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福建省福州格致中学(鼓山校区)2015-2016学年高二数学上学期第五次月考(期末)试题 理


福州格致中学 2014 级高二学段第一学期质量评定 高二年级第五次月考数学(理工)试题
第Ⅰ卷 (选择题 共60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值是( m 4
B.5 C.1 或 9

) D.3 或 5 )

A.6 或 2

2..已知 ? , ? , ? 是三个互不重合的平面, l 是一条直线,下列命题中正确命题是( A.若 ? ⊥ ? , l ⊥ ? ,则 l ∥ ? B.若 l 上有两个点到 ? 的距离相等,则 l ∥ ? C.若 l ⊥ ? , l ∥ ? ,则 ? ⊥ ? D.若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ⊥ ?

y2 ? 1 的离心率为 3、已知实数 m 是 2,8 的等比中项,则双曲线 x ? m
2





A. 5

B. 2

C. 3

D. 2 ( )

4、 f ( x) ? cos x ? sin x 在下列哪个区间上是单调递减的

A. ?

? ? 5? ? , ?4 4 ? ?

B. ? ?? ,0?

C. ? 0, ? ?

D. ? 0,

? ?? ? 4? ?

5、已知函数 f ? x ? ? x ? e x , g ? x ? ? x ? ln x, h ? x ? ? ln x ? 1 的零点依次为 a , b, c ,则 a , b, c 从大到小的顺序为 ( ) A. c ? b ? a B. c ? a ? b C. b ? c ? a D. a ? c ? b 6、三棱锥 S?ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示, 则棱 S B 的长为( ) A. 4 2 B. 2 7 C. 2 5 D. 4 3

第 6 题图

第 7 题图

7 、对任意的实数 a , b ,记 max?a ,b? ? ?

? a, a ? b ,若 F ? x? ? max? f ( x ), g (x? ,其中奇函数 ) ,x ? R ?b, a ? b

1

y ? f ( x) 在 x ? 1 时有极小值-2, y ? g ( x) 是正比例函数,函数 y ? f ( x) ? x ? 0? 与函数 y ? g ( x) 的图象
如图所示.则下列关于函数 y ? F ( x) 的说法中,正确的是 ( A. y ? F ( x) 为奇函数 ) B. y ? F ( x) 在 ? ?3,0? 为增函数

C. y ? F ( x) 有极大值 F (?1) ,极小值 F ? 0 ? D. y ? F ( x) 最小值为-2,最大值为 2 8、直线 y ? 2 x ? m 和圆 x 2 ? y 2 ? 1交于点 A, B ,以 x 轴的正方向为始边, OA 为终边( O 是坐标原 点)的角为 ? , OB 为终边的角为 ? ,若 AB ? 3 ,那么 sin ?? ? ? ? 的值是 ( A. ) D. ?

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

3 2


9、已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 .当 n ? 2 时, an ? 2Sn?1 ? n ,则 S2015 =( A.1006 B.1007 C.1008 D.1009

?x ? y ? 1 ? 10、若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点 ?1,0 ? 处取得最小值,则 a 的取值范围是 ?3 x ? y ? 3 ?
( A. ? ?6,2? 11、设 P 是椭圆 B. ? ?6,2? C. ? ?3,1? ) D. ? ?3,1?

x2 y 2 ? ? 1 上一点, M ,N 分别是两圆: ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1和 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1上的点, 25 9
( C.8,12 ) D.10,12

则 | PM | ? | PN | 的最小值、最大值的分别为 A.9,12 B.8,11

12、己知定义在 R 上的可导函数 f ( x ) 错误!未找到引用源。的导函数为 f ?( x ) 错误!未找到引用源。 ,满 足 f ?( x) ? f ( x) 错误!未找到引用源。 ,且 f ( x ? 2) 错误!未找到引用源。为偶函数, f (4) ? 1 错误!未 找到引用源。 ,则不等式 f ( x) ? e 错误!未找到引用源。的解集为
x



) C. ?1, ?? ? 错误!

A. ? ?2, ?? ? 错误!未找到引用源。 未找到引用源。

B. ? 4, ??? 错误!未找到引用源。

D. ? 0, ??? 错误!未找到引用源。 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题 5 分,共 20分. 把答案填在答题卡的相应位置.
2

13、椭圆 5x2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么实数 k 的值为

.

