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人教A版高中数学选修1-1 3.3.3函数的最大(小)值与导数 导学案


课题:§3.3.3 函数的最大(小)值与导数
一【学习目标】 1.借助函数图像,直观地理解函数的最大值和最小值概念。 2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系,理解和熟悉函数 f ( x) 必有最大值 和最小值的充分条件。 3.掌握求在闭区间[ a, b] 上连续的函数 f ( x) 的最大值和最小值的思想方法和步骤。 二、 【重点难点】 1.【重点】用导数求闭区间上函数的最大值和最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 2.【难点】 函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系 三、 【学习新知】 (A 级) 阅读课本 P96 ? P98 ,自主探究下列问题: 1.思考:最值与极值的的区别与联系。 2.参照例 5 完成 98 页练习 四、 【合作探究】 【活动一】 :求函数在给定区间上的最值(B 级) 1 例 1:求函数 f ( x) ? x 3 ? 4 x ? 1 在[0,3]上的最大值与最小值。 3

思考:你能总结一下,连续函数在闭区间上求最值的步骤吗?

变式:1 求下列函数的最值: (B 级)
1 (1)已知 f ( x) ? 6 ? 12 x ? x 3 , x ? [? ,1] ,则函数的最大值为______,最小值为______。 3

(2)已知 f ( x) ? 6x 2 ? x ? 2, x ?[1,2] ,则函数的最大值为______,最小值为______。 (3)已知 f ( x) ? x 3 ? 27x, x ?[?3,3] ,则函数的最大值为______,最小值为______。 (4) f ( x) ? 3x ? x 3 , x ?[1,2] 则函数的最大值为______,最小值为______。

变式:2 求下列函数的最值: (C 级) (1) f ( x) ? 6 x 2 ? x ? 2 (2) f ( x) ? 6 ? 12x ? x 3

【活动二】 :已知函数在给定区间上的最值求参数(B 级) 例 2.已知函数 f ( x) ? 2x 3 ? 6x 2 ? a 在[-2,2]上有最小值-37, (1)求实数 a 的值; (2)求 f ( x) 在[-2,2]上的最大值。

●随堂练习(C 级)
1.下列说法中正确的是( ) A 函数若在定义域内有最值和极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值 B 闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值 C 若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值 D 若函数在定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极 值 2.函数 y ?| x ? 1 | ,下列结论中正确的是( A C
y 有极小值 0,且 0 也是最小值 y 有极小值 0,但 0 不是最小值


y 有最小值 0,但 0 不是极小值

B

D 因为 y 在 x ? 1 处不可导,所以 0 即非最小值也非极值 3.函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? a 在 (0,1) 内有最小值,则 a 的取值范围是( A
0 ? a ?1



B

0 ? a ?1

C

?1? a ?1

D )
2 e2

0?a?

1 2

4.函数 f ( x) ? xe ? x , x ?[0,4] 的最小值是( A 0 B
1 e

C

4 e4

D

5.给出下面四个命题: (1)函数 y ? x 2 ? 5x ? 4, x ?[?1,1] 的最大值为 10,最小值为 ?
9 ; 4

(2)函数 y ? 2x 2 ? 4x ? 1, x ?[2,4] 的最大值为 17,最小值为 1; (3)函数 y ? x 3 ? 12x, x ?[?3,3] 的最大值为 16,最小值为-16; (4)函数 y ? x 3 ? 12x, x ?[?2,2] 无最大值,无最小值。 其中正确的命题有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

6.函数 f ( x) ? 7.函数 y ? x ?

4x , x ? [?2,2] 的最大值是__________,最小值是_____________。 x ?1
2

3 , x ? [ 2,?? ) 的最小值为____________。 x

8.已知 f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? m(m 为常数) ,在[-2,2]上有最大值 3,求函数在区间 [-2,2]上的最小值。

9. (1)求函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 6x ? 2, x ?[?1,1] 的最大值和最小值; (2)求函数 f ( x) ? 48x ? x 3 的极值。 五、 【达标自测】

1.(B 级)设 a ? 0 为常数,求函数 y ? e ? x ? e ?2 x 在区间[0, a ] 上的最大值和最小值。

2.(C 级)设 f ( x) ? x 3 ?

1 2 x ? 2x ? 5 , (1)求函数 f ( x) 的单调递增,递减区间; 2

(2)当 x ?[?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。

3. (D 级)已知函数 f ( x) ? (1)当 a ?

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) , x

1 ,求函数 f ( x) 的最小值; 2

(2)若对于任意 x ? [1,??), f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

4. (D 级)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x , (1)若函数 f ( x) 在[1,??] 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

1 (2)若 x ? ? 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在[1, a] 上的最大值; 3

(3)在(2)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g ( x) ? bx 的图像与函数 f ( x) 的图像恰有 3 个交点,若存在 ,求出实数 b 的取值范围;取不存在,试说明理由。

5. (D 级)当 x ? (1,2] 时,函数 f ( x) ? 值。

x 恒大于正数 a ,试求函数 y ? lg(a 2 ? a ? 3) 的最小 2x ? 1

六、归纳提升(D 级) 2.求可导函数 y ? f ( x) 在[a, b] 上最大值与最小值的步骤 3.本节课中所含有的数学思想方法有哪些?

达标自测答案:

1. (1)若 0 ? a ? ln 2 在区间[0, a ] 上,当 x ? a 时,有最大值 e ? a ? e ?2 a ;当 x ? 0 时,
1 有最小值 0。 (2)当 a ? ln 2 ,在区间[0, a ] 上,当 x ? ln 2 时,有最大值 ;当 x ? 0 时,有最 4 2 2 小值 0。2. (1)递增区间为 (?? ,? ) 和 (1,??) ,递减区间为 ( ? ,1) ; (2) m ? 7 。 3 3 7 3. (1) (2) a ? ?3 。4. (1) a ? 0 , (2) f (1) ? ?6 , (3) b ? ?7 且 b ? ?3 。 2 1 11 5.当 a ? 时, y min ? lg 2 4



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