3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年北约自主招生数学试题word解析版


2013 年北约自主招生数学试题与答案
1. 以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小是多少?

A. 2

B. 3

C. 5

D. 6

2 3 解析:显然,多项式 f ( x) ? ( x ? 2) ?(1 ? x) ? 2 ? 的系数均为有理数,且有两根分别为 2 和 1 ? 3 2 .于是 ? ?

知,以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于 5. 若存在一个次数不超过 4 的有理系数多项式 g ( x) ? ax4 ? bx3 ? cx2 ? dx ? e , 其两根分别为 2 和 1 ? 3 2 , 其中 a, b, c, d , e 不全为 0,则:

g

? 2 ? ? (4a ? 2c ? e) ? (2b ? d )
? ?

?4a ? 2c ? e ? 0 2 ?0?? ?2b ? d ? 0

g 1 ? 3 2 ? ?(7a ? b ? c ? d ? e) ? (2a ? 3b ? 2c ? d ) 3 2 ? (6a ? 3b ? c) 3 4 ? 0

?7a ? b ? c ? d ? e ? 0 ?? ?2a ? 3b ? 2c ? d ? 0
(1) ? 4 a ? 2c ? e ? 0 ?2b ? d ? 0 (2) ? ? (3) ,有非 0 有理数解. 即方程组: ?7 a ? b ? c ? d ? e ? 0 ?2a ? 3b ? 2c ? d ? 0 (4) ? (5) ?6a ? 3b ? c ? 0 ? 由(1)+(3)得: 11a ? b ? c ? d ? 0 (6) 由(6)+(2)得: 11a ? 3b ? c ? 0 (7) 由(6)+(4)得: 13a ? 4b ? 3c ? 0 (8) 由(7) ? (5)得: a ? 0 ,代入(7) (8)得: b ? c ? 0 ,代入(1) (2)知: d ? e ? 0 .于是知 、 、
a ? b ? c ? d ? e ? 0 , abcde 与 ,,, ,
其两根分别为 2 和 1 ? 3 2 . 综上所述知,以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小为 5. 2. 在 6 ? 6 的表中停放 3 辆完全相同的红色车和 3 辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆 车占一格,共有几种停放方法? A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400
3 解析:先从 6 行中选取 3 行停放红色车,有 C6 种选择.最上面一行的红色车位置有 6 种选择;最上面一行

不全为 0 矛盾.所以不存在一个次数不超过 4 的有理系数多项式 g ( x) ,

的红色车位置选定后,中间一行的红色车位置有 5 种选择;上面两行的红色车位置选定后,最下面一行的 红色车位置有 4 种选择。三辆红色车的位置选定后,黑色车的位置有 3!=6 种选择。所以共有
3 C6 ? 6 ? 5 ? 4 ? 6 ? 14400 种停放汽车的方法.

3. 已知 x2 ? 2 y ? 5, y 2 ? 2 x ? 5 ,求 x3 ? 2 x2 y 2 ? y3 的值. A. 10 B. 12 解析:根据条件知: C. 14 D. 16

x3 ? 2x2 y 2 ? y3 ? x(2 y ? 5) ? 2(2 y ? 5)(2x ? 5) ? y(2x ? 5) ? 15x ? 15 y ? 4 xy ? 50
由 x2 ? 2 y ? 5, y 2 ? 2 x ? 5 两式相减得 ( x ? y)( x ? y) ? 2 y ? 2 x 故 y ? x 或 x ? y ? ?2
2 ①若 x ? y 则 x ? 2 x ? 5 ,解得 x ? 1 ? 6 .于是知 x ? y ? 1 ? 6 或 x ? y ? 1 ? 6 .

