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宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学理试题


银川一中 2013 届高三年级第六次月考

数 学 试 卷(理)
2013.2

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.等差数列 ?a n ? 及等比数列 ?bn ?中, a1 ? b1 ? 0, a 2 ? b2 ? 0, 则当 n ? 3 时有( A. a n ? bn B. a n ? bn C. a n ? bn D. a n ? bn )

2. 设点 A(2, ?3) , B (?3, ?2) ,直线 l 过点 P (1,1) 且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取值范 围是( A. k ?
3 4

) 或 k ? ?4 B. ?
3 4 ?k?4

C. ?4 ? k ?

3 4

D. k ? 4 或 k ? ?

3 4

3. 若直线 l1 : y ? 2 ? (k ? 1) x 和直线 l 2 关于直线 y ? x ? 1 对称,那么直线 l 2 恒过定点( A. (2,0) B. (1,-1) C. (1,1)
1 2

)

D. (-2,0) )
2 2

4. 设 f (sin a ? cos a ) ? sin a cos a, 若 f (t ) ?

,则 t 的值为 (
2 2

A. ? 2
x

B. 2
3

C. ?

D. )

5. 若函数 f ? x ? ? e ? x , x ? R ,则函数的极值点的个数是( A.0 B.1 C.2

D.3

2 6. 已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点, A, B 是抛物线上的两点, AF ? BF ? 3 , 则线段 AB 的

中点 M 到 y 轴的距离为( 3 A. 4 B.1

) 5 C. 4 D. 7 4

7. 已知双曲线 E 的中心为原点, F ? 3, 0 ? 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点, 且 AB 的中点为 N ? ?12, ?15 ? ,则 E 的方程为( A.
x
2

)
x
2

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

3

6

4

5

6

3

5

4

8. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为(
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)

9. 设 a, b 为两条直线, ? , ? 为两个平面,则下列结论成立的是( A.若 a ? ? , b ? ? , 且 a // b ,则 ? // ? C.若 a // ? , b ? ? , 则 a // b 10.设 S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 1 3 1 5 1 C. 8
c b

)

B.若 a ? ? , b ? ? , 且 a ? b ,则 ? ? ? D.若 a ? ? , b ? ? , 则 a // b

S3 S6

?

1 3

,则

S6 S12

等于(

)

A.

B.

D.

1 9 ) D.

11. 在锐角 ?ABC 中,若 C ? 2B ,则 A.

的范围(

?

2, 3

?

B.

?

3,2

?

C. ? 0,2 ?

?

2,2

?
2

12. 设 f ? x ? 是定义在 x ? R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x ? (0,1) , f ? x ? ? log 1 ?1 ? x ? , 则函数 f ? x ? 在 (1, 2) 上( A.是增函数且 f ? x ? ? 0 C.是减函数且 f ? x ? ? 0 ) B.是增函数且 f ? x ? ? 0 D.是减函数且 f ? x ? ? 0

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填写在答题卡相应的位置上) 13. 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 ? (0 ? ? ? ? ) 个单位后,得函数 y ? sin(2 x ? 象,则 ? 等于 .
2

?
3

) 的图

14. 设命题 p : 2 x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 ,命题 q : x ? ? 2a ? 1? x ? a (a ? 1) ? 0 .若 q 是 p 的必要不充 分条件,则实数 a 的取值范围是________. 15.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 3,体积为 6,则这个球的表面积是_____. 16.已知直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 2 交于不同的两点 A 、 B , O 是坐标原点,
2 2

??? ??? ? ? ??? ? OA ? OB ? AB ,那么实数 m 的取值范围是________.

三、解答题(要求写出必要的计算步骤和思维过程。 )
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17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B . (1)求 cos B 的值; (2)若 BA ? BC ? 2 , b ? 2 2 ,求 a 和 c . 18. (本小题满分 12 分) 设各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? 10 , a3 ? a5 ? 40 .设 bn ? log 2 an . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; 19. (本小题满分 12 分)
P ( x0 , y0 ) ( x0 ? ? a ) 是双曲线 E :
x a
2 2

??? ??? ? ?

(2)若 c1 ? 1 , cn ?1 ? cn ?

bn an

,求证: cn ? 3 ;

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0) 上一点,M 、 N 分别是双

1 曲线 E 的左、右顶点,直线 PM , PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A ,B 两点,O 为坐标原点,C 为 双曲线上一点,满足 OC ? ? OA ? OB ,求 ? 的值. 20. (本小题满分 12 分) 如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形
ABE 所在的平面互相垂直. AB ∥ CD , AB ? BC ,
B D A

??? ?

??? ?

??? ?

E

AB ? 2CD ? 2 BC , EA ? EB .

C

(1)求证: AB ? DE ; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ?
1 x ? a ln x ( a ? R ).