14、以下茎叶图记录了甲,乙两组各四名同学的植树棵数,分别从甲,乙两组中随机选取一名同学,则这 两名同学的植树总棵数为 19 的概率是 甲组 9 1 9 1 0 1 . 乙组 9 8 9 0

15、曲线 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 与直线 y ?

1 围成的封闭图形的面积是 2

.

16 、已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为 3 ,

AB ? 2 , AC ? 1, ?BAC ? 60? ,则此球的表面积等于

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡 上的指定区域内. 17、 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ?1 , g ( x) ? ?x2 ? 6x ? 5 . (1)若 g ( x) ? f ( x) ,求实数 x 的取值范围; (2)求 g ( x) ? f ( x) 的最大值.

18、 (本小题满分 12 分) 设 锐 角 △ ABC 的 三 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c 向 量 m

??

? ? (1, sin A ? 3 cos A) , n

? (sin A,

?? ? 3 ) ,已知 m 与 n 共线. 2 (1)求角 A 的大小;
(2)若 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,且△ ABC 的面积小于 3 ,求角 B 的取值范围.

3

19、 (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 中 PA ? 平面 ABCD ,点 Q 在棱 PA 上,且 PA ? 4 PQ ? 4 ,底面为直角梯形,

?CDA ? ?BAD ? 900 , AB ? 2, CD ? 1, AD ? 2, M , N 分别是 PD, PB 的中点.
(1)求证: MQ // 平面 PCB ; (2)求截面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角的大小.

P Q N M

A D C

B

20、 (本小题满分 12 分)
* 已知正项等比数列 ?an ? n ? N ,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? a3 , S5 ? a5 , S4 ? a4 成等

?

?

差数列. ⑴ 求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵ 求数列 ?nSn ? 的前 n 项和 Tn .

4

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 , 其中 x ? R, a 为参数 (1)记函数 g ( x) ?

1 f ?( x) ? ln x ,讨论函数 g ( x) 的单调性; 6

(2) 若曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴有交点且交点为 P , 曲 线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证: 对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) .

22、 (本小题满分 12 分)
2 OD ? MN 交 MN 如图, 已知直线与抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 交于 M , N 两点, 点 D 的坐标为 1, 3 ,

?

?

于点 D , OM ? ON , 抛物线的焦点为 F . (1) 求 p 的值; (2) 记条件(1)所求抛物线为曲线 C ,过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与曲线 C → → 相交于点 A, B , l2 与曲线 C 相交于点 D, E ,求AD·EB的最小值.

y

M

D

O

x

N

5

数学(理科)答案 第Ⅰ卷 (选择题 共60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值是( D ) m 4
B.5 C.1 或 9 D.3 或 5

A.6 或 2

2..已知 ? , ? , ? 是三个互不重合的平面, l 是一条直线,下列命题中正确命题是( C ) A.若 ? ⊥ ? , l ⊥ ? ,则 l ∥ ? B.若 l 上有两个点到 ? 的距离相等,则 l ∥ ? C.若 l ⊥ ? , l ∥ ? ,则 ? ⊥ ? D.若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ⊥ ? 3、已知实数 m 是 2,8 的等比中项,则双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的离心率为 ( A ) m
D. 2

A. 5

B. 2

C. 3

4、 f ( x) ? cos x ? sin x 在下列哪个区间上是单调递减的( D)

A. ?

? ? 5? ? , ?4 4 ? ?

B. ? ?? ,0?

C. ? 0, ? ?

D. ? 0,

? ?? ? 4? ?

5、已知函数 f ? x ? ? x ? ex , g ? x? ? x ? ln x, h? x? ? ln x ? 1的零点依次为 a , b, c ,则 a , b, c 从大到小的顺序为 ( A ) A. c ? b ? a B. c ? a ? b C. b ? c ? a D. a ? c ? b

6、三棱锥 S?ABC 及其三视图中的正视图和 侧视图如图所示, 则棱 S B 的长为(A ) A. 4 2 B. 2 7 C. 2 5 D. 4 3 7 、对任意的实数 a , b ,记 max?a ,b? ? ?
第 6 题图

? a, a ? b ,若 F ? x? ? max? f ( x ), g (x? ,其中奇函数 ) ,x ? R ?b, a ? b

y ? f ( x) 在 x ? 1 时有极小值-2, y ? g ( x) 是正比例函数,函数 y ? f ( x) ? x ? 0? 与函数 y ? g ( x) 的图象
如图所示.则下列关于函数 y ? F ( x) 的说法中,正确的是( C A. y ? F ( x) 为奇函数
6



B. y ? F ( x) 在 ? ?3,0? 为增函数 C. y ? F ( x) 有极大值 F (?1) ,极小值 F ? 0 ? D. y ? F ( x) 最小值为-2,最大值为 2 8、直线 y ? 2 x ? m 和圆 x 2 ? y 2 ? 1交于点 A, B ,以 x 轴的正方向为始边, OA 为终边( O 是坐标原点) 的角为 ? , OB 为终边的角为 ? ,若 AB ? 3 ,那么 sin ?? ? ? ? 的值是 _________( D )

A.