当 x ? y ? 1 ? 6 时,

x3 ? 2x2 y2 ? y3 ? ?4xy ? 15( x ? y) ? 50 ? ?4x2 ? 30x ? 50 ? ?4( x2 ? 2x ? 5) ? 38x ? 70 ? ?38x ? 70 ? ?108 ? 38 6 .
当 x ? y ? 1? 6 时

x3 ? 2x2 y 2 ? y3 ? ?4xy ?15( x ? y) ? 50 ? ?4x2 ? 30 ? 50 ? ?4( x2 ? 2x ? 5) ? 38x ? 70 x2 ? y 2 ? (2 y ? 5) ? (2x ? 5) ? 2( y ? x) ? x ? y ? ?2 ? ?38x ? 70 ? ?108 ? 38 6 .
( 2 ) 若 x ? y , 则 根 据 条 件 知 : x2 ? y 2 ? (2 y ? 5) ? (2x ? 5) ? 2( y ? x) ? x ? y ? ?2 , 于 是

x2 ? y 2 ? (2 y ? 5) ? (2x ? 5) ? 2( x ? y) ? 10 ? 6 ,
进而知 xy ?

( x ? y)2 ? ( x 2 ? y 2 ) ? ?1 . 2

于是知: x3 ? 2x2 y 2 ? y3 ? 4xy ?15( x ? y) ? 50 ? ?16 . 综上所述知, x ? 2 x y ? y 的值为 ?108 ? 38 6 或 ?16 .
3 2 2 3

4. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn , Sn?1 ? 4an ? 2 ,求 a2013 .

A. 3019?2

2012

B. 3019?22013

C. 3018?22012

D.无法确定

解析:根据条件知: 4an?1 ? 2 ? Sn?2 ? an?2 ? Sn?1 ? an?2 ? 4an ? 2 ? an?2 ? 4an?1 ? 4an .又根据条件知:

a1 ? 1, S2 ? a1 ? a2 ? 4a1 ? 2 ? a2 ? 5 .
所以数列 ?an ? : a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? 4an?1 ? 4an . 又 an?2 ? 4an?1 ? 4an ? an?2 ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an ) .令 bn ? an?1 ? 2an , 则 bn?1 ? 2bn , b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 ,所以 bn ? 3 ? 2
n ?1

.即 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 .

对 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 , 两边同除以 2

an ?1 an 3 a a 3 a 3 ? n ? , n ?1 ? n ? .令 cn ? n , cn ?1 ? cn ? , 即 n ?1 则 n ?1 n n 2 2 4 2 2 4 2 4 a1 1 1 3 n? 1 3 3n ? 1 n c1 ? ? , 于 是 知 cn ? ? (n ? 1 ? ) , 2 ? (3n ? 1) ? 2n ? 2 . 于 是 知 : . 所 以 an ? 2 2 2 4 4 4
n?1

, 有

1 a2013 ? (3? 2013 ?1) ? 22 0 1? 3019 ? 2

2 0 1 2

.

5. 如图,?ABC 中,AD 为 BC 边上中线,DM , DN 分别 ?ADB, ?ADC 的角平分线, 试比较 BM ? CN 与 MN 的大小关系,并说明理由. A. BM+CN>MN B. MN?CN?MN C. BM+CN?MN D.无法确定

解析:如图,延长 ND 到 E ,使得 DE ? DN ,连接 BE、ME .易知 ?BDE ? ?CDN ,所以 CN ? BE . 又因为 DM , DN 分别为 ?ADB, ?ADC 的角平分线,所以 ?MDN ? 90? ,知 MD 为线段 EN 的垂直平分 线,所以 MN ? ME .所以 BM ? CN ? BM ? BE ? ME ? MN .

6.模长为 1 的复数 A、B、C ,满足 A ? B ? C ? 0 ,求

A. ?1/2

B. 1

C. 2

AB ? BC ? CA 的模长. A? B ?C D.无法确定

解析:根据公式 z ?

z ? z 知, A ? A ? 1, B ? B ? 1, C ? C ? 1 .于是知:

AB ? BC ? CA ? A? B ?C
?

