3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学平面向量的数量积及平面向量应用举例人教版必修4


1 1 1.(2010· 安徽高考)设向量 a=(1,0),b=( , ),则下列结论中正 2 2 确的是 A.|a|=|b| C.a-b 与 b 垂直 B.a· b= D.a∥b 2 2 ( )

解析:由题知|a|= 1 +0 =1,|b|= 1 1 1 a· b=1× +0× = , 2 2 2 1 1 (a-b)· b=a· b-|b| = - =0, 2 2
2

2

2

12 12 2 ? ? +? ? = , 2 2 2

故 a-b 与 b 垂直.

答案:C

2.(2010· 广东高考)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)

满足条件(8a-b)· c=30,则x=
A.6 C.4 B.5 D.3

(

)

解析:由题意可得8a-b=(6,3),又(8a-b)· c=30, c=(3,x),∴18+3x=30?x=4. 答案:C

3.(2010· 全国新课标)a,b 为平面向量,已知 a=(4,3),2a+b= (3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于 8 A. 65 16 C. 65 8 B.- 65 16 D.- 65 ( )

解析:由题可知,设 b=(x,y),则 2a+b=(8+x,6+y)=(3,18), 所以可以解得 x=-5,y=12,故 b=(-5,12),由 cos〈a,b〉= a· 16 b = . |a| |b| 65

答案:C

4.已知向量a=(3,2),b=(-2,1),则向量a在b方向上 的投影为________.
解析:∵a· b=|a||b|cos〈a,b〉 ∴|a|cos〈a,b〉= a· -6+2 -4 b 4 5 = = =- . |b| 5 5 4+1

答案: 4 5 -
5

5.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a +2b|=________.
解析:∵a=(2,0),∴|a|=2 ∴|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a· b+4b2 =4+4×2×1×cos60° +4×12=12 ∴|a+2b|=2 3.

答案: 2 3

1.平面向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义

已知两个 非零 向量a和b,它们的夹角为θ,把数量
|a||b|cosθ 叫做a和b的数量积(或内积),记作 b a· a· b= |a||b|cosθ ,规定0· a=0. .即

(2)向量的投影 ①定义:设θ为a与b的夹角,则 |a|cosθ (|b|cosθ)叫

做向量a在

b a 方向上(b在 方向上)的投影.

②a· b的几何意义 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cosθ 的乘积.

2.向量数量积的运算律 a (1)a· b= b· . (2)(λa)· b=λ(a· b)= a· . (λb)

c+b· . c (3)(a+b)· c= a·

3.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)
结论 模 几何表示 |a|= a· a |a|= 坐标表示
x2+y2 1 1

a· b 夹角 cosθ= |a||b|

x1x2+y1y2 cosθ= 2 2 2 2 x1+y1· x2+y2

结论 a⊥b 的充 要条件 |a· b|与|a||b| 的关系

几何表示

坐标表示

a· b=0

x1x2+y1y2=0
|x1x2+y1y2|≤
2 2 ?x2+y1??x2+y2? 1 2

|a· |a||b| b|≤

考点一

平面向量的数量积运算及向量的模

(1)在等边三角形 ABC 中,D 为 AB 的中点,AB=5. ??? ??? ? ? ??? ? 求 AB · ,| CD |. BC (2)若 a=(3,-4),b=(2,1),求(a-2b)· (2a+3b)和|a+2b|.

??? ??? ? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ? ? [自主解答] (1) AB · =| AB || BC |cos〈 AB , BC 〉 BC
25 =5×5cos120° =- . 2

??? 1 ??? ??? ? ? ∴ CD = ( CA + CB ) 2 ??? 2 1 ??? ??? 2 1 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ??? ??? ? ∴|CD | = ( CA + CB ) = ( CA + CB +2CA · ) CB 4 4
1 = (25+25+2×5×5cos60° ) 4

??? 5 3 ? 75 = ,∴|CD |= . 4 2

(2)∵a=(3,-4),b=(2,1) ∴a-2b=(3,-4)-(4,2)=(-1,-6), 2a+3b=(6,-8)+(6,3)=(12,-5), ∴(a-2b)· (2a+3b)=-12+30=18. 又∵a+2b=(3,-4)+(4,2)=(7,-2) ∴|a+2b|= 49+4= 53.

