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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第3章 第7节 正弦定理、余弦定理的应用举例课件 理 苏教版


固 基 础 · 自 主 落 实

第七节

正弦定理、余弦定理的应用举例

启 智 慧 · 高 考 研 析

提 知 能 · 典 例 探 究

课 后 限 时 自 测

要 求 内容 考纲 传真 A B C

正弦定理、 余弦 定理及其应用



1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问 题、物理问题等.

2.实际应用中的常用术语
术语 名称 术语意义 图形表示

仰角 与 俯角

在目标视线与水平视线所成的 角中,目标视线在水平视线上 方的叫做仰角,目标视线在水 平视线下方的叫做俯角

从某点的指北方向线起按顺时 方位 角 针方向到目标方向线之间的水 平夹角叫做方位角.方位角的 范围是 0°~360° 例:(1)北偏东 m°

正北或正南方向线与目标方向 方向角 线所成的 锐角 , 通常表达为北 (南)偏东(西)××度 (2)南偏西 n°

坡角

坡面与水平面的夹角 h 设坡角为 α,坡度为 i,则 i= =tan α l

坡度(或 坡面的铅直高度 h 和水平宽 坡比) 度 l 的比

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误 的打“×”) (1)从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α =β.( )

(2)若点 A 在点 B 的北偏东 30° 方向,则点 B 在点 A 的东偏北 60° 方向.( )

(3)坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数.(

)

(4)如图 371 所示, B, C, D 三点在地面同一直线上, DC=a, 从 C,D 两点测得 A 点的仰角分别为 β 和 α(α<β),则可以求出 A 点距地面的高度 AB.( )

图 371

[解析]

根据相关角的概念知(1)正确,(2)(3)错误.对于(4),

asin α 在△ACD 中, 由正弦定理可求 AC,AC= .在 Rt△ABC 中, sin?β-α? AB=AC· sin β,因为 a,α,β 已知,故 AB 可求,所以(4)正确.

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√

2.(教材习题改编)某海域有 A,B,C 三个小岛,测得 A 岛在 B 岛的北偏东 15° 方向上且距 B 岛 10 海里,C 岛在 B 岛正东方向, 在 A 岛南偏东 45° 方向上, 则 B, C 两岛间的距离为________海里.

[解析]

根据题意画出示意图, 在△ABC 中, AB=10, ∠BAC

BC =15° +45° =60° ,∠BCA=45° ,由正弦定理,得 = sin∠BAC 3 10× AB · sin ∠ BAC 2 AB 10sin 60° ,所以 BC= = = =5 6. sin 45° sin∠BCA sin∠BCA 2 2

[答案] 5 6

3.为了测量河的宽度,在岸的一边选取两点 A 和 B,观测对 岸标记 C,测得∠CAB=45° ,∠CBA=75° ,AB=120 m,则河宽 为________m(保留根式).

[解析] 如图所示,CD 为河的宽度,

CD CD + =120. tan 45° tan 75° ∴CD= =20(3+ 3)m. 1 1 + tan 45° tan 75° 120

[答案] 20(3+ 3)

4.在 O 点测量一在做匀速直线运动的物体,开始时刻物体位 于 P 点,一分钟后,其位置在 Q 点,且∠POQ=90° ,再过一分钟, 该物体位于 R 点,且∠QOR=30° ,则 tan∠OPQ 的值为________.

[解析] 如图所示,由于物体做匀速直线运 PQ=QR,不妨设其长度为 1. 在 Rt△POQ 中,OQ=sin∠OPQ, OP=cos∠OPQ,

动,根据题意,

2 OP 在△OPR 中,由正弦定理得 = . sin 120° sin∠ORP 1 OQ 在△ORQ 中, = , sin 30° sin∠ORQ OQ 3 综上得 =tan ∠OPQ= . OP 2

[答案]

3 2

5. 如图 372,测量河对岸的塔高 AB 时,选与塔底 B 在同一 水平面内的两个测点 C 与 D,测得∠BCD=30° ,∠BDC=120° , CD=10 m,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60° ,则塔高 AB= ________m.

