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广东省2015届高三数学(理)一轮复习参考试题:数列


数列
2015 2014 2 2013 2 2012 2

1.【2014 广东(理)高考 13】若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 , 则 ln a1 ? ln a2 ? 【答案】50 2.【2013 广东(理)高考 12】在等 差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=__________. 【答案】20

? ln a20 ?

.

2 3. 【2012 广东 (理) 高考 11】 已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 则 an ? _____ ?4 ,

【答案】2n-1

4.【2014 广东(理)高考 19】 (本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足

Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n , n ? N ? ,且 S3 ? 15 .
(1)求 a1 . a 2 . a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 【答案】(1) a1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 7 ;(2) an ? 2n ? 1 . 解: S2 ? 4a3 ? 20 , S3 ? S2 ? a3 ? 5a3 ? 20 ,又 S3 ? 15 ,

? a3 ? 7 , S2 ? 4a3 ? 20 ? 8 ,又 S2 ? S1 ? a2 ? (2a2 ? 7) ? a2 ? 3a2 ? 7 , ? a2 ? 5 , a1 ? S1 ? 2a2 ? 7 ? 3 , 综上知 a1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 7 ; (2)由(1)猜想 an ? 2n ? 1,学科网下面用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,结论显然成立; ②假设当 n ? k ( k ? 1 )时, ak ? 2k ? 1 , 3 ? (2k ? 1) 2 则 Sk ? 3 ? 5 ? 7 ? (2k ? 1) ? ? k ? k (k ? 2) ,又 Sk ? 2kak ?1 ? 3k ? 4k , 2

?k (k ? 2) ? 2kak ?1 ? 3k 2 ? 4k ,解得 2ak ?1 ? 4k ? 6 , ? ak ?1 ? 2(k ? 1) ? 1 ,即当 n ? k ? 1 时,结论成立;
由①②知, ?n ? N*, an ? 2n ? 1 .

5.【2013 高考广东卷.理.19】 (本 小题满分 14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1= 1,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? ,n∈N*. n 3 3

(1)求 a2 的值; (2)求数列 {an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 【答案】(1) 4

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

(2) an ? n2 (3)详见解析

(Ⅰ) 依题意, 2 S1 ? a2 ?

1 2 ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3 1 3 2 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2 S n ? nan ?1 ? n ? n ? n , 3 3 1 2 3 2 2S n ?1 ? ? n ? 1? an ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3 1 2 2 两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? 3n ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3 3 a a a a 整理得 ? n ? 1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 n ?1 ? n ? 1,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1
故数列 ?

a1 ? an ? ? 是首项为 ? 1 ,公差为 1的等差数列, 1 ?n?

所以

an ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ,所以 an ? n2 . n 1 7 1 1 1 5 7 (Ⅲ) 当 n ? 1 时, ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? ? 1? ? ? ; a1 4 a1 a2 4 4 4
当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,此时 an n ? n ? 1? n n ? 1 n

1 1 ? ? a1 a2
? 1?

?

1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? 2 ? an 4 3 4

?

1 1 ?1 1? ?1 1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 n 4 ? 2 3? ?3 4?

1? ? 1 ?? ? ? ? n ?1 n ?

1 1 1 7 1 7 ? ? ? ? ? 4 2 n 4 n 4 1 1 综上,对一切正整数 n ,有 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

6.【2012 广东(理)高考 19】 (本小题满分 14 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足

2Sn ? an?1 ? 2n?1 ?1(n ? N * ) ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列.

(1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式.(3)证明: 对一切正整数 n , 有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? an 2

解: (1) ∵ 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 ,且 a1 , a2 ? 5 , a3 成等差数列
? 2a1 ? a2 ? 3 ? ∴ ? 2( a1 ? a2 ) ? a3 ? 7 , 解得 a1 ? 1 , a2 ? 5 , a3 ? 19 ? 2a ? 10 ? a ? a 1 3 ? 2

(2)∵ 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1

∴ 2Sn?1 ? an ? 2n ? 1 (n ? 2)

n n 两式相减得: 2an ? an?1 ? an ? 2 , 即 an?1 ? 3an ? 2 ,(n ? 2)

两边同时除以 3

n ?1



an ?1 an 2n an ?1 an 1 2 n (n ? 2) ? n ? n ?1 ? n ? ? ?( ) n ?1 3 3 3 3 ?1 3n 3 3

an an an ?1 an ?1 an ? 2 an ? 2 an ?3 a3 a2 a2 ?( n ? n ?1 ) ? ( n ? n?2 ) ? ( n ? n ?3 ) ? … ? ( 3 ? 2 )+ 2 n ?1 ?2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

?

1 2 n ?1 1 2n ? 2 1 2 5 1 n ?21 2 ?( ) ? ?( ) … ? ? (? 2 ) 2 ? ? [( ) ? n(? 2… ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 ? ( )n 1 3 ? 1 ? ( 2 )n ? ? ? an ? 3n ? 2n (n ? 2) 3 1? 2 3 3

2 2 ? 2( ) ? ? 1 ] 3 3

由于 a1 ? 1 , a2 ? 5 也符合上式, ( 3 ) 当
2 ?n ? 2 1? C ?n

n n * 所以 an ? 3 ? 2 (n ? N )

n?3
n?


2 ? 2 2? n



an ? 3n

? 2n

1 ? 1 ? Cn ? ? (?

?

n ?

