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《解析几何》:求曲线的轨迹方程


1

《解析几何》补充讲义五:求曲线的轨迹方程
一. 直接法:根据题目信息点,直接设点代入. 例 1. 在平面直角坐标系中,已知点 A(2,0)B(-2,0) 是平面内一动点,直线 PA, ,P PB 的斜率之积为 ? .求动点 P 的轨迹 C 的方程. 跟踪练习 1.点 M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线 x=4 的距离的比为 2,, 则动点 M 的轨 迹方程为( )

3 4

x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 B. C. 3x2-y2-34x+65=0 D. 3x2-y2-30x+63=0 4 3 4 3 x2 y2 ? ? 1 上的动点, 作 PD⊥y 轴,D 为垂足,则 PD 中点的轨迹方程为 2.P 是椭圆 ( ) 16 9 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 A. B. C. D. 9 16 64 9 9 4 4 9
A. 3.△ABC 中, A(0,-2), B(0,2), 且 CA , AB , CB 成等差数列,则 C 点的轨迹方程是 4. (2010 北京理数)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是

1 .求动点 P 的轨迹方程. 3 ? ? ? ? 5.设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (mx, y ? 1) ,向量 b ? ( x, y ?1) , a ? b ,动
动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ? 点 M ( x, y ) 的轨迹为 E.求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状.21 世纪 二. 定义法:根据题目提供的信息点,结合曲线的定义判断出曲线的类型。 例 2. 设动点 P( x , y) ( y ? 0) 到定点 F (0 , 1) 的距离比它到 x 轴的距离大 1 求点 P 的轨迹方 程. 跟踪练习 1. (2010 福建理数)以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程
2

为(
2

)
2

A. x +y +2x=0

B. x +y +x=0

2

2

C. x +y -x=0

2

2

D. x +y -2x=0

2

2

2.(2010 广东文数) 若圆心在 x 轴上、 半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧, 且与直线 x ? 2 y ? 0 相切,则圆 O 的方程是( A. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 C. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2



w_w w. k#s5_u.c o*m

B. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 D. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

w_w*w.k_s_5 u.c* o* m

1

2 3.已知动圆 C 过点 A(-2,0),且与圆 M:(x-2)2+x2=64 相内切,则动圆 C 的圆心的轨迹方 程是 .

的重心的轨迹方程为

.

5.在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F (1,0),直线 l : x ? ?1 ,点 P 在直线 l 上移 动, R 是线段 PF 与 y 轴的交点, 的方程.
-1

y Q R o F 1 x

RQ ? FP, PQ ? l .求动点 Q 的轨迹 P

6.如图,圆 A 的方程为:(x+3)2 + y2=100,定点 B(3,0),动点 P 为圆 A 上的任意一点.线段 BP 的垂直平分线和半径 AP 相交于点 Q,当点 P 在圆 A 上运动时,求|QA|+|QB|的值, 并求动点 Q 的轨迹方程.

三. 待定系数法:已知曲线类型,根据 曲线特有几何性质求出参数等. 例 3. (2010 山东文数)如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 过 a 2 b2

2

3

点. (1,

2 2 ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 .点 P 为直线 l : x ? y ? 2 上且不在 x ) ,离心率为 2 2

轴上的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、 B 和 C 、 D , O 为坐标原点. 求椭圆的标准方程.

跟踪练习 1. 以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 2.已知椭圆 C 的焦点与双曲线 x ?
2

.

y2 1 ? 1 的焦点相同,且离心率为 ,则椭圆 C 的标准方 2 3

程为

.

3. 知双曲线的中心在坐标原点,离心率 e ? 2 ,且它的一个顶点与抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点 已 重合,则此双曲线的方程为( )
A. x ?
2

y2 ?1 3

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y2 ? ?1 12 4

D.

x2 y2 ? ?1 4 12

4. 以

y2 x2 ? ? 1 的顶点为焦点,长半轴长为 4 的椭圆方程为( 12 4 x2 y2 ? ?1 B. 16 12 x2 y2 ? ?1 C. 16 4



x2 y2 ? ?1 A. 64 52

x2 y2 ? ?1 D. 4 16

5.已知双曲线的两个焦点为 F (? 10, 0) , F2 ( 10, 0) , M 是此双曲线上的一点,且 1

MF1 ? MF2 ? 0 , MF1 ? MF2 ? 2 ,则该双曲线的方程是(
A.



x2 ? y2 ? 1 9
2

B. x ?
2

y2 x2 y 2 ?1 ? 1 C. ? 3 7 9

D.

x2 y 2 ? ?1 7 3

6. 如图,过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方 程为( )

3

4
2 A. y ?

