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河南省中原名校2015届高三上学期第二次联考数学试卷(理科)


河南省中原名校 2015 届高三上学期第二次联考数学试卷 (理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,每小题只有一个选项符合题意) n 1. (5 分)已知 i 是虚数单位,使(1+i) 为实数的最小正整数 n 为() A.2 B. 4 C. 6 D.8 2. (5 分)设 U=R,集合 A={y|y= 的是() A.A∩B={﹣2,﹣1} B.(?UA)∪B=(﹣∞,0) D.(?UA)∩B={﹣2,﹣1} C. A∪B=(0,+∞) ,x>1},B={﹣2,﹣1,1,2},则下列结论正确

3. (5 分)在抽查某批产品尺寸的过程中,样本尺寸数据的频率分布表如下,则 m 等于()

A.10

B.20

C.30

D.40

4. (5 分)已知 α,β 是两个不同的平面,l,m,n 是不同的直线,则正确命题为() A.若 l⊥m,l⊥n,m?α,n?α,则 l⊥α B. 若 l∥m,m?α,则 l∥α C. 若 α⊥β,α∩β=l,m?α,m⊥l,则 m⊥β D.若 α⊥β,l⊥α,则 l∥β

5. (5 分)已知双曲线 () A.y=±2x



=1(a>0,b>0)的离心率为

,则双曲线的渐近线方程为

B.y=±

x

C. ±

x

D.y=± x

6. (5 分) 在△ ABC 中, 点 P 在 BC 上, 且 ,则 A.(﹣2,7) =() B.(﹣6,21)

, 点 Q 是 AC 的中点, 若



C.(2,﹣7)

D.(6,﹣21)

7. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)下列说法中,不正确的是() A.“|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件 B. 命题 p:?x∈R,sinx≤1,则¬p:?x∈R,sinx>1 2 * C. “λ≤2”是“数列 an=n ﹣λn+1(n∈N )为递增数列”的充要条件 D.命题 p:所有有理数都是实数,q:正数的对数都是负数,则(¬p)∨(¬q)为真命题

9. (5 分)已知 于() A. B. C.

,则



D.

10. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大

值为 7,则 + 的最小值为() A.4 B.
n

C.

D.7

11. (5 分) (1+ax+by) 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243,不含 y 的项的系数 绝对值的和为 32,则 a,b,n 的值可能为() A.a=2,b=﹣1,n=5 B. a=﹣2,b=﹣1,n=6 C. a=﹣1,b=2,n=6 D.a=1,b=2,n=5

12. (5 分) 已知函数 ( f x) =1+x﹣

+



+…+

, g (x) =1﹣x+



+…﹣



设 F(x)=f(x+3)?g(x﹣4) ,且函数 F(x)的零点均在区间(a<b,a,b∈Z)内,则 b ﹣a 的最小值() A.8 B. 9 C.10 D.11

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)某算法的程序框如图所示,若输出结果为 ,则输入的实数 x 的值是 . (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)

14. (5 分)过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面,则此截面面积是球表面 积的.

15. (5 分)在△ ABC 中,D 为 BC 中点,若 cos∠BAD=

,cos∠CAD=

,则

=.

16. (5 分)如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a,b,c 都在函数 f(x)的定义域, 就有 f(a) ,f(b) ,f(c)也是某个三角形的三边长,则称 f(x)为“Л 型函数”.那么下列 函数: ①f(x)= ; ②h(x)=lnx,x∈, ∴A∩B={1,2}, (?UA)∪B=(﹣∞,0]∪{1,2},A∪B={﹣2,﹣1}∪(0,+∞) , (?UA) ∩B={﹣2,﹣1}, 故选:D. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3. (5 分)在抽查某批产品尺寸的过程中,样本尺寸数据的频率分布表如下,则 m 等于()

A.10

B.20

C.30

D.40

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: 根据图中各组的频率之和等于 1 及频率的计算公式,结合题意可得 a 值, 再由频率 的计算公式可得其频率,进而可得答案. 解答: 解:∵频率、频数的关系:频率= ∴ ∴a=0.1 ∵根据表中各组的频率之和等于 1 得, ∴b=1﹣0.9=0.1, ∴m=20. 故选 B. 点评: 本题考查读频数分布表的能力和利用统计图获取信息的能力. 利用统计图获取信息 时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题,同时考查频率、 频数的关系:频率= . .

