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2015高考数学二轮复习热点题型-三角函数、解三角形、平面向量


三角函数、解三角形、平面向量
1.α 终边与 θ 终边相同(α 的终边在 θ 终边所在的射线上)?α=θ+2kπ(k∈Z),注意:相等的角的终边一定相同, 终边相同的角不一定相等. 任意角的三角函数的定义:设 α 是任意一个角,P(x,y)是 α 的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是 y x y r= x2+y2>0,那么 sin α= ,cos α= ,tan α= (x≠0),三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位 r r x 置无关. [问题 1] 已知角 α 的终边经过点 P(3,-4),则 sin α+cos α 的值为________. 1 答案 - 5 2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sin α (2)商数关系:tan α= . cos α (3)诱导公式记忆口诀:奇变偶不变、符号看象限 -α sin cos [问题 2] cos 答案 -sin α cos α π-α sin α -cos α π+α -sin α -cos α 2π-α -sin α cos α π -α 2 cos α sin α

7π 9π - ?+sin 21π 的值为___________________________. +tan? 6? ? 4

2 3 - 2 3

3.三角函数的图象与性质 (1)五点法作图; π (2)对称轴:y=sin x,x=kπ+ ,k∈Z;y=cos x,x=kπ,k∈Z; 2 π ? ?kπ ? 对称中心:y=sin x,(kπ,0),k∈Z;y=cos x,? ?kπ+2,0?,k∈Z;y=tan x,? 2 ,0?,k∈Z. (3)单调区间: π π ? y=sin x 的增区间:? ?-2+2kπ,2+2kπ? (k∈Z), π 3π ? 减区间:? ?2+2kπ, 2 +2kπ? (k∈Z); y=cos x 的增区间:[-π+2kπ,2kπ] (k∈Z), 减区间:[2kπ,π+2kπ] (k∈Z); π π ? y=tan x 的增区间:? ?-2+kπ,2+kπ? (k∈Z). (4)周期性与奇偶性: y=sin x 的最小正周期为 2π,为奇函数;y=cos x 的最小正周期为 2π,为偶函数;y=tan x 的最小正周期为 π,

为奇函数. 易错警示:求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,容易出现以下错误: (1)不注意 ω 的符号,把单调性弄反,或把区间左右的值弄反; (2)忘掉写+2kπ,或+kπ 等,忘掉写 k∈Z; π? (3)书写单调区间时,错把弧度和角度混在一起.如[0,90° ]应写为? ?0,2?. π? [问题 3] 函数 y=sin? ?-2x+3?的递减区间是________. π 5 ? 答案 ? ?kπ-12,kπ+12π?(k∈Z) 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β― ― →sin 2α=2sin αcos α. cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β― ― →cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. tan α± tan β tan(α± β)= . 1?tan αtan β 1+cos 2α 1-cos 2α 2tan α cos2α= ,sin2α= ,tan 2α= . 2 2 1-tan2α 在三角的恒等变形中,注意常见的拆角、拼角技巧,如: α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β), 1 α= [(α+β)+(α-β)]. 2 π π π π β- ?,α=?α+ ?- . α+ =(α+β)-? ? 4? ? 4? 4 4 3π ? 3 ? π? 12 ? π? [问题 4] 已知 α,β∈? ? 4 ,π?,sin(α+β)=-5,sin?β-4?=13,则 cos?α+4?=________. 56 答案 - 65 5.解三角形 (1)正弦定理: a b c = = =2R(R 为三角形外接圆的半径).注意:①正弦定理的一些变式:(ⅰ)a∶b∶c sin A sin B sin C
令α=β 令α=β

a b c =sin A∶sin B∶sin C;(ⅱ)sin A= ,sin B= ,sin C= ;(ⅲ)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;②已知 2R 2R 2R 三角形两边及一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具体情况进行取舍.在 △ABC 中 A>B?sin A>sin B. b2+c2-a2 (2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,cos A= 等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状. 2bc [问题 5] 在△ABC 中,a= 3,b= 2,A=60° ,则 B=________. 答案 45° 6.向量的平行与垂直 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 b≠0,则 a∥b?b=λa?x1y2-x2y1=0. a⊥b (a≠0)?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 0 看成与任意向量平行,特别在书写时要注意,否则有质的不同.