3 x 2

B. y 2 ? 3x

2 C. y ?

9 x 2

D. y 2 ? 9 x

7.(2010 天津理数)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它 a 2 b2


的一个焦点在抛物线 y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 36 108

B.

x2 y 2 ? ?1 9 27

C.

x2 y2 ? ?1 108 36

D.

x2 y 2 ? ?1 27 9

8.(2010 山东文数)已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被 该圆所截得的弦长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 9.已知点 P (4,4) ,圆 C: ( x ? m)2 ? y 2 ? 5(m ? 3) 与椭圆 E: .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

的一个公共点为 A(3,1) 1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切,求 m 的 ,F 值与椭圆 E 的方程.

x2 y 2 10. (2010 辽宁文数)设 F1 , F2 分别为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 a b
? 直线 l 的倾斜角为 60 ,F1 到直线 l 的距离为 2 3 . F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点,

(Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程.

???? ?

???? ?

4

5 参考答案 一. 直接法 例 1.

x2 x2 ? ? 1( x ? ?2) 4 3
2.D 3.

1.D

y2 x2 ? ? 1( x ? 0) 16 12

4. 解:因为点 B 与 A (?1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为 (1, ?1) . 设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意得 化简得

y ?1 y ?1 1 ? ?? x ? 1 x ?1 3

x2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1) .故动点 P 的轨迹方程为 x2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1)
? ? ?

5.解:因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) ,所以 a ? b ? mx2 ? y 2 ?1 ? 0 ,即 mx2 ? y 2 ? 1 . 当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆

?

? ?

当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. 二. 定义法 例 2. x2 ? 4 y

1.D

2.D

3.

x 2 y2 ? ?1 16 12

4.

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 25 9
y Q R -1 o F 1 x

5. 依题意知, 直线 l 的方程为:x ? ?1 . R 是线段 FP 的中点, RQ ⊥ FP , 点 且 ∴ RQ 是线段 FP 的垂直平分线. PQ 是点 Q 到直线 l 的距离. ∴ ∵点 Q 在线段 FP 的垂直平分线, PQ ? QF . ∴ 故动点 Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,其方程为: y ? 4x( x ? 0) .
2

P

6. 解:连结 QB,由已知,得|QB|=|QP|, 所以,|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=|OP|=10 又|AB|=6,10>6, 根据椭圆的定义,点 Q 的轨迹是 A,B 为焦点,以 10 为长轴长的椭圆, 2a=10,2c=6,所以 b=4,

5

6

所以,点 Q 的轨迹方程为: 二. 待定系数法 例 3. 解:因为椭圆过点 ?1,

x2 y 2 ? ?1 25 16
2? 2 1 1 c 2 2 2 2 ?, e ? ,? 2 ? ,又 a ? b ? c ? 1, ? 2 ? 2 ? 2 a 2 a 2b

? ? ?

所以 a ?

2, b ? 1, c ? 1 ,所求的椭圆方程为
25 2

x2 ? y2 ? 1. 2
4. D

2 2 1. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?

2.

x2 y 2 ? ? 1 ; 3. D 16 12

5.A

6.B

7.B

8. ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4
2

9. 解:∵点 A(3,1)在圆 C 上,∴ (3 ? m) ? 1 ? 5

又 m ? 3 ,∴ m ? 1

设 F1 (?c,0) ,∵

P (4, 4) ∴ 直 线 PF1 的 方 程 为 4 x ? (4 ? c) y ? 4c ? 0 ,

∵ 直 线 PF1 与 圆 C 相 切 ∴

?a 2 ? b 2 ? 16 ? a 2 ? 18 ? ? 解得 ? 2 ? 5(c ? 0) 即 c ? 4 由 ? 9 1 2 ?b ? 2 16 ? (4 ? c) ? ? 2 ? 2 ?1 ?a b

| 4 ? 4c |

∴椭圆 E 的方程是

x2 y 2 ? ?1 18 2

9. 解:∵| BC |? 2 | AC | 且BC 过(0,0)则 | OC |?| AC | ∴ OCA=90° ∠ , 即 C ( 3, 3 ) 又∵a ? 2 3 , 设m :

又? AC ? BC ? 0

x2 y2 ? ?1 12 12 ? c 2

将 C 点坐标代入得

x2 y2 3 3 ? ? 1 解得 c2=8,b2=4∴ ? ?1 椭圆 m: 12 12 ? C 2 12 4

8. 解: (Ⅰ)设焦距为 2c ,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c ? 2 3, 故c ? 2. 所以椭圆 C 的焦距为 4. (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),由题意知y1 ? 0, y2 ? 0, 直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 2).

