f ? x ? ? f ?0? ? 0 2 x ?0 x x2 即在 x ? 0的某邻域内有 f ? x ? ? f ?0?,由极值定义知 x ? 0是极大值点。  二、
? 1? x ?1 ? x?0 函数f ( x ) ? ? x ? 0, x ? 0 是否连续?是否可导?并求 f(x)的导函数。 ?
解:当 x>0 及 x<0 时, ,f(x)为初等函数,连续。
x ?0?

x ?0?

?0 x ?0? x 1? x ?1 lim f ( x ) ? 0 ? lim f ( x ) ? f (0) ? f ( x )在?? ? , ? ?连续。
x ? 0? x ?0?

lim f ( x ) ? lim

1? x ?1

? lim

x

当x ? 0时,f ?( x ) ?

1? x ?1 2x3/ 2 1 ? x x x

, 当x ? 0时,f ?( x ) ? 0 ?0 ? lim
x ?0?

1? x ?1 f ( x ) ? f ( 0) lim ? lim x ?0? x ?0? x

1 x ( 1 ? x ? 1)

??

? 1? x ?1 ? x ? 0, ? f ( x )在x ? 0不可导, f ?( x ) ? ? 2 x 3 / 2 1 ? x ? 0 x?0 ?
三、 1. x ? 0 三、 解下列各题
2x

lim

?1 ? 2 x ?
x
2

?1

?1 ? 2 x ?2 x ? 2 ln?1 ? 2 x ? ? ?
解:原式= x ?0
1 x

lim
?1 x

?

4x ? ? 1 ? 2x ?

2x

? 2?2 ? 4

.

2. x?? 解:原式=
1 x ?

lim x 2 (3 ? 3
1 x

? 2)


1 x ? 1 x

? 3 ?3 ?2 ln 3 3 ? 3 ln 3 2 lim ? lim ? ? lim ln 3( 3 x ? 3 x ) ? ?ln 3? x ?? x ?? 2 x ?? 1 1 2 2 x x ? x ? t ? 2 ? sin t 设曲线方程为? ? y ? t ? cos t 3. ,求此曲线在 x=2 的点处的切线方程 ,及 1 1

d2y dx 2

x?2


y? ? 1 ? sin t 1 1 y ? t ?0 ? 切线方程:y ? 1 ? ? x ? 2? 1 ? cos t 2 2 sin 0 ? cos 0 ? 1 1 y ?? x ? 2 ? ?? 3 4 ?1 ? cos 0?

x ? 2时 y ? 1, t ? 0 y ?? ? sin t ? cos t ? 1

解:

?1 ? cos t ?3

四、 四、 试确定 a,b,c 的值,使 y=x3+ax2+bx+c 在点(1,-1)处有拐点,且在 x=0 处有极大值为 1,并求此函数的极小值。 解:
y ? ? 3 x 2 ? 2ax ? b, y ??0? ? 0 ? b ? 0, y(0) ? 1, c ? 1. y ?? ? 6 x ? 2a , y ??(1) ? 6 ? 2a ? 0, a ? ?3. y ? x 3 ? 3 x 2 ? 1, y ? ? 3 x 2 ? 6 x ? 3 x( x ? 2) y ? ? 0时,驻点:  x1 ? 0, x 2 ? 2, y ???0? ? 6 ? 0. ? 极小值y( 2) ? ?3。
五、 五、 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数,求有最大面积的直角三角 形。 解:设所给直角边为 x,斜边与其之和为 L,则