4. (5 分)已知 α,β 是两个不同的平面,l,m,n 是不同的直线,则正确命题为() A.若 l⊥m,l⊥n,m?α,n?α,则 l⊥α B. 若 l∥m,m?α,则 l∥α C. 若 α⊥β,α∩β=l,m?α,m⊥l,则 m⊥β D.若 α⊥β,l⊥α,则 l∥β 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由线面位置关系,逐个选项验证可得. 解答: 解:A 选项,当 l⊥m,l⊥n,m?α,n?α 时,需保证 m 和 n 相交时才有 l⊥α,故 A 不正确; B 选项,若 l∥m,m?α,则 l∥α 或 l?α,故 B 不正确; C 选项,当 α⊥β,α∩β=l,m?α,m⊥l,必有 m⊥β,为平面与平面垂直的性质,故 C 正确; D 选项,当 α⊥β,l⊥α,则 l∥β 或 l?β,故 D 不正确. 故选:C 点评: 本题考查空间中的线面位置关系,属基础题.

5. (5 分)已知双曲线 () A.y=±2x



=1(a>0,b>0)的离心率为

,则双曲线的渐近线方程为

B.y=±

x

C. ±

x

D.y=± x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的离心率求出 c 与 a 的关系,再根据 a、b、c 的关系求出 的值即得渐 近线的方程. 解答: 解:∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的离心率为 ,

即 = ∴c=
2

, a;
2 2

又∵c =a +b , ∴ a =a +b , ∴ a =b , ∴ = ;
2 2 2 2 2

∴双曲线的渐近线方程为 y=± x. 故选:B. 点评: 本题考查了双曲线的几何性质的应用问题, 解题时应灵活利用双曲线的离心率、a、 b、c 的关系以及渐近线的方程,是基础题. 6. (5 分) 在△ ABC 中, 点 P 在 BC 上, 且 ,则 A.(﹣2,7) =() B.(﹣6,21) C.(2,﹣7) D.(6,﹣21)

, 点 Q 是 AC 的中点, 若



考点: 数量积的坐标表达式. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的坐标形式的运算法则求出 向量共线的充要条件求出 解答: 解: ∵点 Q 是 AC 的中点 ∴ =(﹣3,2) ,利用向量共线的充要条件求出 ,利用



=(﹣6,21) 故选 B 点评: 本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件: ?

7. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图可知该几何体, 是过一正三棱柱的上底面一边作截面, 截去的部分为三棱 锥,利用间接法求出其体积. 解答: 解:由三视图可知该几何体,是过一正三棱柱的上底面一边作截面,截去的部分为 三棱锥,而得到的几何体. 原正三棱锥的底面边长为 2,高为 2,体积 V1=Sh= 截去的三棱锥的高为 1,体积 V2= 故所求体积为 V=V1﹣V2= 故选 A. 点评: 本题考查三视图求几何体的体积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几何 体是解题的关键 8. (5 分)下列说法中,不正确的是() A.“|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件 B. 命题 p:?x∈R,sinx≤1,则¬p:?x∈R,sinx>1 2 * C. “λ≤2”是“数列 an=n ﹣λn+1(n∈N )为递增数列”的充要条件 D.命题 p:所有有理数都是实数,q:正数的对数都是负数,则(¬p)∨(¬q)为真命题 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. ×1= ×2=2 .