6

7

? y ? 3( x ? 2), ? 得(3a 2 ? b 2 ) y 2 ? 4 3b 2 y ? 3b 4 ? 0. 联立 ? x 2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
解得 y1 ?

? 3b2 (2 ? 2a) ? 3b2 (2 ? 2a) , y2 ? . 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2

因为 AF2 ? 2F2 B, 所以? y1 ? 2 y2 . 即

???? ?

???? ?

3b2 (2 ? 2a) ? 3b2 (2 ? 2a) ? 2? . 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2



a ? 3.而a ? b ? 4, 所以b ? 5. 故椭圆 C 的方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

高二(上)求轨迹方程的常用方法
(一)求轨迹方程的一般方法: 1. 定义法:如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛 物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹 方程。 2. 直译法:如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点 P 满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系,再用点 P 的 坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。 3. 参数法:如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量 t,以此量作为参变数,分别建立 P 点坐标 x,y 与该参数 t 的函数关系 x=f(t) , y=g(t) ,进而通过消参化为轨迹的普通方程 F(x,y)=0。 4. 代入法(相关点法) :如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的,而该点的 运动规律已知, (该点坐标满足某已知曲线方程) ,则可以设出 P(x,y) ,用(x,y)表示 出相关点 P'的坐标,然后把 P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点 P 的轨迹方程。 5:交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题通常 通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去 两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程) ,该法经常与参数法并用。 一:用定义法求轨迹方程 例 1:已知 ?ABC 的顶点 A,B 的坐标分别为(-4,0)(4,0) 为动点,且满足 , ,C

sin B ? sin A ?

5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4
的圆心为 M1,圆 的圆心为 M2,一动圆与

【变式】 :已知圆

这两个圆外切,求动圆圆心 P 的轨迹方程。 二:用直译法求轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。

7

8 例 2:一条线段两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,且 BM=a,AM=b,求 AB 中点 M 的轨迹方程?

【变式】 动点 P : (x,y) 到两定点 A (-3, 和 B 0) (3, 的距离的比等于 2 0) (即

| PA | , ? 2) | PB |

求动点 P 的轨迹方程? 三:用参数法求轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参数的 取值范围。 例 3.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

四:用代入法求轨迹方程

x2 y2 0 例 4. 点B是椭圆 2 ? 2 ? 1上的动点,A (2a, )为定点, 求线段AB的中点M的 a b
轨迹方程。 【变式】如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆上两动点,且满足∠ APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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y

B

Q

R A

o

P

x

五、用交轨法求轨迹方程 例 5. 已 知 椭 圆

x2 y 2 ? ?1 ( a > b > o ) 的 两 个 顶 点 为 a 2 b2

A1 (?a , 0 , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2,求 A1P1 与 A2P2 交点 M 的轨迹方程. )
六、用点差法求轨迹方程 例 6. 已知椭圆

x2 ? y2 ? 1 , 2

8

9

(1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; 1? 练习 1.在 ?ABC 中,B,C 坐标分别为(-3,0)(3,0) , ,且三角形周长为 16,则点 A 的轨迹方 程是_______________________________. 2.两条直线 x ? m y ? 1 ? 0 与 m x ? y ? 1 ? 0 的交点的轨迹方程是 __________ .

?1 1? ? 2 2?

3.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A,则弦的中点 M 的轨迹方程是 _____ 4.当参数 m 随意变化时,则抛物线 yx ? ??? ?? 1 m的顶点的轨迹方程为 2 ? m x 1
2 2

______。 5:点 M 到点 (4, 的距离比它到直线 x 5 0 F 0) 则点 ?? 的距离小 1, M 的轨迹方程为________。

O 、 距离的比为 1:2 的点的轨迹方程为_____________ , 30 , 6:求与两定点 O 0 A 1
7.抛物线 y 2 ? 4 x 的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于 A、B 两点,动点 C 在抛物线上,求△ABC 重心 P 的轨迹方程。

?

? ? ?