1 x 2 x ?L ? x ? ? x 2 ? L2 ? 2 Lx 2 2 ? L L ? 3x 1? x s ? ? ? L2 ? 2 Lx ? ?? 2? L2 ? 2 Lx ? 2 L2 ? 2 Lx L 令s ? ? 0 ? x ? 这是唯一驻点,且最大 值存在,故 3 2 L ? ? L? s? ? ? 为最大面积,此时 x边与斜边夹角为 3 ?3? 6 3 ? ? 六、 六、 证明不等式: ? ? ? , ?e ? ? ? ? ?. s?
ln x 1 ? ln x 则 f ?( x ) ? ? 0 ( x ? e) x x2 ln(? ) ln(? ) ? f ( x )在(a ,??)上单减,f (? ) ? f (? ),   即  ? ? ? 证:令f ( x ) ? ? ln(? ) ? ? ln(? ) ? ln ? ? ? ln ? ? ? ? ? ? ? ? .
? 2? lim n f ? ? . n? ? ? n? 七、 七、 y=f(x)与 y=sin(x)在原点相切,求极限 ? 解:f (0) ? sin(0) ? 0. f ?(0) ? ?sin x ? x ? 0 ? cos 0 ? 1,
? 当x ? 0时f ( x )与x是等价无穷小, 2 f ?2 / n ? ? 2?    n f ? ? ? lim lim ? 2 n? ? n? ? 2/ n ? n?
八、 八、 设 f (x)在[0,1]上连续且在 (0,1 ) 内可导,且 f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1. 证明:(1)至少有一点ξ ∈(1/2,1),使得 f(ξ )= ξ ;

(2)???R ,存在 ??(0,?),使得 f’(?)-?[f(?)-?]=1 证: (1)令 F(x)=f(x)-x,则 f 在[0,1]连续,在(0,1)可导, F(1/2)=f(1/2)-1/2>0 F(1)=f(1)-1=0-1<0,∴在(1/2,1)内至少有一点 ?,使 F(? )=0,即 f (?)=?.。 (2) 证:

? ?e ? ?? F ( ?) ? e ? ?? F ???? ? 0 得出F ????=?F ( ?) 即f ?( ?) ? 1 ? ? ? f ??? ? ?? 于是f ???? ? ? ? f ??? ? ?? ? 1
lim(1 ? x)
x ?0 ? 1 x

令G ( x ) ? e ? ?x F ( x ), G (? ) ? 0, G (0) ? 0 ?? ? ?0, ? ?使得G ???? ? 0.

一、 一、 选择题(每题 4 分,共 16 分)
1.
? lim x sin
x ??

1 ? x (

D

) 。 ) 。

?1 C、 e ? 1; D、 e ? 1 2.设 f ( x) ? x ln x 在 x0 处可导,且 f ?( x0 ) ? 2 ,则 f ( x0 ) ? ( B 2 A、 0 ; B、 e ; C、 1 ; D、 e 。

A、 e ;

B、 e ;

?1

xf ( x )dx ? 3.若 sin 2x 是 f ( x) 的一个原函数,则 ? ( D ) 。 A、 x sin 2 x ? cos 2 x ? C ; B、 x sin 2 x ? cos 2 x ? C ; 1 1 x sin 2 x ? cos 2 x ? C x sin 2 x ? cos 2 x ? C 2 2 C、 ; D、 。
3 2 4.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 在 x ? 1 处取得极值 ?2 ,则( A、 a ? ?3, b ? 0 且 x ? 1 为函数 f ( x) 的极小值点; B、 a ? 0, b ? ?3 且 x ? 1 为函数 f ( x) 的极小值点;

B

) 。

C、 a ? ?3, b ? 0 且 x ? 1 为函数 f ( x) 的极大值点; D、 a ? 0, b ? ?3 且 x ? 1 为函数 f ( x) 的极大值点。

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)
1. 2. ?
lim
x ?0

x 1 ? ?x e ?e 2。
x

x

2

3 2 3 2 1 ? x dx ? 9 (1 ? x ) ? C 。
3

sin x ( ? cos 3 x ) dx ? 4 ? 1 ? x2 3。 3. 2 4.设 ? , ? , ? , ? 为向量, k 为实数。若 || ? ||? 1,|| ? ||? 1 , ? ? ? , 1 ? ? ? 2? ? ? , ? ? k? ? ? , ? ? ? ,则 k ? 2 。

?

