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山东省各地2014届高三上学期期中考试试题分类汇编8:数列 Word版含答案


山东省各地 2014 届高三上学期期中考试试题分类汇编 数列
一、选择题 1、 (德州市 2014 高三期中)已知 ? an ? 是首项为 1 的等差数列, S n 是 ? an ? 的前 n 项和,且

? 1 ? S5 ? a13 ,则数列 ? ? 的前五项和为 ? an an ?1 ?
A.

10 11

B.

5 11

C.

4 5

D.

2 5

答案:B 2 、 济 南 一 中 等 四 校 2014 高 三 期 中 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ? an ? 中 , (

a1 a2 a3? 5 , a7 a8 a? 1 0 ,则 a4 a5 a6 ? 9
A. 5 2 答案:A 3、 (潍坊市 2014 高三期中)已知数列{ a n }的前 n 项和为 s n ,且 s n + a n =2 n ( n ∈N ) ,则下 列数列中一定是等比数列的是 A.{ a n } 答案:C 4、 (济南外国语学校 2014 高三期中)各项都是正数的等比数列 {a n } 的公比 q ? 1 ,且 B.{ a n -1} C.{ a n -2} D.{ a n +2}
*

B.7

C.6

D. 4 2

a ?a ?a 1 a 2 , a3 , a1 成等差数列,则 2 3 4 的值为 a3 ? a4 ? a5 2
( A. 答案:C 5、 (济南一中等四校 2014 高三期中) 已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , Sn ? 2an ? 2 则 a2 且 等于 A.4 答案:A )

1? 5 2

B.

5 ?1 2

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 5 ?1 或 2 2

B.2

C.1

D.-2

2 6、 (临沂市 2014 高三期中)在等差数列 ?an ?中,? a1 ? a3 ? a5 ? ? 3 ? a7 ? a9 ? ? 54 ,则此数
列前 10 项的和 S10 ?

A.45 答案:A

B.60

C.75

D.90

7、 (青岛市 2014 高三期中)在正项等比数列 {a n } 中, lg a3 ? lg a6 ? lg a9 ? 6 ,则 a1 a11 的 值是 A. 10000 答案:A B. 1000 C. 100 D. 10

8、(威海市 2014 高三期中)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? ?11 ,
a5 ? a6 ? ?4 , S n 取得最小值时 n 的值为
(A) 6 答案:A (B) 7 (C) 8 (D) 9

9、 (潍坊市 2014 高三期中)等差数列{ a n }的前 20 项和为 300,则 a 4 + a 6 + a 8 + a13 + a15 + a17 等于 A.60 答案:C

B.80

C.90

D.120

10、 (文登市 2014 高三期中)若数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 项公式 an ? A. ( )(?2) 答案:D 11、 (枣庄市 2014 高三期中) 在等差数列 A.15 答案:A 二、填空题 B.7 C.20 中, D.25

2 1 an ? ,则数列 ?an ? 的通 3 3

1 2

n?1

B. ( )(?2)

1 2

n

C. (?2)

n? 2

D. (?2)

n?1

的前 5 项和

1、 (济南一中等四校 2014 高三期中)在等比数列 ? an ? 中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an ? __________. 答案: 4
n?1

2 、( 临 沂 市 2014 高 三 期 中 ) 正 项 数 列

? an ?

的 前 n 项 和 Sn 满 足

2 2 S n ? ? n 2? n ? 1? S n ? ? n ? n ? ? 0 ,则数列 ?an ? 的通项公式 an =_________.

答案:2n 3 、 威 海 市 2014 高 三 期 中 ) 公 比 为 2 的 等 比 数 列 前 4 项 和 为 15 , 前 8 项 和 ( 为 .

答案:255 4、 (文登市 2014 高三期中) 3 ? 3
n n ?1

? 4 ? 3n?2 ? 42 ? ? ? 3 ? 4n?1 ? 4n ?



答案: 4

n ?1

? 3n?1

三、解答题 1、 (德州市 2014 高三期中)已知 ? an ? 是等差数列,其前 n 项和为 S n , ?bn ? 是等比数列 ( bn ? 0 ) ,且 a1 ? b1 ? 2, a3 ? b3 ? 16 , S4 ? b3 ? 34 。 (1)求数列 ? an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)记 Tn 为数列 ?an bn ? 的前 n 项和,求 Tn 。

解: (1)设数列 ? an ? 的公差为 d ,数列 ?bn ? 的公比为 q ,由已知 q ? 0 ,由已知可得

?2 ? 2d ? 2q ? 16 ?d ? 3 ?? ? ?8 ? 6d ? 2q ? 34 ?q ? 2
因此 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 1, bn ? b1q (2) Tn ? 2 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? (3n ? 1) ? 2
2 n n ?1

? 2n

2Tn ? 2 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (3n ? 1) ? 2n ?1
两式相减得 ?Tn ? 4 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? (3n ? 1) ? 2
2 n n ?1

? 4?