8.已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x=3 的距离之和等于 4,求点 P 的轨迹方程。

9

10 9.过原点作直线 l 和抛物线 y ? x 2 ? 4 x ? 6 交于 A、B 两点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方 程。

高二(上)求轨迹方程的常用方法 答案 例 1:已知 ?ABC 的顶点 A,B 的坐标分别为(-4,0) (4,0) , ,C 为动点,且满足

5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4 5 5 【解析】由 sin B ? sin A ? sin C , 可知 b ? a ? c ? 10 ,即 | AC | ? | BC |? 10 ,满足椭 4 4 sin B ? sin A ?
圆的定义。令椭圆方程为

x2 a
'2

?

y2 b
'2

? 1 ,则 a ' ? 5, c ' ? 4 ? b ' ? 3 ,则轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?5) ,图形为椭圆(不含左,右顶点) 。 25 9
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 (1) 圆:到定点的距离等于定长 (2) 椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离) (3) 双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离) (4) 到定点与定直线距离相等。 【变式 1】: 1:已知圆 的圆心为 M1,圆 圆与这两个圆外切,求动圆圆心 P 的轨迹方程。 解:设动圆的半径为 R,由两圆外切的条件可得: 。 ∴动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2 为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b =12。
2

的圆心为 M2,一动





故所求轨迹方程为

10

11 2:一动圆与圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 外切,而与圆 C: x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 ? 0 内切,那么动圆的圆 心 M 的轨迹是: A:抛物线 B:圆 C:椭圆 D:双曲线一支 【解答】 令动圆半径为 R, 则有 ?

?| MO |? R ? 1 , 则|MO|-|MC|=2, ?| MC |? R ? 1

满足双曲线定义。故选 D。 二:用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例 2: 一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,求 AB 中点 P 的轨迹方程? 解 设 M 点 的 坐 标 为 ( x, y ) 由 平 几 的 中 线 定 理 : 在 直 角 三 角 形 AOB 中 , OM=

1 1 AB ? ? 2a ? a, 2 2

? x 2 ? y 2 ? a, x 2 ? y 2 ? a 2
M 点的轨迹是以 O 为圆心,a 为半径的圆周. 【点评】 此题中找到了 OM=

1 AB 这一等量关系是此题成功的关键所在。 一般直译法有下列 2

几种情况: 1)代入题设中的已知等量关系:若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出,则采用 直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。 2)列出符合题设条件的等式:有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设 条件列出等式,得出其轨迹方程。 3)运用有关公式:有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应 的恒等变换即得其轨迹方程。 4)借助平几中的有关定理和性质:有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何 中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其 数量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式 2】 动点 P : (x,y) 到两定点 A (-3, 和 B 0) (3, 的距离的比等于 2 0) (即 求动点 P 的轨迹方程?
2 2 【解答】∵|PA|= ( x ? 3) ? y , | PB |?

| PA | ? 2) , | PB |

( x ? 3) 2 ? y 2

代入

( x ? 3) 2 ? y 2 | PA | ? 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4( x ? 3) 2 ? 4 y 2 ? 2得 2 2 | PB | ( x ? 3) ? y

化简得(x-5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4 为半径的圆.

11

12 三:用参数法求曲线轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参数的 取值范围。 例 3.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 【解析】 分析 1:从运动的角度观察发现,点 M 的运动是由直线 l1 引 发的,可设出 l1 的斜率 k 作为参数,建立动点 M 坐标(x,y)满 足的参数方程。 解法 1:设 M(x,y) ,设直线 l1 的方程为 y-4=k(x-2) , (k≠0)

1 由l1 ? l 2, 则直线 l 2的方程为 y ? 4 ? ? ( x ? 2) k 4 ? l1与x轴交点 A的坐标为 (2 ? , ), 0 k 2 l 2 与y轴交点 B的坐标为 (0, ? ), 4 k
∵M 为 AB 的中点,

4 ? 2? ? k ? 1? 2 ?x ? ? 2 k ?? (k为参数) 2 ? 4? 1 ? k ?y ? 2 ? 2 ? k ?
消去 k,得 x+2y-5=0。 另外,当 k=0 时,AB 中点为 M(1,2) ,满足上述轨迹方程; 当 k 不存在时,AB 中点为 M(1,2) ,也满足上述轨迹方程。 综上所述,M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。 分析 2:解法 1 中在利用 k1k2=-1 时,需注意 k1、k2 是否存在,故而分情形讨论,能 否避开讨论呢?只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性:

| MP |?