(I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)若 f ( x) 有两个极值点 x1 和 x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )), B ( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为
k ,问:是否存在 a ,使得 k ? 2 ? a ? 若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做。则按所做的第一题记分.答题 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图,直线 AB 过圆心 O ,交⊙ O 于 A, B ,直线 AF 交
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⊙ O 于 F (不与 B 重合),直线 l 与⊙ O 相切于 C ,交 AB 于 E ,且与 AF 垂直,垂足为 G ,连 结 AC . 求证:(1) ?BAC ? ?CAG ; (2) AC 2 ? AE ? AF . 23. (本小题满分 10 分) 《选修 4—4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?
??? ? ???? ?
? x ? 2 cos ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

( ? 为参数) M 是 C1 上的

动点, P 点满足 OP ? 2OM , P 点的轨迹为曲线 C2 . (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 交点为 A ,与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 AB . 24. (本小题满分 10 分) 《选修 4—5:不等式选讲》 设函数 f ? x ? ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 3 x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 ? x | x ? ?1? ,求 a 的值.
?
3

与 C1 的异于极点的

银川一中高三第六次月考数学答案(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,每小题只有一个正确答案) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D A C A D C B D D 二、填空题:(共 5 小题,每小题 5 分) 10 B 11 A 12 D

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13.

5? 6

14.

?0,1? ? 2? ? ?

15. 16π

16. (-2,- 2]∪[ 2,2)

三、解答题: 17.(1)由正弦定理得 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C 又 b cos C ? 3a cos B ? c cos B ,∴ sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,… 2 分 即 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B ,∴ sin ? B ? C ? ? 3sin A cos B ,… ∴ sin A ? 3sin A cos B ,又 sin A ? 0 ,∴ cos B ? (2)由 BA ? BC ? 2 得 ac cos B ? 2 ,又 cos B ?
??? ??? ? ?
1 3 1 3

4分 6分

。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。

,∴ ac ? 6. 。。。。。。。。。。8 分 。。。。。。。。。

由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , b ? 2 2 可得 a 2 ? c 2 ? 12 ,。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。10 分 ∴ ? a ? c ? ? 0 ,即 a ? c ,∴ a ? c ?
2

。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分

18.解:(1)设数列{an}的公比为 q(q>0), 2 ? ?a1+a1q =10 由题意有? 2 ,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4 ?a1q +a1q =40 ? ∴a1=q=2, 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 n ∴an=2 , ∴bn=n. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 (2)∵c1=1<3,cn+1-cn= n, 2

n

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8

1 2 n-1 当 n≥2 时,cn=(cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+…+(c2-c1)+c1=1+ + 2+…+ n-1 , 2 2 2 1 1 1 2 n-1 ∴ cn= + 2+ 3+…+ n . 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 2 2 2 2 2 1 1 n-1 n+1 相减整理得:cn=1+1+ +…+ n-2- n-1 =3- n-1 <3, 2 2 2 2 故 cn<3. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 19.解:(1)点 P(x0,y0)(x0≠〒a)在双曲线 2- 2=1 上,有 2- 2=1, 由题意又有

x2 y2 a b

x2 y2 0 0 a b

。。。。。 分 。。。。。1

y0 y0 1 〃 = , 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 x0-a x0+a 5 c 30 2 2 2 2 2 2 可得 a =5b ,c =a +b =6b ,则 e= = . 。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。4 a 5 2 2 2 ? ?x -5y =5b 2 2 (2)联立? ,得 4x -10cx+35b =0,设 A(x1,y1),B(x2,y2) ?y=x-c ?

?x +x =52c, ? 则? 35b ?x x = 4 ?
1 2 2 1 2



。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6

设 OC ? ? x3 ,y3 ? , OC ? ? OA ? OB ,即?
2 3 2 3 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?x3=λx1+x2 ? ? ?y3=λy1+y2
2 2 2

又 C 为双曲线上一点,即 x -5y =5b ,有(λx1+x2) -5(λy1+y2) =5b 。。。。7 分 。。。 2 2 2 2 2 2 化简得:λ (x1-5y1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b 。。。。。。。。。。9 分 。。。。。。。。。
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又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以 x1-5y1=5b ,x2-5y2=5b 2 2 由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c =10b 2 得λ +4λ=0,解出λ=0 或λ=-4. 。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 20.解: (1)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB 。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。2 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2CD ? 2 BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD . 。。。 分 。。。4 所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED . 。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。6 (2)解法 1:因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 AB ? BC 所 以 BC ⊥ 平 面 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8 ABE 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 分 则 ?CEB 即为直线 EC 与平面 ABE 所成的角。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。9 设 BC=a,则 AB=2a, BE ?
2a ,所以 CE ?
CB CE ? 1 3
3

2

2

2

2

2

2

3a

则直角三角形 CBE 中, sin ?CEB ?

