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指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)


指数函数与对数函数
一、指数的性质 (一)整数指数幂
1.整数指数幂概念: a n ? a ?? a? ?? ?a ? ? ?
n个a

(n ? N ? )

a0 ? 1? a ? 0?

a?n ?

1 a ? 0, n ? N ? ? n ? a
n

2.整数指数幂的运算性质: (1)am ? an ? am?n ? m, n ? Z ?
n n (3) ? ab ? ? a ? b ? n ? Z ?

(2) a

? ?

m n

? a mn ? m, n ? Z ?

其中 a ? a ? a ? a
m n m

?n

?a

m? n



an ?a? ?1 n n ?n . ? a ? b ? a ? b ? ? ? ? ? bn ?b?

n

3. a 的 n 次方根的性质 一般地,若 n 是奇数,则 n a n ? a ; 若 n 是偶数,则 n a n ? a ? ? 4.例题分析: 例 1.求下列各式的值:
3 (1) 3 ? 8

?a ?? a

a?0 . a?0

?

?

(2) (4)

(3) 4 ?3 ? ? ?

4

?? 10 ?2 ?a ? b ?2 ?a ? b ?

例 2.已知 a ? b ? 0, n ? 1, n ? N ? , 化简: n ?a ? b ? ? n ?a ? b ? .
n n

(二)分数指数幂

1.分数指数幂:

5

a ?a ?a
10 2

10 5

? a ? 0?

3

a ?a ?a
12 4

12 3

? a ? 0?

即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式; 如果幂的运算性质(2) a
3

? ?

k n

? a kn 对分数指数幂也适用,
4
4 4

2 2 5 ?3 ?4 ? 2? ? 5? 5 2 3 2 例如:若 a ? 0 ,则 ? a 3 ? ? a 3 ? a ,? a 4 ? ? a 4 ? a , ∴ a ? a 3 ? ? ? ?

a5 ? a 5 .

即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定: (1)正数的正分数指数幂的意义是 a ? n am a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1 ; (2)正数的负分数指数幂的意义是 a
m ?n

m n

?

?

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

? a ? 0, m, n ? N

?

, n ? 1? .

2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即 ?1? a a ? a
r s

? a ? 0, r, s ?Q? s ? 2 ? ? a r ? ? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ? r ? 3?? ab ? ? a r b r ? a ? 0, b ? 0, r ? Q ?
r ?s

说明: (1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用; (2)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没意义。 3.例题分析: 例 1. 用分数指数幂的形式表示下列各式 ? a ? o ? :

a2 ? a ,

a3 ? 3 a2 ,

a a.

例 2.计算下列各式的值(式中字母都是正数) .
1 5 1 1 ? 2 1 ?? ? ? ? (1) ? 2a 3 b 2 ?? ?6a 2 b 3 ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ; ? ?? ? ? ?

? 1 ?3 ? (2) ? m 4 n 8 ? ; ? ?

8

例 3.计算下列各式:

(1)

?

3

5 ? 125 ? 4 5

?

(2)

a2 a 3 a2

? a ? 0? .



(三)综合应用
例 1.化简: 5
x ?1

? 5x ? 5x ?1 .

例 2.化简: ( x ? y ) ? ( x ? y ) .

1 2

1 2

1 4

1 4

例 3.已知 x ? x

?1

? 3 ,求下列各式的值: (1) x 2 ? x 2 ; (2) x 2 ? x 2 .

1

?

1

3

?

3

二、指数函数

1.指数函数定义: 一般地,函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R . 2.指数函数 y ? a x 在底数 a ? 1 及 0 ? a ? 1 这两种情况下的图象和性质:

a ?1

0 ? a ?1

图 象

性 质

(1) 定义域: R (2) 渐进线:x 轴 (3)值域: (0, ??) (4) 过点 (0,1) ,即 x ? 0 时 y ? 1 (5)在 R 上是增函数 (6)底数越大,越接近 y 轴 (5)在 R 上是减函数 (6)底数越小,越接近 y 轴

例 1.求下列函数的定义域、值域: (1) y ? 8
1 2 x ?1

1 x (2)y ? 1 ? ( ) 2

(3)y ? 3

?x

a x ?1 (a ? 0, a ? 1) . (4)y ? x a ?1

例 2.当 a ? 1 时,证明函数 y ?

ax ?1 是奇函数。 a x ?1

例 3.设 a 是实数, f ( x) ? a ?