(1)在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AB=5, ??? ??? ? ? AC=4,求 AB · ; BC ??? ? (2)如图,在平行四边形 ABCD 中, AC = ??? ? ??? ??? ? ? (1,2), BD =(-3,2),则 AD · = ( ) AC A.1 C.5 B.3 D.6

解:(1)∵在△ABC 中,∠C=90° ,AB=5,AC=4, 3 ∴BC=3,且 cos∠ABC= . 5 ??? ??? ? ? 又∵ AB 与 BC 的夹角 θ=π-∠ABC, 3 ∴cosθ=-cos∠ABC=- , 5

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 3 ∴ AB · =| AB || BC |cosθ=5×3×(- )=-9. BC 5
?a+b=?1,2? ??? ? ??? ? ? (2)令 AB =a, AD =b,则? ?a=(2,0), ?-a+b=?-3,2? ? ??? ??? ? ? b=(-1,2),所以 AD · =b· (1,2)=3. AC

考点二

两向量的夹角问题

1 1 已知|a|=1,a· ,(a-b)· b= (a+b)= ,求: 2 2 (1)a 与 b 的夹角的大小; (2)a-b 与 a+b 的夹角的余弦值.

1 1 [自主解答] (1)∵(a-b)· (a+b)= ,∴|a|2-|b|2= , 2 2 又∵|a|=1,∴|b|= 1 2 |a| - = . 2 2
2

设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cosθ=

a· b = |a||b|

1 2 2 1× 2



2 , 2

又∵θ∈[0,π],∴θ=45° . 即 a 与 b 的夹角为 45° .

(2)∵(a-b)2=a2-2a· 2 b+b 1 1 1 =1-2× + = , 2 2 2 2 ∴|a-b|= , 2 1 1 5 (a+b)2=a2+2a· 2=1+2× + = , b+b 2 2 2 10 ∴|a+b|= ,设 a-b 与 a+b 的夹角为 α, 2 1 ?a-b?· ?a+b? 2 5 则 cosα= = = . |a-b||a+b| 2 10 5 × 2 2

解:∵a与a+λb的夹角为锐角, ∴a· ?a+λb?>0,即3λ+5>0, 若a=(1,2),b=(1,1), 5 ∴λ>- . 3 且a与a+λb的夹角为 当 a 与 a+λb 共线时, a+λb=ma, 即(1+λ,2+λ)=m(1,2),

锐角,求实数λ的取 值范围.

?1+λ=m, ? ∴? ?2+λ=2m, ?

解得 λ=0, 即当 λ=0 时,a 与 a+λb 共线且方向相同, 5 ∴λ≠0,即 λ>- 且 λ≠0. 3

已知向量 4a-2b=(-2,2 3),c=(1, 3),a· c=3,|b|=4, 求向量 b 与 c 的夹角 α.

解:∵4a-2b=(-2,2 3),c=(1, 3), ∴(4a-2b)· c=-2+6=4, 即 4a· c-2b· c=4. 又∵a· c=3, ∴2b· c=4a· c-4=4×3-4=8, ∴b· c=4, b· c 4 1 ∴cosα=|b||c|= = . 4×2 2 π 又∵α∈[0,π],∴α= . 3

考点三

平面向量的垂直问题

1 3 已知 a=( 3,-1),b=( , ),且存在实数 k 和 t, 2 2 k+t2 使得 x=a+(t2-3)b, y=-ka+tb, x⊥y, 且 试求 t 的最小值.

1 3 [自主解答] ∵a=( 3,-1),b=( , ), 2 2 ∴|a|= ? 3?2+?-1?2=2, |b|= 12 32 ? ? +? ? =1. 2 2

1 3 又∵a· b= 3× +(-1)× =0, 2 2 ∴a⊥b. 由 x⊥y 得[a+(t2-3)b]· (-ka+tb)=0,

即-ka2+(t3-3t)b2+(t-kt2+3k)a· b=0, ∴-k|a|2+(t3-3t)|b|2=0. 将|a|=2,|b|=1 代入上式, 得-4k+t3-3t=0, t3-3t 解得 k= . 4 k+t2 1 2 1 7 ∴ t = (t +4t-3)= (t+2)2- . 4 4 4 k+t2 7 故当 t=-2 时, t 取得最小值- . 4

??? ? ??? ? 在直角三角形 ABC 中,若 AB =(2,3), AC =(1,k),求 k 的值.