图 372

[解析] 在△BCD 中,CD=10,∠BCD=30° ,∠BDC=120° , ∴∠CBD=180° -30° -120° =30° 3 10× 2 BC 10 10sin 120° 由正弦定理,得 = ,∴BC= = sin 120° sin 30° sin 30° 1 2 =10 3. 在 Rt△ABC 中,AB=BC· tan 60° =10 3× 3=30.

[答案] 30

考向 1

测量高度问题

【典例 1】 第二届夏季青年奥林匹克运动会于 2014 年 8 月 16 日在南京开幕, 开幕式上举行升旗仪式, 在坡角为 15° 的看台上, 同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° ,第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如图 373 所示),求旗 杆的高度.

图 373

[解]

设最后一排和第一排的观测点分别为 A,B,旗杆顶端

和底端分别为 C,D,则依题意画出示意图. 如图,在△ABC 中,∠ABC=105° , 所以∠ACB=30° .

10 6 BC 由正弦定理得 = , sin 30° sin 45° 2 所以 BC=20 6× =20 3. 2 3 在 Rt△CBD 中,CD=BCsin 60° =20 3× =30(m). 2

【规律方法】 1.在测量高度时,要准确理解仰角、俯角的概念,仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角. 2.分清已知条件与所求,画出示意图;明确在哪个三角形内 运用正、 余弦定理, 有序地解相关的三角形, 并注意综合运用方程、 平面几何、立体几何等知识.

【变式训练 1】 如图 374 所示,为测得河对岸塔 AB 的高, 先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,在 C 点测得 点 A 的仰角为 60° ,再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 米到位置 D, 测得∠BDC=45° ,求塔 AB 的高度.

图 374

[解]

在△BCD 中,CD=10,∠BDC=45° ,∠BCD=15° +

BC CD 90° =105° ,∠DBC=30° , = , sin 45° sin 30° CDsin 45° BC= =10 2, sin 30° AB 在 Rt△ABC 中,tan 60° = ,AB=BCtan 60° =10 6(米). BC

考向 2

测量角度问题

【典例 2】 在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向、距离 A 处( 3 -1)海里的 B 处有一艘走私船;在 A 处北偏西 75° 方向、距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3 海里/小时的速度追截走私 船.同时,走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30° 方 向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时 间?

[解] 设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t, BD=10t.

在△ABC 中,AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120° . 利用余弦定理可得 BC= 6.

AC 2 3 2 由正弦定理,得 sin∠ABC= sin∠BAC= × = , BC 2 6 2 ∴∠ABC=45° ,因此 BC 与正北方向垂直. 于是∠CBD=120° . 在△BCD 中,由正弦定理,得 BDsin∠CBD 10t· sin 120° 1 sin∠BCD= = = , CD 2 10 3t 得∠BCD=30° ,

CD BC 10 3t 6 又 = ,即 = 6,得 t= . sin 120° sin 30° 10 3 所以当缉私船沿北偏东 60° 的方向能最快追上走私船,最少要 6 花 小时. 10

【规律方法】 1.本题求解的关键是理解方位角、方向角的概念,分析题意, 分清已知与所求, 再根据题意正确画出示意图, 这是最重要的一步. 2. (1)对于和航行有关的问题, 要抓住时间和路程两个关键量, 解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解. (2)根据示意图,把所求量放在有关三角形中,有时直接解此 三角形解不出来,需要先在其他三角形中求解相关量.

【变式训练 2】 (2014· 镇江模拟)已知岛 A 南偏西 38° 方向, 距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私艇. 岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛 北偏西 22° 方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 0.5 小时能截住该走私船?

图 375

? ? ?参考数据:sin ?

5 3 3 3? ? 38° = ,sin 22° = 14 14 ? ?

[解] 如图,设缉私艇在 C 处截住走私船,D 为岛 A 正南方向 上一点.缉私艇的速度为每小时 x 海里,则 BC=0.5x,AC=5 海 里.

依题意,∠BAC=180° -38° -22° =120° ,又 AB=3, 由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos 120° , ∴(0.5x) =3 +5
2 2 2

? 1? ? - -2×3×5×? ? 2?=49, ? ?