1 1 3 3 B. C. ? D. ? 2 2 2 2
( C )

9、已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 .当 n ? 2 时, an ? 2Sn?1 ? n ,则 S2015 = A.1006 B.1007 C.1008 D.1009 ①

解:当 n ? 2 时,由 an ? 2Sn?1 ? n 得 Sn ? Sn?1 ? 2Sn?1 ? n 即 Sn ? Sn?1 ? n 所以 Sn?1 ? Sn ? n ? 1 ②

②-①得 Sn?1 ? Sn?1 ? 1 ,又 a1 ? 1 即 S1 ? 1 数列 ?S2n?1? 构成等差数列, S2015 ? 1 ? ?1008 ?1? ?1 ? 1008

?x ? y ? 1 ? 10、若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点 ?1,0 ? 处取得最小值,则 a 的取值范围是 ?3 x ? y ? 3 ?
( B ) B. ? ?6,2? C. ? ?3,1? D. ? ?3,1? A. ? ?6,2?

11、设 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点, M ,N 分别是两圆: ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1和 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1上的点, 25 9
( C )

则 | PM | ? | PN | 的最小值、最大值的分别为 A.9,12 B.8,11 C.8,12

D.10,12

12、己知定义在 R 上的可导函数 f ( x ) 错误!未找到引用源。的导函数为 f ?( x ) 错误!未找到引用源。 ,满 足 f ?( x) ? f ( x) 错误!未找到引用源。 ,且 f ( x ? 2) 错误!未找到引用源。为偶函数, f (4) ? 1 错误!未 找到引用源。 ,则不等式 f ( x) ? e 错误!未找到引用源。的解集为
x

( D ) C. ?1, ?? ? 错误!
7

A. ? ?2, ?? ? 错误!未找到引用源。

B. ? 4, ??? 错误!未找到引用源。

未找到引用源。 解:构造函数 F ? x ? ?

D. ? 0, ??? 错误!未找到引用源。

f ( x) f ?( x)e x ? f ( x)e x f ?( x) ? f ( x) ? , 则 F x ? ? ? ? x 2 ex ex e ? ?
x

因为 f ?( x) ? f ( x) ,及 e ? 0 所以 F ?( x) ? 0 ,函数 F ( x) 在 R 上单调递减 由 f ( x ? 2) 错误!未找到引用源。为偶函数, f (4) ? 1 ,得 f (0) ? 1

F ? x? ?

f ( x) ? 1 得 x ? 0 ,即不等式 f ( x) ? ex 错误!未找到引用源。的解集为 ? 0, ??? x e
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题 5 分,共 20分. 把答案填在答题卡的相应位置. 13、椭圆 5x2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么实数 k 的值为 答案:1 14、以下茎叶图记录了甲,乙两组各四名同学的植树棵数,分别从甲,乙两组中随机选取一名同学,则这 两名同学的植树总棵数为 19 的概率是 甲组 9 1 9 1 0 1 9 0 乙组 8 9 . .

解:记甲组四名同学为 A1 , A2 , A3 , A4 ,他们植树的棵树依次为 9,9,11,11:乙组四名同学为 B1 ,

B2 , B3 , B4 ,他们植树的棵树依次为 9,8,9,10,分别从甲,乙两组中随机选取一名同学,所有可能
的结果有 16 个,它们是( A1 , B1 ) ( A1 , B2 ) ( A1 , B3 ) ( A1 , B4 ) ( A2 , B1 ) ( A2 , B2 ) ( A2 , B3 ) ( A2 , B4 ) ( A3 , B1 ) ( A3 , B2 ) ( A3 , B3 ) ( A3 , B4 ) ( A4 , B1 ) ( A4 , B2 ) ( A4 , B3 ) ( A4 , B4 ). 设选出的两名同学的植树总棵数为 19 为事件 C, 则 C 中的结果有 4 个, 它们是 ( A1 ,B4 ) ( A2 ,B4 ) ( A3 ,

B2 ) ( A4 , B2 ) ,故所求概率为 P (C ) ?