C )n

n 1

2 2

n 1

1 2 ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ?

n?1 2 ? Cn ? 2n?1 ? Cn ? 22 ? 2n(n ?1)

又因为 a2 ? 5 ? 2 ? 2 ? (2 ?1) 所以,

所以, an ? 2n(n ?1), n ? 2

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an 2n(n ? 1) 2 n ? 1 n 1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3 ? 1 1 1 1 1 ? 1 ? (1 ? ? ? ? an 2 2 3 4 ? 1 1 1 1 3 ? ) ? 1 ? (1 ? ) ? n ?1 n 2 n 2

所以,

7 错误!未指定书签。 . (广东省六校 2014 届高三第一次联考理科数学试题)记集合

a a a a T ? {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} , M= { 1 ? 22 ? 33 ? 44 | ai ? T , i ? 1,2,3,4} ,将 M 中的元 10 10 10 10
素按从大到小排列,则第 2013 个数是
( )

7 9 8 7 ? 2? 3? 4 10 10 A. 10 10
C.

5 6 7 8 ? 2? 3? 4 10 10 B. 10 10
D.

6 9 7 3 ? 2? 3? 4 10 10 10 10

7 9 9 1 ? 2 ? 3 ? 4 10 10 10 10

【答案】A 错误!未指定书签。 8. (广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学理试题)已知等

差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项和 S10 ?

A. 85 C. 95
【答案】C

B. 135 D. 23

错误!未指定书签。 9. (广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(理)试题)设等差数

列 ?an ? 的公差 d ≠0, a1 ? 4d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ? A.3 或 -1 【答案】C B.3 或 1 C.3 D.1





10 错误!未指定书签。 . (广东省佛山市南海区 2014 届普通高中高三 8 月质量检测理科数学试 题 )已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3

? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等于
D. 3





A. 1
【答案】C

B.

5 3

C. 2

错误!未指定书签。 11. (广东省中山二中 2014 届高三 9 月第一次月考数学理试题)在各项都

为正数的等比数列 {a n } 中,首项为 3,前 3 项和为 21,则 a 3 A.33
【答案】C

? a 4 ? a5 ?
D.189





B.72

C.84

12 错误!未指定书签。 . (广东省深圳市高级中学 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试 题)设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ?





A.3
【答案】B

B.4

C.5

D.6

13 错误!未指定书签。 . (广东省湛江市湖光中学 2014 届高三上学期入学考试数学(理)试题)

已知函数 f(x)对任意 x, y∈R,都有 f(x+y)= f(x)+f(y),且 f(1)=2,f(1)+f(2)++f(n)(n∈N*) 不能等于 ( n(n+1) A. f(1) 2
【答案】D



n(n+1) B.f[ ] 2

C.n(n+1)

D.n(n+1) f(1)

14 错误!未指定书签。 . (广东省中山二中 2014 届高三 9 月第一次月考数学理试题)函数 f ( x)

满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 8 x ? 8 , f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 4( x ? 2) ,



1 f ( x ? 1),? , f ( x) 2

成等差数列,则 x 的值是 C.2 或 3 D.2 或-3





A.2
【答案】C

B.3

15 错误!未指定书签。 . (广东省十校 2014 届高三上学期第一次联考数学理试题)已知等差数

列 ?an ? 中, a2 ? 5 , a4 ? 11 ,则前 10 项和 S10 ? A.55
【答案】B 16 错误!未指定书签。 . (广东省六校 2014 届高三第一次联考理科数学试题)将石子摆成如图1

( D.400



B.155

C.350

的梯形形状.称数列 5,9,14, 20,

为“梯形数”.根据图形的构成,数

列第 6 项 a ? __________;第 n 项 a ? __________. 6 n

图1

? n ? 1?? n ? 4 ?
【答案】35

2

17 错误! 未指定书签。 ( .广东省佛山市南海区 2014 届普通高中高三 8 月质量检测理科数学试题 )

在等差数列 ?an ? 中,若 am ? p,an ? q (m, n ? N *,n ? m ? 1) ,则 am ? n ?

nq ? mp . n?m

类比上述结论,对于等比数列 ?bn ? ( bn ? 0, n ? N * ),若 bm ? r , bn ? s ( n ? m ? 2 ,

m, n ? N * ),则可以得到 bm?n ? _____________.
【答案】 bm? n

?

n?m

sn rm
S4 ? ____________. a4

18 错误!未指定书签。 . (广东省珠海市 2014 届高三 9 月开学摸底考试数学理试题)设等比数列

{an } 的公比 q ? 2 ,则
【答案】

15 8

19 错误!未指定书签。 . (广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学(理)试题)已知等差

数列{ a n },满足 a3 ? 1, a8 ? 6 ,则此数列的前 10 项的和 S10 ? _________.
【答案】 S10 ?

(a1 ? a10 ) ?10 (a3 ? a8 ) ?10 7 ?10 ? ? ? 35 . 2 2 2
1 4 ? m n

20 错误!未指定书签。 . (广东省揭阳一中等 2014 届高三上学期开学摸底联考数学理试题 )已

知正项等比数列 ?an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得 aman ? 4a1 ,则 的最小值为 _____________________
【答案】

3 ; 2

21错误!未指定书签。 . (广东省十校2014届高三上学期第一次联考数学理试题)两千多年前,

古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子 来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图4中的实心点个数1,5,12, 22,, 被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第2个五角形数记作 a2 ? 5 ,第3个五角形 数记作 a3 ? 12 ,第4个五角形数记作 a4 ? 22 ,,若按此规律继续下去,若 an ? 145 ,则

n ? ______________________.

