2014高考数学 第四章 第一节 平面向量的概念及线性运算课时提升作业 文 北师大版

【全程复习方略】 （陕西专用）2014 高考数学 第四章 第一节 平面向量的概念 及线性运算课时提升作业 文 北师大版
一、选择题 1.(2013·合肥模拟)下列命题中是真命题的是 ( ①对任意两向量 a,b,均有:|a|-|b|<|a|+|b|; ②对任意两向量 a,b,a-b 与 b-a 是相反向量; ③在△ABC 中, + =0; + . (B)②④⑤ (D)②③ )-( + )=0; )

④在四边形 ABCD 中,( ⑤在△ABC 中, (A)①②③ (C)②③④ =

2.如图,在△ABC 中,AD,BE,CF 分别是 BC,CA,AB 上的中线,它们交于点 G,则下 列各等式中不正确的是 ( (A) (B) (C) (D) = =2 = + = ) )

3.(2013·宜春模拟)在以下各命题中,假命题的个数为 ( ①“|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分条件 ②任一非零向量的方向都是唯一的 ③“a∥b”是“a=b”的充分不必要条件 ④若|a|-|b|=|a|+|b|,则 b=0 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 +

4.(2013·株洲模拟)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, (A)P,A,B 三点共线 (C)P,B,C 三点共线 (B)P,A,C 三点共线 (D)以上均不正确

=2

,则 (

)

-1-

5.若 O 是 A,B,P 三点所在直线外一点且满足条件: ( (A)-1 ) (B)1 (C)(D)

=a1

+a4021

,其中{an}为等差数列,则 a2011 等于

6.设 a,b 是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是 ( (A)|a+b|≤|a|+|b| (B)|a|-|b|≤|a+b| (C)|a|-|b|≤|a|+|b| (D)|a|≤|a+b| 7.已知点 O,N 在△ABC 所在平面内,且| (A)重心,外心 (C)外心,重心 (B)重心,内心 (D)外心,内心 |=| |=| |,

)

+

+

=0,则点 O,N 依次是△ABC 的(

)

8.(2013· 西安模拟)在△ABC 中,M 是 BC 边上一点,N 是 AM 的中点, 则λ +μ = ( (A) (C) ) (B) (D) = )

=λ

+μ

,

9.(2013·蚌埠模拟)已知点 P 为△ABC 所在平面上的一点,且 为实数,若点 P 落在△ABC 的内部,则 t 的取值范围是 ( (A)0<t< (C)0<t< (B)0<t< (D)0<t< + +

+t

,其中 t

10.设 A1,A2,A3,A4 是平面上给定的 4 个不同点,则使 (A)0 二、填空题 11.如图,在正六边形 ABCDEF 中,已知 =c, =d,则 (B)1 (C)5 (D)10

+

=0 成立的点 M 的个数为 (

)

=

(用 c 与 d 表示).

-2-

12.M,N 分别在△ABC 的边 AB,AC 上,且 则 x+y= . =3

= ,

= ,BN 与 CM 交于点 P,设

=a,

=b,若

=xa+yb(x,y∈R),

13.(2013·吉安模拟)如图所示, 重合,若 =m +(1-m)

,O 在线段 CD 上,且 O 不与端点 C,D .

,则实数 m 的取值范围为 =a,

14.(能力挑战题)已知△ABC 中, P 满足 =

=b,对于平面 ABC 上任意一点 O,动点 .

+λ a+λ b,则动点 P 的轨迹所过的定点为

三、解答题 15.(能力挑战题)如图,在△ABC 中,在 AC 上取点 N,使得 AN= AC,在 AB 上取 点 M,使得 AM= AB,在 BN 的延长线上取点 P,使得 NP= BN,在 CM 的延长线上 取一点 Q,使 MQ=λ CM 时, = ,试确定λ 的值.

