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§3.1+基本不等式


§3.1 基本不等式
教学目标:

ab ?

a?b 2

江西省抚州市东乡县一中 金丙建
1、知识与技能目标: (1)掌握基本不等式 ab ?

a?b ,认识其运算结构; 2

(2)了解基本不等式的几何意义及代数意义; (3)能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标: (1)经历由几何图形抽象出基本不等式的过程; (2)体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标(1)感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物; (2)体会多角度探索、解决问题。 教学重点:应用数形结合的思想,并从不同角度探索和理解基本不等式。 教学难点:利用基本不等式 ab ? 教学过程: 一、创设情景,引入新课 1.勾股定理的背景及推导

a?b 求最值的前提条件。 2

赵爽弦图 引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理,了解勾股定理的背景。 2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标,比较 4 个直角三角形的面积和与大正 方形的面积,你会得到怎样的不等式?

引导学生从面积关系得到不等式:a2+b2≥ 2ab,当直角三角形变为等腰直角三角形,即正 方形 EFGH 缩为一个点时,有 a ? b ? 2ab
2 2

(2)总结结论:一般的,如果 a, b ? R, 那么a ? b ? 2ab(当且仅当 a ? b时取" ?"号) (3)推理证明:作差法 二、讲授新课
2 2

重要不等式:如果 a、b∈R,那么 a 2+b 2 ≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”号) 1.思考:如果用 a , b 去替换 a ? b ? 2ab 中的 a , b 能得到什么结论? a , b 要满足什么条 件?
2 2

结论: ab ≤

a?b ( a ? 0, b ? 0 ),当且仅当 a ? b 时取等号。 2

2.推理证明:作差法 a +b 说明:1)我们称 为 a,b 的算术平均数,称 ab 为 a,b 的几何平均数,因而,此定 2 理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a +b 2)a 2+b 2≥2ab 和 ≥ ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数,而后者 2 要求 a,b 都是正数. 3) “当且仅当”的含义:当 a ? b 时,等号成立,其含义是:如果 a ? b 那么 仅当 a ? b 时, 等号成立, 其含义是: 如果 综合起来:其含义是: a ? b 等价于

a?b ? ab 2

a?b ? ab 那么 a ? b 2

a?b ? ab 2

4)数列意义:两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项 3.(1)探究:(课本 P88) 如图所示:AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上一点,AC=a,BC=b。 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD、BD。

a?b 表示圆的半经, ab 表示半弦长 CD,得到 2 a?b 不等关系: ab ≤ ( a ? 0, b ? 0 ) 2
引导学生发现: 几何意义:半弦长不大于半径长。 ???我们称 ab 为正数 a , b 的几何平均数, 称

a?b 为正数 a , b 的算 2

术平均数。 代数意义:几何平均数小于等于算术平均数 三、例题讲解

2 1 1 ? a b 2 2ab 2ab 2 ? ? ? ab 证法(1)由 a ? 0, b ? 0 知 故: ab ? 1 1 a ? b 2 ab 1 1 ? ? a b a b 1 1 1 1 ? ? 1 1 a b a b ? 1 ? ab ? 2 证法(2)由 a ? 0, b ? 0 知 ? ? ? 1 1 2 a b 2 ab ? a b
例 1:设 a , b 为正数,证明不等式: ab ?

证法(3) (几何解析 数形结合) AB 是圆 O 的直径, AC ? a, CB ? b ,过 C 作

D

CD ? AB 交圆 O 上半圆于点 D ,过点 C 作 CE ? OD 交 OD 于点 E 2 在 Rt ?OCD 中,由射影定理知 DC ? DE ? OD A DC 2 ab 2 ? ? 即: DE ? a?b 1 1 OD ? 2 a b 2 由于 DC ? DE 得 ab ? ,当且仅当 a ? b 时,等号成立 1 1 ? a b

E O

c

B

1 1 ? a b 例 2:若 0 ? x ? 1 ,求 y ? x(1 ? x) 的最大值。 1 变:若 0 ? x ? ,求 y ? x(1 ? 2 x) 的最大值。 2

结论:

2

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2

ab ? (

a?b 2 ) 2

ab ?

a2 ? b2 2

设计意图:发现运算结构,应用基本不等式求最值,把握基本不等式成立的前提条件 四、课时小结 1.知识要点: (1)基本不等式的条件及结构特征 (2)基本不等式在几何、代数两方面的意义 2.思想方法技巧: (1)数形结合思想 (2)换元法、作差法 (3)配凑等技巧 五、作业



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