1 | AB | 2

解法 2:设 M(x,y) ,连结 MP,则 A(2x,0) ,B(0,2y) , ∵l1⊥l2,∴△PAB 为直角三角形

由直角三角形的性质 ,| MP |?

1 | AB | 2

1 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? · (2 x) 2 ? (2 y ) 2 2
化简,得 x+2y-5=0,此即 M 的轨迹方程。 分析 3: :设 M(x,y) ,由已知 l1⊥l2,联想到两直线垂直的充要条件:k1k2=-1,即

12

13 可列出轨迹方程,关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上,由 M 为 AB 的中点, 易找出它们的坐标之间的联系。 解法 3:设 M(x,y) ,∵M 为 AB 中点,∴A(2x,0) ,B(0,2y) 。 又 l1,l2 过点 P(2,4) ,且 l1⊥l2 ∴PA⊥PB,从而 kPA·kPB=-1,

4?0 4 ? 2y ,k PB ? 2 ? 2x 2?0 4 4 ? 2y ? · ? ?1,化简,得 x ? 2 y ? 5 ? 0 2 ? 2x 2 而k PA ?
注意到 l1⊥x 轴时,l2⊥y 轴,此时 A(2,0) ,B(0,4) 中点 M(1,2) ,经检验,它也满足方程 x+2y-5=0 综上可知,点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。 【点评】 1) 解法 1 用了参数法,消参时应注意取值范围。解法 2,3 为直译法,运用了 kPA·kPB= -1, | MP |?

1 | AB | 这些等量关系。 。 2

用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角 度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等。也可以没有具体的意义,选定参变 量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 【变式 3】过圆 O:x2 +y2= 4 外一点 A(4,0) ,作圆的割线,求割线被圆截得的弦 BC 的中 点 M 的轨迹。 解法一: “几何法” 设点 M 的坐标为(x,y),因为点 M 是弦 BC 的中点,所以 OM⊥BC, 2 2 2 所以|OM | +|MA| =|OA| , 即(x2 +y2)+(x -4)2 +y2 =16 化简得: (x-2)2+ y2 =4................................① 由方程 ① 与方程 x2 +y2= 4 得两圆的交点的横坐标为 1,所以点 M 的轨迹方程为 (x-2)2+ y2 =4 (0≤x<1) 。所以 M 的轨迹是以(2,0)为圆心, 2 为半径的圆在圆 O 内的部分。 解法二: “参数法” 设点 M 的坐标为(x,y) ,B(x1,y1),C(x2,y2)直线 AB 的方程为 y=k(x-4), 2 由直线与圆的方程得(1+k )x2 -8k2x +16k2-4=0...........(*), 由 点 M 为 BC 的 中 点 , 所 以 x=

x1 ? x2 4k 2 ? ...............(1) , 2 1? k 2

又 OM ⊥ BC , 所 以

k=

y .................(2)由方程(1) (2) x 1 ,所以 x<1. 3

消去 k 得(x-2)2+ y2 =4,又由方程(*)的△≥0 得 k2 ≤

所以点 M 的轨迹方程为(x-2)2+ y2 =4 (0≤x<1)所以 M 的轨迹是以(2,0)为圆心, 2 为半径的圆在圆 O 内的部分。

13

14 四:用代入法等其它方法求轨迹方程 例 4. 点B是椭圆

x2 y2 ? ? 1上的动点,A (2a, )为定点, 求线段AB的中点M的 0 a2 b2

轨迹方程。 分析:题中涉及了三个点 A、B、M,其中 A 为定点,而 B、M 为动点,且点 B 的运动是 有规律的,显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的,可见 M、B 为相关点,故采用相关点法求 动点 M 的轨迹方程。 【解析】设动点 M 的坐标为(x,y) ,而设 B 点坐标为(x0,y0) 则由 M 为线段 AB 中点,可得

? x 0 ? 2a ?x ? 2 ? x 0 ? 2 x ? 2a ? ?? ? ? y0 ? 2 y ? y0 ? 0 ? y ? 2 ?
即点 B 坐标可表为(2x-2a,2y)

又 ? 点B( x0,y 0 )在椭圆

x2 y2 ? ? 1上 a2 b2

x y ? 02 ? 02 ? 1 a b

2

2

(2 x ? 2a) 2 (2 y) 2 从而有 ? 2 ? 1, a2 b

4( x ? a) 2 4 y 2 整理, 得动点M的轨迹方程为 ? 2 ?1 a2 b
【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系 【变式 4】如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆上两动点,且满 足∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程
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y
B Q