1
【答案】10

5

12

22

22 错误!未指定书签。 . (广东省湛江市湖光中学 2014 届高三上学期入学考试数学(理)试题)

在数列 {an } 中, a1 =2, an ? an?1 ? 1(n ? N * ) ,设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,则

S2007 ? 2S2006 ? S2005 的值为___________________
【答案】3 23 错误!未指定书签。 . (广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(理)试题)将全体正奇

数排成一个三角形数阵: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为_______. 2 【答案】n -n+5
24 错误!未指定书签。 . (2013-2014 学年广东省(宝安中学等)六校第一次理科数学联考试题)

已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,若 ?n ? N , an ? an?1 ? ?2 ,则 an ? _______.
?

【答案】 a n

?1 , n 是正奇数 1 n ?1 3 ,或 a n ? ? ? ( ?1) ; ?? 2 2 ?? 2 , n 是正偶数

25 错误!未指定书签。 . (广东省深圳市高级中学 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)

若数列 an ? 的通项公式是 an ? (??) ? (?n ? ?) ,则 a? ? a? ? L a?? ? ______.
【答案】15 26 错误!未指定书签。 . (广东省汕头市金山中学 2014 届高三上学期开学摸底考试数学(理)试 题)在等比数列 ?an ? 中, a1 【答案】1 27 错误!未指定书签。 . (广东省珠海市 2014 届高三 9 月开学摸底考试数学理试题)若正数项数

?

? 2 且 a4 a6 ? 4a7 ,则 a3 的值是____*****______.

2

列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,首项 a1 ? 1 ,点 P (1)求 a2 , a3 ; (2)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (3)设 bn ? 围.
【答案】解:(1)因为点 P

?

2 Sn , Sn ?1 在曲线 y ? ( x ? 1) 上.

?

[来源:Z§xx§k.Com]

1 , Tn 表示数列 ?bn ?的前项和,若 Tn ? a 恒成立,求 Tn 及实 数 a 的取值范 an ? an ?1

?

2 2 Sn , Sn ?1 在曲线 y ? ( x ? 1) 上,所以 Sn?1 ? ( Sn ?1) .

?

? a1 ? a2 ? ( a1 ? 1)2 ? 分别取 n ? 1 和 n ? 2 ,得到 ? , 2 a ? a ? a ? ( a ? a ? 1) ? 1 2 3 1 2 ?
由 a1 ? 1 解得 a2 ? 3 , a3 ? 5 (2)由 Sn?1 ? ( Sn ?1)2 得 Sn?1 ? Sn ? 1 . 所以数列

? S ? 是以
n

S1 为首项,1 为公差的等差数列
即 Sn ? n
2

所以 Sn ? S1 +(n ?1) ?1, 由公式 an ? ?

n=1 n=1 ? S1 ?1 ,得 an ? ? ?2n ? 1 n ? 2 ?Sn ? Sn?1 n ? 2

所以 an ? 2n ? 1 (3)因为 bn ?

1 1 ? ,所以 bn ? 0 , an ? an?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

Tn ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 ? + ? + + ? + ? ) 2 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n n 1 = ? ? ? 1 2 2 n ? 1 2n ? 1 2? n 1 1 显然 Tn 是关于 n 的增函数, 所以 Tn 有最小值 T1 ? ? , 1 3 2? 1 1 由于 Tn ? a 恒成立,所以 a ? , 3 1 于是 a 的取值范围为 {a | a ? } 3
28 错误!未指定书签。 . (广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学(理)试题)已知等差

数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 列 ?an ? 的通项公式;(2)设数列 ?
【答案】解:(1)

s ,若 s
n

5

? 70 ,且 a2 , a7 , a22 成等比数列.(1) 求数

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ? sn ?

数列 ?an ? 是等差数列且 s5 ? 70 ,

? 5a1 ? 10d ? 70 . ①
2 a2 , a7 , a22 成等比数列,? a7 ? a2a22 即 (a1 ? 6d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 21d ). ②

由①,②解得 a1 ? 6, d ? 4 或 a1 ? 14, d ? 0(舍去)

? an ? 4n ? 2
(2)证明;由(1)可得 sn ? 2n ? 4n ,
2

所以 1 ?
sn

1 1 1 1 ? ( ? ) 2n ? 4n 4 n n ? 2
2

所以 Tn ?
?
?

1 1 1 ? ? ? s1 s2 s3

?

1 sn ?1

?

1 sn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? )? ( ? )? ( ? )? 4 1 3 4 2 4 4 3 5
3 1 1 1 ? ( ? ) 8 4 n ?1 n ? 2

1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ( ? ) 4 n ?1 n ? 1 4 n n ? 2

3 1 1 1 Tn ? ? ? ( ? ) ? 0 ,? Tn 8 4 n ?1 n ? 2

?

3 8

Tn ?1 ? Tn ?

1 1 1 ( ? ) ? 0 ,? 数列 4 n ?1 n ? 3

?Tn ? 是递增数列,? Tn ? T1 ? 6

1

? 1 ?T
6

n

?