分析: A,C 两个选项是判断充要性的问题,一看能否由已知推出结论,二看能否逆推回 来,然后综合判断条件是结论的什么条件. 对于 B,是全称命题的否定,一是变量词,二是否结论;对于 D,先判断命题 p,q 的真假, 然后 再判断结论中“或命题”的真假. 解答: 解: 对于 A. 若|x|=|y|则 x=±y, 所以前者是后者的不充分条件, 反之若 x=y, 则|x|=|y|, 所以前者是后者的必要条件.故 A 为真命题; 对于 B.根据全称命题的否定方法可知,B 为真命题; 对于 C.若数列 an=n ﹣λn+1(n∈N )为递增数列,则只要
2 *

,即 λ≤3,就可以使数列

{an}为递增数列,此时不一定有 λ≤2 成立,故 C 为假命题; 对于 D.因为 p 为真,q 为假,则¬p 为假,¬q 为真,根据或命题的真假规律方法可知(¬ p)∨(¬q)为真命题,故 D 为真命题. 故选 C. 点评: 本题考查了全称命题的否定、 简单复合命题的真假判断以及条件的充分必要性的判 断方法,属于基础题.

9. (5 分)已知 于() A. B. C.

,则



D.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 分析: 先将 sin( )用两角和正弦公式化开,然后与 sinα 合并后用辅角公式化成一

个三角函数,最后再由三角函数的诱导公式可得答案. 解答: 解:∵sin( ∴ ∵cos(α+ )=cos( )+sinα= sinα+ ∴sin( )=﹣ )=﹣sin( )= +sinα= =﹣

故选 D. 点评: 本题主要考查两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式.三角函数部分公式比较 多,容易记混,对公式一定要强化记忆.

10. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大

值为 7,则 + 的最小值为() A.4 B. C. D.7

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ ABC 及其内部,再将目标函数 z=ax+by 对应的直线进行平移,可得当 x=3,y=4 时,z 最大值为 3a+4b=7.然后利用常数代 换结合基本不等式,可得当且仅当 a=b=1 时, + 的最小值为 7.

解答: 解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的△ ABC 及其内部,其中 A(1,0) ,B(0,1) ,C(3,4) 设 z=F(x,y)=ax+ by(a>0,b>0) ,将直线 l:z=ax+by 进行平移, 当 l 经过点 C 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(3,4)=3a+4b=7,可得 (3a+4b)=1 因此, + = (3a+4b) ( + )= (25+ ∵ ≥2 =24 )

∴ (25+24)≥ ×49=7, 即当且仅当 a=b=1 时, + 的最小值为 7 故选:D

点评: 本题给出二元一次不等式组, 在已知目标函数 z=ax+by 最大值为 7 的情况下求 + 的最小值.着重考查了运用基本不等式求最值和简单的线性规划等知识,属于中档题. 11. (5 分) (1+ax+by) 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243,不含 y 的项的系数 绝对值的和为 32,则 a,b,n 的值可能为() A.a=2,b=﹣1,n=5 B. a=﹣2,b=﹣1,n=6 C. a=﹣1,b=2,n=6 D.a=1,b=2,n=5 考点: 二项式系数的性质.
n

分析: 据(1+ax+by) 展开式中不含 x 的项是 n 个(1+ax+by)都不出 ax 即(1+ax+by) n n 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和就是(1+by) 展开式中系数绝对值的和,同样的 道理能得不含 y 的项的系数绝对值的和,列出方程解得. n 5 解答: 解:不含 x 的项的系数的绝对 值为(1+|b|) =243=3 ,不含 y 的项的系数的绝对值 n 5 为(1+|a|) =32=2 , ∴n=5, ,将各选项的参数取值代入验证知,a=1,b=2,n=5

n

故选 D. 点评: 利用分步乘法原理得展开式中各项的情况.