R A

【解析】 设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP : 中,|AR|=|PR| 又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理 在 Rt△OAR 中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)
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o

P

x

又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2 所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即 x2+y2-4x-10=0 因此点 R 在一个圆上, 而当 R 在此圆上运动时, 点即在 Q

所求的轨迹上运动

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设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x2+y2-4x-10=0,得

x?4 y ?0 , , y1 ? 2 2

14

15

(

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2
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整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 五、用交轨法求轨迹方程
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x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
六、用点差法求轨迹方程 分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为 M ?x1,y1 ? , N ?x2,y2 ? ,线段 MN 的中点 R?x,y ? ,则

? x12 ? 2 y12 ? 2, ? 2 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 2, ? ? x1 ? x2 ? 2 x, ? y ? y ? 2 y, ? 1 2

① ② ③ ④

①-②得 ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 2? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 . 由 题 意 知 x1 ? x2 , 则 上 式 两 端 同 除 以 x1 ? x2 , 有

?x1 ? x2 ?2? y1 ? y2 ? y1 ? y2
x1 ? x2
将③④代入得 x ? 2 y

? 0,

y1 ? y2 ? 0 .⑤ x1 ? x2

(1) x ? 将

1 1 y ? y2 1 ,y ? 代入⑤, 1 得 故所求直线方程为: 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . ⑥ ?? , 2 2 x1 ? x2 2
2

2 2 将⑥代入椭圆方程 x ? 2 y ? 2 得 6 y ? 6 y ?

1 1 ? 0 , ? ? 36 ? 4 ? 6 ? ? 0 符合题意, 4 4

2 x ? 4 y ? 3 ? 0 为所求.
(2)将

y1 ? y2 (椭圆内部分) ? 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x ? 4 y ? 0 . x1 ? x2 y1 ? y2 y ? 1 2 2 ? 代入⑤得所求轨迹方程为: x ? 2 y ? 2x ? 2 y ? 0 . (椭圆内部分) x1 ? x2 x ? 2

(3) 将

练习 1 正确解答】 为三角形, A, C 不能三点共线。 【 ABC 故 B, 轨迹方程里应除去点 (5,0).(?5,0) ,

x2 y2 ? ? 1( x ? ?5) 即轨迹方程为 25 16

15

16 2.两条直线 x ? m y ? 1 ? 0 与 m x ? y ? 1 ? 0 的交点的轨迹方程是 【解答】:直接消去参数 m 即得(交轨法): x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 3: 已 知 圆 的 方 程 为 (x-1)2+y2=1, 过 原 点 O 作 圆 的 弦 0A , 则 弦 的 中 点 M 的 轨 迹 方 程 是 . 【 解 答 】 : 令 M 点 的 坐 标 为 ( x, y ) , 则 A 的 坐 标 为 (2 x,2 y) , 代 入 圆 的 方 程 里 面 得: ( x ? ) ? y ?
2 2

.

1 2

1 ( x ? 0) 4
2 2

4:当参数 m 随意变化时,则抛物线 yx ? ??? ?? 1 m的顶点的轨迹方程为 2 ? m x 1 【分析】 把所求轨迹上的动点坐标 x, 分别用已有的参数 m 来表示, : y 然后消去参数 m,

1 ? ? ? 5 ? 便可得到动点的轨迹方程。 【解答】 :抛物线方程可化为 ? ? ? ? ? ? m ? x m y ? ? ? ? ? 4 ? 2

2

?m y m ? 它的顶点坐标为 x ? ? , ? ?
消去参数 m 得: y ? x ?

1 2

5 4

3 4

故所求动点的轨迹方程为 4?y 3 0 x 4??。 5:点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x 5 0 ?? 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程为 【分析】 :点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x 5 0 ?? 的距离小 1,意味着点 M 到 点 F(4,0)的距离与它到直线 x 4 0 ? ?的距离相等。由抛物线标准方程可写出点 M 的轨 迹方程。 【解答】 :依题意,点 M 到点 F(4,0)的距离与它到直线 x ? 的距离相等。则点 M ?4 的轨迹是以 F(4,0)为焦点、 x ?为准线的抛物线。故所求轨迹方程为 y ? 16x 。 ?4
2

O 、 距离的比为 1:2 的点的轨迹方程为_________ , 30 , 6:求与两定点 O 0 A 1
PO PA ? 1 ,则依照点 P 在运动中所遵循的条件,可列出等量 2

?

? ? ?

