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新课标人教A版高中数学选修2-2复习学案(考前复习专用,含答案)


选修 2-2 复习学案
一、导数及其应用 1、求曲线的切线 例 1 (1)已知函数 f ( x) = x3 + x - 2 ①在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1,则 p0 点的坐标 ②函数 f ( x) 在点 (1,0)处的切线方程为 .. (2)曲线 y ? x2 过点 ..P(3,5)的切线方程 变式 1:若函数 f ( x) ? . ; ;

例 3 若函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(a ? 1) x2 ? 6ax ? 8(a ? R) 在 (??, 0) 单增,求 a 的取值范围

1 2 x ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围 2

变式 3 (1)已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 在区间[2m-1,m+1]上递增,则 m 的取值范围 (2)已知函数 f ( x) ? x ? 3x 的单减区间为(a,b),则 a+b=
3 2

2、利用导数研究函数的性质

. .

2 3 2 例 2.已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c在x ? ? 与x ? 1时都取得极值 3 (1) 求a、b的值及函数 f ( x) 的单调区间.
(2) (3) 若对 x ? [?1,2],不等式f ( x) ? c 2 恒成立,求c的取值范围. 若对 x ?[?1, 2], 方程f ( x)=0 有三个零点,求c的取值范围.

例 4 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a x

(1)若 f ( x ) 存在最小值且最小值为 2,求 a 的值; (2)设 g ( x) ? ln x ? a ,若 g ( x) ? x2 在 (0, e] 恒成立,求 a 的取值范围

变式 2 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x在x ? ?1, x ? 1 处取得极值 (1)求函数 f ( x) 的解析式. (2)若过点 A(1, m)(m ? ?2) 可作曲线 y= f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

3、定积分的计算 例 5 计算下列定积分 (1) (3)

?

5

3

x2 ?1 dx =_______; x

(2) ; ( 4)

?

1

?1
2

1 ? x 2 dx =_______.;
(2t ? 3)dx ?
6 ?6

?

2

0

| x 2 ? x ? 2 |dx =

?

1



(5)已知 f ( x ) 为偶函数且

?

6

0

f ( x)dx =8 则 ? f ( x)dx =________________;

1 (6)由曲线 y ? x , y ? 2 ? x, y ? ? x 所围成的图形的面积为 3

二、推理与证明与复数 1.下面几种推理是合情推理的是: ①由圆的性质类比推出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 1800 ,归纳出所有三角形的内角和都是 1800 ;③某次考试张军的成绩是 100 分,由此推出全班 同学的成绩都是 100 分; ④三角形内角和是 180 , 四边形内角和是 360 , 五边形的内角和是 540 , 得出凸 n 边形内角和是(n-2)·180 .( A.①② B.①③④
0 0 0 0

12.[2011·陕西卷] 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 D.②④
2

) C.①②④

?? 照此规律,第 n 个等式为_______________________________. 13.若数列{an },(n∈N )是等差数列,则有数列 bn =
*

2.若大前提是:任何实数的平方都大于 0,小前提是:a ? R,结论是:a >0,那么这个演绎推理出 错在( ) A.大前提 B.小前提 )
2 2 2

C.推理过程

D.其他

3.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”,结论显 然是错误的,因为( A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.不是以上错误 4. 用反证法证明命题“若 a +b +c ? 0,则 a,b,c 不全为零”反设正确的是( A. a,b,c 全不为零 A.无解 B.两解 B.a,b,c 全为零 C.至少两解
2

a1 ? a 2 ? ? ? a n * (n∈N )也是等差数列,类比上 n
___

述性质, 相应地: 若数列{cn }是等比数列,且 cn >0(n∈N* ),则有 dn =___ __(n∈N* )也是等比数列. ) ) 则 14.由“三角形的两边之和大于第三边”可以类比推出三棱锥的类似属性是
2 2 2

.

C.a,b,c 恰有一个为零 D.无解或至少两解

D.a,b,c 至少有一个为零

5.用反证法证明“关于 x 的方程 ax=b(a≠0)有且只有一个根”时,应该假设方程(

15.下列两个方程:x +(a-1)x+a =0,x +2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根,求实数 a 的取值范围.

6.(2012 江西 )观察下列各式: a ? b ? 1, a ? b2 ? 3, a3 ? b3 ? 4, a 4 ? b4 ? 7, a5 ? b5 ? 11,

a10 ? b10 ? (
5


6

A.28
7

B.76
2011

C.123 的末四位数字为(

D.199 )

7. 观察下列各式:5 =3125,5 =15625,5 =78125,?,则 5 A.3125 B.5625 C.0625 D.8125

8.用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= 的项是( ) C.1+2+3

(n+3)(n+4) * (n∈N )时,验证 n=1,左边应取 2
2a n 2 ? an

A.1 B.1+2

D.1+2+3+4 )

2 9.(2012 全国卷理)下面是关于复数 z ? 的四个命题:其中的真命题为( ?1 ? i

16.在数列{an }中, a 1 ? 1,

a n?1 ?

(n ? N ? ) ,

p1 : z ? 2
( A) p2 , p3

p2 : z 2 ? 2i
( B ) p1 , p2

p3 : z 的共轭复数为 1 ? i
(C) p? , p?

p4 : z 的虚部为 ?1
( D ) p? , p?

