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山东省2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编6:不等式


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山东省 2014 届高三文科数学一轮复习之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 6: 不等式
一、选择题 1 .(【 解 析 】 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 文 科 数 学 ) 已 知

log 1 ( x ? y ? 4) ? log 1 (3 x ? y ? 2) ,若 x ? y ? ? 恒成立,则 ? 的取值范围是
A. ? ??,10?
2 2

B. ? ??,10 ?

C. ?10, ?? ?

D. ?10, ?? ?

?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? y ? 4 ? 0 ? ? 【答案】 要使不等式成立,则有 ?3 x ? y ? 2 ? 0 C ,即 ?3 x ? y ? 2 ? 0 ,设 z ? x ? y ,则 ? x ? y ? 4 ? 3x ? y ? 2 ?x ? 3 ? ? y ? x ? z .作出不等式组对应的平面区域如图

, 平移直线 y ? x ? z ,由图象可知当直线 y ? x ? z 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最大, 由 ?

?x ? y ? 4 ? 0 ? y ? ?7 ,解 得 ? , 代 入 z ? x ? y 得 z ? x ? y ? 3 ? 7 ? 10 , 所 以 要 使 ?x ? 3 ?x ? 3 x ? y ? ? 恒成立,则 ? 的取值范围是 ? ? 10 ,即 ?10, ?? ? ,选 C.

2 . ( 【解析】 山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学 (文) 试题) a, b ? R, 且ab ? 0, 若

则下列不等式中,恒成立的是 A. a ? b ? 2 ab B.

b a 1 1 2 2 2 C. ? ? 2 D. a ? b ? 2ab ? ? a b a b ab

【答案】C

因为 ab ? 0 ,所以

b a b a b a ? ? 2 ,所以选 C. ? 0, ? 0 ,即 ? ? 2 a b a b a b

3 .【解析】山东省临沂市 2013 届高三 3 月教学质量检测考试(一模)数学(文)试题) 已知 (

? x ? y ? 2 ? 0, ? 实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 , 若目标函数 z ? y ? ax 取得最大值时的唯一最优解是 ?2 x ? y ? 5 ? 0, ?
(1,3),则实数 a 的取值范围为

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(A)a<-l
【答案】 D

(B)0<a<l (C)a≥l (D)a>1 本题考查线性规划问题.作出不等式对应的平面区域 BCD,由 z ? y ? ax 得

y ? ax ? z ,要使目标函数 y ? ax ? z 仅在点 (1,3) 处取最大值,则只需直线 y ? ax ? z 在点 B(1,3) 处的截距最大,

由图象可知 a ? k BD ,因为 k BD ? 1 ,所以 a ? 1 ,即 a 的取值范围为 a ? 1 ,选 D. 4 .【解析】山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文科数学) 设变量 x, y 满足约束条 (

?y ? x ? 件 ? x ? 2 y ? 2 ,则 z ? x ? 3 y 的最小值为 ? x ? ?2 ?
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
【答案】D【解析】做出可行域如图,

由 z ? x ? 3y 得 y ?

1 z 1 z x ? ,平移直线 y ? x ? ,由图象可知当直线经过点 B 时,直线 3 3 3 3 ? x ? ?2 ? x ? ?2 1 z y ? x ? 的 截 距最 大, 此 时 z 最 小. 由 ? ,得 ? , 即 点 B (?2, 2) , 代 入 3 3 ?x ? 2 y ? 2 ?y ? 2 z ? x ? 3 y 得 z ? ?8 ,选 D.

5 . (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试题) 已知 x,y 满足条件

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?x ? 0 ? (k 为常数),若目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k= ?y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?
A. ?16 B. ?6 C. ?