【分析】:设动点为 P,由题意 关系式。

16

17

【解答】 :设 Px y 是所求轨迹上一点,依题意得 ,

?

?

PO PA

?

1 2

由两点间距离公式得:

x2 ? y2

?x ? 3?2 ? y2

?

1 2

化简得: x ? ?x 3 0 y 2? ?
2 2

7 抛物线 y 2 ? 4 x 的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于 A、B 两点,动点 C 在抛物线上,求△ABC 重心 P 的轨迹方程。 【分析】 :抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ?1, 。设△ABC 重心 P 的坐标为 ( x,y) ,点 C 的 0? 坐标为 (x ,1) 。其中 x1 ? 1 y 1

, 【解答】 :因点 Px y 是重心,则由分点坐标公式得: x ?

?

?

x1 ? 2 y ,y ? 1 3 3

即 x1

? 3x ? 2,y1 ? 3 y

2 由点 Cx, 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,得: y1 ? 4x1 1 y 1

?

?

将 x1 ? 3x ? 2,y1 ? 3 y 代入并化简,得: y ?
2

4? 2? ? x ? ? ( x ? 1) 3? 3?

9.已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x=3 的距离之和等于 4,求点 P 的轨迹方程。

【解答】:设点 P 的坐标为(x,y),则由题意可得



2 2 2 2 (1)当 x≤3 时,方程变为 ( x ? 1) ? y ? 3 ? x ? 4, ( x ? 1) ? y ? x ? 1 ,化简得

y 2 ? 4x(0 ? x ? 3) 。
2 2 2 2 (2)当 x>3 时,方程变为 ( x ? 1) ? y ? x ? 3 ? 4, ( x ? 1) ? y ? 7 ? x ,化简得



17

18 故所求的点 P 的轨迹方程是 或

10.过原点作直线 l 和抛物线 y ? x 2 ? 4 x ? 6 交于 A、B 两点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方 程。 【解答】:由题意分析知直线 l 的斜率一定存在,设直线 l 的方程 y=kx。把它代入抛物线 方程 ,得 。因为直线和抛物线相交,所以△>0,解得

k ? (??, ?4 ? 2 6) ? (?4 ? 2 6, ??) 。
设 A( ),B( ),M(x,y),由韦达定理得 。

由 又

消去 k 得



,所以 x ? (??,? 6 ) ? ( 6 ,??) 。

∴点M的轨迹方程为 y ? 2x 2 ? 4x, x ? (??,? 6 ) ? ( 6,??) 。 悄然升温的空间轨

迹问题
通常的立体几何题是线面平行和垂直关系的证明题或空间的角、 距离、 体积的计算题. 随 着新的课程标准的实施, 类以培养学生自主学习能力和开拓创新精神的探索题、 开放题和交 汇题正在逐步走进课堂,走进高考,成为大家关注的热点,如空间动点轨迹问题, 这类问题融开放性、探索性、交汇性于一体,既有利于激发学生参与的积极性, 培养学生的各种思维能力,又能起到沟通立体几何与解析几何、立体几何与代数 之间联系的作用.下面谈谈这类问题的求解策略. 一、聚焦轨迹平面,寻找线面关系 A 在空间的某个或某些点运动的前提条件下,要论证或判定某些位置关系,一 C 般要找到运动变化中的不变因素,通常将动点聚焦到某一平面,再利用线面、面 ? 面平行或垂直的有关性质加以证明或作出判定. 图1 例 1.如图 1,定点 A 和 B 都在平面 ? 内,定点 P ? ? , PB ? ? , C 是 ? 内 异于 A 和 B 的动点,且 PC⊥AC 。那么,动点 C 在平面 ? 内的轨迹是( ) A. 一条线段,但要去掉两个点 B. 一个圆,但要去掉两个点 C. 一个椭圆,但要去掉两个点 D. 半圆,但要去掉两个点 解析:由三垂线定理的逆定理得 0 ∵AC⊥PC 且 PC 在 内的射影为 BC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90 .