12(1 ? 2n ?1 ) ? (3n ? 1) ? 2n ?1 ? ?8 ? (3n ? 4)2n ?1 1? 2
n ?1

故 Tn ? (3n ? 4)2

?8

2 、 济 南 外 国 语 学 校 2014 高 三 期 中 ) 设 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 (

a1 ? a2 ? 1 , bn ? nSn ? (n ? 2)an ,数列 {bn } 是公差为 d 的等差数列, n ? N * .
(1) 求 d 的值; (2) 求数列 {an } 的通项公式;

22 n ?1 (3) 求证: (a1a2 ??? an ) ? ( S1S 2 ??? S n ) ? . (n ? 1)(n ? 2)

20.解: a1 ? a2 ? 1,bn ? nS n ? (n ? 2) an ? ? b1 ? S1 ? (1 ? 2)a1 ? 4a1 ? 4 b2 ? 2 S 2 ? (2 ? 2)a2 ? 2a1 ? 6a2 ? 8 ? d ? b2 ? b1 ? 4
…………………………………………………………3 分

………………………………………………8 分

………………………………………………12 分 3、 (济南一中等四校 2014 高三期中)设递增等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 1 ,

a4 是 a3 和 a7 的等比中项.
(l)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n 。 解: (1)在递增等差数列 ?a n ? 中,设公差为 d ? 0 ,

?a 2 ? a 3 ? a 7 ?(a ? 3d ) 2 ? 1 ? (a1 ? 6d ) ?? 1 解得 ?? 4 a3 ? 1 ? a1 ? 2d ? 1 ?

?a1 ? ?3 ? ? d ?2

------6 分

? a n ? ?3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 5 ,
(2) S n ?

-------------------9 分

n(?3 ? 2n ? 5) ? n 2 ? 4n 2
--------------------12 分

?所求 a n ? 2n ? 5 , S n ? n 2 ? 4n

4、 (临沂市 2014 高三期中)已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? (I)求 ? an ? 的通项公式; (II) bn ? n ? 2 ? S n ? , n ? N ,若集合M ? n bn ? ? , n ? N 设
*

1 n ?1 , an ?1 ? an . 2 2n

?

*

求实数 ? 的 ? 恰有 4 个元素,

取值范围.

5、 (青岛市 2014 高三期中)已知数列 {d n } 满足 d n ? n ,等比数列 {an } 为递增数列,且
2 a5 ? a10 , 2(an ? an? 2 ) ? 5an? 1, n ? N? .

(Ⅰ)求 an ;

k (Ⅱ)令 cn ? 1 ? (? 1) an ,不等式 ck ? 2014(1? k ? 100, ? N ) 的解集为 M ,求所有
n

?

d k ? ak (k ? M ) 的和.
解: (Ⅰ)设 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,
4 2 9 所以 (a1q ) ? a1q ,解得 a1 ? q

…………2 分

又因为 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,所以 2(an ? an q 2 ) ? 5an q 则 2(1 ? q ) ? 5q , 2q ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ?
2
2

1 (舍)或 q ? 2 2

…………4 分

所以 an ? 2 ? 2

n ?1

? 2n
n n

…………6 分

(Ⅱ)则 cn ? 1 ? (?1) an ? 1 ? ( ?2) , d n ? n
n 当 n 为偶数, cn ? 1 ? 2 ? 2014 ,即 2 ? ?2013 ,不成立
n

n 当 n 为奇数, cn ? 1+2 ? 2014 ,即 2 ? 2013 ,
n

因为 2 =1024, =2048 ,所以 n ? 2m ? 1,5 ? m ? 49 2
10 11

…………9 分

则 {d k } 组成首项为 11 ,公差为 2 的等差数列

{ak }(k ? M ) 组成首项为 211 ,公比为 4 的等比数列
则所有 d k ? ak (k ? M ) 的和为

45(11+99) 211 (1 ? 445 ) 2101 ? 2048 2101 ? 5377 …………12 分 ? ? 2475 ? ? 2 1? 4 3 3

6、(威海市 2014 高三期中)已知 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? 5, a7 ? 2a4 ? 1 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式及其前 n 项和 S n ;
(Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4b2 ? 9b3 ? ? ? n bn ? an 求数列 ?bn ? 的通项公式.
2

解(Ⅰ)设等差数列的首项和公差分别为 a1 , d , 则?

? a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 ,解得 ? . ------------------------------------2 分 ?d ? 2 ? a1 ? 6d ? 2(a1 ? 3d ) ? 1
------------------------------------4 分 ------------------------------------6 分
2

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ,

Sn ?

n(a1 ? an ) ? n2 2

(Ⅱ) b1 ? 4b2 ? 9b3 ? ? ? n bn ? an ①

b1 ? 4b2 ? 9b3 ? ? ? n ? 1 2bn?1 ? an?1 , n ? 2 ②-----------------------------------7 分 ( )
①-②得 n bn ? an ? an ?1 ? 2, n ? 2
2

------------------------------------8 分

∴ bn ?

2 , n ? 2, n2

------------------------------------10 分 ------------------------------------11 分

b1 ? a1 ? 1

?1, n ? 1 ? ∴ bn ? ? 2 ? n2 , n ? 2 ?

