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8-1 直线的点向式方程


第 十 讲 课题:8-1 直线的点向式方程 知 1、了解点向式方程的推导过程; 识 2、会求点向式方程和两点式方程; 目 3、通过点向式方程看出直线经过的定点和直线的一个方向向量。 标 能 力 会求点向式方程和两点式方程。 目 标 重 1、重点:点向式方程和两点式方程; 点 2、难点:点向式方程的推导及分母为零时的特殊情况。 难 点 时量 教 学 方 式 设 计 90 分钟 1、新课引入(15 分钟) 2、点向式方程(30 分钟) ; 3、两点式方程(30 分钟) ; 4、课堂练习及布置作业(15 分钟) 。

教学过程 一、新课背景: 1、简单介绍平面解析几何的研究方法及意义: “只要代数和几何分道扬镳,他们的进展就缓慢,他们的应用就狭窄但当这两门科学结 成伴侣时,他们就互相吸取新鲜的活力,就快速走向完善。” 解析几何把代数和几何结合 起来,把数学造成一个双面的工具。的确,十七世纪以来数学的巨大发展,在很大程度上 应归功于解析几何,可以说微分学和积分学如果没有解析几何的预先发展是难以想象的。 解析几何的重要性在于他的方法——建立坐标系, 用方程来表示曲线, 通过研究方程来 研究曲线。因此我们学习解析几何,主要是掌握它的基本思想、基本方法,而仅仅在于记 住它的某些具体结论。 解析几何的基本方法,包括两个方面:一是由图形到方程,二是从方程到图形,也就是 选择坐标系,建立图形方程,通过对方程的研究得到图形的性质,了解图形的形状。 解析几何离不开代数, 但又要随时把各种代数表示的几何涵义放在心中, 学习中要特别 注意,培养自己的几何直观能力。这种能力对于数学的学习是极为重要的。 2、最简单的几何图形是什么?(直线)学习平面解析几何就从学习直线开始。
1

二、创设问题情境: 在空旷的平地上,怎样才能走出一条笔直的线? 只要选准一个方向, 一直沿这个方向走, 就能走出一条笔直的线人最初站的位置是一 个点,在加上一个方向,就确定了一条直线。方向可以用非零向量来表示,因此,一个点 和一个非零向量决定一条直线。 ? 画出由点 A 和向量 a 决定的直线。
A

?
? a

A

?

? a

一条直线可以看作有互为相反的两个方向, 如果一个非零向量 v 方向与直线 l 的一个
? ? ? 方向相同,则称 v 是 l 的一个方向向量,如果 v 是 l 的一个方向向量,那么 2v , 3v , ? 2v ,

? v 是直线的方向向量吗?(是)大家发现:直线的方向向量之间有和关系?(共线)
三、点向式方程: 已知直线过点 M 0 ?x0 , y0 ? ,且直线的一个方向向量为 v?v1 , v2 ? ,我们来推导直线的方 程(寻找直线上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系)只有把曲线放到坐标系中,点才 有坐标,曲线才有方程。 首先建立坐标系如图: 点 M ( x, y) 在直线 l 上 ? M 0 M 与 v 共线
M l

M0

v

? M 0 M ? t v, t ? R ??
? x ? x 0 ? tv1 ① ? y ? y 0 ? tv 2 ②
t?R

(一)

方程(一)称为直线的参数方程。曲线方程一般都是使自变量 x 和 y 直接发生联系。如:

y ? 2x 2 ? 3x ,而参数方程中 x, y 分别与一个参数 t 发生联系。参数是一个待定系数,可以
任意取值,一旦取了,则成定值,取不同的值,便得到直线上不同的点。 问题:1、能不能让 t 消失,使得横坐标 x 与纵坐标 y 之间直接发生联系? 问题:2、大家试一试,将①式变形,变成 t=…….的形式 问题:3、大家试一试,将②式变形,变成 t=…….的形式
2

问题:4、大家能把变形以后的两个式子联系起来吗?得到一个什么等式?

y ? y 0 x ? x0 ? v2 v1
x ? x0 y ? y0 ? v1 v2

(二)

学生在自己推导的过程中,可能考虑不到 v1 与 v2 的取值情况,教师随后补充:

?

x ? x0 ? 0

v

1

?

时,

x ? x0 y ? y0 ? ? y ? y0 ? 0 v1 v2 方程(二)由一个点 M 0 ?x0 , y0 ? 和一个方向向量 v?v1 , v2 ? 确定,所以称之为点向式方程。
v2 ? 0
应用一:已知直线的点向式方程,说出直线经过的一个点和它的一个方向向量。 例 1、分别说出下列直线经过的一个点和它的一个方向向量的坐标。
(1) x ? 2 y ?1 ? ?1 3



时,

0

?2?

x y ?1 ? ?2 0

应用二:已知直线上一点的坐标及直线的一个方向向量,写直线的点向式方程。 例 2、直线 l 经过点 M 0 ?? 1,2? ,一个方向向量为 v?1,?3? 写出 l 的点向式方程。 例 3、 直线 l 经过点 M 0 ?3,?2? , 一个方向向量为 v?? 2,0? 写出 l 的点向式方程, 并画出直线 l 。 四、两点式方程 设直线 l 经过两个不同的点 M1 ( x1, y1 ), M 2 ( x2 , y2 ) ,则 l 直线的一个方向向量是 M 1 M 2

( x2 ? x1, y2? y1 ) ,于是根据直线的点向式方程,可以立即写出 l 的方程为
x ? x1 y ? y1 (直线 l 的两点式方程) ? x2 ? x1 y2 ? y1

例 4、 :已知直线 l 经过两点 M1(-1,2) , M2(3,-4),求 l 的方程。 解:直线 l 的方程是 教学小结 作业布置
x ?1 y?2 ? 3 ? (?1) ?4 ? 2



x ?1 y ? 2 ? 4 ?6

分析本节课学了几种求直线方程的方法,各注意什么 课堂练习 课后作业 P52 A 1,2 P52 A 3

3



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