[问题 6] 下列四个命题:①若|a|=0,则 a=0;②若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b;③若 a∥b,则|a|=|b|;④若 a =0,则-a=0.其中正确命题是________. 答案 ④ 7.向量的数量积 |a|2=a2=a· a, a· b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2, x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2, |a||b| x1+y1 x2+y2 a· b x1x2+y1y2 a 在 b 上的投影=|a|cos〈a,b〉= = 2 . |b| x2 2+y2 注意: 〈a,b〉为锐角?a· b>0 且 a、b 不同向; 〈a,b〉为直角?a· b=0 且 a、b≠0; 〈a,b〉为钝角?a· b<0 且 a、b 不反向. 易错警示:投影不是“影”,投影是一个实数,可以是正数、负数或零. [问题 7] 已知|a|=3,|b|=5,且 a· b=12,则向量 a 在向量 b 上的投影为________. 答案 12 5

8.当 a· b=0 时, 不一定得到 a⊥b,当 a⊥b 时,a· b=0;a· b=c· b, 不能得到 a=c,消去律不成立;(a· b)c 与 a(b· c) 不一定相等,(a· b)c 与 c 平行,而 a(b· c)与 a 平行. [问题 8] 下列各命题:①若 a· b=0,则 a、b 中至少有一个为 0;②若 a≠0,a· b=a· c,则 b=c;③对任意向量 a、b、c,有(a· b)c≠a(b· c);④对任一向量 a,有 a2=|a|2.其中正确命题是________. 答案 ④ 9.几个向量常用结论: → → → ①PA+PB+PC=0?P 为△ABC 的重心; →→ → → → → ②PA· PB=PB· PC=PC· PA?P 为△ABC 的垂心; → → AB AC ③向量 λ( + ) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心; → → |AB| |AC| → → → ④|PA|=|PB|=|PC|?P 为△ABC 的外心.

易错点 1 图象变换方向或变换量把握不准致误 1 [问题 1] 已知角 α 的终边经过点 P(3,-4),则 sin α+cos α 的值为________.答案 - 5

[问题 2] cos

7π? 9π +tan? ?- 6 ?+sin 21π 的值为___________________________.答案 4

2 3 - 2 3

π? π 5 ? ? [问题 3] 函数 y=sin? ?-2x+3?的递减区间是________.答案 ?kπ-12,kπ+12π?(k∈Z) 3π ? 3 56 ? π? 12 ? π? [问题 4] 已知 α,β∈? ? 4 ,π?,sin(α+β)=-5,sin?β-4?=13,则 cos?α+4?=________.答案 -65 [问题 5] 在△ABC 中,a= 3,b= 2,A=60° ,则 B=________.答案 45° [问题 6] 下列四个命题:①若|a|=0,则 a=0;②若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b;③若 a∥b,则|a|=|b|;④若 a =0,则-a=0.其中正确命题是________.答案 ④ [问题 7] 已知|a|=3,|b|=5,且 a· b=12,则向量 a 在向量 b 上的投影为________.答案 12 5

[问题 8] 下列各命题:①若 a· b=0,则 a、b 中至少有一个为 0;②若 a≠0,a· b=a· c,则 b=c;③对任意向量 a、b、c,有(a· b)c≠a(b· c);④对任一向量 a,有 a2=|a|2.其中正确命题是________.答案 ④ [问题 9]要得到 y=sin(-3x)的图象,需将 y= 种特例即可).错解 右 π π 或右 4 12 2 (cos 3x-sin 3x)的图象向______平移______个单位(写出其中的一 2 π 2 ? (cos 3x-sin 3x)=sin? ?4-3x? 2

找准失分点 y=

π? π π ? π ?? ? =sin? ?-3?x-12??.题目要求是由 y=sin?-3x+4?→y=sin(-3x).右移4平移方向和平移量都错了;右移12平移方 向错了. 正解 y= π π π 2 -3x?=sin?-3?x- ??,要由 y=sin?-3?x- ??得到 y=sin(-3x)只需对 x (cos 3x-sin 3x)=sin? 4 12 12 ? ? ? ? ?? ? ? ?? 2