答案解析 1.【解析】选 D.①假命题.∵当 b=0 时,|a|-|b|=|a|+|b|,∴该命题不成立. ②真命题.∵(a-b)+(b-a)=a+(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b)=(a-a)+(b-b)=0, ∴a-b 与 b-a 是相反向量. ③真命题.∵ ∴命题成立. ④假命题.∵ ∴( = + = )-( + + + ≠0,
-3-

+

-

=

-

=0,

= )

,

+

=

,

∴该命题不成立. ⑤假命题.∵ = + = ≠ ,

∴该命题不成立. 2.【思路点拨】解题时注意三角形中线对应向量的性质及三角形重心的性质. 【解析】选 C.由题意知点 G 为三角形的重心,故 3.【解析】选 A.∵a,b 方向不同? a≠b; ∴仅有|a|=|b| ? ? a=b; 但反过来,有 a=b? |a|=|b|. 故命题①是正确的. 命题②正确. ∵a∥b ? ? a=b,而 a=b? a∥b,故③不正确. ∵|a|-|b|=|a|+|b|,∴-|b|=|b|, ∴2|b|=0,∴|b|=0,即 b=0,故命题④正确. 综上所述,4 个命题中,只有③是错误的,故选 A. 4.【解析】选 B.∵ ∴ 即 = = , + =2 , = ,所以 C 错误.

,∴P,A,C 三点共线. =a1 +a4021 ,所以 a1+a4021=1,故 a2011= = .

5.【解析】选 D.因为 A,B,P 三点共线,且

6.【解析】选 D.由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知 A,B,C 恒成立,取 a+b=0,则 D 不成立. 【误区警示】解答本题时容易忽视向量共线的情形. 7.【解析】选 C.由| △ABC 的重心. 8.【解析】选 A.设 =m +n , |=| |=| |知,O 为△ABC 的外心; + + =0 知,N 为

∵B,M,C 三点共线,∴m+n=1, 又 ∴2 =2 =m , +n ,

-4-

即

=

+

,

∴λ +μ = + = (m+n)= . 9.【解析】选 D.如图,E,F 分别为 AB,BC 的三等分点,由 +t 可知, = , =

P 点落在 EF 上,而

∴点 P 在 E 点时,t=0, 点 P 在 F 点时,t= .而 P 在△ABC 的内部, ∴0<t< . 10.【思路点拨】类比三角形的“重心”的性质解题. 【解析】选 B.在平面中我们知道“三角形 ABC 的重心 G 满足: 即为这 4 个点连线组成的平面图形的重心,即点 M 只有 1 个. 11.【解析】连接 BE,CF,设它们交于点 O,则 由正六边形的性质得 又 ∴ = d, = + = d+(d-c)= d-c. = = =d-c. =d-c, + + =0”则此题就能很快地答出,点 M

答案: d-c 12.【解析】如图,设 则在△ABP 中, = + =λ =a+λ , =μ =a+λ ( , )

=a+λ ( b-a)=(1-λ )a+ b. 在△ACP 中, = + =b+μ =b+μ ( )

=b+μ ( a-b)= a+(1-μ )b. 由平面向量基本定理得

-5-

解得

因此

故 x+y= . 答案: 13.【解析】设 ∴ = + -k = , , =k +k ,则 k∈(0, ). = +k( )

=(1+k) 又 =m

+(1-m)

∴m=-k, ∵k∈(0, ),∴m∈(- ,0). 答案:(- ,0) 14.【解析】依题意,由 得 即 =λ (a+b), + ). = +λ a+λ b,

=λ (

如图,以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ABDC,对角线交于点 M, 则 =λ ,

∴A,P,D 三点共线, 即 P 点的轨迹是 AD 所在的直线,由图可知 P 点轨迹必过△ABC 边 BC 的中点 M. 答案:边 BC 的中点 【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧 平面向量的知识在解决平面几何中的问题时应用非常广泛:利用共线向量定理,可以证明点共线,两直线平 行,并进而判定一些特殊图形;利用向量的模,可以说明线段间的长度关系,并进而求解图形的面积.在后续 内容中,向量的应用将更广泛.要注意图形中的线段、向量是如何相互转化的. 15.【解析】 = = ( )= ( + )= .
-6-

= 令 ∴ ∴λ =

, +λ = (

=

-λ

=

+λ

.

= -

, )= ,

∴λ = . 【变式备选】如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP∶PM 的值. 【解析】设 则 = + =e1, =e2, =2e1+e2.

=-3e2-e1,

∵A,P,M 和 B,P,N 分别共线, ∴存在λ ,μ ∈R, 使 故 而 ∴ =λ = = + =-λ e1-3λ e2, =μ =2μ e1+μ e2.

=(λ +2μ )e1+(3λ +μ )e2, =2e1+3e2, ∴

∴

=

,∴

=

,

即 AP∶PM=4.

-7-