??? ? ??? ? 解:∵ AB =(2,3), AC =(1,k), ? ??? ??? ??? ? ? ∴ BC = AC - AB =(-1,k-3) ??? ??? ? ? 2 当∠A=90° 时, AB · =0,即 2+3k=0,∴k=- ; AC 3 ??? ??? ? ? 当∠B=90° 时, AB · =0,即-2+3(k-3)=0, BC ??? ??? ? ? 11 ∴k= ;当∠C=90° 时, AC · =0,即-1+k(k-3)=0, BC 3 3± 13 ∴k= 2 2 11 3± 13 ∴k=- 或 或 . 3 3 2

考点四

平面向量数量积的应用

已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, 设向量 m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3

[自主解答] (1)∵m∥n,∴asinA=bsinB, a b 即 a· =b· ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, 2R 2R ∴a=b. ∴△ABC 为等腰三角形. (2)由题意可知 m· p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab.

由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0, ∴ab=4(舍去 ab=-1), 1 ∴S= absinC 2 1 π = ×4×sin 2 3 = 3.

如图所示,若点D是△ABC内一点,并且满足 AB2+CD2=AC2+BD2, 求证:AD⊥BC.

??? ? ??? ? ??? ? 证明:设 AB =c, AC =b, AD =m, ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? 则 BD = AD - AB =m-c, CD = AD - AC =m-b.
∵AB2+CD2=AC2+BD2, ∴c2+(m-b)2=b2+ (m-c)2,即 c2+m2-2m· 2=b2+m2-2m· 2,即 b+b c+c ??? ??? ??? ? ? ? 2m· (c-b)=0,即 AD ·AB - AC )=0, ( ??? ??? ? ? ∴ AD · =0,∴AD⊥BC. CB

平面向量的数量积是高考重点考查的内容,直接考查的
是数量积的概念、运算律、性质,向量的垂直、向量的夹角 与模等,主要以选择题、填空题的形式考查.而平面向量与 解析几何、函数、三角函数等相结合的题目在高考试题中屡 见不鲜,并成为高考的一种重要考向.

[考题印证] (2010· 江苏高考)(14 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; ??? ? ??? ??? ? ? (2)设实数 t 满足( AB -t OC )· =0,求 t 的值. OC

??? ? ??? ? [规范解答] (1)由题设知 AB =(3,5), AC =(-1,1), ??? ??? ? ??? ??? ? ? ? 则 AB + AC =(2,6), AB - AC =(4,4).………………(3 分) ??? ??? ? ??? ??? ? ? ? 所以| AB + AC |=2 10,| AB - AC |=4 2.
故所求两条对角线的长分别为 4 2,2 10.………………(7 分) ??? ? ??? ??? ? ? (2)由题设知 OC =(-2,-1), AB -tOC =(3+2t,5+t). ………………………………………………………………(9 分) ??? ??? ??? ? ? ? 由( AB - OC )· =0,得(3+2t,5+t)· (-2,-1)=0, …(11 分) OC 11 从而 5t=-11,所以 t=- .……………………………(14 分) 5

1.向量数量积性质的应用 a· b 向量数量积的性质|a|= a· a,cosθ=|a||b|,a· b=0?a⊥b, 因此,用平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直 的问题.

2.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法 ? ??? ? ??? 2 ??? 2 ??? ? ? (1)要证 AB=CD,可转化证明 AB = CD 或| AB |=| CD |. (2)要证两线段 AB∥CD,只要证存在一实数 λ≠0,使等式 ??? ? ??? ? AB =λ CD 成立即可. ??? ??? ? ? (3)要证两线段 AB⊥CD,只需证 AC · =0. CD

1.(2010· 重庆高考)若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0, 则实数 m 的值为 3 A.- 2 C.2 3 B. 2 D.6 ( )

解析:依题意得6-m=0,m=6. 答案:D

2.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)· b=0,则a与
b的夹角为 A.30° B.60° ( )

C.120°

D.150°

解析:(2a+b)· b=2a· 2=2|a|2cos〈a,b〉+|a|2=0 b+b 1 ?cos〈a,b〉=- ,所以 a,b 的夹角为 120° . 2
答案:C

??? ??? ? ? 3. (2010· 湖南高考)在 Rt△ABC 中, ∠C=90° AC=4, AB · , 则 AC
等于 A.-16 C.8 B.-8 D.16 ( )

AC 解析:法一:因为 cosA=AB, ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? 2 ? 故 AB · =| AB || AC |cosA= AC =16. AC ??? ??? ? ??? ? ? ??? ? 法二: AB 在 AC 上的投影为| AB |cosA=| AC |, ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? 2 ? 故 AB · =| AC || AB |cosA= AC =16. AC

答案: D

4.已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β), 则|2α+β|的值是________.
解析:由于 α⊥(α-2β),所以 α·(α-2β)=|α|2-2α·β=0, 故 2α·β=1,所以|2α+β|= 4|α|2+4α·β+|β|2= 4+2+4 = 10.