π 2 π π 加上 即可,因而是对 y= (cos 3x-sin 3x)向左平移 个单位.答案 左 12 2 12 12 易错点 2 忽视隐含条件的挖掘致误 1 5 3 π π [问题 10]已知 cos α= ,sin(α+β)= ,0<α< ,0<β< ,求 cos β. 7 14 2 2 π π 11 1 π 4 3 错解 由 0<α< ,0<β< ,得 0<α+β<π,则 cos(α+β)=± .由 cos α= ,0<α< ,得 sin α= . 2 2 14 7 2 7 71 1 故 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)· sin α= 或 . 98 2 5 3 3 找准失分点 由 0<α+β<π,且 sin(α+β)= < , 14 2 2π ? π 2π 1 1 π π 11 ∴0<α+β< 或 <α+β<π,又 cos α= < ,∴ <α< ,即 α+β∈? ? 3 ,π?,∴cos(α+β)=-14. 3 3 7 2 3 2 π 1 π 1 π π π π 5 3 3 正解 ∵0<α< 且 cos α= <cos = ,∴ <α< ,又 0<β< ,∴ <α+β<π,又 sin(α+β)= < , 2 7 3 2 3 2 2 3 14 2 ∴ 2π <α+β<π. 3 11 4 3 ∴cos(α+β)=- 1-sin2?α+β?=- ,sin α= 1-cos2α= . 14 7

1 ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α= . 2 易错点 3 忽视向量共线致误 [问题 11]已知 a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a 与 b 的夹角为 θ.若 θ 为锐角,则 λ 的取值范围是__________.

2λ+1 2λ+1 a· b 错解 ∵cos θ= = .因 θ 为锐角,有 cos θ>0,∴ >0?2λ+1>0, 2 |a|· |b| 5· λ +1 5· λ2+1 1 1 ? 得 λ>- ,λ 的取值范围是? ?-2,+∞?.找准失分点 θ 为锐角,故 0<cos θ<1,错解中没有排除 cos θ=1 即共线 2 且同向的情况.

?2λ+1>0, 2λ+1 2λ+1 a· b 正解 由 θ 为锐角,有 0<cos θ<1.又∵cos θ= = ,∴0< ≠1,∴? , 2 2 |a|· |b| 5· λ +1 5· λ +1 ?2λ+1≠ 5· λ2+1
1 ? ?λ>-2, 1 ? ? 解得? ∴λ 的取值范围是?λ|λ>-2且λ≠2?.答案 ? ? ? ?λ≠2. 1 ? ? ?λ|λ>- 且λ≠2? 2 ? ?

1.(2014· 大纲全国)已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α=( 4 A. 5 3 C.- 5 答案 D 3 B. 5 4 D.- 5

)

x 4 解析 因为角 α 的终边经过点(-4,3),所以 x=-4,y=3,r=5,所以 cos α= =- . r 5 2.(2014· 大纲全国)设 a=sin 33° ,b=cos 55° ,c=tan 35° ,则( A.a>b>c C.c>b>a 答案 C sin 35° 解析 ∵a=sin 33° ,b=cos 55° =sin 35° ,c=tan 35° = , cos 35° 又 0<cos 35° <1,∴c>b>a. 4 π 3.已知 sin θ+cos θ= (0<θ< ),则 sin θ-cos θ 的值为( 3 4 A. 2 3 B.- 2 1 1 C. D.- 3 3 3 ) B.b>c>a D.c>a>b )

答案 B 4 16 7 解析 ∵sin θ+cos θ= ,∴(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ= ,∴sin 2θ= , 3 9 9 π 又 0<θ< ,∴sin θ<cos θ. 4 ∴sin θ-cos θ=- ?sin θ-cos θ?2 =- 1-sin 2θ=- 2 . 3 )

4.已知 a,b 是单位向量,a· b=0,若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( A.[ 2-1, 2+1] C.[1, 2+1] B.[ 2-1, 2+2] D.[1, 2+2]