1 4
1 围成的封闭图形的面积是 2
.

15、曲线 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 与直线 y ? 答案: 3 ?

? 3

16 、已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为 3 ,

AB ? 2 , AC ? 1, ?BAC ? 60? ,则此球的表面积等于__ 8? _____________.
8

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡 上的指定区域内. 17、 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ?1 , g ( x) ? ?x2 ? 6x ? 5 . (1)若 g ( x) ? f ( x) ,求实数 x 的取值范围; (2)求 g ( x) ? f ( x) 的最大值. 解: (1)当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 由 g ( x) ? f ( x) 得 ? x ? 6 x ? 5 ? x ? 1 整理得 ? x ?1?? x ? 4? ? 0 所以 x ??1, 4?
2

当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x ? 1 由 g ( x) ? f ( x) 得 ? x ? 6 x ? 5 ? ? x ? 1 整理得 ? x ?1?? x ? 6? ? 0 所以 x ??1,6? 又 x ? 1 ,得 x ??
2

综上,实数 x 的取值范围 x ??1, 4? (2)由(1)知 g ( x) ? f ( x) 的最大值必在 x ??1, 4? 上取到

5? 9 9 ? g ( x) ? f ( x) ? ? x ? 6 x ? 5 ? ? x ? 1? ? ? ? x ? ? ? ? 2? 4 4 ?
2

2

当x?

9 9 时 g ( x) ? f ( x) 取到最大值 4 4

18、 (本小题满分 12 分) 设锐角△ ABC 的三内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 向量 m ? (1, sin A ? 3 cos A) ,

??

? ?? ? 3 n ? (sin A, ) ,已知 m 与 n 共线. 2 (1)求角 A 的大小;
(2)若 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,且△ ABC 的面积小于 3 ,求角 B 的取值范围. 解: (1)因为 m 与 n 共线,则 sin A(sin A ? 3 cos A) ? 即 sin 2 A ? 3 sin A cos A ?

??

?

3 2

3 …………… 2 分 2

所以

1 ? cos 2 A 3 3 ?? ? ? sin 2 A ? 即 sin ? 2 A ? ? ? 1 ………………5 分 2 2 2 6? ?

A 为锐角,则 2 A ?

?
6

?

?
2

,所以 A ?

?
3

……………6 分

(2)因为 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,则
9

1 1 ac sin B ? ? 2 ? 4 3 sin 2 B ? 4 3 sin 2 B 2 2 1 ? cos 2 B ? 4 3? ……………………(9 分) ? 2 3 ? 2 3 cos 2B . 2 1 由已知, 2 3 ? 2 3 cos 2B ? 3 ,即 cos 2 B ? . …………………… (10 分) 2 S? ABC ?
因为 B 是锐角,所以 0 ? 2 B ? 故角 B 的取值范围是 ? 0,

?

3

,即 0 ? B ?

?

6



? ?

??

? …………(12 分) 6?

19、 (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 中 PA ? 平面 ABCD ,点 Q 在棱 PA 上,且 PA ? 4 PQ ? 4 ,底面 为直角梯形, ?CDA ? ?BAD ? 900 , AB ? 2, CD ? 1, AD ? 2, M , N 分别是 PD, PB 的中点. (1)求证: MQ // 平面 PCB ; (2)求截面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角的大小.
P Q N M

A D C

B

解析(一) :以 A 为原点,以 AD, AB, AP 分别为 x, y , z 建立空间直角坐标系 O ? xyz , 由 AB ? 2, CD ? 1, AD ? 2, PA ? 4 PQ ? 4 , M , N 分 别 是

z

PD, PB 的中点,
可得:

P Q

A ? 0, 0, 0 ? , B ? 0, 2, 0 ? , C

?

2,1, 0 , D

? ?

? 2 ? 2, 0, 0 , P ? 0, 0, 4 ? , Q ? 0, 0,3 ? , M ? , 0, 2 ? M ? 2 ?, ? ?

?

N B

A
N ? 0,1,2?
???? ? ? ??? ? ? 2 ? , 0,1 2, ?1, 0 , PB ? ? 0, 2, ?4 ? , MQ ? ? ? ? 2 ? ……2 分 ? ? ?? ? 设平面的 PBC 的法向量为 n0 ? ? x, y, z ? ,

y

??? ? ∴ BC ?

?