∴x=14,∴BC=0.5x=7. 3 AC· sin∠BAC 5× 2 5 3 又由正弦定理,得 sin∠ABC= = = . BC 7 14

5 3 ∵sin 38° = ,∴∠ABC=38° ,又∠BAD=38° ,∴BC∥AD. 14 故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶 ,恰好用 0.5 小时截住该走私船.

考向 3 命题视角

测量距离问题(高频考点)

测量距离问题是正弦定理和余弦定理应用中的重

点内容,也是历年考试考查的重点,归纳起来常见的命题角度有: (1)两点都不可到达的距离;(2)两点不相通的距离;(3)两点间可视 但有一点不可到达的距离.

【典例 3】 (2014· 徐州调研)为了吸引 游客,增加旅游业收入,徐州市旅游局准 备在云龙湖边增设两个景点 B 和 C,为此 要计算两景点 B 与 C 的距离.由于地形的 限制, 需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点, 现测得 AD⊥CD, AD=100 m, AB=140 m, ∠BDA=60° ,∠BCD=135° ,求两景点 B 与 C 之间的距离.(假设 A,B,C,D 在同一平面内,测量法需保留整数;参考数据: 2= 1.414, 3=1.732, 5=2.236)
图 376

[思路点拨]

先在△ABD 中,利用余弦定理求 BD,然后在△

BCD 中,利用正弦定理求 BC.

[解] 在△ABD 中,设 BD=x m, 则 BA2=BD2+AD2-2BD· AD· cos∠BDA, 即 1402=x2+1002-2×100×x×cos 60° , 整理得 x2-100x-9 600=0, 解之得 x1=160,x2=-60(舍去),故 BD=160 m,

BC BD 在△BCD 中,由正弦定理,得: = , sin∠CDB sin∠BCD 又 AD⊥CD, ∴∠CDB=30° , 160 ∴BC= · sin 30° =80 2≈113(m). sin 135° 即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113 m.

【通关锦囊】 研究测量距离问题, 解决此类问题的方法是: 选择合适的辅助 测量点, 构造三角形, 将问题转化为求某个三角形的边长问题从而 利用正、余弦定理求解.

【变式训练 3】 要测量对岸 A,B 两点之间的距离,选取相 距 3 km 的 C, D 两点, 并测得∠ACB=75° , ∠BCD=45° , ∠ADC =30° ,∠ADB=45° ,求 A,B 之间的距离.

[解]

如图所示,在△ACD 中,

∠ACD=120° ,∠CAD=∠ADC=30° , ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45° , ∠BDC=75° ,∠CBD=60° . 3sin 75° 6+ 2 ∴BC= = . sin 60° 2

在△ABC 中,由余弦定理,得 AB =( 3)
2 2

? +? ? ?

6+ 2 6+ 2? ?2 -2× 3× ×cos 75° 2 2 ? ?

=3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5(km),∴A,B 之间的距离为 5 km.

考向 4

距离或角度的最值问题

【典例 4】 (2014· 南京模拟)如图 377,经过村庄 A 有两条 夹角为 60° 的公路 AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内 建一工厂 P,分别在两条公路边上建两个仓库 M、N(异于村庄 A), 要求 PM=PN=MN=2(单位:km).如何设计,使得工厂产生的噪 声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?

图 377

[解] 法一:设∠AMN=θ,在△AMN 中, MN AM = . sin 60° sin?120° - θ? 4 3 因为 MN=2,所以 AM= sin(120° -θ). 3 在△APM 中,cos∠AMP=cos(60° +θ), AP2=AM2+MP2-2AM· MP· cos∠AMP 16 2 4 3 = sin (120° -θ)+4-2×2× sin(120° -θ)· cos(60° + θ) 3 3 16 2 16 3 = sin (θ+60° )- sin(θ+60° )cos(θ+60° )+4 3 3

8 8 3 = [1-cos(2θ+120° )]- sin(2θ+120° )+4 3 3 8 20 =- [ 3sin(2θ+120° )+cos(2θ+120° )]+ 3 3 20 16 = - sin(2θ+150° ),θ∈(0° ,120° ). 3 3 当且仅当 2θ+150° =270° ,即 θ=60° 时,AP2 取得最大值 12, 即 AP 取得最大值 2 3. 答:设计∠AMN=60° ,即 AN=AM=2 km 时,工厂产生的噪 声对居民的影响最小.