8 3

D.6

【 答 案 】 B



?x ? 0 1 z . 先 作 出 ? 的 图 z ? x ? 3y 得 y ? ? x ? 3 3 ?y ? x

,因为目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,所以 x ? 3 y ? 8 与直线 y ? x 的交点为 C,解得 C (2, 2) ,代入直线 2 x ? y ? k ? 0 ,得 k ? ?6 ,选 B. 象,

?y ? x ? 1 ? 6 .【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学) 在约束条件 ? y ? x 下, ( 2 ? ?x ? y ? 1 ?
1 y 的最大值为 2 1 3 5 5 (A) (B) (C) (D) 4 4 6 3 1 【答案】 由 z ? x ? y 得 y ? ?2 x ? 2 z .作出可行域如图阴影部分,平移直线 y ? ?2 x ? 2 z , C 2 1 ? ?y ? x 由平移可知,当直线经过点 C 时,直线 y ? ?2 x ? 2 z 的截距最大,此时 z 最大.由 ? 2 解 ?x ? y ? 1 ?
目标函数 z ? x ?

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2 ? ?x ? 3 1 2 1 1 5 ? 得? ,代入 z ? x ? y 得 z ? ? ? ? ,选 C. 2 3 2 3 6 ?y ? 1 ? 3 ?
7 .【解析】山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(文)试题)已知动点 P(m,n)在不 (

?x ? y ? 4 n?3 ? 等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域内部及其边界上运动,则 z ? 的最小值是 m?5 ?x ? 0 ?
A.4 B.3 C.

5 3

D.

1 3

【答案】D【解析】做出不等式组对应的平面区域 OAB

.

n?3 因为 z ? ,所以 z 的几何意义是区域内任意一点 P ( x, y ) 与点 M (5,3) 两点直线的斜率. m?5 ?x ? y ? 4 ?x ? 2 所以由图象可知当直线经过点 AM 时,斜率最小,由 ? ,得 ? ,即 A(2, 2) ,此时 ?x ? y ? 0 ?y ? 2 3? 2 1 n?3 1 k AM ? ? ,所以 z ? 的最小值是 ,选 D. 5?2 3 m?5 3 8 . ( 【解析】 山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试数学文试题) log a 2 ? log b 2 ? 0 , 若
则 A. 0 ? a ? b ? 1 C. a ? b ? 1 B. 0 ? b ? a ? 1 D. b ? a ? 1

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1 1 ? ?0 【答案】B【解析】由 log a 2 ? log b 2 ? 0 得 log 2 a log 2 b ,即 log 2 b ? log 2 a ? 0 ,所以 0 ? b ? a ? 1 ,选 B.
9 . 【解析】山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(文)试题) 设 x、y 满足 (

?2 x ? y ? 4, ? ? x ? y ? ?1, ? x ? 2 y ? 2, ?

则z ? x? y B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最大值

【答案】B【解析】做出可行域如图

(阴影部分).由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z , 做 直 线 y ? ? x , 平 移 直线 y ? ? x 由 图 可 知 当 直线 经 过 点 C(2,0) 时 ,直 线 y ? ? x ? z 的截距最小,此时 z 最小为 2,没有最大值,选 B.

10. ( 【解析】 山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学 (文) 试题)不等式| 5 ? 2 x |? 9

的解集是 A.(一∞,-2)U(7,+co) B.[-2,7] C. (?2, 7) D. [-7,2]
【答案】C【解析】由 | 5 ? 2 x |? 9 得 ?9 ? 2 x ? 5 ? 9 ,即 ?4 ? 2 x ? 14 ,所以 ?2 ?

x ? 7 ,选 C.