?

x

D

C

10

?? ? ??? ? ?n0 ? BC ? ? x, y, z ? ? 2, ?1, 0 ? 0 ? 2 x ? y ? 0 ? 则有: ? ?? ? ??? ? ? n ? PB ? ? x, y, z ? ? ? 0, 2, ?4 ? ? 0 ? 2 y ? 4 z ? 0 0 ?

?

?

令 z ? 1 ,则 x ?

?? ? 2, y ? 2 ? n0 ?
2 ?

?
?

2, 2,1 ,

?

……………4 分

∴ MQ ? n0 ? ? ? ? 2 , 0,1? ?? ? ? ∴ MQ //平面 PCB

???? ? ?? ?

?

?

2, 2,1 ? 0 ,又 MQ ? 平面 PCB
……………6 分

(2)设平面的 MCN 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , 又 CM ? ? ? ? 2 , ?1, 2 ? ? , CN ? ? 2, 0, 2 ? ?

?

???? ?

?

2

? ????

?

?

? ? ? ???? ? ? 2 2 n ? CM ? x , y , z ? ? , ? 1, 2 ? 0 ? ? x ? y ? 2z ? 0 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 则有: ? ? ? ???? n ? CN ? ? x, y, z ? ? ? 2, 0, 2 ? 0 ? ? 2 x ? 2 z ? 0 ? ? ? 令 z ? 1 ,则 x ? 2, y ? 1 ? n ? 2,1,1 , …………9 分

?

?

?

?

又 AP ? ? 0,0,4? 为平面 ABCD 的法向量,

??? ?

? ??? ? ? ??? ? n ? AP 4 1 ? ,又截面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角为锐二面角, ? ? ∴ cos n, AP ? ? ??? n ? AP 2 ? 4 2
∴截面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 解析(二) : (1) 取AP 的中点E,连结ED,则ED // CN, …………1 分

? 3

………12 分

依题有Q为EP 的中点,所以MQ / / ED,所以MQ / /CN, ………3 分
又 MQ ? 平面 PCB , CN 平面 PCB , ∴ MQ // 平面 PCB …………6 分

(2)易证:平面 MEN // 底面 ABCD, 所以截面 MCN 与平面 MEN 所成的二面角即为平面 MCN 与底面 ABCD 所成的二面角 因为 PA ? 平面 ABCD, 所以 PA ? 平面 MEN

过E做EF ? MN,垂足为F,连结QF,则由三垂线定理可知QF ? MN , 由 ( 1 ) 可 知
M , C, N , Q 四点共面
所以 ?QFE 为截面 MCN 与平面 MEN 所成的二面角的平面 角………9 分

11

在Rt ?MEN中,ME =

2 6 3 ,NE =1,MN = ,故EF = , 2 2 3

P Q E M A D C N B

所以: tan ?QFE ? 3 , 所以: ?QFE ?

?
3

………………12 分

20、 (本小题满分 12 分)

* 已知正项等比数列 ?an ? n ? N ,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? a3 , S5 ? a5 , S4 ? a4 成等差数列.

?

?

⑴ 求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵ 求数列 ?nSn ? 的前 n 项和 Tn . 解:⑴依题意,设 an ? 3q n?1 ……1 分,

S 3 ? a3 、 S 5 ? a5 、 S 4 ? a4 成等差数列, 所以 2(S 5 ? a5 ) ? (S 3 ? a3 ) ? (S 4 ? a4 ) ……2 分, 即 2(a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2a5 ) ? (a1 ? a2 ? 2a3 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? 2a4 ) , 1 2 化简得 4a5 ? a3 ……4 分,从而 4q ? 1 ,解得 q ? ? ……4 分, 2 1 6 ? 因为 ?an ? ( n ? N )是正项数列,所以 q ? , a n ? n ……5 分 2 2 1 ⑵由⑴知 S n ? 6(1 ? n ) ……6 分, 2 1 2 3 n Tn ? 6(1 ? ) ? 6(2 ? 2 ) ? 6(3 ? 3 ) ? ? ? 6(n ? n ) 2 2 2 2 1 2 3 n Tn ? 3n(n ? 1) ? 6( ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ……8 分, 2 2 2 2 1 2 3 n 2 3 n 设 Rn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ,则 2 Rn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ……10 分, 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n n?2 两式相减得 Rn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? ……11 分, 2 2 2 2 2 2n 3(n ? 2) 所以 Tn ? 3n(n ? 1) ? 6 Rn ? 3n(n ? 1) ? 12 ? ……12 分 2 n ?1
21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax , 其中 x ? R, a 为参数
3 2

(1)记函数 g ( x) ?