答案 A 解析 ∵a· b=0,且 a,b 是单位向量,∴|a|=|b|=1. 又∵|c-a-b|2=c2-2c· (a+b)+2a· b+a2+b2=1, ∴2c· (a+b)=c2+1. ∵|a|=|b|=1 且 a· b=0,∴|a+b|= 2, ∴c2+1=2 2|c|cos θ(θ 是 c 与 a+b 的夹角). 又-1≤cos θ≤1,∴0<c2+1≤2 2|c|, ∴c2-2 2|c|+1≤0, ∴ 2-1≤|c|≤ 2+1. 5.函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A,φ∈R)的部分图象如图所示,那么 f(0)等于( 1 A.- 2 C.- 3 2 B.-1 D.- 3 )

答案 B 解析 由题图可知,函数的最大值为 2,因此 A=2. π ? ? π ? 又因为函数经过点? ?3,2?,则 2sin?2×3+φ?=2, π π 即 2× +φ= +2kπ,k∈Z, 3 2 π 得 φ=- +2kπ,k∈Z. 6 π ? f(0)=2sin φ=2sin? ?-6+2kπ?=-1. 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2+b2=2c2,则 cos C 的最小值为( A. 3 2 B. 2 1 1 C. D.- 2 2 2 )

答案 C a2+b2-c2 c2 解析 ∵cos C= = , 2ab 2ab 又∵a2+b2≥2ab,∴2ab≤2c2. 1 1 ∴cos C≥ .∴cos C 的最小值为 . 2 2 π → → 7.(2014· 山东)在△ABC 中,已知AB· AC=tan A,当 A= 时,△ABC 的面积为________. 6 答案 1 6

π 解析 已知 A= , 6 π π → → 由题意得|AB||AC|cos =tan , 6 6 → → 2 |AB||AC|= , 3

所以△ABC 的面积 1→ → π 1 2 1 1 S= |AB||AC|sin = × × = . 2 6 2 3 2 6 π 8.(2014· 江苏)已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为 的交点,则 φ 的值是 3 ________. 答案 π 6

π π ? 解析 由题意,得 sin? ?2×3+φ?=cos 3, π 因为 0≤φ<π,所以 φ= . 6 π π 9.已知函数 f(x)=Asin(ω+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,- <φ< ),其部分图象如图所 2 2 示.若横坐标分别为-1,1,5 的三点 M,N,P 都在函数 f(x)的图象上,记∠MNP=θ, 则 cos 2θ 的值是________. 7 答案 - 25 解析 由图可知,A=1,f(x)的最小正周期 T=8, 2π π 所以 T= =8,即 ω= . ω 4 π π π 又 f(1)=sin( +φ)=1,且- <φ< , 4 2 2 π π 3π 所以- <φ+ < , 4 4 4 π π π 即 φ+ = ,所以 φ= . 4 2 4 π 所以 f(x)=sin (x+1). 4 因为 f(-1)=0,f(1)=1,f(5)=-1, 所以 M(-1,0),N(1,1),P(5,-1). → → → → 所以NM=(-2,-1),NP=(4,-2),NM· NP=-6, → → |NM|= 5,|NP|=2 5, 则 cos∠MNP= 3 即 cos θ=- . 5 于是 cos 2θ=2cos2θ-1=- 7 . 25 → → NM· NP 3 =- , 5 → → |NM|· |NP|

π 3 10.(2014· 天津)已知函数 f(x)=cos x· sin(x+ )- 3cos2x+ ,x∈R. 3 4 (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在闭区间[- , ]上的最大值和最小值. 4 4



1 3 3 (1)由已知,有 f(x)=cos x· ( sin x+ cos x)- 3cos2x+ 2 2 4

1 3 3 = sin x· cos x- cos2x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 1 π = sin(2x- ). 2 3 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π π π (2)因为 f(x)在区间[- ,- ]上是减函数,在区间[- , ]上是增函数, 4 12 12 4 π 1 π 1 π 1 f(- )=- ,f(- )=- ,f( )= , 4 4 12 2 4 4 π π 1 1 所以,函数 f(x)在闭区间[- , ]上的最大值为 ,最小值为- . 4 4 4 2


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