------------------------------------12 分

7 、 潍 坊 市 2014 高 三 期 中 ) 已 知 公 比 为 q 的 等 比 数 列 { a n } 是 递 减 数 列 , 且 满 足 (

a1 + a 2 + a 3 =

13 1 , a1 a 2 a 3 = 9 27

(I)求数列{ a n }的通项公式; (II)求数列{ (2n ? 1) ? a n }的前 n 项和为 Tn ; (Ⅲ)若 bn ?

n 3 1 1 1 4 ? (n ? N *) ,证明: ? ??? ≥ . b1b2 b2 b3 bn bn ?1 35 3 ? an 2
n ?1

解:由 a1 a 2 a 3 =

1 1 1 3 ,及等比数列性质得 a 2 = ,即 a 2 = ,……1 分 27 27 3 13 10 由 a1 + a 2 + a 3 = 得 a1 + a 3 = 9 9
1 1 ? ? ?a 2 ? 3 ?a1 q ? 3 1 ? q 2 10 ? ? ? 由? 得? 所以 ,即 3 q 2-10 q +3=0 q 3 ?a ? a ? 10 ?a ? a q 2 ? 10 3 1 ? 1 ? 1 9 ? 9 ?

1 …………………………3 分 3 1 1 因为{ a n }是递减数列,故 q =3 舍去,∴ q = ,由 a 2 = ,得 a1 =1 3 3 1 * 故数列{ a n }的通项公式为 a n = n ?1 ( n ∈N )………………4 分 3 2n ? 1 3 5 2n ? 1 (II)由(I)知 (2n ? 1) ? a n = n ?1 ,所以 Tn =1+ + 2 +…+ n ?1 3 3 3 3 1 1 3 5 2n ? 3 2 n ? 1 Tn = + 2 + 3 +…+ n?1 + n ②……………………5 分 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2n ? 1 2 ①-② 得: Tn =1+ + 2 + 3 +…+ n ?1 - 3 3 3 3 3n 3 1 1 1 2n ? 1 1 =1+2( + 2 + 3 +…+ n ?1 )- 3 3 3 3n 3
解得 q =3,或 q =



1 1 (1 ? n ?1 ) 2n ? 1 2n ? 1 1 3 =1+2 ? 3 - =2- n ?1 - n 1 3 3n 3 1? 3
所以 Tn =3-

n ?1 ………………………………8 分 3 n ?1
n 3 3 2n ? 3 ,……………………9 分 ? (n ? N *) = n + = 2 2 3 ? an 2
n ?1

(Ⅲ)因为 bn ?

所以

1 1 1 2 2 2 2 2 2 = ? + ? +…+ ? ??? ? b1b2 b2 b3 bn bn ?1 5 7 7 9 2n ? 3 2n ? 5
=2[(

1 1 1 1 1 1 )] ? )+( ? )+…+( ? 5 7 7 9 2n ? 3 2 n ? 5 1 1 =2( - )……………………11 分 5 2n ? 5 1 1 1 1 2 因为 n ≥1, - ≥ ? = , 5 2n ? 5 5 7 35
所以

1 1 1 4 ? ??? ≥ .…………………………12 分 b1b2 b2 b3 bn bn ?1 35

8、 (文登市 2014 高三期中)设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , S n 是其前 n 项和. (Ⅰ) 若 a2 ? a9 ? 130, a4 ? a7 ? 31 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 记 bn ?

Sn 2 * * , n ? N ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n Sk ( k , n ? N ). n

解(Ⅰ)因为 {an } 是等差数列,由性质知 a2 ? a9 ? a4 ? a7 ? 31 ,…………2 分 所以 a2 , a9 是方程 x ? 31x ? 130 ? 0 的两个实数根,解得 x1 ? 5, x2 ? 26 ,………4 分
2

∴ a2 ? 5, a9 ? 26,? d ? 3,? an ? 3n ? 1 或 a2 ? 26, a9 ? 5, d ? ?3, an ? ?3n ? 32 即 an ? 3n ? 1 或 an ? ?3n ? 32 .……………6 分 (Ⅱ)证明:由题意知∴ S n ? na ? ∴ bn ?

n(n ? 1) d 2
…………7分

Sn n ?1 ?a? d n 2
2

∵ b1,b2,b4 成等比数列,∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ?

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) …………8分 2 2

1 1 1 1 ad ? d 2 ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 ∵ d ? 0 2 4 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) ∴ S n ? na ? d ? na ? 2a ? n 2 a 2 2
∴ ∴左边= S nk ? (nk ) a ? n k a
2 2 2 2

∴a ?

1 d 2

∴ d ? 2a …10分

右边= n S k ? n k a
2 2 2

∴左边=右边∴ Snk ? n Sk ( k , n ? N )成立. ……………12分
*

9、 (枣庄市 2014 高三期中)已知数列

满足:

.,数列

满足

. (1)证明数列 (2)求数列 是等比数列,并求其通项公式: 的前 n 项和 求实数 的取值

(3)在(2)的条件下,若集合 范围。


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