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【高考领航】2017届(北师大版)高三数学(理)大一轮复习第七章立体几何课时规范训练7-4


课时规范训练
[A 级 基础演练] 1.(2015· 高考北京卷)设 α,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m?α,“m ∥β”是“α∥β”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

解析:当 m∥β 时,过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能相交,因而 m∥β α ∥β;当 α∥β 时,α 内任一直线与 β 平行,因为 m?α,所以 m∥β.综上知,“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件. 答案:B 2.(2015· 高考安徽卷)已知 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同平面, 则下列命题正确的是( )

A.若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 解析:A 项,α,β 可能相交,故 A 错误;B 项,直线 m,n 的位置关系不确 定,可能相交、平行或异面,故 B 错误;C 项,若 m?α,α∩β=n,m∥n,则 m∥β,故 C 错误; D 项,假设 m,n 垂直于同一平面,则必有 m∥n,所以原命题正确,故 D 项正确. 答案:D 3.(2016· 汕头质检)若 m,n 为两条不重合的直线,α,β 为两个不重合的平 面,则下列命题中真命题的序号是__________. ①若 m,n 都平行于平面 α,则 m,n 一定不是相交直线; ②若 m,n 都垂直于平面 α,则 m,n 一定是平行直线; ③已知 α,β 互相平行,m,n 互相平行,若 m∥α,则 n∥β; ④若 m,n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m,n 互相平行.

解析:①为假命题,②为真命题,在③中,n 可以平行于 β,也可以在 β 内, 故是假命题,在④中,m,n 也可能异面,故为假命题. 答案:② 4.棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是棱 AA1 的中点,过 C、M、 D1 作正方体的截面,则截面的面积是________. 解析:由面面平行的性质知截面与面 AB1 的交线 MN 是△AA1B 的中位线, 9 所以截面是梯形 CD1MN,易求其面积为2. 答案: 9 2

5.已知 α、β 是不同的两个平面,直线 a?α,直线 b?β,命题 p:a 与 b 没有公共点;命题 q:α∥β,则 p 是 q 的________条件. 解析:∵a 与 b 没有公共点,不能推出 α∥β, 而 α∥β 时,a 与 b 一定没有公共点, 即p q,q?p,∴p 是 q 的必要不充分条件.

答案:必要不充分 6.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________.

解析: 因为直线 EF∥平面 AB1C, EF?平面 ABCD, 且平面 AB1C∩平面 ABCD =AC,所以 EF∥AC.又因为点 E 是 DA 的中点,所以 F 是 DC 的中点,由中位 1 线定理可得 EF=2AC.又因为在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,所以 AC= 2 2,所以 EF= 2. 答案: 2 7.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M,N 分别是 AB,AC 的 中点,G 是 DF 上的一动点. (1)求该多面体的体积与表面积; (2)当 FG=GD 时,在棱 AD 上确定一点 P,使得 GP∥平面 FMC,并给出证

明.

解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在△ADF 中,AD⊥DF,DF= 1 1 AD=DC=a,所以该多面体的体积为2a3,表面积为2a2×2+ 2a2+a2+a2=(3 + 2)a2. (2)点 P 与点 A 重合时,GP∥平面 FMC. 取 FC 的中点 H,连接 GH,GA,MH. ∵G 是 DF 的中点, 1 ∴GH 綊2CD. 1 又 M 是 AB 的中点,∴AM 綊2CD. ∴GH∥AM 且 GH=AM,∴四边形 GHMA 是平行四边形.∴GA∥MH. ∵MH?平面 FMC,GA 重合时,GP∥平面 FMC. 8.(2016· 石家庄二中一模)如图,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD, ∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC=∠CAD=60° ,E 为 PD 的中点,F 在 AD 上,且 ∠FCD=30° . 平面 FMC,∴GA∥平面 FMC,即当点 P 与点 A

(1)求证:CE∥平面 PAB; (2)若 PA=2AB=2,求四面体 PACE 的体积. 解:(1)证明∵∠ACD=90° ,∠CAD=60° ,

∴∠FDC=30° . 又∠FCD=30° ,∴∠ACF=60° , ∴AF=CF=DF,即 F 为 AD 的中点. 又 E 为 PD 的中点, ∴EF∥PA,∵AP?平面 PAB,EF 平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB. 又∠BAC=∠ACF=60° , ∴CF∥AB,可得 CF∥平面 PAB. 又 EF∩CF=F, ∴平面 CEF∥平面 PAB,而 CE?平面 CEF, ∴CE∥平面 PAB. (2)∵EF∥AP,AP?平面 APC,EF? 平面 APC, ∴EF∥平面 APC. 又∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC=60° ,PA=2AB=2, AC ∴AC=2AB=2,CD=tan 30° =2 3. 1 1 1 1 1 ∴VPPA = AEC = VEPAC = VFPAC = VPACF = × ×S △ ACD· 3 2 3 × 2 ×2 ×2×2 3 ×2 2 3 = 3 . [B 级 能力突破]

1.(2015· 高考福建卷)若 l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 α,则“l ⊥m”是“l∥α”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

解析:∵m⊥α,若 l∥α,则必有 l⊥m,即 l∥α?l⊥m. 但 l⊥m l∥α,∵l⊥m 时,l 可能在 α 内. 故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件. 答案:B 2.(2016· 北京模拟)以下命题中真命题的个数是( )

(1)若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则直线 l∥α;

(2)若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α; (3)若直线 a∥b,b?α,则 a∥α; (4)若直线 a∥b,b?α,则 a 平行于平面 α 内的无数条直线. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

解析:命题(1)l 可以在平面 α 内,不正确;命题(2)直线 a 与平面 α 可以是相 交关系,不正确;命题(3)a 可以在平面 α 内,不正确;命题(4)正确. 答案:A 3.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 BC, CC1 的中点,P 是侧面 BCC1B1 内一点,若 A1P∥平面 AEF,则线段 A1P 长度的 取值范围是( )

? 5? A.?1, ? 2 ? ? ? 5 ? C.? , 2? ?2 ?