3 8

29 错误!未指定书签。 . (广东省汕头市金山中学 2014 届高三上学期开学摸底考试数学(理)试 题)已知数列 ?an ? 的各项均为正值, a1
2 ? 1, 对任意 n ? N ? , an ), ?1 ? 1 ? 4an (an ? 1

bn ? log2 (an ? 1) 都成立.
1)求数列 ?an ? 、 ?bn ?的通项公式; 2)令 cn ? an ? bn ,求数列 ?c n ?的前 n 项和 T n ;
? 3)当 k ? 7 且 k ? N 时,证明对任意 n ? N ? , 都有

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? 成立. bn bn?1 bn? 2 bnk ?1 2

【答案】

【D】3.)设 S ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? bn bn?1 bn? 2 bnk ?1 n n ? 1 n ? 2 nk ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2S ? ( ? )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) -----(1) n nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ? 1 n
当 x ? 0, y ? 0 时, x ? y ? 2 xy ,

1 1 1 1 1 ? ?2 ,? ?x ? y ?( ? ) ? 4 x y xy x y

?

1 1 4 ? ? 当且仅当 x ? y 时等号成立. x y x? y

∴上述(1)式中, k ? 7, n ? 0, n ? 1, n ? 2,?, nk ? 1 全为正,

? 2S ?

4 4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ??? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 nk ? 1 ? n n ? nk ? 1

?S ?

2(k ? 1) 2(k ? 1) 2 2 ? 3 ? ? ? 2(1 ? ) ? 2?1 ? ?? 1 k ?1 k ?1 ? 7 ?1? 2 1? k ? n
1 1 1 ? ??? n n ?1 8n ? 1

(法二)? k ? 8, S ?

1 1 1 1 1 1 1 ??? ? ??? ? ??? ??? n 2n ? 1 2n 3n ? 1 3n 4n ? 1 8n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ??? ? ??? ??? ??? 2n ? 1 2n ? 1 3n ? 1 3n ? 1 4n ? 1 4n ? 1 8n ? 1 8n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 2n ? 1 3n ? 1 4n ? 1 8n ? 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 83 1 1 3 ? 1? ? ? ? ? 1? ? ? 1? ? 4 5 7 8 140 8 2 2 30 错误! 未指定书签。 ( .广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学理试题) 若数列 ?an ?
= 的前 n 项和为 Sn ,对任意正整数 n 都有 6Sn ? 1 ? 2an ,记 bn ? log 1 an .
2

(1)求 a1 , a 2 的值; (2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)若 cn?1 ? cn ? bn , c1 ? 0, 求证:对任意 n ? 2, n ? N 都有
*

1 1 ? ? c2 c3

?

1 3 ? . cn 4

【答案】解:(1)由 6S1

? 1 ? 2a1 ,得 6a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ?
1 32

1 8

6S2 ? 1 ? 2a2 ,得 6 ? a1 ? a2 ? ? 1 ? 2a2 ,解得 a2 ?
(2)由 6Sn ? 1 ? 2an ①,

当 n ? 2 时,有 6Sn?1 ? 1 ? 2an?1 ②, ①-②得:

an 1 ? , an ?1 4

1 1 ? 数列 ?an ? 是首项 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列 8 4

? an ? a1q

n ?1

1 ?1? ? ?? ? 8 ?4?

n ?1

?1? ?? ? ? 2?
2 n ?1

2 n ?1

,

?1? ? bn ? log 1 an ? log 1 ? ? 2 2 ?2?
(3)

? 2n ? 1

cn?1 ? cn ? bn =2n ? 1,

? cn ? cn?1 ? bn?1 =2 ? n ?1? ?1 , (1)

cn?1 ? cn?2 ? bn?2 =2 ? n ? 2? ?1 ,(2)
,

c3 ? c2 ? b2 =2 ? 2 ? 1 ,

c2 ? c1 ? b1 =2 ?1 ? 1 ,

( n ?1 )

(1)+(2)+ +( n ? 1 )得 cn ? c1 ? bn?1 =2 ?1+2+3+

+n ?1? ? n ?1=n2 ?1 ,

? cn = ? n ?1?? n ?1? ,

?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, cn ? n ? 1?? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ? 1 ?
1 1 ? ? c2 c3 ? 1 1? 1 1 1 1 1 = ?1 ? ? ? ? ? ? cn 2 ? 3 2 4 3 5 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?

?

1? 1 1 1 ? 3 1?1 1 ? = ?1+ ? ? ?? ? ? ? ?, 2 ? 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ?
1?1 1 ? ? ? ??0, 2 ? n n ?1 ?

?

1 1 ? ? c2 c3

?

1 3 ? 对任意 n ? 2, n ? N * 均成立 cn 4

31 错误!未指定书签。 . (广东省韶关市 2014 届高三摸底考试数学理试题)已知数列 {an } 的前

n 项和 S n 满足: Sn ?

a (an ? 1) ( a 为常数,且 a ? 0, a ? 1 ). a ?1

(1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

2Sn ? 1 ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值; an
1 1 ? ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn , 1 ? an 1 ? an ?1

(3)在满足条件(2)的情形下,设 cn ?

1 求证: Tn ? 2n ? . 3

a (a1 ? 1), ∴ a1 ? a, a- 1 a a 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? an ? an?1 , a ?1 a ?1
【答案】解:(1)

S1 ?

an ? a ,即 {an } 是等比数列. ∴ an ? a ? an?1 ? an ; an ?1

(2)由(Ⅰ)知, bn ?