AB ? BC ? CA AB ? BC ? CA ? A? B ?C A? B ?C

( ABCC ? ABCC ? BCAA ? BCAA ? C ABB ? CABB ) ? ( AABB ? BBCC ? CCAA) ( AB ? AB ? BC ? BC ? C A ? CA) ? ( AA ? BB ? CC )

?
所以

AB ? AB ? BC ? BC ? C A ? CA ? 3 ? 1. AB ? AB ? BC ? BC ? C A ? CA ? 3
AB ? BC ? CA 的模长为 1. A? B ?C

7.最多能取多少个两两不等的正整数,使得其中任意三个数之和都为素数. 解析:所有正整数按取模 3 可分为三类: 3k 型、 3k ? 1 型、 3k ? 2 型. 首先, 我们可以证明, 所取的数最多只能取到两类.否则, 若三类数都有取到, 设所取 3k 型数为 3a ,3k ? 1

型数为 3b ? 1, 3k ? 2 型数为 3c ? 2 , 则 3a ? (3b ? 1) ? (3c ? 2) ? 3(a ? b ? c ? 1) ,不可能为素数.所以三类数中,最多能取到两类. 其次,我们容易知道,每类数最多只能取两个.否则,若某一类 3k ? r (r ? 0、2) 型的数至少取到三个,设 1、

3b 3 其中三个分别为 3a ? r、 ? r、c ? r ,
则 (3a ? r ) ? (3b ? r ) ? (3c ? r ) ? 3(a ? b ? c ? r ) ,不可能为素数.所以每类数最多只能取两个. 结合上述两条,我们知道最多只能取 2 ? 2 ? 4 个数,才有可能满足题设条件. 另一方面,设所取的四个数为 1、7、5、11,即满足题设条件. 综上所述,若要满足题设条件,最多能取四个两两不同的正整数.

8







a1、a2、a3、 、a2013 ? R ?







a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0





求证: 1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 . a a1 ? 2a2 ? a2 ? 2a3 ? a3 ? 2a4 ? ? ? a2012 ? 2a2013 ? a2013 ? 2a1 ,
解析:根据条件知: (1) (a1 ? 2a2 ) ? (a2 ? 2a3 ) ? (a3 ? 2a4 ) ? ?? (a2013 ? 2a1 ) ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ?? a2013 ) ? 0 , 另 一 方 面 , 令

a1 ? 2a2 ? a2 ? 2a3 ? a3 ? 2a4 ? ? ? a2013 ? 2a1 ? m





a1 ? 2 、 2 a

?a2 、 2

a3?、 a3 、? 2

k 中每个数或为2m , 或为1?m .设其中有 1 个 m ,(2013 ? k ) 个 a4 ? 2 a a 3 0

?m ,则:
(a1 ? 2a2 ) ? (a2 ? 2a3 ) ? (a3 ? 2a4 ) ? ?? (a2013 ? 2a1 ) ? k ? m ? (2013 ? k ) ? (?m) ? (2k ? 2013)m (2)
由(1)(2)知: 、

(2k ? 2013)m ? 0
而 2k ? 2013 为奇数,不可能为 0,所以 m ? 0 .于是知:

(3)

a1 ? 2a2 , a2 ? 2a3 , a3 ? 2a4 ,?, a2012 ? 2a2013 , a2013 ? 2a1 .
从而知: a1 ? 22013 ? a1 ,即得 a1 ? 0 .同理可知: a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 .命题得证.

9.对任意的 ? ,求 32cos ? ? cos 6? ? 6cos 4? ? 15cos 2? 的值.
6

解析:根据二倍角和三倍角公式知:

32cos6 ? ? cos 6? ? 6cos 4? ?15cos 2?

? 32cos6 ? ? (2cos2 3? ?1) ? 6(2cos2 2? ?1) ?15(2cos2 ? ?1)
? 32 cos 6 ? ? ? 2(4 cos3 ? ? 3cos ? ) 2 ? 1? ? 6 ? 2(2 cos 2 ? ? 1) 2 ? 1? ? 15(2 cos 2 ? ? 1) ? ? ? ?