11.【解析】山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(文) 已知变量 x、y,满足 ( )

ì 2x - y 0 ? ? ? í x - 2 y + 3 ? 0 ,则z 1og 2 (2 x + y + 4) 的最大值为 ? ? x? 0 ? ? ? 3 A.1 B. C.2 D.3 2 【答案】D 解:设 t ? 2 x ? y ,则 y ? ?2 x ? t .做出不等式组对应的可行域如图为三角形 OBC 内.做直线 y ? ?2 x ,平移直线 y ? ?2 x ,当直线 y ? ?2 x ? t 经过点 C 时,直线 y ? ?2 x ? t 的 ?2 x ? y ? 0 ,得 x ? 1, y ? 2 .即 C (1, 2) 代入 截距最大,此时 t 最大,对应的 z 也最大,由 ? ?x ? 2 y ? 3 ? 0

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t ? 2 x ? y 得 t ? 4 , 所 以 z ? 1og2 (2 x ? y ? 4) ,选 z ? 1og2 (2 x ? y ? 4) ? log2 (4 ? 4) ? log 8 ? 3 D. 2











12.【解析】山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试文科数学)已知变量 x, y 满足约束条件 (

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? ? x ? 3 y ? 3 ? 0 , 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?y ?1? 0 ?
A.6 B.3 C.

3 2

D.1

, y ? ?2 x ? z .做出可行域如图 做直线 y ? ?2 x ,平移直线 y ? ?2 x ? z ,由平移可知,当直线经过点 D 时,直线 y ? ?2 x ? z 的 截距最大,此时 z ? 2 x ? y ? 2 ? 3 ? 6 ,选 A.
【答案】A 解:由 z ? 2 x ? y 得 13 . 【解 析】山 东省泰 安市 2013 届 高三第 一轮复 习质量 检测数 学(文 )试题 ) 设奇函数 (

f ? x ? 在 ? ?1,1? 上 是 增 函 数 , 且 f ? ?1? ? ?1 , 若 函 数 , f ? x ? ? t 2 ? 2at ? 1 对 所 有 的
B. ?

x ? ? ?1,1? 都成立,则当 a ? ? ?1,1? 时 t 的取值范围是
A. ?2 ? t ? 2

1 1 ?t ? 2 2

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1 2 【答案】 因为奇函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数,且 f ? ?1? ? ?1 ,所以最大值为 f (1) ? 1 ,要 C
C. t ? ?2或t ? 0或t ? 2 D. t ? ? 或t ? 0或t ? 使 f ? x ? ? t ? 2at ? 1 对 所 有 的 x ? ? ?1,1? 都 成 立 , 则 1 ? t 2 ? 2at ? 1 , 即 t ? 2at ? 0 , 即
2

1 2

2

t (t ? 2a ) ? 0 , 当 t ? 0 时 , 不 等 式 成 立 . 当 0 ? a ? 1 时 , 不 等 式 的 解 为 t ? 2a ? 2 . 当 ?1 ? a ? 0 时,不等式的解为 t ? 2a ? ?2 .综上选 C. 14.【解析】山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟文科数学)设第一象限内的点( x, y )满足 ( 1 1 ?2 x ? y ? 4 ≤ 0, 若目标函数 z ? ax ? by (a>0, b>0) 的最大值是 4,则 ? 的最小值为 ? a b ? x ? y ≥ 0,
(A)3
【 答案 】B

(B)4

(C)8

(D)9

a z x ? ,平移 直线 b b a z a z a z y ? ? x ? ,由图象可知,当直线 y ? ? x ? 经过点 A 时,直线 y ? ? x ? 的截距最大, b b b b b b ?2 x ? y ? 4 = 0, ? x ? 4 此时 z 最大为 4.由 ? 得? ,即 A(4, 4) ,代入 z ? ax ? by 得 4a ? 4b ? 4 ,即 ?y ? 4 ? x ? y = 0, 1 1 1 1 b a b a b a a ? b ? 1 .所以 ? ? ( ? )(a ? b) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ,当且仅当 ? ,即 a b a b a b a b a b
作 出 可 行 域 如 图 , 由 z ? ax ? by (a>0, b>0) 得 y ? ?

a 2 ? b2 , a ? b ?