2?

a (a n ? 1) (3a ? 1)a n ? 2a a ?1 ,若 {bn } 为等比数列, ?1 ? n a a n (a ? 1)

3a ? 2 3a 2 ? 2a ? 2 , b3 ? , a a2 3a ? 2 2 3a 2 ? 2a ? 2 1 ) ? 3? 故( ,解得 a ? , 2 a a 3 1 1 再将 a ? 代入得 bn ? 3n 成立, 所以 a ? 3 3
则有 b2 2 ? b1b3 , 而 b1 ? 3, b2 ?

1 1 3n 3n?1 ? ? n ? n ?1 1 1 1 ? ( )n 1 ? ( )n ?1 3 ? 1 3 ? 1 3 3 n n ?1 3 ?1 ?1 3 ?1 ?1 1 1 ? n ? n ?1 ?1? n ? 1 ? n ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 ? 2?( n ? n?1 ) , 3 ? 1 3 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 由 n ? n , n?1 ? n?1 得 n ? n?1 ? n ? n?1 , 3 ? 1 3 3 ?1 3 3 ? 1 3 ?1 3 3 1 3 1 1 所以 cn ? 2 ? ( n ? n?1 ) ? 2 ? ( n ? n?1 ) , 3+ 1 3 ?1 3 3 1 1 1 1 1 1 从而 Tn ? c1 ? c2 ? ? cn ? [2 ? ( ? 2 )] ? [2 ? ( 2 ? 3 )] ? [2 ? ( n ? n?1 )] 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2n ? [( ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ( n ? n?1 )] ? 2n ? ( ? n?1 ) ? 2n ? . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 即 Tn ? 2n ? 3
(3)证明:由(Ⅱ)知 an ? ( )n ,所以 cn ?

1 3

32 错误!未指定书签。 . (广东省深圳市高级中学 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)

设数列 ?an ?

,?

bn ? 满足 a1 ? b1 ? 6, a2 ? b2 ? 4, a3 ? b3 ? 3 ,且数列

{an?1 ? an }(n ? N * ) 是等差数列,数列 {bn ? 2}(n ? N *) 是等比数列.
(1)求数列

?an ? 和 ?bn ?的通项公式;
*

(2)是否存在 k ? N ,使 a k ? bk ? ? 0,
【答案】

? ?

1? ? ,若存在,求出 k ,若不存在,说明理由. 2?

33 错误!未指定书签。 . (2013-2014 学年广东省(宝安中学等)六校第一次理科数学联考试题)

设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N? ,都有 Sn ? (m ? 1) ? man ( m 为正常数).(1) 求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ?

bn?1 ,(n ? 2, n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn?1

(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2n ?1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?
? S1 ? (m ? 1) ? ma1 ,解得 a1 ? 1

【答案】解:(1)证明:当 n ? 1 时, a1

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? man?1 ? man .即 (1 ? m)an ? man?1 又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴

an m ? (n ? 2) an ?1 1 ? m

∴数列 {an } 是首项为 1,公比为 (2)解: b1 ? 2a1 ? 2 ∵ bn ?

m 的等比数列 1? m

bn ?1 1 1 1 1 ,∴ ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) 1 ? bn ?1 bn bn?1 bn bn?1

∴?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列 2 ? bn ?



2 1 1 2n ? 1 ,即 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? 2n ? 1 bn 2 2

(n ? N ? )

(3)解:由(2)知 bn ?

2 2n ?1 ,则 ? 2n (2n ? 1) . 2n ? 1 bn

22 23 24 所以 Tn ? ? ? ? b1 b2 b3

2n 2n?1 , ? ? bn?1 bn

即 Tn ? 21 ?1 ? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 则 2Tn ? 22 ?1 ? 23 ? 3 ? 24 ? 5 ?

? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) , ? 2n ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ,
? 2n?1 ,

① ②

②-①得 Tn ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2 ? 23 ? 24 ? 故 Tn ? 2
n ?1

? (2n ? 1) ? 2 ?

23 (1 ? 2n?1 ) ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 6 1? 2
n+
(n∈N ),
*

34 错误!未指定书签。 . (广东省南雄市黄坑中学 2014 届高三上学期第一次月考测试数学(理) 试题)已知 an= 1×2+ 2×3+ 3×4++ n

用放缩法证明: <

n n+
2

<an<

n n+
2

.(提示:

n n+

>n 且 n

n+

n+ n+
2

)

【答案】证明 ∵ n

n+

= n +n,∴ n

2

∴an= 1×2+ 2×3++ n

n+

>1+2+3++n=

n+ >n, n n+
2

.∵ n

n+

<

n+ n+
2

,

1+2 2+3 3+4 n+ n+ ∴an< + + ++ 2 2 2 2 1 n+1 n = +(2+3++n)+ = 2 2 综上得:

n+
2

. 2 .
2

n n+
2

<an<

n n+

错误!未指定书签。 . (广东省佛山市南海区 2014 届普通高中高三 8 月质量检测理科数学试题 )

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn =2n (1)求数列 ?an ? , ?bn ?的通项公式;

? 4n+1 ,数列 ?bn ?的首项 b1 =2 ,且点 (bn , bn?1 ) 在直线

y ? 2 x 上.

(2)若 cn ? an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .
【答案】解:(1)由 Sn =2n
2

2 ? 4n+1 得 Sn-1 =2 (n ?1 ) ?( 4 n ?1)+1 ,

2 ∴ an ? Sn ? Sn-1 =2n2 ? 4n+1 ? ( 2 n ?1 ) ?( 4 n ?1) ?1=4n ? 2(n ? 2)

当 n =1 时, a1 =7 , 综上 an ? ?