法二:设 AM=x,AN=y,∠AMN=α 在△AMN 中,∵MN=2,∠MAN=60° ∴MN2=AM2+AN2-2AM· AN· cos∠MAN 即 x2+y2-2xycos 60° =x2+y2-xy=4 MN AN 2 y ∵ = ,即 = . sin 60° sin α sin 60° sin α 3 ∴sin α= y. 4 x2+4-y2 x2+x2-xy 2x-y cos α= = = , 4 x 4 2×2· x

1 3 1 2x-y 3 3 cos∠AMP=cos(60° +α)= cos α- sin α= · - · y 2 2 2 4 2 4 x-2y = , 4 在△AMP 中,AP2=AM2+PM2-2AM· PM· cos∠AMP,即 x-2y 2 AP =x +4-2×2· x· =x +4-x(x-2y)=4+2xy, 4
2 2

∵x2+y2-xy=4,∴4+xy=x2+y2≥2xy,即 xy≤4, 当且仅当 x=y=2 时,等号成立. ∴当且仅当 x=y=2 时,AP 取得最大值 2 3. 答:设计 AM=AN=2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响 最小.

【规律方法】 1.分析题意,要使工厂产生的噪声对居民的影响最小,也就 是使工厂与村庄的距离最远,即求距离的最大值. 2.合理选取自变量,构造距离的表达式. 3.根据表达式确定求最值的方法,如利用三角函数有界性, 求最值,利用二次函数单调性求最值,利用基本不等式求最值等. 4. 如果求角的最值通常先构造该角的某种三角函数的表达式, 再结合三角函数单调性求角的最值.

【变式训练 4】 (2014· 盐城模拟)图 378(1)是某斜拉式大桥 图片, 为了了解桥的一些结构情况, 学校数学兴趣小组将大桥的结 构进行了简化,取其部分可抽象成如图 378(2)所示的模型,其中 桥塔 AB,CD 与桥面 AC 垂直,通过测量得知 AB=50 m,AC=50 m,当 P 为 AC 的中点时,∠BPD=45° .

(1) 图 378

(2)

(1)求 CD 的长; (2)试问点 P 在线段 AC 的何处时,∠BPD 达到最大.

[解]

(1)设∠BPA=α, ∠DPC=β, CD=h m, 则 tan α=2, tan

h β= . 25 由题意,得 tan(α+β)=-tan 45° , h 2+ 25 即 =-1,解得 h=75. h 1-2· 25 所以 CD 的长为 75 m.

50 75 (2)设 AP=x(0<x<50),则 tan α= ,tan β= , x 50-x 50 75 + x 50-x 所 以 tan ∠ BPD = - tan(α + β) = - = 50 75 1- · x 50-x 25?x+100? x2-50x+50×75 因为 x2-50x+50×75>0,所以 tan∠BPD>0,即∠BPD 为锐 角, 令 t=x+100∈(100,150),则 x=t-100,

25t 则 tan∠BPD= ?t-100?2-50?t-100?+50×75 25t =2 , t -250t+50×375 25 = 50×375 t+ -250 t ≤ 2 25 50×375 t· -250 t

1 = , 2 30-10 50×375 当且仅当 t= 即 t=25 30∈(100,150), t 所以 AP=(25 30-100)m 时,∠BPD 达到最大

掌握 1 个步骤 解三角形应用题的一般步骤 (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;(2)建模: 根据已知条件与求解目标, 把已知量与求解量尽量集中在有关的三 角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定 理和余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检 验上述所求的三角形是否具有实际意义,从而得出实际问题的解. 了解 2 种情形 解三角形应用题的两种情形

(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理 或余弦定理求解.(2)已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三 角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求 解其他三角形.有时需设出未知量,解方程(组)得出所要求的解. 勿忘 2 点注意 1.画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形, 如等边三角形、直角三角形、如图等腰三角形等,这样可以优化解 题过程. 2.解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的 数据(原始数据),少用间接求出的量.