1 f ?( x) ? ln x ,讨论函数 g ( x) 的单调性; 6

(2)若曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴有交点且交点为 P ,曲 线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证:对 于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) .
12

解: (1)证明:函数 g ( x) 的定义域是 ? 0, ???

1 3 x 2 ? 2ax ? ? ln x ? 6 1 1 1 a a g ?( x) ? ? 6 x ? 2a ? ? ? x ? ? ? 2 ? 6 x x 3 3 a 当 a ? 6 时,则 2 ? ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 , 3

f ? ? x ? ? 3x2 ? 2ax, g ( x) ?

所以函数 g ( x) 在定义域 ? 0, ??? 上单调递增. 当 a ? 6 时,令 g ?( x) ?

3x 2 ? ax ? 3 a ? a 2 ? 36 a ? a 2 ? 36 ? 0 ,则 x1 ? , x2 ? 3x 6 6

可 知 函 数 g ( x) 在 ? 0,

? ? ?

? a ? a 2 ? 36 a ? a 2 ? 36 ? a ? a 2 ? 36 ? , ? 上单调递增,在 ? ? 单调递减,在 ? ? ? 6 6 6 ? ? ?

? a ? a 2 ? 36 ? , ?? ? 上单调递增. ? ? ? 6 ? ?
(2)令 f ( x) ? 0, 则 x ? 0 或 x ? a 若曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴有交点,则 a ? 0 且交点坐标为 P ? a,0? 又 f ? ? x ? ? 3x ? 2ax, 则 f ? ? a ? ? a
2 2

所以曲 线在点 P 处的切线方程为 y ? a

2

? x ? a ? ,即 g ( x) ? a2 x ? a3

令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? ax2 ? a 2 x ? a3

h? ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? a2 ? ?3x ? a ?? x ? a ?
函数 h( x) 在区间 ? 0, a ? 上单调递增,在区间 ? a, ??? 上单调递减,所以当 x ? a 时, h( x) 有最小值,所以

h( x) ? 0 ,则 f ( x) ? g ( x)
22、 (本小题满分 12 分)
2 如图, 已知直线与抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 交于 M , N 两点, 点 D 的坐标为 1, 3 ,OD ? MN 交 MN 于

?

?

点 D , OM ? ON , 抛物线的焦点为 F . (3) 求 p 的值; (4) 记条件(1)所求抛物线为曲线 C ,过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与曲线 C 相 → → 交于点 A, B , l2 与曲线 C 相交于点 D, E ,求AD·EB的最小值.

13

y

M

D

O

x

N

解: (1)设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,由 OM ? ON , 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 由已知得直线 MN 的方程是 y ? 3 ? ?

1 ? x ? 1? 即 x ? 3y ? 4 ? 0 ,则有 3
① ② ③

?4 ?

3 y1 4 ? 3 y2 ? y1 y2 ? 0 即 y1 y2 ? 3 ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 0
2

??

?

由 x ? 3 y ? 4 ? 0 与 y ? 2 px 消去 x ,得 y 2 ? 2 3 py ? 8 p ? 0 所以 y1 ? y2 ? ?2 3 p, y1 y2 ? ?8 p 把③代入①得 ?8 p ? 3 ? ?2 3 p ? 4 ? 0 解得 p ? 2 当 p ? 2 时方程②成为 y 2 ? 4 3 y ?16 ? 0 ,显然此方程有实数根 (2)由(1)知抛物线方程为 y 2 ? 4 x

?

?

所以 p ? 2

由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k,则 l1 的方程为 y=k(x-1). 由?
?y=k(x-1), ? ?y =4x. ?
2

得 k x -(2k +4)x+k =0.

2 2

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根,于是

x1+x2=2+ 2,x1x2=1. k
1 ∵l1⊥l2,∴l2 的斜率为- .

4

k

设 D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得 x3+x4=2+4k ,x3x4=1. → → → → → → → → → → → → → → 故AD·EB=(AF+FD)·(EF+FB)=AF·EF+AF·FB+FD·EF+FD·FB → → → → =|AF||FB|+|FD||EF| =(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1) =x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1 4 2 =1+(2+ 2)+1+1+(2+4k )+1

2

k

1 2 =8+4(k + 2)≥8+4×2

k

k2· 2=16. k

1

1 → → 2 当且仅当 k = 2,即 k=±1 时,AD·EB取最小值 16.

k

14


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