?4n ? 2(n ? 2) ?7(n ? 1)

∵点 (bn , bn?1 ) 在直线 y ? 2 x 上,∴ bn?1 ? 2bn ,又 b1 =2 , ∴ ?bn ?是以 2 为首项 2 为公 比的等比数列, bn ? 2 (2)由(1)知,当 n ? 1 时, c1 ? a1 b1 ? 14 ; 当 n ? 2 时, cn ? an bn ? (4n ? 2) 2n ? (2n ? 1) 2n?1 , 所以当 n ? 1 时, T1 ? c1 ? 14 ; 当 n ? 2 时, Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ... ? cn ? 14 ? 5? 23 ? ... ? (2n ?1) 2n ? (2n ? 1) 2n?1 则 2Tn ? 28 ? 5 ? 24 ? ... ? (2n ?1) 2n?1 ? (2n ?1) 2n?2 ②-①得: Tn ? 14 ? 5 ? 23 ? 25 ? 26 ? 即 Tn ? 14 ? 5 ? 2 ?
3
[来源:学*科*网]

n





? 2n?2 ? (2n ?1) 2n?2

25 (2n?2 ? 1) ? (2n ? 1) 2n? 2 ? (2n ? 1) 2n ? 2 ? 6 , 2 ?1

显然,当 n ? 1 时, T1 ? (2 ?1 ?1) 21?2 ? 6 ? 14 , 所以 Tn ? (2n ?1) 2n?2 ? 6
35 错误!未指定书签。 . (广东省六校 2014 届高三第一次联考理科数学试题)设

M ? 10a 2 ? 81a ? 207 , P ? a ? 2 ,Q= 26 ? 2a ;若将 lg M ,lgQ,lgP 适当排序后可构成公
差为 1 的等差数列 {a } 的前三项. n (1)试比较 M、P、Q 的大小; (2)求 a 的值及 {a } 的通项; n (3)记函数 设

f ( x) ? an x2 ? 2an?1x ? an?2 (n ? N*) 的图象在 x 轴上截得的线段长为 bn ,
? bn ?1bn )
(n ? 2) ,求 Tn ,并证明

Tn ?

1 (b1b2 ? b2b3 ? 4

T2T3T4 ??????Tn ?

2n ?1 . n

? M ? 10a 2 ? 81a ? 207 ? 0 ? ?P ? a ? 2 ? 0 ?Q ? 26 ? 2a ? 0 【答案】解:(1)由 ? 得 ?2 ? a ? 13

M ? Q ? 10a2 ? 83a ?181 ? 0( ?1 ? 0) M ? P ? 10a2 ? 80a ? 205 ? 0( ?2 ? 0)
?M ? Q , M ? P
又 当 ?2 ? a ? 13 时, P ? Q ? ?24 ? 3a ,

当 ?2 ? a ? 8 时,即 P ? Q ,则 P ? Q ? M 当 a ? 8 时, P ? Q ,则 P ? Q ? M 当 8 ? a ? 13 时, P ? Q ,则 Q ? P ? M (2)当 ?2 ? a ? 8 时,

?26 ? 2a ? 10(a ? 2) ?lg P ? 1 ? lg Q ?10 P ? Q ? 2 ? ? ?lg M ? 1 ? lg Q 即 ? M ? 10Q ? ?10a ? 81a ? 207 ? 10(26 ? 2a)
a?
解得

1 2 ,从而 an ? lg P ? (n ?1) ?1 ? n ? 2lg 2

当 8 ? a ? 13 时,

?a ? 2 ? 10(26 ? 2a) ?lg Q ? 1 ? lg P ? P ? 10Q ? 2 ? ? ?lg M ? 1 ? lg P 即 ? M ? 10 P ? ?10a ? 81a ? 207 ? 10(a ? 2) , a 无解.
( x ,0),( x2 ,0) (3)设 f ( x) 与 x 轴交点为 1
? 当 f ( x) =0 时有 ( x ? 1)(an x ? an?2 ) ? 0
? x1 ? ?1, x2 ? ? an? 2 a ?2 ?? n an an an ? 2 2 |? an | an |
? bn ? 2 an

2an?1 ? an ? an?2 ,

? bn ?| x1 ? x2 |?| ?1 ?



an ? n ? 2lg 2 ? 0 ,

? bn?1bn ?

2 2 1 1 ? ? 4( ? ) an?1 an an ?1 an ?( 1 1 ? )] an?1 an

1 1 1 1 1 ?Tn ? ? 4[( ? ) ? ( ? ) ? 4 a1 a2 a2 a3 ?

1 1 1 1 n ?1 ? ? ? ? a1 an 1 ? 2lg 2 n ? 2lg 2 (1 ? 2lg 2)(n ? 2lg 2)

Tn ?

n ?1 n ? 1 2(n ? 1) ? ? (1 ? 2lg 2)(n ? 2lg 2) 1 n n 2

2 2? 2 2?3 2? 4 2(n ? 1) 2n?1 T2T3T4 ??????Tn ? ? ? ? ?????? ? 2 3 4 5 n n
说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.
36 错误!未指定书签。 . (广东省广州市执信、广雅、六中 2014 届高三 9 月三校联考数学(理) 试题)已知数列

?an ? 前 n 项和为 Sn , 首项为a1 , 且

1 ,an , S n 成等差数列. 2

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)数列满足 bn ? (log2
a2 n ?1

) ? (log2a2 n?3 ) ,求证:

1 1 1 ? ? ? b1 b2 b3

?