1 1 1 时,取等号,所以 ? 的最小值为 4,选 B. 2 a b

15 . 【 解 析 】 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 文 科 数 学 ) 已 知 函 数 (

y ? x?4?
A.-3

9 ( x ? ?1) ,当 x=a 时,y 取得最小值 b,则 a+b= x ?1
B.2 C.3 D.8

9 9 9 ? x ? 1+ ? 5 ,因为 x ? ?1 ,所以 x ? 1 ? 0, ? 0 ,所以由均 【答案】 y ? x ? 4 ? C x ?1 x ?1 x ?1 9 9 9 ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? ? 5 ? 1 , 当 且 仅 当 x ?1 ? 值 不 等 式 得 y ? x ? 1+ ,即 x ?1 x ?1 x ?1 ( x ? 1) 2 ? 9 ,所以 x ? 1 ? 3, x ? 2 时取等号,所以 a ? 2, b ? 1 , a ? b ? 3 ,选 C.

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16. ( 【解析】 山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文) a 设

? 30.5 , b ? log 3 2, c ? cos 2 ,

则 A. c ? b ? a C. a ? b ? c
【答案】A【解析】 3
0.5

B. c ? a ? b D. b ? c ? a

? 3 ? 1 ,, 0 ? log 3 2 ? 1 ,, cos 2 ? 0 ,所以 c ? b ? a ,选 A. 17. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试 数学(文)试题) 设变量 x, y 满足约束条 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 件 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 ,则目标函数 z ? 4 x ? 3 y 的最小值和最大值分别为 ?x ? y ? 8 ? 0 ?
A.-6,11
【答案】 解:由 A

B.2,11

C.-11,6

D.-11,2

4 z 4 z x ? .做出可行域如图阴影部分,平移直线 y ? x ? , 3 3 3 3 4 z 4 z 由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 C 时,直线 y ? x ? 的截距最小,此时 z 最大,当 3 3 3 3 4 z 4 z y ? x ? 经过点 B 时,直线 y ? x ? 的截距最大,此时 z 最小.由 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 得 3 3 3 3 ? ?x ? y ? 8 ? 0
z ? 4x ? 3y 得 y ?

?x ? 5 ,即 C (5,3) ,又 B (0, 2) ,把 C (5,3) 代入 z ? 4 x ? 3 y 得 z ? 4 x ? 3 y ? 20 ? 9=11 ,把 ? ?y ? 3 B(0, 2) 代入 z ? 4 x ? 3 y 得 z ? 4 x ? 3 y ? ?3 ? 2= ? 6 ,所以函数 z ? 4 x ? 3 y 的最小值和最

大值分别为 ?6,11 ,选 A.
18 . 山 东省烟 台市 2013 届高 三 3 月 诊断 性测 试数 学文) 已知实数 x,y 满足不等式组 (

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?2 x ? y ? 0 ? ? x ? 2 y ? 0 ,则 2x+y 的最大值是 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
A.0 B.3 C.4 D.5
【 答 案 】 设

z ? 2 x ? y 得 y ? ?2 x ? z , 作 出 不 等 式 对 应 的 区 域

,平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知当直线经过点 B 时,直 线的截距最大,由 ?

z ? 2 x ? y ? 4 ,选 C.
0.6

?2 x ? y ? 0 ?x ? 1 ,解得 ? , 即 B(1,2), 带 入 z ? 2 x ? y 得 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?y ? 2
2013 届 高 三 3 月高 考 模 拟 文科 数 学 ) 若

19 .(【 解 析 】 山 东 省 济 南 市

a ? 3 , b ? log 3 0.2 , c ? 0.6 ,则
3

A. a ? c ? b
【答案】A 3
0.6

B. a ? b ? c
3

C. c ? b ? a

D. b ? c ? a
2

? 1, log 3 0.2 ? 0 , 0 ? 0.6 ? 1 ,所以 a ? c ? b .选 A.