12. (5 分) 已知函数 ( f x) =1+x﹣

+



+…+

, g (x) =1﹣x+



+…﹣



设 F(x)=f(x+3)?g(x﹣4) ,且函数 F(x)的零点均在区间(a<b,a,b∈Z)内,则 b ﹣a 的最小值() A.8 B. 9 C.10 D.11 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用导数分别求出函数 f(x) 、g(x)的零点所在的区间,然后要求 F(x)=f(x+3) ?g(x﹣4)的零点所在区间,即求 f(x+3)的零点和 g(x﹣4)的零点所在区间,根据图象 平移即可求得结果. 解答: 解∵f(0)=1>0,f(﹣1)=1﹣1﹣ ∴函数 f(x)在区间(﹣1,0)内有零点; 当 x∈(﹣1,0)时,f′(x)= >0, ﹣…﹣ <0,

∴函数 f(x)在区间(﹣1,0)上单调递增, 故函数 f(x)有唯一零点 x∈(﹣1,0) ; ∵g(1)=1﹣1+ ﹣ +…﹣ >0,g(2)=1﹣2+
2 3 2013


2014

+…+



<0.

当 x∈(1,2)时,f′(x)=﹣1+x﹣x +x ﹣…+x

﹣x

=

>0,

∴函数 g(x)在区间(1,2)上单调递增,故函数 g(x)有唯一零点 x∈(1,2) ; ∵F(x)=f(x+3)?g(x﹣4) ,且函数 F(x)的零点均在区间(a<b,a,b∈Z)内, ∴f(x+3)的零点在(﹣4,﹣3)内,g(x﹣4)的零点在(5,6)内, 因此 F(x)=f(x+3)?g(x﹣3)的零点均在区间内, ∴b﹣a 的最小值为 10. 故选:C 点评: 本题考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及 函数图象的平移,体现了分类讨论的思想,以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力.属 于中档题 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

13. (5 分)某算法的程序框如图所示,若输出结果为 ,则输入的实数 x 的值是 . (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)

考点: 选择结构. 专题: 阅读型. 分析: 本题考查条件结构, 先根据算法语句写出分段函数, 然后讨论 x 与 1 的大小选择相 应的解析式,根据函数值求出自变量即可. 解答: 解:根据条件语句可知是计算 y= ,

当 x>1,时 log2x= ,解得:x=



当 x≤1,时 x﹣1= ,解 得:无解, 故答案为: . 点评: 本题主要考查了条件结构,以及分段函数和根据函数值求出自变量的问题, ,如果 将程序摆在我们的面前时,我们要从识别逐个语句,整体把握,概括程序的功能,同时考查 了分类讨论的思想,属于基础题. 14. (5 分)过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面,则此截面面积是球表面 积的 .

考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用球的半径,球心与截面圆的圆心的距离,求出截面圆的半径,截面面积和球的 表面积,即可得到选项. 解答: 解:设球的半径为 2,则球心与截面圆的圆心的距离为 1;截面圆的半径为 ;

所以截面圆的面积为 3π; 球的表面积为 16π, 所以截面面积是球表面积的 故答案为: 点评: 本题考查球的表面积,截面圆的面积,考查学生的计算能力,空间想象能力,属于 常考题. 15. (5 分) 在△ ABC 中, D 为 BC 中点, 若 cos∠BAD= .

, cos∠CAD=

, 则

=



考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 cos∠BAD 与 cos∠CAD 的值求出 sin∠BAD 与 sin∠CAD 的值,利用两角和与 差的余弦函数公式求出 cos∠BAC 的值,确定出∠BAC 的度数,由 D 为 BC 的中点,利用 等底同高的两个三角形面积相等得到三角形 ABD 与三角形 ACD 面积相等,利用三角形面 积公式列出关系式,整理得到 AC= AB,在三角形 ABC 中,利用余弦定理列出关系式, 整理得到 AB=BC,即三角形 ABC 为等腰直角三角形,进而求出 AC 与 AD 的长,即可求出 所求之比. 解答: 解:∵cos∠BAD= ∴sin∠BAD= ,sin∠CAD= ,cos∠CAD = , ,