1 1 ? bn 2

【答案】

37 错误!未指定书签。 . (广东省十校 2014 届高三上学期第一次联考数学理试题)设 S n 为数列

?an ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N? ,都有 Sn ? (m ?1) ? man ( m 为正常数). (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列;
(2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ?

bn?1 ,(n ? 2, n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn?1
2 n?1 cos(n ? 1)? } 的前 n 项和 Tn . bn

(3)在满足(2)的条件下,求数列 {
【答案】(1)证明:当 n ? 1 时, a1

? S1 ? (m ? 1) ? ma1 ,解得 a1 ? 1

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? man?1 ? man .即 (1 ? m)an ? man?1 又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴

an m ? (n ? 2) . an ?1 1 ? m

∴数列 {an } 是首项为 1,公比为 (2)解: b1 ? 2a1 ? 2 ∵ bn ?

m 的等比数列 1? m

bn ?1 1 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) ,∴ bn bn ?1 bn bn ?1 1 ? bn ?1

∴?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列 2 ? bn ?
2 1 1 2n ? 1 ,即 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? 2n ? 1 bn 2 2 (n ? N ? )



(3)解:由(2)知 bn ?

2 2 n?1 ,则 cos(n ? 1)? ? (?1) n?1 (2n ? 1) ? 2 n 2n ? 1 bn

所以 Tn ? 1? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 23 ? 7 ? 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ?(?1) n?1 (2n ? 1) ? 2 n 当 n 为偶数时,

Tn ? 1? 2 ? 5 ? 23 ? ?9 ? 25 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? [3 ? 22 ? 7 ? 24 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ]
令 S ? 1? 2 ? 5 ? 23 ? ?9 ? 25 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n?1 ①

则 4S ? 1? 23 ? 5 ? 25 ? ?9 ? 27 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 7) ? 2 n ? (2n ? 3) ? 2 n?1 ② ①-②得

? 3S ? 1? 2 ? 4 ? 23 ? 4 ? 25 ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 2 n?1 ? (2n ? 3) ? 2 n?1
4 ? 2 (1 ? 4 1? 4
3 n ?1 2

=1? 2 ?

)

? (2n ? 3) ? 2 n ?1

=

? 6 ? 32 ? 2 n ?3 ? 3(2n ? 3) ? 2 n ?1 26 ? (6n ? 13) ? 2 n ?1 = ?3 ?3 26 ? (6n ? 13) ? 2 n ?1 9
2 4 n

?S ?
/

令 S ? 3 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? 2



4 S / ? 3 ? 2 4 ? 7 ? 2 6 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 5) ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ? 2 ④
③-④得 ? 3S / ? 3 ? 22 ? 4 ? 24 ? 4 ? 26 ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?2

= 12 ?

4 ? 2 (1 ? 4 1? 4
4

n ?1 2

)

? (2n ? 1) ? 2 n ? 2

=

? 36 ? 64 ? 2 n ? 4 ? 3(2n ? 1) ? 2 n ? 2 28 ? (6n ? 7) ? 2 n ? 2 = ?3 ?3 28 ? (6n ? 7) ? 2 n? 2 9
/

?S / ?

26 ? (6n ? 13) ? 2 n?1 28 ? (6n ? 7) ? 2 n? 2 (6n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 ? Tn ? S ? S ? ? ?? 9 9 9
当 n 为奇数时,n-1 为偶数,

? Tn ? Tn?1 ? (?1) n?1 (2n ? 1) ? 2 n ? ?

[6(n ? 1) ? 1] ? 2 n ? 2 ? (2n ? 1) ? 2 n 9

=

(?6n ? 7) ? 2 n ? 2 ? (18n ? 9) ? 2 n (12n ? 2) ? 2 n ? 2 (6n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 ? ? 9 9 9

? (6n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 ? (n为偶数) ? ? 9 ? Tn ? ? n ?1 ? (6n ? 1) ? 2 ? 2 (n为奇数) ? 9 ?
法二: Tn ? 1? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 23 ? 7 ? 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ?(?1) n?1 (2n ? 1) ? 2 n ①

? 2Tn ? ?1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ? 7 ? 25 ? ? ? ? ? ? ? ?(?1) n?1 (2n ? 3) ? 2n ? (?1) n?1 (2n ? 1) ? 2n?1 ②
①-②得:

3Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? 2 ? 24 ? 2 ? 25 ? ? ? ? ? ? ? ?(?1) n?1 ? 2 ? 2n ? (?1) n?1 (2n ? 1) ? 2n?1
? 2 3 [1 ? (?2) n?1 ] ? (?1) n?1 (2n ? 1) ? 2 n?1 1 ? (?2)

=2?

=

6 ? 8 ? (?1) n ?1 2 n ? 2 ? 3(?1) n ?1 (2n ? 1) ? 2 n ?1 3

? 2 ? (2 ? 6n ? 3) ? 2 n?1 (?1) n?1 (6n ? 1) ? 2 n?1 (?1) n?1 ? 2 ? ? 3 3 ? Tn ? (?1) n ?1 (6n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 9

38 错误!未指定书签。 . (广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(理)试题)设数列{an}

的前 n 项和为 Sn,且 (1)求 a1,a2;

,n=1,2,3

(2)求 Sn 与 Sn﹣1(n≥2)的关系式,并证明数列{ (3)求 S1?S2?S3S2011?S2012 的值.