答案: 10

5.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=45° ,AB ???? ???? =2CD=2,M 为腰 BC 的中点,则 MA· =________. MD
解析:由已知条件易求得该直角梯形 ABCD 的两腰 AD=1, ???? ???? ??? ? ? ? 1 ??? ??? ???? ???? BC= 2,而 MA = MB + BA =- BC + BA , MD = MC + 2 ? ???? ???? ? ??? 1 ??? 1 ??? ? ? ? ? 1 ??? ??? 1 ??? 1 ( MD CD =2 BC +2 BA ,所以 MA · =(-2 BC + BA )·2 BC +2 ??? ? ? ? ? ? 1 ??? 2 1 1 ??? ??? 1 ??? 2 1 1 2 BA )=- BC +( - ) BC · + BA =- ×( 2) + × 2 BA 4 2 4 2 4 4 1 ×2×cos45° ×22=2. + 2

答案:2

6.设角 A,B,C 是△ABC 的三个内角,已知向量 m=(sinA+ sinC,sinB-sinA),n=(sinA-sinC,sinB),且 m⊥n. (1)求角 C 的大小; B (2)若向量 s=(0,-1),t=(cosA,2cos2 ),试求|s+t|的取值 2 范围.

解:(1)由题意得 m· n=(sin2A-sin2C)+(sin2B-sinAsinB)=0. 即 sin2C=sin2A+sin2B-sinAsinB, 由正弦定理得 c2=a2+b2-ab, a2+b2-c2 ab 1 再由余弦定理得 cosC= = = , 2ab 2ab 2 π ∵0<C<π,∴C= . 3

(2)∵s+t=(cosA,2cos -1)=(cosA,cosB), 2 2π ∴|s+t| =cos A+cos B=cos A+cos ( -A) 3
2 2 2 2 2

2B

4π 1+cos? -2A? 1+cos2A 3 1 3 = + = cos2A- sin2A+1 2 2 4 4 1 π =- sin(2A- )+1, 2 6

2π π π 7π ∵0<A< ,∴- <2A- < , 3 6 6 6 1 π - <sin(2A- )≤1, 2 6 1 5 2 所以 ≤|s+t| < , 2 4 故 2 5 ≤|s+t|< . 2 2

点击此图片进入课下冲关作业


推荐相关:

高中数学必修4:平面向量的数量积例题精析 新人教版

高中数学必修4:平面向量的数量积例题精析 新人教版_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修4:平面向量的数量积例题精析 新人教版本...


高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师)

高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师)_数学_高中教育_教育专区。《...b |? (a ? b ) 2 13.数量积与夹角公式: a ? b ?| a | ? | b ...


必修4第二章第4-5节平面向量的数量积及平面向量的应用举例-18

年 级 高一 王志国 李秀卿 学 科 数学 版 本 人教新课标 A 版 课程标题 编稿老师 一校 必修 4 第二章第 4-5 节平面向量的数量积及平面向量应用举例 ...


人教版高中数学必修4平面向量数量积的物理背景及含义教案1 - 副本

人教版高中数学必修4平面向量数量积的物理背景及含义教案1 - 副本_数学_高中教育...理解和平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: (1)两个非零向量夹角...


高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题(含详细答案)

高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题(含详细答案)_数学_高中教育_教育专区。平面...本题考查向量线性运算的坐标运算,以及数量积坐标表示的应用,利用向量坐标形式进...


人教A版高中数学必修四 平面向量测试题(2.4~2.5 数量积、应用举例)

人教A版高中数学必修四 平面向量测试题(2.4~2.5 数量积应用举例)_数学_高中教育_教育专区。数学必修四平面向量测试题(2) (2.4~2.5 数量积应用举例) A组...


必修4《平面向量的数量积》专项练习题及参考答案

必修4平面向量的数量积》专项练习题及参考答案_数学_高中教育_教育专区。操千...必修4课件2.4.2 平面向... 15页 免费 新课标人教A版数学必修4... 20页...


平面向量的数量积及平面向量应用举例

平面向量的数量积及平面向量应用举例_数学_高中教育_教育专区。平面向量的数量积...2-2 C.-1 4.一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而...


4.3平面向量的数量积及平面向量应用举例

4.3平面向量的数量积及平面向量应用举例 隐藏>> 2013 高考数学一轮强化训练 4.3 平面向量的数量积及平面向量应 用举例 文 新人教 A 版 1.若向量 a=(3,m),...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com