∴cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)=cos∠BADcos∠CAD﹣ sin∠BADsin∠CAD= ∴∠BAC=45°, 由 D 为 BC 的中点,得到 S△ ABD=S△ ACD,即 AB?ADsin∠BAD= AC?ADsin∠CAD, 整理得:AC= AB, 2 2 2 2 2 2 在△ ABC 中,利用余弦定理得:BC =AB +AC ﹣2AB?ACcos∠BAC=AB +2AB ﹣2AB , 即 BC=AB, ∴△ABC 为等腰直角三角形,即∠ABC=90°, 设 AB=BC=2,则有 BD=CD=1,AD= ,AC=2 , 则 = = , × ﹣ × = ,

故答案为:

点评: 此题考查了余弦定理,三角形面积公式,同角三角函数间的基本关系,以及两角和 与差的余弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 16. (5 分)如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a,b,c 都在函数 f(x)的定义域, 就有 f(a) ,f(b) ,f(c)也是某个三角形的三边长,则称 f(x)为“Л 型函数”.那么下列 函数: ①f(x)= ; ②h(x)=lnx,x∈ 分析: 利用定义能判断①②为“Л 型函数”, 通过举反例能推导出③④不为为“Л 型函数”. 解答: 解:在①中,任给三角形,设它的三边长分别为 a,b,c,则 a+b>c, 不妨假设 a≤c,b≤c, 由于 > ,所以 f(x)= 为“Л 型函数”,故①正确; 在②中,任给三角形,设它的三边长分别为 a,b,c,则 a+b>c, 不妨假设 a≤c,b≤c, 由于 lna+lab=ln(ab)>lnc, 所以 h(x)=lnx,x∈ ;

所以,随机变量 X 的分布列为:

其数学期望



点评: 求离散型随机变量期望的步骤:①确定离散型随机变量 的取值.②写出分布列, 并检查分布列的正确与否.③求出期望. 19. (12 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面相交于 CD,线段 CD 为圆 O 的 弦,AE 垂直于圆 O 所在平面,垂足 E 是圆 O 上异于 C、D 的点,AE=3,圆 O 的直径为 9. (1)求证:平面 ABCD⊥平面 ADE; (2)求二面角 D﹣BC﹣E 的平面角的正切值.

考点: 平面与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题.

专题: 计算题;证明题. 分析: (1)欲证平面 ABCD⊥平面 ADE,根据面面垂直的判定定理可知在平面 ABCD 内一直线与平面 ADE 垂直,易证 CD⊥平面 ADE,从而得到结论; (2)过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,作 FG∥AB 交 BC 于点 G,连接 GE,根据二面角平面角 的定义可知∠FGE 是二面角 D﹣BC﹣E 的平面角, 在 Rt△ EFG 中, 求出此角的正切值即可. 解答: (1)证明:∵AE 垂直于圆 O 所在平面,CD 在圆 O 所在平面上, ∴AE⊥CD. 在正方形 ABCD 中,CD⊥AD, ∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面 ADE. ∵CD?平面 ABCD, ∴平面 ABCD⊥平面 ADE. (2)∵CD⊥平面 ADE,DE?平面 ADE, ∴CD⊥DE. ∴CE 为圆 O 的直径,即 CE=9. 设正方形 ABCD 的边长为 a, 在 Rt△ CDE 中,DE =CE ﹣CD =81﹣a , 2 2 2 2 在 Rt△ ADE 中,DE =AD ﹣AE =a ﹣9, 2 2 由 81﹣a =a ﹣9,解得, . ∴ .
2 2 2 2

过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,作 FG∥AB 交 BC 于点 G,连接 GE, 由于 AB⊥平面 ADE,EF?平面 ADE, ∴EF⊥AB. ∵AD∩AB=A, ∴EF⊥平面 ABCD. ∵BC?平面 ABCD, ∴BC⊥EF. ∵BC⊥FG,EF∩FG=F, ∴BC⊥平面 EFG. ∵EG?平面 EFG, ∴BC⊥EG. ∴∠FGE 是二面角 D﹣BC﹣E 的平面角. 在 Rt△ ADE 中, ,AE=3,DE=6, ∵AD?EF=AE?DE, ∴ 在 Rt △ EFG 中, ∴ . . ,

故二面角 D﹣BC﹣E 的平面角的正切值为 .