2 ( x ? R) , 2 ?1
x

(1)试证明:对于任意 a, f ( x) 在 R 为增函数; (2)试确定 a 的值,使 f ( x ) 为奇函数。 分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生 注意不同题型的解答方法。

三、对数的性质

1.对数定义:一般地,如果 a ( a ? 0且a ? 1)的 b 次幂等于 N, 就是 a b ? N ,那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数,记作 loga N ? b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 即a ? N ,
b

log a N ? b

a
指数式 a b ? N 对数式 loga N ? b 底数 对数的底数 都有 a ? 1
0

N
幂 真数

b
指数 对数

说明:1.? 在指数式中幂 N > 0,∴在对数式中,真数 N > 0. (负数与零没有对数) 2.? 对任意 a ? 0 且 a ? 1 ,
b

∴ loga 1 ? 0 ,同样: loga a ? 1 .
loga N

3.如果把 a ? N 中的 b 写成 log a N , 则有 a 4.恒过定点问题:

. ? N (对数恒等式)

2.对数式与指数式的互换 例如:

42 ? 16
42 ? 2
1

log 6 4 1?
log ? 4 2

2

1 02 ? 1 0 0

log10 100 ? 2

1 2 例 1.将下列指数式写成对数式:
(1) 5 ? 25 ;
4

1 0?2 ? 0 . 0 1 log10 0.01 ? ?2
(3) 3 ? 27 ;
a

(2) 2 ?6 ? 1 ;
64

1? (4) ? ? ? ? 5.37 . ? 3?

m

log10 N 写成 lg N ②自然对数:以 e 作底为无理数, e = 2.71828…… , loge N 例 2. (1)计算: log9 27 , log 3 4 625 .
5

3.介绍两种特殊的对数: ①常用对数:以 10 作底

写成

ln e .

(2)求 x 的值:① log 3 x ? ?

3 ; 4

② log ?

2 ? ? 2 x ?1? ? ?

?3x

2

? 2 x ? 1? ? 1 .

(3)求底数:① log x 3 ? ?

3 , 5

② log x 2 ?

7 . 8

4.对数的运算性质: 如果 a > 0 , a ? 1, M > 0 ,N > 0, 那么

(1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (2) log a

M ? log a M - log a N ; N

(3) loga M n ? n loga M (n ? R) . 例 3.计算: (1)lg14 ? 21g

7 ? lg 7 ? lg18 ; 3

( 2)

lg 243 ; lg 9

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 . lg1.2

. 5.换底公式: log a N ?

log m N ( a > 0 , a ? 1 ; m ? 0, m ? 1 ) log m a
x

证明:设 log a N ? x ,则 a ? N , 两边取以 m 为底的对数得: logm a x ? logm N ,∴ x log m a ? log m N , 从而得: x ?

logm N , logm a

∴ loga N ?

logm N . logm a

说明:两个较为常用的推论: (1) loga b ? logb a ? 1 ; (2) log a m b ?
n

n log a b ( a 、 b ? 0 且均不为 1) . m

证明: (1) loga b ? logb a ? (2) log am b ?
n

lg b lg a ? ? 1; lg a lg b

lg bn n lg b n ? ? log a b . lg a m m lg a m
(2) log4 3 ? log9 2 ? log2 4 32 .

例 4.计算: (1) 5

1?log0.2 3



例 5.已知 log18 9 ? a , 18 ? 5 ,求 log36 45 (用 a, b 表示) .
b

例 6.若 log8 3 ? p , log3 5 ? q ,求 lg 5 .

四、对数函数
1.对数函数的定义:函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数。 2.对数函数的性质: ( 1 )定义域、值域:对数函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的定义域为 (0,??) ,值域为

(??,??) .
(2)图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数 函数图象作关于 y ? x 的对称图形,即可获得。 同样:也分 a ? 1 与 0 ? a ? 1 两种情况归纳,以 y ? log2 x (图 1)与 y ? log 1 x (图 2)为
2

例。

y ? 2x y?x
1 1

1 y ? ( )x 2
1 1

y?x

y ? log2 x

y ? log 1 x
2

(3)对数函数性质列表:

a ?1 x ?1
图 象

0 ? a ?1 x ?1

y ? loga x

(1, 0)
(1)定义域: (0, ??) 性 质 (2)值域: R (3)过点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0

(1, 0)

y ? loga x

(4)在(0,+∞)上是增函数 例 1.求下列函数的定义域: (1) y ? loga x 2 ;

(4)在 (0, ??) 上是减函数 (3) y ? loga (9 ? x 2 ) .

(2) y ? loga (4 ? x) ;

分析:此题主要利用对数函数 y ? loga x 的定义域 (0, ??) 求解。

例 2.比较下列比较下列各组数中两个值的大小: (1) log6 7 , log7 6 ; (2) log3 ? , log2 0.8 ; (3) 1.1 , log1.1 0.9 , log 0.7 0.8 ;
0.9

(4) log5 3 , log6 3 , log7 3 .

例 3.已知 logm 4 ? logn 4 ,比较 m , n 的大小。

. 例 4.求下列函数的值域: (1)y ? log2 ( x ? 3) ; (2) y ? log 2 (3 ? x2 ) ; (3)y ? loga ( x2 ? 4 x ? 7)( a ? 0 且 a ? 1 ) .

例 5.判断函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 1 ? x) 的奇偶性。

例 6.求函数 y ? 2log 1 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调区间。
3

例 7.若函数 y ? ? log2 ( x ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数, a 的取值范围。
2


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