20. ( 【解析】 山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习 (一) 文科数学) 已知二次函数 f(x)=ax +

bx+c 的导函数 f′(x)满足:f′(0)>0,若对任意实数 x,有 f(x)≥0,则 A.

f (1) 的最小值为 f ?(0)

3 D.2 2 【答案】 D【解析】 f '( x ) ? 2ax ? b ,则 f '(0) ? b ? 0 ,又对任意实数 x,有 f(x)≥0,则有 ?a ? 0 ?a ? 0 b2 , 即 ? 2 , 所 以 a ? 0, c ? 0, ac ? . 所 以 ? 2 4 ?? ? b ? 4ac ? 0 ?b ? 4ac
B.3 C.

5 2

f (1) a ? b ? c a? c 2 ac ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? f ?(0) b b b
选 D.

2

b2 4 ?1 ?1 ? 2,所以 f (1) 的最小值为 2, f ?(0) b

21.【解析】山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(文) 不等式 ( )

x- 1 ? 0的 3x + 1

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解集为

(

)

1 A. [ ? ,1] 3

1 ) ? [1, + ) 3 1 1 【答案】 解:原不等式等价为 ( x ? 1)(3 x ? 1) ? 0 且 3 x ? 1 ? 0 ,解得 ? ? x ? 1 且 x ? ? ,所 B 3 3 1 1 以原不等式的解为 ? ? x ? 1 ,即 ( ? ,1] ,选 B. 3 3 )
D. (- ? ,
22 . 【 解 析 】 山 东 省 枣 庄 市 2013 届 高 三 3 月 模 拟 考 试 ( 数 学( 文 )试 题 ) 设

1 B. ( ? ,1] 3

1 C. (- ? , ) ? [1, + 3

?x ? 2 y ? 0 ? z ? x ? y, 其中实数x, y满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 12,则 z 的最小值为 ?0 ? y ? k ?
A.-3 B.-6 C.3 D.6

?x ? 2 y ? 0 , 的区域 BCD,平移直线 y ? ? x ? z ,由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z ,作出 ? ?x ? y ? 0 ?y ? x ?x ? 6 图象可知当直线经过 C 时,直线的截距最大,此时 z ? 12 ,由 ? 解得 ? ,所以 ? y ? ? x ? 12 ?y ? 6
【答案】B 由

k ? 6 ,解得 B(?12, 6) 代入 z ? x ? y 的最小值为 z ? ?12 ? 6 ? ?6 ,选 B.
x ?1 ? ? 23. ( 【解析】 山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学 ) 实数 x,y 满足 ? y ? a( a ? 1 ) , ? x? y ?0 ? 若目标函数 z ? x ? y 取得最大值 4,则实数 a 的值为 3 A.4 B.3 C.2 D. 2 【 答 案 】 C 【 解 析 】 由 z ? x ? y 得 y ? ?x ? z , 作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区

域,

,平移直线 y ? ? x ? z ,由图象可知当直线 y ? ? x ? z 经

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过点 D 时,直线的截距最大,为 4,所以由 ? C.

?x ? y ? 4 ?x ? 2 ,解得 ? ,即 D (2, 2) ,所以 a ? 2 ,选 ?x ? y ? 0 ?y ? 2

? y ? ?x ? 2 ? 24.【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文)不 ( 等式 ? y ? x ? 1 所表 的平 组 示 ?y ? 0 ?
面区 的面 为 域 积 A.1 B.

【 答 案 】 D 【 解 析】 做 出不 等式 组 对应 的 区域 为 ?BCD . 由 题 意知

1 2

C.

1 3

D.

1 4

xB ? 1 . xC ? 2 . 由
, 选 D.

? y ? ?x ? 2 ? ? y ? x ?1

,



yD ?