?

2

?

三、计算下列各题(每题 9 分,共 45 分)
1.求极限
x ?0?

lim x x



解: x ?0?

lim x x ? lim e x ln x ? e x?0?
x ?0 ?
x y

lim x ln x

?e

ln x lim x?0? 1 x

1 lim x x?0? 1

?e

x2

?1

d2y | 2 x ?0 2.函数 y ? y( x) 由方程 e ? e ? xy ? 0 确定,求 dx 。 x y x y e ? e ? xy ? 0 ? e ? e y ? ? y ? xy ? ? 0
x y y 2 解: ? e ? e y?? ? e y ? ? y ? ? y ? ? xy ?? ? 0 d2y | ? ?2 2 x ?0 又 x ? 0, y ? 0 , y? ? 1 ,得 dx 。

3.求定积分 解
1

?

1 2 2

1 ? x2 dx x2 。



? ? x ?s t 1 ? x2 ? dx ? ??2 cot 2 tdt ? ??2 (csc 2 t ? 1) dt ?1 ? ? 22 x 2 4 4 4 4.求过点 (3,1, 2) 且与平面 x ? 2z ? 1 和 y ? 3z ? 2 平行的直线方程。

i j ? s? 1 0

k 2 ? ( ?2,3,1)
x ? 3 y ?1 ? ? z?2 3 , ?2 。

解:

0 1 ?3

?1 ? sin x, f ( x) ? ? 2 ?0, ? 5.设
x

0? x ?? 其它
0

,求

?( x) ? ? f (t )dt
0

x



解: x ? 0 ,

?( x) ? ? f (t )dt ? 0
?( x) ? ? f (t )dt ?
0 x 0 x

0? x ?? ,

1 x 1 ?0 sin tdt ? 2 (1 ? cos x) 2

x ?? ,

?( x) ? ? f (t )dt ?

x 1 ? ?0 sin tdt ? ?? 0dt ? 1 2

四、 分)长为 l 的铁丝切成两段,一段围成正方形,另一段围成圆形,问 (7
这两段铁丝各为多长时,正方形的面积与圆的面积之和最小? 解:设正方形的边长为 x ,则正方形的面积与圆的面积之和为
(l ? 4 2) x 4? 。 l ? 4x l 4l 4l S ?( x) ? 2 x ? 2 ?0 x? ,l ? ? 4 ? ? 。所以两段铁丝分别为 4 ? ? 4 ? ? 时,正方 , 形的面积与圆的面积之和最小。 S ( x) ? x 2 ?

五、解答下列各题(每小题 4 分,共 12 分)
1.设曲线 y ? 1 ? x
2

(0 ? x ? 1) , x 轴以及 y 轴所围区域被曲线 y ? ax 2 (a ? 0) 分成

面积相等的两部分,求 a 。 解:由

?

1 a ?1

0

(1 ? x 2 ? ax 2 )dx ? ?

1 a ?1

0

ax 2 dx ? ?

1 1 a ?1

(1 ? x 2 )dx

,a ?3
x

2 x ? ? f (t ) dt ? 1 0 2.设函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续,且 0 ? f ( x ) ? 1。判断方程 在 (0,1) 内有几个实根?并证明你的结论。

解 :
F(

F(

?) x
0

2 ??x
0
1

x

f ( ? ) F ( x)t t d 1 , 在

[0,1]









d ? 1 x ( ) 0 , 所 以 F ( x) 在 (0,1) 内 有 一 个 零 点 。 又 F ?( x) ? 2 ? f ( x) ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 ,F ( x) 在 [0,1] 上是单调递增的, 所以 F ( x) 在 (0,1)
内有唯一零点,即

0 )? F 1 ,? ? ?