点评: 本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结合、化归 与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 20. (12 分)设 Q 是直线 y=﹣1 上的一个动点,O 为坐标原点,过 Q 作 x 轴的垂线 l,过 O 作直线 OQ 的垂线交直线 l 于 P. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程. 2 2 (2)过点 A(﹣2,4)作圆 B:x +(y﹣2) =1 的两条切线交曲线 C 于 M、N 两点,试判 断直线 MN 与圆 B 的位置关系. 考点: 圆与圆锥曲线的综合;轨迹方程;直线与圆的位置关系. 专题: 综合题. 分析: (1)设 P(x,y) ,则 Q(x,﹣1) ,由 OP⊥OQ 得 ,由此能得到 P

点的轨迹 C 的方程. (2)设过点 A(﹣2,4)的直线为 y=k(x+2)+4,把直线方程 y=k(x+2)+4 代入抛物线 2 2 方程 y=x 得 x ﹣kx﹣2k﹣4=0 2 可得另一个根为 x'=k+2,由相切知 3k +8k+3=0.由根与系数的关系能导出直线 MN 的方程 为 4x﹣3y+1=0,由此知直线 MN 与圆 B 相切. 解答: 解: (1)设 P(x,y) , 则 Q(x,﹣1) , 由 OP⊥OQ,得 ,
2

由此能得到 P 点的轨迹 C 的方程为 x =y. (2) :设过点 A(﹣2,4)的直线为 y=k(x+2)+4, 2 把直线方程 y=k(x+2)+4 代入抛物线方程 y=x . 2 得 x ﹣kx﹣2k﹣4=0, 可得另一个根为 x'=k+2, 由相切知 3k +8k+3=0. 设 k1,k2 是方程的两个根, 由根与系数的关系能导出直线 MN 的方程为 4x﹣3y+1=0, 由此知直线 MN 与圆 B 相切. 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,解题时要注意公式的合理运用. 21. (12 分)已知函数 f(x)=(2ax﹣x )e ,其中 a 为常数,且 a≥0. (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的极值点; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间 上单调递减,求实数 a 的取值范围.
2 ax 2

考点: 利用导数研究函数的极值; 利用导数研究函数的单调性; 函数在某点取得极值的条 件. 专题: 综合题;压轴题;转化思想. 分析: (I)由题意把 a 代入,先使得函数解析式具体,再利用函数在定义域下导函数随 自变量 x 的范围不同其正负符号也不同,得到函数 f(x)的单调性的判断,从而零用极值 的定义得到函数的极值; (II)由题意等价转化为函数在区间上恒成立问题,最终归结为求函数在定义域下求最值. 2 x 2 x 解答: 解法一: (Ⅰ)依题意得 f(x)=(2x﹣x )e ,所以 f'(x)=(2﹣x )e , 令 f′(x)=0,得 x=± , 当 当 x∈ 当 x∈ 由上可知,x=﹣
ax

时,f′(x)<0,函数 f(x)在此区间单调递减; 时,f′(x)>0,函数 f(x)在此区间上单调递增; 时,f′(x)<0,函数 f(x)在此区间上单调递减; 是函数 f(x)的极小值点,x= 是函数 f(x)的极大值点.

(Ⅱ)f'(x)=e , 由函数 f(x)在区间 立, 上单调递减可知:f′(x)≤0 对任意 恒成立; 恒成

当 a=0 时,f′(x)=﹣2x,显然 f'(x)≤0 对任意 2 2 当 a>0 时,f′(x)≤0 等价于 ax ﹣(2a ﹣2)x﹣2a≥0, 因为 令 g(x)=x﹣ 则 g'(x)=1+ 单调递增, 所以 g(x)在 由于 f′(x)≤0 对任意 恒成立, 需且只需 g(x)min≥ ,即 0≥ 上的最小值为 恒成立等价于 x﹣ ,在
2 2

,不等式 ax ﹣(2a ﹣2)x﹣2a≥0 等价于 x﹣

上显然有 g′(x)>0 恒成立,所以函数 g(x)在

对任意

,解得﹣1≤a≤1,因为 a>0,所以 0<a≤1.