1 2

,





1 1 1 S ?BCD ? ? ( xC ? xB ) ? ? 2 2 4

二、填空题 25 . 【 解 析 】 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 二 次 诊 断 性 测 试 数 学 文 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ?| 2 x ? a | ? a . 若 不 等 式 f ( x) ? 6 的 解 集 为 ?x | ?2 ? x ? 3? , 则 实 数 a 的 值 为

__________.
【 答案 】

a ? 1 【解 析】 因为 不等 式 f ( x) ? 6 的解集 为 ?x | ?2 ? x ? 3? ,即 ?2,3 是方程 f ( x) ? 6 的两个根, 即 6 ? a ? a ? 6, a ? 4 ? a ? 6 ,所以 6 ? a ? 6 ? a, a ? 4 ? 6 ? a ,即
x 的最大值为 x ?4
2

6 ? a ? a ? 4 ,解得 a ? 1 .
26. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试文科数学) 已知 x ? 0 ,则

________.
【答案】 【答案】

x 1 4 4 1 4 ? 因为 2 ,又 x ? 0 时, x ? ? 2 x ? ? 4 ,当且仅当 x ? , x ?4 x? 4 x x 4 x x

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即 x ? 2 取等号,所以 0 ?

1 x 1 ? ,即 2 的最大值为 . 4 4 x ?4 4 x? x

1

27.【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)设实数 x, y 满 (

?x ? y ? 2 ? 0 ? 足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为_________. ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
【 答 案 】 25 由

1 z z ? x ? 2y 得 y ? ? x ? . 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 , 如 图 2 2

1 z 1 z 1 z x ? ,由图象可知,当直线 y ? ? x ? 经过点 F 时,直线 y ? ? x ? 的 2 2 2 2 2 2 ?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 7 截距最 大, 此时 z 最大 .由 ? ,解 得 ? ,即 F (7,9) ,代入 z ? x ? 2 y 得 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?y ? 9 z ? x ? 2 y ? 7 ? 2 ? 9 ? 25 .
平移直线 y ? ?
28. 山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学文) ( 已知向量 a=(x-l,2),b=(4,y),若 a⊥b,

则 9 ? 3 的最小值为____________.
x y

【 答 案 】 因 为

? ? ? ? a ? b , 所 以 a ? b ? 4( x ? 1) ? 2 y ? 0 , 即 2 x ? y ? 2 , 所 以

9 x ? 3 y ? 2 9 x ? 3 y ? 2 32 x ? y ? 2 32 ? 6 ,所以 9 x ? 3 y 的最小值为 6.
29 .【解析】山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学) 已知 x, y 满足约束条件 (

? x2 ? y 2 ? 4 ? ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是_____________ ; ? y?0 ?
【 答 案 】

2 5

由 z ? 2 x ? y 得 , y ? ?2 x ? z . 作 出 不 等 式 对 应 的 区

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域, ,平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知,当直线 y ? ?2 x ? z 与圆在 第 一 象 限 相 切 时 , 直 线 y ? ?2 x ? z 的 截 距 最 大 , 此 时 z 最 大 . 直 线 与 圆 的 距 离

d?

z 22 ? 1

? 2 ,即 z ? ?2 5 ,所以目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 2 5 .

?x ? y ? 5 ? 0 ? 30. ( 【解析】 山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟文科数学) 已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 , ?x ? 3 ? 则 z ? x ? 3 y 的最小值是__________.

1 z x ? .不等式对应的 3 3 1 z 1 z 平面区域为 BCD,平移直线 y ? x ? ,由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 C 时,直线 3 3 3 3 ?x ? 3 ?x ? 3 1 z y ? x? 的截距最大,此时 z 最小.由 ? 得? , 即 C (3,8) , 代 入 3 3 ?x ? y ? 5 ? 0 ?y ? 8 z ? x ? 3 y 得 z ? 3 ? 3 ? 8 ? ?21 . 31. 【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析) 若实数 x, y 满足 (
【答案】 ? 21 由 z

? x ? 3y 得 y ?

?y ?1 ? ? y ? 2 x ? 1 ,则目标函数 z ? x ? y 的最小值为_____. ?x ? y ? 8 ?