( ? f1 )x

2 x ? ? f (t )dt ? 1
0

x

在 (0,1) 内有唯一实根。
1 2 0

f (1) ? 2? xf ( x)dx ? 0 3、设函数 f ( x) 在 [0,1] 上可导,且 ,求证在 (0,1) 内至少存 f (? ) f ?(? ) ? ? ? 。 在一点 ? ,使得

解:F ( x) ? xf ( x) ,F ( x) 在 [0,1] 上可导。由
f (1) ? 2cf (c)

f (1) ? 2? 2 xf ( x)dx ? 0
0

1

1 c ? [0, ] 2 , ,存在

1 ?0 2 使得 ,即 f (1) ? cf (c) 。由 Roll 定理,存在 ? ? (c,1) ? (0,1) ,使 f (? ) f ?(? ) ? ? ? 。 得 F ?(? ) ? 0 ,即

高等数学第一学期半期试题解答(05)
一. 1.
y?

一.

(共 20 分)试解下列各题:
, ( x ? 1) 求 dy

设y ? 1 2

x ?1 ? x ?1 x ?1 ? x ?1


? 1 1 ? x ?1 ? x ?1 ? ? ?dx ? ? ? 2 x ?1 2 x ?1 ?
dy dx 。

解: 2.

?

x ?1 ? x ?1

?

2

dy ?

?

?

设方程 x ? y ? arctan y ? 0 确定了y ? y( x), 求
1 ? y? ? y? ?0 1? y2 y? ? 1? y2 y2

解: 3.设 lim

x 3 ? ax 2 ? x ? 4 ? A. 。则 a= x ?1 x ?1 1 4.函数 y ? x 2 x 的极小值点 ? 。 ln 2 ? cos x , x ? 0 x 5. 设f ( x) ? ? a ?? 2 ? x ( a ? 0) a ? x , x?0

4

,

A=

-6

a ? a?x 1 ? x ?0 ? x 2 a 故a ? 1时x ? 0是连续点, ? 1时x ? 0是间断点。 a 解:f (0) ? 1 2 cos x 1 ? x ?0 ? x ? 2 2 lim lim

二. 二. (10 分)若 y ? f (x) 是奇函数且 x=0 在可导, 是什么类型的间断点?说明理由。 解:由f ( x)是奇函数,且在x ? 0可导,知f ( x)在x ? 0点连续,f (0) ? ? f (0)故f (0) ? 0
lim F ( x) ? lim
x ?0

F ( x) ?

f ( x) x 在 x=0

三. 1
1 x

f ( x) ? f ?0? ? f ??0?存在, 故为第一类间断点?可去?。 x ?0 x?0 三. (共 20 分)求下列极限
x ??
1 ? x



lim x 2 (3 x ? 3
1 x

1

?1 x

? 2)
1 ? x




1 1









3 ?3 ?2 ln 3 3 ? 3 lim ? lim ? x ?? x ?? 2 1 1 2 x x

? ln 3 2 ? lim ln 3(3 x ? 3 x ) ? ?ln 3? x ?? 2

2. x ? 0

lim

(1 ? 2 x ) 2 x ? 1 x
2

?1 ? 2 x ?2 x ? 2 ln ?1 ? 2 x ? ? ?
;解:原式= x?0
lim ? 2x

4x ? ? 1 ? 2x ?

? 2?2 ? 4

? x ? t ? 2 ? sin t d2y 设曲线方程为? ? y ? t ? cos t ,求此曲线在 x=2 的点处的切线方程,及 dx 2 。 3. 1 ? sin t 1 1 解:x ? 2时 y ? 1, t ? 0 y ? ? y ? t ?0 ? 切线方程:y ? 1 ? ? x ? 2 ? 1 ? cos t 2 2 sin t ? cos t ? 1 y ?? ? ?1 ? cos t ?3

四.