思想方法之 10

构造三角形解决实际应用题

(2014· 江苏高考)如图 379,为保护河上古桥 OA,规划 建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相 切的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m.经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处,点 C 位于点 O 正东 4 方向 170 m 处(OC 为河岸),tan∠BCO= . 3

图 379 (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

[解]

(1)如图,延长 OA,CB 交于点 F.

4 因为 tan∠FCO= , 3 4 所以 sin∠FCO= , 5 3 cos∠FCO= . 5 因为 OA=60,OC=170, 680 OC 850 所以 OF= OCtan∠FCO= , CF= = ,从而 3 3 cos∠FCO 500 AF=OF-OA= . 3

4 因为 OA⊥OC,所以 cos∠AFB=sin∠FCO= . 5 400 又因为 AB⊥BC,所以 BF=AFcos∠AFB= , 3 从而 BC=CF-BF=150. 因此新桥 BC 的长是 150 m.

(2)设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D,连接 MD,则 MD ⊥ BC ,且 MD 是圆 M 的半径,并设 MD = r m , OM = d m(0≤d≤60). 因为 OA⊥OC,所以 sin∠CFO=cos∠FCO. MD MD r 3 故由(1)知 sin∠CFO= = = = , MF OF-OM 680 5 -d 3 680-3d 所以 r= . 5

因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m, ? ?680-3d-d≥80, ? ? 5 ?r-d≥80, 所以? 即? ? ?r-?60-d?≥80, ?680-3d -?60-d?≥80, ? 5 ? 解得 10≤d≤35. 680-3d 故当 d=10 时,r= 最大,即圆面积最大. 5 所以当 OM=10 m 时,圆形保护区的面积最大.

【智慧心语】 易错提示:(1)本题常规解法是建系设点,利用两点间的距离 公式求 BC 的长.但往往会因计算能力差出错. (2)理解能力差,弄不清条件关系,无法求解. (3)能想到构造三角形,但是延长 OA,CB 交于 F 后,图中出 现的三角形不止一个, 不知道从哪个三角形入手, 不知道它们之间 的联系,因此无法求解.

防范措施:(1)理清题意,善于将实际问题转化为数学模型问 题. (2)要注意寻求一些特殊的三角形,这样可以优化解题过程. (3)审题时,目光不能只局限于题目表象,要相信,思路多变 会有奇迹出现,如本例只看图形,马上想到的是直线与圆,如果添 加延长线,就有直角三角形出现,自然也就会联想到解三角形了.

【类题通关】 (2013· 江苏高考)如图 3710,游客从某旅游景 区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 12 3 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量,cos A= ,cos C= . 13 5

图 3710

(1)求索道 AB 的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步 行的速度应控制在什么范围内?

[解]

12 3 (1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5

5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5 从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C 5 3 12 4 63 = × + × = . 13 5 13 5 65

AB AC 由正弦定理 = , sin C sin B AC 1 260 4 得 AB= · sin C= × =1 040(m). sin B 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m.

(2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行 走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理得 d2 12 = (100 + 50t) + (130t) - 2×130t×(100 + 50t)× = 200(37t2 13
2 2

1 040 35 -70t+50).由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8,故当 t= (min) 130 37 时,甲、乙两游客距离最短.

BC AC (3)由正弦定理 = , sin A sin B AC 1 260 5 得 BC= · sin A= × =500(m). sin B 63 13 65 乙从 B 出发时, 甲已走了 50×(2+8+1)=550(m), 还需走 710 m 才能到达 C.

500 710 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ v - ≤3,解 50 1 250 625 得 ≤v≤ ,所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间 43 14 不超过 3
?1 min ,乙步行的速度应控制在 ? ? ?

250 625? , ? (单位: 4 14 ? ?

m/min)范围内.


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