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【答案】 ?2 解:由 z

平 ? x ? y 得 y ? x ? z .作出可行域 BCD. 移直线 y ? x ? z ,由图象可知当直线 y ? x ? z 经过点 B 时,直线 y ? x ? z 的截距最大,此时

? y ? 2x ?1 ?x ? 3 得? ,即 B (3,5) 代入 z ? x ? y 得 z ? x ? y ? 3 ? 5 ? ?2 ,所以目 z 最小.由 ? ?x ? y ? 8 ?y ? 5 标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?2 .
32.【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习(一)文科数学)在平面直角坐标系中, (

?x ? y ?1 ? 0 ? 若 不 等式 组 ? x ? 1 ? 0 (a 为常 数) 所表 示 的平 面区 域的 面积 等于 2,则 a 的值 为 ?ax ? y ? 1 ? 0 ?
__________.

【答案】3【解析】

做出平面区域如图,则 ?BCD 的

面积为 2,所以

1 ? CD ?1 ? 2 ,即 CD ? 4 ,即 D(1, 4) ,代入 ax ? y ? 1 ? 0 得 a ? 3 . 2

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?x ? y ? 1 ? 33. ( 【解析】 山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学) x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , 若 ?2 x ? y ? 2 ? 目标函数 z ? x ? 2 y 最大值记为 a,最小值记为 b,则 a-b 的值为_________. 1 z 【答案】10 由 z ? x ? 2 y 得 y ? ? x ? .作出不等式组对应的区域, 2 2

,

1 z 1 z x ? ,由平移可知,当直线 y ? ? x ? 经过点 D 时,直线的截距最小,此 2 2 2 2 ?x ? y ? 1 ?x ? 1 时 z 最小.经过点 B 时,直线的截距最大,此时 z 最大.由 ? ,解得 ? ,即 D (1, 0) ?2 x ? y ? 2 ?y ? 0
平移直线 y ? ? 代入 z ? x ? 2 y 得 b ? 1 .由 ? 所以 a ? b ? 11 ? 1 ? 10 .

? x ? y ? ?1 ?x ? 3 解得 ? ,即 B (3, 4) ,代入 z ? x ? 2 y 得 a ? 11 , ?2 x ? y ? 2 ?y ? 4

34.【解析】山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试文科数学) 设 x, y 满足的约束条件 (

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ?8 x ? y ? 4 ? 0 , 若目标函数 z ? abx ? y 的最大值为 8, 则 a ? b 的最小值为_______.(a、b ? x ? 0, y ? 0 ? 均大于 0)
【答案】4【解析】由

z ? abx ? y 得, y ? ?abx ? z ,所以直线的斜率为 ?ab ? 0 ,做出可行域

如图

,由图象可知当目标函数经过点 B 时,直线的截距最大,

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?2 x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 1 ? ? 8 x ? y ? 4 ? 0 , 得 ? y ? 4 , 即 B(1, 4) , 代 入 z ? abx ? y ? 8 得 此 时 z ? abx ? y ? 8 . 由 ? ab ? 4 ? 8 ,即 ab ? 4 ,所以 a ? b ? 2 ab ? 4 ,当且仅当 a ? b ? 2 时取等号,所以 a ? b 的最
小值为 4.
35. ( 【解析】 山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文 (a) 已知 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 , ) ?

?x ? y ? 1 ? 0

则 2 x ? y 的最大值为______________.
【 答 案 】 2 【 解 析 】 设

?3 x ? y ? 3 ? 0 ?

z ? 2x ? y , 则 y ? 2x ? z . 作 出 可 行 域 如 图

作直线 y ? 2 x ,平移直线 y ? 2 x ? z ,由图象可知当直 线 y ? 2 x ? z 经过点 D 时,直线 y ? 2 x ? z 的截距最下,此时 z 最大,把 D (1, 0) 代入直线 z ? 2 x ? y 得 z ? 2 ,所以 2 x ? y 的最大值为 2. 36. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试 数学(文)试题)研究问题:“已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为(1,2),解关于 x 的不等式 cx ? bx ? a ? 0 ”,有如下解法:
2 2