}是等差数列;

【答案】(1)解:当 n=1 时,由已知得

,解得

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

同理,可解得 (2)证明:由题设 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 代入上式,得 SnSn﹣1﹣2Sn+1=0 ∴ ,



=﹣1+

∴{

}是首项为

=﹣2,公差为﹣1 的等差数列



=﹣2+(n﹣1)?(﹣1)=﹣n﹣1

∴Sn= (3)解:S1?S2?S3S2011?S2012= ? ? ? ? =

39 错误!未指定书签。 . (广东省广州市越秀区 2014 届高三上学期摸底考试数学理试题)已知数

列 {an } 满足 a1 ?

1 1 * , an ?1 ? an ? n ?1 (n ? N ) . 2 2

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? nan ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,试比 较 Tn 与
【答案】(1)当 n ? 2 时, an

3n 的大小,并予以证明. 2n ? 1

? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ???? ? (an ? an?1 )

1? 1 ? 1 ? n ?1 ? 1 ? 1? ? 1? 1 ? 1 4? ? 1? 1 ?1 1 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ??? ? ? ? n ? ? ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ? ? ? 2 ? ? n . 1 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 2 1? 2 1 1 * 又 a1 ? 也适合上式,所以 an ? n ( n ? N ) . 2 2 1 n (2)由(1)得 an ? n ,所以 bn ? nan ? n . 2 2 1 2 3 n 1 1 2 3 n 因为 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ①,所以 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ?1 ②. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 由①-②得, Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2

1 1? n 1 1 1 n 2 ? n ? 2? n? 2 . 所以 Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? ??? ? n ?1 ? n ? 1 2n 2 2 2 2 2n 1? 2

3n 3n ? n ? 2 n ? 2 n ? 2 (n ? 2)(2n ? 2n ? 1) ? 因为 Tn ? , ? ?2? ? ? ? ?? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n 2n ? 1 2n (2n ? 1)2n
所以确定 Tn 与
1

3n n 的大小关系等价于比较 2 与 2n ? 1 的大小. 2n ? 1
2

当 n ? 1 时, 2 ? 2 ?1 ? 1 ;当 n ? 2 时, 2 ? 2 ? 2 ? 1;
3 当 n ? 3 时, 2 ? 2 ? 3 ? 1;当 n ? 4 时, 2 ? 2 ? 4 ? 1 ;,
4

可猜想当 n ? 3 时, 2 ? 2n ? 1 .
n

0 1 n?1 n 证明如下:当 n ? 3 时, 2n ? (1 ?1)n ? Cn ? Cn ???? ? Cn ? Cn 0 1 n?1 n ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ?1 .

综上所述,当 n ? 1 或 n ? 2 时, Tn ?

3n 3n ;当 n ? 3 时, Tn ? . 2n ? 1 2n ? 1

40 错误!未指定书签。 . (广东省湛江市湖光中学 2014 届高三上学期入学考试数学(理)试题)

设 Sn 是数列

{an } 的前 n 项和,所有项 a ? 0 , 且 S ? 1 a 2 ? 1 a ? 3 , n n n n 4 2 4

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式. (Ⅱ)已知bn ? 2 , 求Tn ? a1b1 ? a2b2 ?
n

? a n bn 的值.

【答案】解(Ⅰ)n = 1 时, a1 ? s1 ?

1 2 1 3 a1 ? a1 ? , 解出 a1 = 3 4 2 4

又 4sn = an + 2an-1-3

2



4sn-1 = a n ?1 + 2an-3 (n≥2) ①-②

2



2 4an = an2- a n ?1 + 2an-2an-1

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0

? an ? an?1 ? 0 ? an ? an?1 ? 2 ( n ? 2 ) ? 数列 {an } 是以 3 为首项,2 为公差之等差数列 ? an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1
(Ⅱ) Tn ? 3 ? 21 ? 5 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ? 0 ③ ④

又 2Tn ? 0 ? 3 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ? (2n ? 1)2 n?1

④-③ Tn ? ?3 ? 21 ? 2(2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ) ? (2n ? 1)2 n?1

? ?6 ? 8 ? 2 ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? (2n ? 1)2 n?1 ? 2
∴ Tn ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? 2
41 错误!未指定书签。 . (广东省揭阳一中等 2014 届高三上学期开学摸底联考数学理试题 )已

知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 1 ? an (n ? N * ) . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 b ? n
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bnbn ?1 1 , cn ? , 记 Tn ? c1 ? c2 ? ??? ? cn , 证明:Tn<1. log 1 an n ?1 ? n
2

【答案】解(1)当 n ? 1时 时,由 S1

? 1 ? a1 , 得 a1 ?

1 , 2

当 n ? 2 时,

Sn ? 1 ? an , ①

? Sn?1 ? 1 ? an?1 , ②
1 an ?1. 2 1 1 所以数列 ?an ?是以首项为 ,公比为 的等比数列, 2 2
上面两式相减,得 an ?

求得 an ? (2) bn ?

1 n? N* . n 2
1 ? . n ?1? log1 ? ? 2 2? ?
n

?

?

1 ? log1 an
2

1

cn ?

n ?1 ? n 1 1 ? ? n?n ? 1? n n ?1

1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? Tn ? c1 ? c2 ? ??? ? cn ? ?1 ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? 2? ? 2 3? ? 3 4? n ?1 ? ? ? n

? 1?

1 <1 n ?1



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