?

3 3

。。。。。。。。。。。。11 分 。。。。。。。。。。。

即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为

.。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。12 分

3 解法 2:因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 EO ? AB , 所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? OD . 由 OB, OD, OE 两 两 垂 直 , 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系
O ? xyz .

因 为 三 角 形 EAB 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以

OA ? OB ? OD ? OE ,设 OB ? 1 , 则 O (0, 0, 0), A( ?1, 0, 0), B (1, 0, 0), C (1,1, 0), D(0,1, 0), E (0, 0,1) .

所以 EC ? (1,1,?1) ,平面 ABE 的一个法向量为 OD ? (0,1, 0) .
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? | EC ? OD | 3 ? 所以 sin ? ? | cos? EC , OD? | ? ??? ???? ? , 3 | EC || OD |

??? ?

设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ? ,

即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 21.解: (I) f ( x) 的定义域为 (0, ??).
2

3 3

. (参照解法 1 给步骤分)。。。。。12 分 。。。。。
1 x
2

f '( x) ? 1 ?

?

a x

?

x ? ax ? 1
2

x

2

。。。 分 。。。1

令 g ? x ? =x - ax +1 ,其判别式 ? ? a 2 ? 4
/

。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。2 。。。。。。3 分 。。。。。

( +? 上单调递增 (1)当 a ? 2 时 ? ? 0 , f ? x ? ? 0 故 f ? x ? 在 0, )

(2)当 a ? ?2 时 ? ? 0 , g ( x) ? 0 的两根都小于 0 ,在 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 ,
( +? 上单调递增。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 分 故 f ? x ? 在 0, ) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

(3)当 a ? 2 时 ? ? 0 , g ( x) ? 0 的两根为 x1 ?

a?

a ?4
2

2

, x2 ?

a?

a ?4
2



2

当 0 ? x ? x1 时, f '( x) ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? x2 时, f '( x) ? 0 ,故 。。。。。 f ( x ) 分别在 (0, x1 ), ( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减.。。。。。6 分
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(II)由(I)知, a ? 2 .因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 所以 k ?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 ? 1? ln x1 ? ln x2 ? a? x1 x2 x1 ? x2 1
ln x1 ? ln x2 x1 ? x2

x1 ? x2 x1 x2

? a (ln x1 ? ln x2 ) ,

。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。7 。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。8 。。。 分 。。。9

又由(I)知, x1 x2 ? 1 .于是 k ? 2 ? a ? 若存在 a ,使得 k ? 2 ? a. 则 亦即 x2 ?
1 x2

ln x1 ? ln x2 x1 ? x2

? 1 .即 ln x1 ? ln x2 ? x1 ? x2 .

? 2 ln x2 ? 0( x2 ? 1)(*)

。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。

再由(I)知,函数 h(t ) ? t ? ? 2 ln t 在 (0, ??) 上单调递增, 。。。。。。。。11 分 。。。。。。。
t

1

而 x2 ? 1 ,所以 x2 ?

1 x2

? 2 ln x2 ? 1 ?

1 1

? 2 ln1 ? 0. 这与 (*) 式矛盾.

故不存在 a ,使得 k ? 2 ? a. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 四、选做题 (22)22.【证明】(1)连结 BC,∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于 C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG. 。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。5 (2)连结 CF,∵EC 切⊙O 于 C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG, ∴△ACF∽△AEC. ∴
AC AE ? AF AC

,∴AC =AE〃AF. 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。10 分

2

(23)解:(1)设 P(x,y),则由条件知 M? , ?, ?2 2?

?x y?

?x=2cosα, ?2 由于 M 点在 C 上,所以? y ?2=2+2sinα. ?
1

从而 C2 的参数方程为?

?x=4cosα, ? ? ?y=4+4sinα.

(α为参数) 。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。5

(2)曲线 C1 的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线 C2 的极坐标方程为ρ=8sinθ. π π 射线θ= 与 C1 的交点 A 的极径为ρ1=4sin , 3 3 π π 射线θ= 与 C2 的交点 B 的极径为ρ2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 (24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,
f ( x ) ? 3 x ? 2 可化为 x ? 1 ? 2 .由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 .

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故不等式 f ? x ? ? 3 x ? 2 的解集为 ? x | x ? 3或x ? ?1? .。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。5 (Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 此不等式化为不等式组 ?
?x ? a ? 即 ? a ?x ? ? 4

x ? a ? 3x ? 0
?x ? a ? x ? a ? 3x ? 0

或?

?x ? a ?a ? x ? 3x ? 0

?x ? a ? 或? a ?x ? ? ? 2
? ? a? 2?

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? ? 由题设可得 ?
a 2 ? ?1 ,故 a ? 2

.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

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