1 1 , 则 y ? ( ,1) , 所 以 不 等 式 x 2 1 k x?b cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为 , .类比上述解法,已知关于 x 的不等式 ( 1 ) ? ? 0 的解 2 x?a x?c kx bx ? 1 ? ? 0 的解集为__________. 集为 (?3, ?2) ? (1, 2) ,则关于 x 的不等式 ax ? 1 cx ? 1 1 b? kx bx ? 1 k 1 1 1 x ? 0 ,令 t ? ? 1 ,因为关于 x 的 ? ? ? 【答案】( ?1,? ) ? ( , ) 解: 2 3 2 ax ? 1 cx ? 1 a ? 1 c ? 1 x x x k x?b 1 ? ? 0 的 解 集 为 (?3, ?2) ? (1, 2) , 因 为 ? ? ( ?3, ?2) ? (1, 2) , 所 以 不等式 x?a x?c x kx bx ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 0 的解集为 (?1,? ) ? ( , ) . ?1 ? x ? ? 或 ? x ? ,即不等式 2 3 2 ax ? 1 cx ? 1 2 3 2
由 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? b( ) ? c( ) ? 0 , 令 y ?
2 2

1 x

1 x

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三、解答题 37.【解析】山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(文)试题) 某幼儿园准备建一个 (

转盘,转盘的外围是一个周长 k 米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都 有一根直的钢管相连,经预算,转盘上的每个座位与支点相连钢管的费用为 3k 元/根,且当两 相邻的座位之间的圆弧长为 x 米时,相邻两座位之间的 钢管和其中一个座位的总费用为 ? 2 ?

? ? ?

(128 x ? 20) x ? ? k 元,假设座位等距离分布,且至少有 25 ?

两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记转盘的总造价为 y 元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当 k=50 米时,试确定座位的个数,使得总造价最低.
【答案】

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38.【解析】山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(文)试题) 某厂生产某种产 (

品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C ( x) 当年产量不足 80 千件 时, C ( x) ?

1 2 10000 x ? 10 x (万元);当年产量不小于 80 千件时 C ( x) ? 51x ? ? 1450 (万元), 3 x

每件商品售价为 0.05 万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

【答案】

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39.【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文) 小王于年初用 50 万元购买一 (

辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出 2 万 元,假定该年每年的运输收入均为 25 万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大 货车作为二手车出售,若该车在第 x 年年底出售,其销售价格为 25 ? x 万元(国家规定大货车 的报废年限为 10 年). (I)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (II 在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?) (利润=累计收入+销售收入-总支出)
【答案】

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40.【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析)小王大学毕业后,决定 (

利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元, 每 生 产 x 万 件 , 需 另 投 入 流 动 成 本 为 W ? x? 万 元 , 在 年 产 量 不 足 8 万 件 .. 时, W ? x ? ?

1 2 100 x ? x (万元).在年产量不小于 8 万件时, W ? x ? ? 6 x ? ? 38 (万元).每件 .. 3 x

产品售价为 5 元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完. (I)写出年利润 L ? x ? (万元)关于年产量 x (万件)的函数解析式; .. (注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) (II)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少? ..
【答案】

41.【解析】山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文科数学)记 (

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ,
2

若不等式 f ( x) ? 0 的解集为(1,3),试解关于 t 的不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t ) .
【答案】由题意知

f ( x) ? a ( x ? x1 )(? x2 ) ? a ( x ? 1)( x ? 3) .

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且 a ? 0 故二次函数在区间 [ 2,??) 上是增函数 又因为 8? | t |? 8,2 ? t 2 ? 2 , 故由二次函数的单调性知不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) 等价于 8? | t |? 2 ? t 2 即 | t | ? 2 | t | ?6 ? 0 故 | t |? 3 即不等的解为: ? 3 ? t ? 3


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