综合上述,若函数 f(x)在区间 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 0≤a≤1. 点评: (I)此题考查了利用导函数求其函数的单调增减区间,还考查了求解一元二次不 等式; (II)此题首先考查了数学常考的等价转化的数学思想,还考查了函数在定义域下恒成立问 题的实质为求函数在定义域下的最值. 请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按 22 题计分。选修 4-1:几何证明选 讲。

22. (10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CA、BD 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延 长线于点 F.求证: (1)∠DEA=∠DFA; 2 (2)AB =BE?BD﹣AE?AC.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 证明题;压轴题. 分析: (1)连接 AD,利用 AB 为圆的直径结合 EF 与 AB 的垂直关系,通过证明 A,D, E,F 四点共圆即可证得结论; (2)由(1)知,BD?BE=BA?BF,再利用△ ABC∽△AEF 得到比例式,最后利用线段间的 关系即求得 AB =BE?BD﹣AE?AC. 解答: 证明: (1)连接 AD,因为 AB 为圆的直径, 所以∠ADB=90°, (1 分) 又 EF⊥AB,∠AFE=90°, (1 分) 则 A,D,E,F 四点共圆(2 分) ∴∠DEA=∠DFA(1 分) (2)由(1)知,BD?BE=BA?BF, (1 分) 又△ ABC∽△AEF∴ ,即 AB?AF=AE?AC(2 分)
2 2

∴BE?BD﹣AE?AC=BA?BF﹣AB?AF=AB?(BF﹣AF)=AB (2 分)

点评: 本小题主要考查与圆有关的比例线段、 四点共圆的证明方法、 三角形相似等基础知 识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线

C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,直线 l 的参数方程是

(t 为参数) .

(1)设 M,N 分别为曲线 C,直线 l 上的动点,求|MN|的最小值;

(2)求曲线 C 上平行于直线 l 的切线的一般方程. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ) 首先把极坐标方程转化为直角坐标方程的, 进一步利用点到直线的距离求解 (Ⅱ)利用斜截式直线方程,利用斜率相等求出结果. 解答: 解: (Ⅰ)化极坐标方程为 ρ=4cosθ 为直角坐标方程 x +y ﹣4x=0,所以曲线 C 是 以(2,0)为圆心,2 为半径的圆.
2 2

化参数方程

(t 为参数)为普通方程

则圆心到直线 l 的距离

, 所以|MN|的最小值为 (Ⅱ)直线 l 的斜率为 , 所以:b= 或﹣2 , 或 ,即 或 . , ,设所求切线方程为 ,即 ,则

所求切线方程为

点评: 本题考查的知识要点:极坐标方程和直角坐标方程的互化,点到直线的距离,及斜 截式直线方程的应用. 选修 4-5:不等式选讲 24.对于任意实数 a(a≠0)和 b,不等式|a+b|+|2a﹣b|≥|b|(|x﹣1|+|x﹣2|)恒成立,试求实数 x 的取值范围. 考点: 绝对值三角不等式. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 分类讨论,当 b≠0 时,|x﹣1|+|x﹣2|≤ 或等于 的最小值,即可得出结论. 恒成立,故|x﹣1|+|x﹣2|小于

解答: 解: (1)当 b=0 时,原不等式恒成立,则 x∈R. (2)当 b≠0 时,|x﹣1|+|x﹣2|≤ 的最小值. 恒成立,故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于

设 t= ,则

=|t+1|+|2t﹣1|=



∴t= 时,取到最小值 , ∴|x﹣1|+|x﹣2|≤ ,|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和, 故不等式的解集为. 点评: 本题考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,判断|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和,是解题的关键.



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