P

B

18

19 ∴C 点的轨迹为以 AB 为直径圆,但除去 A、B 两点 点评:动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式,它重点体现了 在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形。不但考查了立体几何点线 S 面之间的位置关系,而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法,是表现最为 活跃的一种创新题型。这类立体几何中的相关轨迹问题,如“线线垂直” G 问题,很在程度上是找与定直线垂直的平面,而平面间的交线往往就是动 点轨迹。 P 例 2.如图所示,在正四棱锥 S-ABCD 中,E 为 BC 的中点,点 P 在侧面 D SCD AC。求动点 P 的轨迹 ? 内及其边界上运动,且总保持 PE ? F E O 解:当点 P 在 CD 边上时,由 PE ? 及 BD ? 可知,此时,P 为 CD AC AC A B 的中点 F;当点 P 在 SC 边上时,由 PE ? 及 SB ? 可知,此时,P 为 SC AC AC 的中点 G。于是猜想 P 点的轨迹是 ? 的 CD 和 CS 边上的中位线 FG。 SCD 证明如下:因为 FE ? AC, GE ? AC,所以 AC ? 平面 EFG,得到 AC ? FG。 故 P 点的轨迹是 ? 的 CD 和 CS 边上的中位线 FG。 SCD 点评:本题以空间直线与平面的位置关系为依托,研究平面解析几何的点的轨迹问题, 立意新颖,构思巧妙,有利于培养综合运用多学科知识的能力. 二、探寻轨迹条件,联想轨迹定义 若动点P运动时保持某些距离或角度满足一定条件不变,求它运动的轨迹,通 常联想解析几何中有关的轨迹定义(如圆、圆锥曲线、线段的垂直平分线、角平分 线、球等),从而拓化条件,以利于轨迹判断. 例 3.如图 2,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点, P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等, 若 则动点 P 的轨迹所在的的曲线是 ( ) 图2 (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D)抛物线 解:显然,点P到直线C1D1的距离就是点P到点C1的距离,由此,易知点P到C1的 距离等于P到BC的距离,由抛物线的定义,应选D. 点评:本题是以立体几何知识为载体,考查圆锥曲线定义,将立体几何问题转化为平面 解析几何中的轨迹问题. 例4.如图3,已知平面 ? ∥平面 ? ,平面 ? ? 间的距离为8,点P在平面 、

C

? 内,则在平面 ? 内到点P的距离为10的点的轨迹是(
A.一个圆 B.一条直线 C.一个点

) D.不存在

?
O

P

解:过点P作平面 ? 的垂线,设垂足为O,则PO=8,又设平面 ? 内一点A到

? 点P的距离为10,连PA、OA,则在 R t ? PAO中,由勾股定理可得OA=6。可知A点的 图3 轨迹为圆,故选A。 三、挖掘变量关系,建立目标函数 由于某些点的运动, 通常会引起与之相关的距离和角的大小的变化, 随之而来的是求某 距离戟角的取值范围(或最值)一类问题.对这类问题,通常以引起尸运动的基本量(距离 或角)为自变量,建立目标函数,再利用求函数最值的方法,使问题获解. 例5.高10米和高15米的两根旗杆竖在地面上,相距20米,求地面上

A

19

图 4(2)

20 到两旗杆顶点的仰角相等的点的轨迹. 解: 如图4(1),AC,BD是两根旗杆, 平面ABP为地面, 点P为地面上任一点, 由题意知∠CPA= ∠DPB, ∴tan∠CPA=tan∠DPB,即

10 15 ? AP BP

如图(2),在平面ABP中以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系, 则A(-10,0),B(10,O),设点P(x,y),则有
2 2 2 2 |AP|= ( x ? 10) ? y , |BP|= ( x ? 10) ? y ,∴

10 ( x ? 10) ? y
2 2

?

15 ( x ? 10)2 ? y 2

化简,得 x +y +52x+100=0.即(x+26) +y =576. 因此P点轨迹是以(-26,0)为圆心,以r=24为半径的圆. 点评:根据题目的信息,利用空间几何性质,把立体几何问题转化到平面上,再利用解 析几何方法求轨迹,实现三体几何到解析几何的过渡. 例6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,的棱长为1,点P是平面AC内的动点,若点P到直线A1D1 的距离等于点P到直线CD的距离,则动点P的轨迹所在的曲线是( ) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线 解:如图5,以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,建立平面直角坐标系,并设点P 的坐标为(x,y),作PE⊥AD,垂足为E, PF⊥A1D1,垂足为F,连结EF,则AD⊥平面 PEF,于是AD⊥EF,从而|EF|=1,且PE⊥EF.故有 2 2 2 2 |PF| =|PE| +|EF| =x +1 作PN⊥CD, 垂足为N,则|PN|=|y-1|,依题意有|PF|=|PN|, 所以 x2 ?1 =|y-1| 化简得x -y +2y=0,故动点P的轨迹所在的曲线是双曲线,选B.
2 2

2

2

2

2

图5

20


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