试猜想这个数列的通项公式,并用数学归纳法证明.

i 2 ? i3 ? i 4 ?( ) 10.(2011 重庆理)复数 1? i 1 1 1 1 (A) ? ? i (B) ? ? i 2 2 2 2
11.比较大小 7 ? 6

(C)

1 1 ? i 2 2

(D)

1 1 ? i 2 2

5 ?2

选修 2-2 复习学案参考答案
一、导数及其应用 例 1 (1)①

由g ' ( x0 ) ? 0得x0 ? 0或x0 ? 1 所以g ( x0 )在(??, 0), (1, ??)上单调递增, 在(0,1)上单调递减, 故函数g ( x0 )的极值点为x0 ? 0, x0 ? 1

(1, 0) 或 (?1, ?4)



4x ? y ? 4 ? 0

所以关于x0的方程 ? 有三个不同实根的充要条件是 ? g (0) ? 0 ? ? g (1) ? 0 解得 ? 3 ? m ? ?2

(2) 2 x ? y ? 1 ? 0 或 10 x ? y ? 25 ? 0 变式 1 a ? 2

所求的实数m的取值范围是(?3, ?2)
例 3 解: 方法1: f ' ( x) ? 6x 2 ? 6(a ? 1) x ? 6a ? 6( x ? a)(x ? 1)

1 例 2 略解:(1) a ? ? , b ? ?2 2

当a ? 1时, f ( x)在(??,1), (a, ??)上递增, 符合条件. 当a ? 1时, f ( x) ? 6( x ? 1) 2 ? 0恒成立, f ( x)在(??, ??)上递增. 当a ? 1时, f ( x)在(??, a), (1, ??)上递增, 要保证f ( x)在( ??, 0)上递增, 则0 ? a ? 1 综上所述.a ? 0时, f ( x)在( ??, 0)上递增.
方法2:因为f ( x)在( ??, 0)上递增

2 2 22 3 (2). f ( x) ? 3 x ? x ? 2,由3 x ? x ? 2 ? 0得x ? ? 或x ? 1且f (? ) ? ? c, f (1) ? ? ? c 3 3 27 2 1 f (?1) ? ? c, f (2) ? 2 ? c, 所以f ( x)在[ ?1, 2]上的最大值为f (2) ? 2 ? c 2 2 从而c ? 2 ? c解得c ? ?1或c ? 2
' 2 2

(3)由(2)知,结合图像应满足

所以f ' ( x) ? 0在x ? (??, 0)上恒成立 即x( x ? 1) ? a ( x ? 1)在x ? (??, 0)上恒成立 x ? 0,? x ? 1 ? 0 ?x ? a 从而a ? 0
方法3. 保证f ' ( x) ? 6 x 2 ? 6(a ? 1) x ? 6a在( ??, 0]上最小值大于或等于零

? f (?1) ? 0 22 1 ? 得? ?c?? 2 ? 27 2 f (? ) ? 0 ? 3 ?
变式 2 略解(1)求得 f ( x) ? x 3 ? 3x (2)设切点为 M ( x0 , x0 ? 3x0 ),因为f ( x) ? 3x ? 3
3 ' 2
2 所以切线方程为 y ? m ? (3x0 ? 3)(x ? 1), 又切线过点M

? a ?1 ? a ?1 ?0 ?0 ? ? 故有 ? 2 或? 2 ? ? f ' (0) ? 0 ?? ? 0 ? 可解得a ? 0
1 2

所以x ? 3x0 ? m ? (3x ? 3)(x0 ? 1)
3 0 2 0 3 2 即2 x0 ? 3x 0 ? m ?3?0?

变式 3 (1) (??, ?3] [ , 2) (2) ?2

因为过点A可作曲线的三条切线 , 所以关于x 0的方程 ? 有三个不同的实数根
3 2 2 设g ( x0 ) ? 2 x0 ? 3x 0 ? m ? 3则g ' ( x0 ) ? 6 x0 ? 6 x0

例 4 (1) a ? e (2) (ln

2 1 ? , ??) (详解见导学案《阶段质量检测一》18 题) 2 2

例5

(1) 8 ? ln

5 3

(2)

? 2

(3) 3

(4) 2t ? 3

(5)16

(6)

13 6

二、推理与证明与复数 1-5 CACBD 6-10 CDDCC 11. ? 12.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1) 13. n c1 .c 2 .c 3 ... c n 14.三棱锥任意三个面的面积和大于第四个面的面积
?? ? 0 15.若两个方程都没有实根,则 ? 1 ,解得-2<a<-1,所以 a≥ ?? 2 ? 0
2

1,或 a≤

2

16 解:在数列{an }中,∵ a 1 ? 1,

a n?1 ?

2a n 2 ? an

(n ? N ? )

a1 ? 1 ?

2 2a1 2 2a2 2 2a3 2 2a4 2 , a2 ? ? , a3 ? ? , a4 ? ? , a5 ? ? , 2 2 ? a1 2 ? 1 2 ? a2 3 ? 1 2 ? a3 4 ? 1 2 ? a4 5 ? 1

∴可以猜想,这个数列的通项公式是 a n ? 下用数学归纳法证明之. (1)当 n=1 时,左边= a1 ? 1,右边= ?

2 。 n?1

2 ? 1 ,猜想成立; 1?1 2 k ?1

(2)假设当 n=k (k ? 1且k ? N ? ) 时,猜想成立,即 ak ?

2 2ak 4 2 2 k ?1 ? ? ? ? 则当 n=k+1 时, ak ?1 ? 2 ? ak 2 ? 2 2k ? 2 ? 2 k ? 2 (k ? 1) ? 1 k ?1 2?
即当 n=k+1 时猜想成立。 由(1) 、 (2)可知,对于一切 n∈N* 猜想均成立。


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