?3 2 5? B.? ,2? 4 ? ? D.[ 2, 3]

解析:选 B.取 B1C1 的中点 M,BB1 的中点 N,连接 A1M,A1N,MN,可以 证明平面 AMN ∥平面 AEF,所以点 P 位于线段 MN 上,因为 A1M=A1N= 5 ?1? 1+?2?2= 2 ,MN= ? ? 2 ?1?2 ?1?2 ?2? +?2? = ,所以当点 P 位于 M,N 处时,A1P 2 ? ? ? ?

的长度最长,当 P 位于 MN 的中点 O 时, A1P 的长度最短,此时 A1O = 3 2 5 ? 5?2 ? 2?2 3 2 ? ? -? ? = , 所以 A1O≤A1P≤A1M, 即 ≤A1P≤ , 所以线段 A1P 4 4 2 2 4 ? ? ? ? ?3 2 5? 长度的取值范围是? , 2 ?,选 B. ? 4 ? 4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下底面 的棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是上底面的棱

a AD 上的一点,AP=3,过 P、M、N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上, 则 PQ=________. 解析:∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,∴MN∥PQ. a ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,AP=3, a 2a ∴CQ=3,从而 DP=DQ= 3 , 2 2 ∴PQ= 3 a. 2 2 答案: 3 a 5. 如图所示, 在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、 F、G、H 分别是棱 CC1、 C1D1、D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动, 则 M 满足条件________时,有 MN∥平面 B1BDD1.

解析:由题意,HN∥面 B1BDD1,FH∥面 B1BDD1. ∵HN∩FH=H,∴面 NHF∥面 B1BDD1. ∴当 M 在线段 HF 上运动时, 有 MN∥面 B1BDD1. 答案:M∈线段 HF 6.如图,

正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的 动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正确的 是________(写出所有正确命题的编号). 1 ①当 0<CQ<2时,S 为四边形; 1 ②当 CQ=2时,S 为等腰梯形; 3 1 ③当 CQ=4时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R=3; 3 ④当4<CQ<1 时,S 为六边形; 6 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 2 . 解析:利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解. 1 ①当 0<CQ<2时,如图(1). 在平面 AA1D1D 内,作 AE∥PQ, 显然 E 在棱 DD1 上,连接 EQ,则 S 是四边形 APQE.

1 ②当 CQ=2时,如图(2). 显然 PQ∥BC1∥AD1,连接 D1Q,则 S 是等腰梯形. 3 ③当 CQ=4时,如图(3). 1 作 BF∥PQ 交 CC1 的延长线于点 F,则 C1F=2.

作 AE∥BF,交 DD1 的延长线于点 E, 1 D1E=2,AE∥PQ,连接 EQ 交 C1D1 于点 R, 由于 Rt△RC1Q∽Rt△RD1E, ∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2, 1 ∴C1R=3.

3 ④当 4 <CQ<1 时,如图(3),连接 PM(点 M 为 AE 与 A1D1 交点),显然 S 为 五边形 APQRM. ⑤当 CQ=1 时,如图(4). 同③可作 AE∥PQ 交 DD1 的延长线于点 E,交 A1D1 于点 M,显然点 M 为 1 1 6 A1D1 的中点,所以 S 为菱形 APQM,其面积为2MP×AQ=2× 2× 3= 2 . 答案:①②③⑤ 7.(2016· 潍坊市模拟)

如图,已知平行四边形 ABCD 与直角梯形 ABEF 所在的平面互相垂直,且 1 π AB=BE=2AF=1,BE∥AF,AB⊥AF,∠CBA=4,BC= 2,P 为 DF 的中点. (1)求证:PE∥平面 ABCD;

(2)求三棱锥 ABCE 的体积. 解:(1)证明:取 AD 的中点 M,连接 MP,MB, 在△ADF 中,FP=PD,DM=MA, 1 ∴MP∥AF,且 MP=2AF. 1 又 BE∥AF,BE=2AF,∴MP∥BE,且 MP=BE, ∴四边形 BMPE 为平行四边形.∴PE∥BM. 又 PE 平面 ABCD,BM?平面 ABCD, ∴PE∥平面 ABCD. π (2)在△ABC 中,AB=1,∠CBA=4,BC= 2, ∴由余弦定理 AC2 = BC2 + AB2 - 2BC· ABcos ∠ CBA = 12 + ( 2)2 - 2× 2 2 ×1× 2 =1, 得 AC2+AB2=BC2,∴AC⊥AB. ∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,又平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,∴AC⊥平面 ABEF. 又 BE∥AF,AB⊥AF,∴BE⊥AB, 1 1 又 AB=BE=1,∴S△ABE=2×1×1=2, 1 1 1 1 ∴VAAC = × × 1 = BCE=VCABE= S△ABE· 3 3 2 6.


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