? 32cos6 ? ? (32cos6 ? ? 48cos4 ? ? 18cos2 ? ?1) ? (48cos4 ? ? 48cos2 ? ? 6) ? (30cos2 ? ?15) ? 10 .
10.已知有 mn 个实数,排列成 m ? n 阶数阵,记作 aij

? ?

mxn

,使得数阵中的每一行从左到右都是递增的,

2 3、 即对任意的 i ? 1、、 ?、m ,当 j1 ? j2 时,都有 aij1 ? aij2 .现将 aij

? ?

mxn

的每一列原有的各数按照从上到

? 下递增的顺序排列, 形成一个新的 m ? n 阶数阵, 记作 aij ? 都有 ai? j ? ai?2 j .试判断 aij 1 ? 解析:数阵 aij

? ?

mxn

, 即对任意的 j ? 1、 3、 、n , i1 ? i2 时, 当 2、 ?

? ?

mxn

中每一行的 n 个数的大小关系,并说明理由.

? ?

mxn

中每一行的 n 个数从左到右都是递增的,理由如下:

? 显 然 , 我 们 要 证 数 阵 aij

? ?

mxn

中每一行的 n 个数从左到右都是递增的,我们只需证明,对于任意

? i ? 1、、 ?、m ,都有 aij ? ai?( j ?1) ,其中 j ? 1、 3、 、n ? 1 . 2 3、 2、 ?

? 2 3、 若存在一组 a? ? a? ( q?1) .令 ak ( q ?1) ? aik ( q ?1) ,其中 k ? 1、、 ?、m , ?i1 , i2 , i3 ,?, im? ? ?1, 2,3,?, m? .则 pq p
当 t ? p 时,都有 ait q ? ait ( q?1) ? at?( q?1) ? a? ( q?1) ? a? .也即在 aiq (i ? 1 2、 ?、m)中,至少有 p 个数小于 、 3、 p pq

? a?pq ,也即 a?pq 在数阵 ?aij ?mxn 的第 q 列中,至少排在第 p ? 1 行,与 a?pq 排在第 p 行矛盾. ? ? 2 3、 所以对于任意 i ? 1、、 ?、m ,都有 aij ? ai?( j ?1) ,即数阵 aij

? ?

mxn

中每一行的 n 个数从左到右都是递增的.


推荐相关:

2013年北约自主招生数学试题word解析版

2013 年北约自主招生数学试题答案 1. 以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小是多少? A. 2 B. 3 2 C. 5 3 D. 6 3 解析:显然,...


2013年北约自主招生数学试题及答案(试题、答案分离)

2013年北约自主招生数学试题及答案(试题、答案分离)_数学_高中教育_教育专区。...所以不存在一个次数不超过 4 的有理系数多项式 g ( x) , 解析:先从 6 ...


2013年北约自主招生数学试题Word版含解析

2013年北约自主招生数学试题Word版解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013 年北约自主招生数学试题与答案 2013-03-16 (时间 90 分钟,满分 120 分) g 1...


2013年北约自主招生试题及答案解析word版

2013年北约自主招生试题及答案解析word版 隐藏>> 2013“北约”自主招生试题 2013-03-16 (时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(每题 8 分,共 48 分) 1...


2013年北约自主招生物理试题与答案(word解析版)

2013年北约自主招生物理试题与答案(word解析版)_高考_高中教育_教育专区。2013 年高水平大学(北约)自主选拔学业能力测试 物理探究注意事项: 1.答卷前,考生务必将自...


2013年北约自主招生数学试题解析

2013 年北约自主招生数学试题解析 戴又发 1.以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小是多少? A.2 B.3 C.5 D.6 2.在 6 ? 6 的棋盘中...


2013年北约自主招生数学试题与答案解析

2013 年北约自主招生数学试题答 案 2013-03-16 (时间 90 分钟,满分 120 分) g 1 ? 3 2 ? ?(7 a ? b ? c ? d ? e) ? (2a ? 3b ? 2c...


2013年北约自主招生物理试题及解析

2013 年高水平大学(北约)自主选拔学业能力测试 物理探究一、选择题(单项选择,每题 5 分,共 20 分) l.简谐机械波在同一种介质中传播时,下述结论中正确的是 ...


2013年北约自主招生数学试题与答案

2013年北约自主招生数学试题答案_数学_高中教育_教育专区。2013 年北约自主招生...3019?2 2013 C. 3018?2 2012 D.无法确定 解析:根据条件知: 4an?1 ? 2...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com