2 2 (10 分)证明:当 x ? 0 时, ( x ? 1) ln x ? ?x ? 1? 。 1 1 ?x ? 1? 证明:当x ? 1时,令f ( x) ? ln x在[1, x]上用拉氏中值定理有ln x ? ? x ? 1? ? ? x ?1 1 ?x ? 1?同乘以?x 2 ? 1?有?x 2 ? 1?ln x ? ?x ? 1?2 其中1 ? ? ? x即 ln x ? x ?1 1 1 ?1 ? x ? 当0 ? x ? 1时,令f ( x) ? ln x在[ x,1]上用拉氏中值定理有 ? ln x ? ?1 ? x ? ? ? x ?1 1 ?x ? 1?同乘以?x 2 ? 1?有?x 2 ? 1?ln x ? ?x ? 1?2 其中x ? ? ? 1即 ln x ? x ?1 当x ? 1时等式成立。

四.

x2
2 五. 五. (10 分)求内接于椭圆 a 三角形之面积的最大值。 解:

?

y2 b2

?1

,且底边与 x 轴平行的等腰

设底边方程为:y ? t

? b ? t ? 0, t2 2a ? 2 b b
2

三角形面积A ? ?b ? t ? ? 2a 1 ? 设z ? ?b ? t ? b 2 ? t 2
2 2

?b ? t ?2 ?b 2 ? t 2 ?
2

? z ? ? ?2?b ? t ??b

?t2

? z的最大值点也是A的最大值点。 ? ? 2t ?b ? t ? ? ?2?b ? t ? ?b ? 2t ?
b 2 b ? b? z ??? ? ? ? ?b 2 ? 0即t ? ? 为唯一极大值点, 2 ? 2? 3 3 ab 4

令z ? ? 0 得t ? b(舍去)t ? ?

亦即为所求面积之最大值点。最大值为A ?

n n ?1 ? ? x 2 ? x ? 1 在(0,1)上必有 (10 分)证明:方程 x ? x lim xn 唯一的实根 x n (n>2),并求 n ?? 。 证:

六.

六.

设f ( x) ? x n ? x n ?1 ? ? ? x 2 ? x ? 1 其在[0,1]上连续。 f (0) ? ?1, f (1) ? n ? 1由n ? 2知函数在端点异号。 由闭区间上连续函数零点定理知至少有一点? ? (0,1)使f (? ) ? 0. 又f ? ? nx n ?1 ? ? ? 2 x ? 1 ? 0知函数f ( x)单调增加,故在(0,1)上有唯一实根。 由 xn ? xn
n n ?1

? ? ? xn ? xn ? 1
2 n 2

x n ?1

n ?1

? x n ?1 ? ? ? x n ?1 ? x n ?1 ? 1

5 ?1 5 ?1 因此0 ? x n ? ? 1故由极限存在准则知其有极限,设极限 2 2 n x 1 ? xn x 1 由方程有 n ? 1两边n ? ?取极限 0 ? 1解出x0 ? 1 ? xn 1 ? x0 2 1 ? a cos 2 x ? b cos 4 x 七. 七. (10 分)确定常数 a、b,使极限 lim 存在, x ?0 x4 并求出其值。 解:要使极限存在,分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小,于 是有 1+a+b=0,用一次罗必达法则分子仍为无穷小,有 a+4b=0 解出:a=-4/3 b=1/3 代入求得极限为 8/3 知?x n ?是单调下降数列,而x 2 ?

?

?

八. 八. (10 分) f (x)在[a,b]上连续, 设 在(a,b)内可微, f (a) = f (b) =0, 且 证明:对 ?? ? R, ?c ? ?a, b?,使得f ??c ? ? ?f ?c ? 。 证明: 构造函数 F(x)= e-?x f (x) 则 F(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可微 F (a) = F (b) =0 由罗尔定理 ?? ? R, ?c ? ?a, b ?,使得F ??c ? ? 0, 而F ??x ? ? e ??x f ??x ? ? ?e ??x f ?x ? 即有 ?? ? R, ?c ? ?a, b?,使得f ??c ? ? ?f ?c ? 证毕。


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